基于基金資產(chǎn)配置的中小企業(yè)融資問題研究

基于基金資產(chǎn)配置的中小企業(yè)融資問題研究

一、權(quán)而累的配時選擇2007年，美國的“次貸危機”引發(fā)的全球金融危機不僅嚴重打擊了全球金融市場，而且還影響了不同國家的實體經(jīng)濟和普通人的日常生活。實際上美國財政部允許金融機構(gòu)用流動性低的結(jié)構(gòu)性信用產(chǎn)品換取流動性更好的國債,用來解決他們的融資問題。即使如此,很多金融機構(gòu)還是因為手中的抵押債券衍生品不能夠及時拋售而遭受了巨大損失。美國前5大投行中的貝爾斯登、黎曼兄弟因此而破產(chǎn),而美林也被美洲銀行(BankofAmerica)收購。那些因為交易信用相關(guān)產(chǎn)品而遭受損失的對沖基金已經(jīng)暫停了資產(chǎn)贖回,留給投資者的是完全沒有任何流動性的頭寸。資產(chǎn)的不流動可能是金融市場近幾十年來面臨的最重要的挑戰(zhàn)。有學者研究了1987的美國股市的崩盤、1998年長期資本公司(LTCM)的倒閉,發(fā)現(xiàn)在這兩個事件當中流動性是非常重要的影響因素。其中1987由于市場流動性急劇下降,美國股市不能提供足夠的流動性來消化大筆賣單對價格的影響,造成股票價格大幅下降進而崩盤;1998年長期資本公司由于市場流動性不夠,不能及時賣出手中的資產(chǎn)而倒閉。在我國非流通股票相對于流通股票的折價在70%～80%之間;2005年開始的股權(quán)“全流通”改革中,非流通股股東為了獲得流通權(quán)而付出的股改對價實際上就是資產(chǎn)流動性定價的一個體現(xiàn)。從當前中國現(xiàn)實看,一直存在著的融資困難制約著中小企業(yè)的發(fā)展壯大。目前,中國企業(yè)融資的主要渠道為銀行融資。一般來說,銀行對中小企業(yè)的貸款都會比對大中型企業(yè)的貸款更加謹慎。從擔保方式上看,一般大中型國有企業(yè),銀行有可能不會要求企業(yè)提供抵押、質(zhì)押、擔保人等,但對中小企業(yè)都會要求提供銀行所認可的擔保方式。從貸款利率上看,銀行對大中型企業(yè)的利率一般比較優(yōu)惠,采取基準利率,或基準利率下浮;但對中小型企業(yè),一般都會采取上浮利率。此外,由于中小企業(yè)是解決就業(yè)的重要途徑,因此中小企業(yè)融資解困一直成為政策制定者的重要考量問題,迫切需要尋找其他融資方式。而基金將成為繼銀行貸款、資本市場(IPO和再融資等)以外的第三大常規(guī)融資方式。為保障基金投資者利益,基金在對中小企業(yè)進行投資并持有該項資產(chǎn)時不得不考慮其非流動的性質(zhì),因為其投資退出途徑和方式相對單一。從以上可以看出,對于金融工具,流動性是一個非常重要的特性,會影響到它們的價格和投資者的選擇。對于金融機構(gòu)來說,流動性會影響到其日常運作,有時甚至會危及到它們的生存。它對投資者的投資選擇也有重大影響。因此,把流動性引入到資產(chǎn)定價模型當中具有重大的實際意義,可以更加全面、準確地對金融資產(chǎn)進行定價,也能夠更好地指導投資者和金融機構(gòu)的投資行為。本文考慮的是存在非流動資產(chǎn)時,機構(gòu)投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題。一般來說,投資機構(gòu)(比如對沖基金、共同基金、私募等)管理者的薪酬由固定和變動兩個部分構(gòu)成,其中固定部分即管理費與投資基金的初始規(guī)模成比例,而變動部分則與投資收益成比例。因此,投資收益的高低從兩個方面影響其管理者的收益。直接的影響就是管理者薪酬中的與投資收益成比例的變動部分。另外由于投資者偏好過往表現(xiàn)好的投資機構(gòu),投資收益越好,投資者對它的投資就會越多,這樣機構(gòu)規(guī)模就會增大,收取的管理費就會更多。因此與個體投資者不同,機構(gòu)投資者的目標是最大化基金規(guī)模增長率。雖然我們一般都假設投資機構(gòu)是風險中性的,然而其管理者卻是風險規(guī)避的,他們希望得到的是穩(wěn)定而非劇烈波動的現(xiàn)金收入,因此在考慮增長率的同時還得考慮收益的波動率。基于這樣的考慮,本文使用的目標函數(shù)是財富效用的期望增長率。這個目標函數(shù)在考慮收益的同時也考慮了波動率。以財富效用的期望增長率為目標函數(shù)的文獻不少,但是多數(shù)文章考慮的都是在完美市場下或存在交易成本情形下的資產(chǎn)配置問題。本文是首次考慮存在非流動資產(chǎn)情形下的資產(chǎn)配置問題。假設金融市場中存在一只無風險債券和兩只股票。債券支付無風險利率;一只股票是完全流動的,參與者可以在任意時間進行任意數(shù)量的交易;而另一只是非流動的;參與者只能在某些時候才能交易;但是對交易數(shù)量沒有限制。這類資產(chǎn)配置問題是無限時間上的離散——連續(xù)混合控制,是數(shù)學與金融中的新興研究領(lǐng)域。無限時間上的離散—連續(xù)混合控制問題在數(shù)學上很難處理,不過我們把無限時間上的控制問題轉(zhuǎn)化成了對應的有限時間上的控制問題,這大大簡化了問題的處理難度。我們先是假設了價值函數(shù)可能的形式,它可以分解成兩個部分:與財富有關(guān)的項和與財富無關(guān)的項。我們給出了價值函數(shù)應該滿足偏微分方程以及對應的初始條件、終止條件以及邊界條件,我們可以通過求解偏微分方程而得到最高的財富效用期望增長率以及對應的最優(yōu)資產(chǎn)配置。最后,我們也驗證了價值函數(shù)形式的猜測是正確的。本文的主要貢獻主要有:一是提出了一種創(chuàng)新研究方式,試圖解決中小企業(yè)融資困境,為政策制定者提供決策建議;二是為基金提供了可投資方向,優(yōu)化了其資產(chǎn)配置;三是將現(xiàn)實問題模型化,便于問題的研究和解決,并提供了比較原點;四是實現(xiàn)了中小企業(yè)發(fā)展和基金的雙贏局面。文章接下來部分分成4節(jié),第一節(jié)是中小企業(yè)現(xiàn)狀及基金發(fā)展概述,第二節(jié)是模型設定,第三節(jié)是模型求解,最后是總結(jié)。附錄部分是定理證明。二、中小企業(yè)與中期基金的合作(一)我國中小企業(yè)的特點根據(jù)國家計委、財政部、國家統(tǒng)計局制訂的《中小企業(yè)標準》規(guī)定,中小型企業(yè)須符合以下條件:職工人數(shù)2000人以下,或銷售額3億元以下,或資產(chǎn)總額為4億元以下。其中,中型企業(yè)須同時滿足職工人數(shù)300人及以上,銷售額3000萬元及以上,資產(chǎn)總額4000萬元及以上;其余為小型企業(yè)。中小企業(yè)主要特點如下:1.中小企業(yè)在數(shù)量上處于絕對優(yōu)勢,2008年底,我國中小企業(yè)總計4200多萬戶,占企業(yè)總數(shù)的99.4%以上。2.中小企業(yè)是經(jīng)濟成長的支持力量,成為經(jīng)濟發(fā)展的重要增長點。3.中小企業(yè)是社會就業(yè)的主要渠道,目前我國中小企業(yè)就業(yè)人員占城鎮(zhèn)就業(yè)總量的75%以上。4.中小企業(yè)是科技創(chuàng)新的重要源泉。中小企業(yè)機制靈活,能夠及時根據(jù)市場變化,調(diào)整科技創(chuàng)新方向。但同時,中小企業(yè)面臨著很多挑戰(zhàn),主要表現(xiàn)為:1.當前,隨著國際金融危機對我國經(jīng)濟負面影響的逐步加深,我國中小企業(yè)陷入了艱難的境地,部分企業(yè)倒閉、員工辭退。2.中小企業(yè)融資難度大。這個問題難以突破的根本原因,是我國金融市場不健全,企業(yè)融資渠道單一,主要靠銀行的間接融資。而銀行從控制風險角度出發(fā),則比較偏向于較大規(guī)模的企業(yè)。3.中小企業(yè)管理經(jīng)驗和方法相對缺乏,經(jīng)營業(yè)績波動性較大。因此,可能會出項比較極端的情況,要么中小企業(yè)快速發(fā)展,成為規(guī)模較大的企業(yè);要么由于各種原因,被市場所淘汰。(二)中小企業(yè)并購合作的制度背景幾乎所有的科技創(chuàng)新都是從中小企業(yè)開始,大企業(yè)在創(chuàng)新方面絕對沒有中小企業(yè)主動性強,這是一個規(guī)律。所以中小企業(yè)的融資需求十分旺盛,尤其是高科技的成長性中小企業(yè)。而基金將成為繼銀行貸款、資本市場(IPO和再融資等)以外的第三大常規(guī)融資方式?；鹋c中小企業(yè)合作,將會達到雙贏局面。首先,基金投資中小企業(yè),與中小企業(yè)并肩合作,在風險承受的范圍下,因企業(yè)的快速成長獲得豐厚的回報,也優(yōu)化了自身的資產(chǎn)配置;其次,基金作為有一定市場經(jīng)驗的機構(gòu)投資者,通過派遣員工參與中小企業(yè)的經(jīng)營管理,提供中小企業(yè)的管理水平;最后,中小企業(yè)獲得了投資資金支持,從而為自身發(fā)展贏得了重要的資金保障。而有關(guān)基金投資的政策和法規(guī)的出臺,也為基金的規(guī)范化運作和健康發(fā)展提供了堅實的法律保障。例如,2010年國務院頒布的“新36條”,實際上是對民間投資領(lǐng)域和范圍的擴大。同年國務院關(guān)于促進企業(yè)兼并重組的意見,明確鼓勵股權(quán)投資基金、產(chǎn)業(yè)投資基金參與企業(yè)的兼并重組。2011年11月,發(fā)改委發(fā)布《關(guān)于促進股權(quán)投資企業(yè)規(guī)范發(fā)展的通知》,明確資本規(guī)模達到5億元以上的股權(quán)投資企業(yè),均需申請到發(fā)改委備案并接受管理,備案制正式在全國試點推行。2012年3月,天津正式發(fā)布《天津股權(quán)投資企業(yè)和股權(quán)投資管理機構(gòu)管理辦法補充通知》,對天津股權(quán)投資企業(yè)備案提出了具體要求。2012年4月1日,天津發(fā)改委頒布施行了《股權(quán)投資基金管理公司登記備案管理試行辦法》。三、被投資的人假設在金融市場中,存在一只無風險債券,利率為常數(shù)r>0;另外,還存在兩只股票(股票S和股票Q),將它們的價格過程記作Qt和St,分別服從下面的方程:dStSt=(r+μS)dt+σSdΖ1,tS0=1(1)dQtQt=(r+μQ)dt+σQdΖ2,t?Q0=1(2)這里Z1,Z2是標準布朗運動,它們的相關(guān)系數(shù)是?∈(-1,1)>μS(μQ)>0與σS(σQ)>0分別是股票S(Q)的期望超額收益率與波動率1。在本文中,我們考慮的情形是參與者在金融市場上交易以最大化財富期望效用的長期增長率②。財富期望效用的長期增長率定義為:limΤ→∞inf1(1-γ)ΤlnE0[(1-γ)μ(WΤ)](3)其中,liminf表示下極限;Et[·]表示隨機變量在t時刻的條件期望。而WT是參與者在T時刻的財富,μ(·)是參與者的效用函數(shù)。在本文中,我們使用的都是常相對風險規(guī)避(CRRA)效用函數(shù)μ(c)=c1-γ1-γ?c≥0。如果長期增長率為Λ,那么我們有E(W1-γΤ)1-γ～11-γe(1-γ)ΛΤ?Τ→∞。參與者可以通過股票市場在任何時間交易任何數(shù)量的股票S;但是,股票Q的交易只發(fā)生在離散時間0,τ1,τ1+τ2,…,Tn,…,其中Tn=∑n1τi。也就是說,參與者不能再隨時調(diào)整他在股票Q上的頭寸,而每次調(diào)整以后必須持有一段時間τi以后,他才能再次調(diào)整股票Q的頭寸。在這里,我們假設每次交易以后的等待時間τi≡τ是大于0的常數(shù)。除了股票Q的不流動以外,沒有任何市場摩擦③。我們把參與者在t時刻持有的股票S和Q的股數(shù)分別記作Mt和Nt,而他的財富記作Wt,那么他持有的債券數(shù)量是Wt-MtSt-NtQt。因為股票Q是非流動性金融資產(chǎn),在實際當中賣空這種產(chǎn)品的成本和風險都很高,我們假設參與者不會賣空股票或者制度規(guī)定參與者不能賣空股票Q④,見Karl等(2003)。如果參與者賣空股票S或者債券而買進非流動性股票Q,使得投資組合當中流動性部分是負的,而一旦流動財富是負的,那么將有大于0的概率繼續(xù)保持負值直到可以交易的時間Tn+1。另外,非流動性股票的價值在時間段[Tn,Tn+1)內(nèi)總是有趨近于0的可能性。因而,在這種情形下,參與者的財富變成負值的概率大于0,在我們的模型中,這意味著期望效用等于負無窮,對于參與者來說,這樣的交易策略顯然不是最優(yōu)的。也就是說,在我們的框架中,參與者不會為了投資于非流動性股票Q而賣空股票Q或債券使得NtQt>Wt,因而我們在本文中只考慮0≤NtQt≤Wt的情形。我們定義參與者的策略空間為:χ[0,∞)={x[0,∞)={Mt,Nt,t≥0}:Nt=NTn,t∈[Tn,Tn+1);Wt≥0,0≤Nt≤Wt}其中,n=0,1,2,…。一般情況下,我們會省略下標[0,∞),而χ[0,T)表示限制在區(qū)間[0,T)上的交易策略空間。使用上面定義的符號,參與者的目標函數(shù)可以寫成:supχlimΤ→∞inf1(1-γ)ΤlnE[(1-γ)μ(WΤ)](4)四、動態(tài)規(guī)劃的一般方法如果股票Q和股票S一樣,隨時都可以交易,即τ=0,那么這就變成了Merton模型的情形,見Merton,Duffie。我們知道在這種情形下,對于任意的時間t都有supχ[0,t)E0[(1-γ)u(Wt)]=u(W0e(1-γ)Λ2,Mt。因而財富期望效用的長期增長率為:Λ2,Μ=r+12γ(1-?2)(u2Sσ2S-2?uSσSuQσQ+u2Qσ2Q)Λ2,M是相對風險規(guī)避系數(shù)γ的減函數(shù)。因為風險規(guī)避程度越大,同樣的風險給參與者帶來的效用降低更多;另外,參與者會減少對風險資產(chǎn)的持有量,因而風險調(diào)整后的超額收益也會減低。最優(yōu)的投資策略是持有固定比例的股票S和股票Q,持有比例分別為uS-?σSσQuQγσ2S(1-?2)以及uQ-?σQσSuSγσ2Q(1-?2)。如果金融市場上只存在債券和股票S,那么財富期望效用的長期增長率為Λ1,M=r+u2S/(2γσ2S),而參與者在股票S上的投資比例恒為uS/(γσ2S)。參與者只在某些時間才能交易非流動股票,這與我們前面考慮的基準情形不同,這個優(yōu)化問題是一個無限時間上的離散—連續(xù)混合控制問題。沒有顯式解且也不能使用研究者常用的風險敏感控制方法。不過基于定理1,我們可以把無窮時間上的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成有限時間上的優(yōu)化問題,然后我們就能夠使用通常的動態(tài)規(guī)劃辦法。在求解上述問題以前,我們先考慮一個與之相關(guān)的問題,參與者的目標函數(shù)是:Vˉ(W0)=supχ[0,∞)limΤ→∞infE0[u(WΤ)e-(1-γ)ΛΤ(5)對于絕大多數(shù)的Λ來說,上式要么等于0,要么發(fā)散到無窮;但是如果存在Λ使得Vˉ(W0)取有限值的話,那么這樣的Λ是唯一的。如若不然,存在兩個不同的Λ1,Λ2,那么E0[u(WT)e-(1-γ)Λ1T]=e-(1-γ)(Λ2-Λ1)TE0[u(WT)e-(1-γ)Λ2T]。如果Λ2使得Vˉ(W0)取有限值的話,那么Λ=Λ1使得Vˉ(W0)要么等于0,要么等于無窮。另外,如果存在使Vˉ(W0)取有限值的Λ,那么它就是財富期望效用的最大長期增長率。因為0=supχ[0,∞)limΤ→∞inf1(1-γ)ΤlnE0[(1-γ)u(WΤ)e-(1-γ)ΛΤ]=supχ[0,∞)limΤ→∞inf1(1-γ)ΤlnE0[(1-γ)u(WΤ)]-Λ假設上述優(yōu)化問題的解存在的話,那么價值函數(shù)Vˉ(W)應該有下面的性質(zhì):Vˉ(W)=supχ[0,∞)limΤ→∞infE0[Eτ[u(WΤ)e-(1-γ)ΛΤ]]=supχ[0,∞)limΤ→∞infE0[e-(1-γ)Λτsupχ[τ,∞)Eτ[u(WΤ)e-(1-γ)Λ(Τ-τ)]]=supχ[0,∞)limΤ→∞infE0[Vˉ(WΤ)e-(1-γ)Λτ]上面第一個等式是迭代期望法則,第二個等式是動態(tài)規(guī)劃原理,而最后一個等式是因為Vˉ的定義。受到此性質(zhì)的啟發(fā),我們有下面的定理:定理1如果存在Λ和函數(shù)V(W)=u(W)=W1-γ1-γ使得下式成立:V(W0)=supχ[0,τ)E[V(Wτ)e-(1-γ)Λτ]并且存在交易策略x*使得對于任意的x[0,τ)∈χ[0,τ)都有:E[V(Wτ*)e-(1-γ)Λτ]≥E[V(Wτ)e-(1-γ)Λτ其中,Wt*(Wt)是參與者在采用交易策略x*(x)下t時刻的財富,那么Λ是最大的期望效用增長率,而且在參與者采用交易策略x*的情況下,期望效用增長率就是Λ。另外,Λ還是有限時間問題的增長率,即Λ=limΤ→∞inf1(1-γ)Τln[(1-γ)L(W0,Τ)](6)這里L(W0,T)是有限時間優(yōu)化問題的價值函數(shù),即L(W,Τ)=supχ[0,Τ)E0[u(WΤ)]。為了保證正文的流暢,我們把定理的證明放在了附錄。有了上述定理,我們可以把原來無限時間上的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成有限時間上的優(yōu)化問題,即尋找Λ使得以下等式成立:V(W0)=supχ[0,τ)E[V(Wτ)e-(1-γ)Λτ?V(W)=u(W)(7)并且如果Λ存在的話,那么它還是唯一的,因而我們不用擔心會找到多個Λ。定義參與者在股票S上的投資比例為θt=ΜtStWt,那么參與者的財富應該滿足如下過程:dW=(rW+μSθW+μQNQ)dt+σSθWdZ1+σQNQdZ2(8)定義J(Wt,Qt,Nt,t)為優(yōu)化問題的價值函數(shù),考慮如下的優(yōu)化問題:J(Wt,Qt,Νt,t)=supχ[t,τ)Et[u(Wτ)e-(1-γ)Λ(τ-t)?t∈[0,τ)(9)s.t.W滿足(8)定義參與者在股票Q上的投資比例為zt=ΝtQtWt,那么參與者在債券上的投資比例是1-Qt-zt。我們猜測價值函數(shù)具有如下形式:J(Wt,Qt,Νt,t)=Wt1-γ1-γG(z,t)?t∈(0,τ)(10)價值函數(shù)可以分成兩部分,一部分是財富Wt的函數(shù),另一部分是在股票Q上的投資比例zt和時間t的函數(shù),即財富和投資比例zt在形式上是可以分離的。后面我們會證實這個猜測的正確性。把J對W,,t的微分表達式代入HJB方程并讓方程兩邊除以W1-γ1-γ,我們可以得到:max0[12(σS2θ2+2?σSσQθz+σQ2z2)(-γ(1-γ)G+2γzGz+z2Gzz)(11)+(r+uSθ+uQz)((1-γ)G-zGz)+(?σSσQθ+σQ2z)(-γzGz-z2Gzz)+(r+uQ)zGz+12σQ2z2Gzz+?G?t-(1-γ)ΛG]=0.這是一個高度非線性的偏微分方程,一般的存在性證明方法在這里不適用,然而使用微分方程粘性解的概念,我們可以證明上述微分方程解的存在性。為了文章的簡潔,我們在這里就省略證明過程,有興趣的讀者也可參考Pham和Tankov(2008a,2008b)。對HJB方程求一階導數(shù),我們可以得到最優(yōu)的投資比例θ*1:θ*=-μS/σS2(1-γ)G+(μS/σS2+γ?σQ/σS)zGz+γ?σQ/σSz2Gzz-γ(1-γ)G+2γzGz+z2Gzz-?σQσSz(12)股票S的投資比例對參與者的間接效用函數(shù)有顯性和隱性兩重影響。顯性的是,比例θ的選擇對參與者當期效用和財富都有影響;另外,他們也通過改變財富W的水平來改變股票Q占財富的比例z,而z反過來又會影響參與者的財富。當z→0,在股票S上的最優(yōu)投資比例趨近μS/(γσS2),即Merton問題中的最優(yōu)投資比例。我們前面已經(jīng)解釋過了,參與者不會選擇z→1,但股票價格是隨機的,因而這種情況會時而發(fā)生。當z→1確實發(fā)生時,θ*都會趨近于0。這是因為投資者絕對不會賣空債券或/和股票S而杠桿投資于股票Q,參與者只會減少他的消費并降低在股票S上的投資。如果我們把股票S看成市場指數(shù)或者跟蹤市場指數(shù)的指數(shù)基金,并且CAPM成立,那么股票Q的市場β是β=?σQ/σS,而股票Q給投資組合帶來的市場風險是βz=?σQ/σSz,這意味著參與者實際的市場指數(shù)投資比例(即整個投資組合實際在股票S上的投資比例)為θ*加上?σQ/σSz,也就是式(12)的第一項。特別地,如果μS=γ?σSσQ,θ*變成了μS/(γσS2)-?σQ/σSz——z的線性函數(shù)。此時實際的市場指數(shù)投資比例就變成了μS/(γσS2)——Merton問題中在股票上的最優(yōu)投資比例。把最優(yōu)的θ*代入HJB方程(11)可以得到如下的偏微分方程:12(?σSσQθ*z+σQ2z2)(-γ(1-γ)G+2γzGz+z2Gzz)+(r+12μSθ*+μQz)((1-γ)G-zGz)+(12?σSσQθz+σQ2z2)(-γGz-zGzz)+(r+μQ)zGz+12σQ2z2Gzz+?G?t-(1-γ)ΛG=0.(13)我們知道,當時間t=τ時,參與者可以調(diào)整自己在股票Q上的頭寸,因而此時的價值函數(shù)只與財富有關(guān),并且J(Wτ,Qτ,Nτ,τ)=V(Wτ),因此有終值條件:G(zτ,τ)=1(14)當時間t=0時,參與者選擇自己對股票Q的持有數(shù)量N0以最大化自身效用,即J(W0,Q0,Ν0,0)=max{Ν0:0≤Ν0Q0≤W0}W01-γ1-γG(Ν0Q0W0,0)=max{z0:0≤z0≤1}W01-γ1-γG(z0,0)而且我們知道J(W0,Q0,N0,0)=V(W0),因此我們有初值條件:max{z0:0≤z0≤1}G(z0,0)=1(15)當zt=0時,參與者的投資組合只有債券和股票S、而沒有股票Q,因而這就變成了Merton的情形。對于這種情況,我們可以很容易地寫出價值函數(shù)J(W,Qt,0,t)=Wt1-γ1-γe(1-γ)(Λ1,Μ-Λ)(τ-t).當zt=1時,如果參與者賣空證券、買入相等金額的股票S,那么有可能股票價格下跌使得參與者的流動財富變成負值;或者賣空股票S、買入相等金額的債券,那么有可能股票價格上升使得參與者的流動財富變成負值。在t=τ時刻,股票Q的價格趨近于0的概率大于0,因此如果債券或者股票S的頭寸不等于0,那么參與者τ時刻的財富小于0的概率大于0,從而使得參與者的期望效用為負無窮。也就是說,參與者的投資組合中只有股票Q,不會買入或賣出債券和股票S。此時參與者的價值函數(shù)是J(W,Qt,0,t)=Wt1-γ1-γe(1-γ)(Λ0,Μ-Λ)(τ-t)由此,我們得到G(zt,t)的兩個邊界條件:G(0,t)=e(1-γ)(Λ1,M-Λ)(τ-t)G(1,t)=e(1-γ)(Λ0,M-Λ)(τ-t)由偏微分方程(13)并上終值條件(14)和邊界條件(16),給定任意的Λ我們可以求解方程,另外再由初值條件(15)確定真實的Λ,即財富期望效用的長期增長率。最后,由(12)可以得到最優(yōu)的投資比例,由(15)可以確定在股票Q上的最優(yōu)投資比例z0*。從前面的偏微分方程、初值條件、邊界條件和終值條件以及最優(yōu)的投資比例可以看出來,函數(shù)G只與z和時間t有關(guān),而不直接取決于財富Wt,這就說明我們