三角形2018中考數(shù)學(xué)考點總動員系列

2018年中考數(shù)學(xué)備考之黃金考點聚焦考點二十六：三角形聚焦考點☆溫習(xí)理解一、三角形1、三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。2、三角形的三邊關(guān)系定理及推論（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。3、三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）2.全等三角形的性質(zhì)：三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。學(xué)+科網(wǎng)推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。3、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。名師點睛☆典例分類考點典例一、三角形的性質(zhì)【例1】（2017郴州第8題）小明把一副的直角三角板如圖擺放，其中，則等于（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】試題分析：∵∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故選B．考點：三角形的外角的性質(zhì).【點睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，利用三角形的外角的性質(zhì)：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可解決有關(guān)角的計算問題．【例2】（2017貴州遵義第10題）如圖，△ABC的面積是12，點D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點，則△AFG的面積是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】A.【解析】試題分析：∵點D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點，∴AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，CF是△ACD的中線，AF是△ABE的中線，AG是△ACE的中線，∴△AEF的面積=×△ABE的面積=×△ABD的面積=×△ABC的面積=，同理可得△AEG的面積=，△BCE的面積=×△ABC的面積=6，又∵FG是△BCE的中位線，∴△EFG的面積=×△BCE的面積=，∴△AFG的面積是×3=，故選：A．考點：三角形中位線定理；三角形的面積．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．【舉一反三】1.（2017甘肅慶陽第6題）將一把直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1=45°，則∠2為（）A．115° B．120° C．135° D．145°【答案】C．2.（2017湖南張家界第5題）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的中點，如果△ADE的周長是6，則△ABC的周長是（）A．6B．12C．18D．24【答案】B．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．考點典例二、等腰三角形【例3】（2017湖北武漢第10題）如圖，在中，，以的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】試題解析：①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，△BCD就是等腰三角形；

②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E，△ACE就是等腰三角形；

③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點F，△BCF就是等腰三角形；

④作AC的垂直平分線交AB于點H，△ACH就是等腰三角形；

⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI是等腰三角形．故選C.學(xué)科#網(wǎng)考點：等腰三角形.【點睛】本題考查了畫等腰三角形；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．【舉一反三】1.（2017海南第13題）已知△ABC的三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B.考點：等腰三角形的性質(zhì).2.（2016湖南湘西州第14題）一個等腰三角形一邊長為4cm，另一邊長為5cm，那么這個等腰三角形的周長是（）A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不對【答案】C.【解析】試題分析：分4cm為等腰三角形的腰和5cm為等腰三角形的腰兩種情況：①當(dāng)4cm為等腰三角形的腰時，三角形的三邊分別是4cm，4cm，5cm符合三角形的三邊關(guān)系，周長為13cm；②當(dāng)5cm為等腰三角形的腰時，三邊分別是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三邊關(guān)系，周長為14cm，故答案選C.考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．考點典例三、全等三角形【例4】（2017湖南懷化第15題）如圖，，，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件： ，使得.【答案】CE=BC．本題答案不唯一．【解析】試題解析：添加條件是：CE=BC，在△ABC與△DEC中，，∴△ABC≌△DEC．故答案為：CE=BC．本題答案不唯一．點：全等三角形的判定．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，證明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，還有直角三角形的HL定理．【舉一反三】（2017湖南懷化第6題）如圖，點在一條直線上，，．寫出與之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】證明見解析：【解析】試題分析：通過證明ΔCDF≌ΔABE，即可得出結(jié)論試題解析：CD與AB之間的關(guān)系是：CD=AB，且CD∥AB證明：∵CE=BF，∴CF=BE在ΔCDF和ΔBAE中∴ΔCDF≌ΔBAE∴CD=BA，∠C=∠B∴CD∥BA考點：全等三角形的判定與性質(zhì).考點典例四、相似三角形【例5】（2017哈爾濱第9題）如圖，在中，分別為邊上的點，，點為邊上一點，連接交于點，則下列結(jié)論中一定正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A錯誤；B、∵DE∥BC，∴，故B錯誤；C、∵DE∥BC，∴，故C正確；D、∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴，故D錯誤；故選C考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方，用△BDE的面積表示出△ABC的面積是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】（2017甘肅蘭州第13題）如圖，小明為了測量一涼亭的高度(頂端到水平地面的距離)，在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階等高的臺階(米，三點共線)，把一面鏡子水平放置在平臺上的點處，測得米，然后沿直線后退到點處，這時恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹耍瑴y得米，小明身高米，則涼亭的高度約為()A.米 B.米 C.米米【答案】A.【解析】故選A．點：相似三角形的應(yīng)用．考點典例五、位似三角形【例6】（2017黑龍江綏化第6題）如圖，是在點為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，若的面積與的面積比是，則為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】考點：位似變換．【點睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用位似圖形的面積比等于位似比的平方得出是解題關(guān)鍵．【舉一反三】（2017甘肅蘭州第17題）如圖，四邊形與四邊形相似，位似中心點是，，則 .【答案】【解析】試題解析：如圖所示：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴，∴．考點：位似變換．考點典例六：直角三角形【例7】（2017遼寧大連第8題）如圖，在中，，，垂足為，點是的中點，，則的長為（）A．B．C.D．【答案】B.考點：直角三角形斜邊上的中線.【點睛】本題可以考查直角三角形的性質(zhì)，觀察圖形根據(jù)條件能夠看出CE是Rt△ABC的斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵．【例8】（2017甘肅蘭州第3題）如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于()學(xué)科#網(wǎng)A. B. C. D.【答案】C．考點：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【點睛】本題可以考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比邊．【舉一反三】1.（2017江蘇無錫第10題）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于（）A．2 B． C． D．【答案】D．【解析】試題解析：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵?BC?AH=?AB?AC，∴AH=，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，∵?AD?BO=?BD?AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC=.故選D．考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.直角三角形斜邊上的中線；3.勾股定理．2.（2017河池第12題）已知等邊的邊長為，是上的動點，過作于點，過作于點，過作于點.當(dāng)與重合時，的長是（）A．B．C.D．【答案】B.【解析】試題分析：設(shè)AD=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定義得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．設(shè)AD=x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于點E，EF⊥BC于點F，F(xiàn)G⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴BD=2BE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故選B．考點：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.課時作業(yè)☆能力提升一、選擇題1.（2017甘肅慶陽第8題）已知a，b，c是△ABC的三條邊長，化簡|a+b-c|-|c-a-b|的結(jié)果為（）A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0【答案】D【解析】試題解析：∵a、b、c為△ABC的三條邊長，∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，∴原式=a+b-c+（c-a-b）=0．故選D．考點：三角形三邊關(guān)系．2.（2017貴州黔東南州第2題）如圖，∠ACD=120°，∠B=20°，則∠A的度數(shù)是（）A．120° B．90° C．100° D．30°【答案】C．【解析】試題解析：∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，故選：C．考點：三角形的外角性質(zhì)．3.（2017重慶A卷第8題）若△ABC～△DEF，相似比為3：2，則對應(yīng)高的比為（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【答案】A．【解析】試題解析：∵△ABC～△DEF，相似比為3：2，∴對應(yīng)高的比為：3：2．故選A．考點：相似三角形的性質(zhì).4.（2017浙江嘉興第2題）長度分別為，，的三條線段能組成一個三角形，的值可以是（）A． B． C． D．【答案】C.【解析】試題解析：由三角形三邊關(guān)系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本題的第三邊應(yīng)滿足5＜x＜9，把各項代入不等式符合的即為答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故選C．考點：三角形的三邊關(guān)系.5.（2017湖南株洲第5題）如圖，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，則∠BAD=（）A．145° B．150° C．155° D．160°【答案】B.【解析】試題分析：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴6x=180，∴x=30，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故選B．考點：三角形內(nèi)角和定理．6.（2017湖南株洲第10題）如圖示，若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB，則點P為△ABC的布洛卡點．三角形的布洛卡點（Brocardpoint）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意，1875年，布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若點Q為△DEF的布洛卡點，DQ=1，則EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．3+D．2+【答案】D.【解析】試題分析：如圖，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故選D.考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．二、填空題7.（2017湖南常德第14題）如圖，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是線段AE上的一動點，過D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，則CD長度的取值范圍是．【答案】0≤CD≤5．考點：含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．8.（2017黑龍江齊齊哈爾第17題）經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．如圖，線段是的“和諧分割線”，為等腰三角形，和相似，，則的度數(shù)為．【答案】113°或92°．【解析】試題分析：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①當(dāng)AC=AD時，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②當(dāng)DA=DC時，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案為113°或92°．考點：1.相似三角形的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)．9.（2017黑龍江綏化第20題）在等腰中，交直線于點，若，則的頂角的度數(shù)為．【答案】30°或150°或90°．【解析】試題分析：①BC為腰，∵AD⊥BC于點D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時，頂角∠C=30°，如圖2，AD在△ABC外部時，頂角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC為底，如圖3，∵AD⊥BC于點D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴頂角∠BAC=90°，綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30°或150°或90°．考點：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性質(zhì)．10.（2017黑龍江綏化第21題）如圖，順次連接腰長為2的等腰直角三角形各邊中點得到第1個小三角形，再順次連接所得的小三角形各邊中點得到第2個小三角形，如此操作下去，則第個小三角形的面積為．【答案】【解析】試題分析：記原來三角形的面積為s，第一個小三角形的面積為s1，第二個小三角形的面積為s2，…，∵s1=?s=?s，s2=?s=?s，s3=?s，……∴sn=?s=??2?2=.考點：1.三角形中位線定理；2.等腰直角三角形．11.（2017湖北咸寧第16題）如圖，在中，，斜邊的兩個端點分別在相互垂直的射線上滑動，下列結(jié)論：=1\*GB3①若兩點關(guān)于對稱，則；=2\*GB3②兩點距離的最大值為；=3\*GB3③若平分，則；=4\*GB3④斜邊的中點運動路徑的長為.其中正確的是．【答案】①②③．試題分析：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC=，①若C、O兩點關(guān)于AB對稱，如圖1，∴AB是OC的垂直平分線，則OA=AC=2；所以①正確；②如圖1，取AB的中點為E，連接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=2，當(dāng)OC經(jīng)過點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；所以②正確；③如圖2，同理取AB的中點E，則OE=CE，∵AB平分CO，∴OF=CF，∴AB⊥OC，所以③正確；④如圖3，斜邊AB的中點D運動路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的，則：=π．所以④不正確；綜上所述，本題正確的有：①②③；考點：三角形綜合題．三．解答題12.（2017四川瀘州第18題）如圖，點A、F、C、D在同一條直線上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求證：AB=DE．【答案】證明見解析.【解析】試題分析：欲證明AB=DE，只要證明△ABC≌△DEF即可．試題解析：∵AF=CD，∴AC=DF，∵BC∥EF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．13.（2017江蘇徐州第25題）如圖，已知，垂足為，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接.學(xué)！科網(wǎng)（1）線段；（2）求線段的長度.【答案】（1）4；（2）.【解析】試題分析：（1）證明△ACD是等邊三角形，據(jù)此求解；（2）作DE⊥BC于點E，首先在Rt△CDE中利用三角函數(shù)求得DE和CE的長，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．試題解析：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴DC=AC=4．（2）作DE⊥BC于點E．∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°，∴Rt△CDE中，DE=DC=2，CE=DC?cos30°=4×，∴BE=BC-CE=3-2=．∴Rt△BDE中，BD=．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).14.（2017湖南株洲第22題）如圖示，正方形ABCD的頂點A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點G，連接CF．①求證：△DAE≌△DCF；②求證：△ABG∽△CFG．【答案】①.證明見解析；②證明見解析.【解析】試題分析：①由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF，得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS即可得證；②由第一問的全等三角形的對應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到∠BAG=∠BCF，再由對頂角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證．試題解析：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延長BA到M，交ED于點M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．考點：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．15.（2017湖南常德第26題）如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．【答案】（1）證明見解