關(guān)于進制轉(zhuǎn)換的研究

關(guān)于進制轉(zhuǎn)換的研究

無論計算機和電子專業(yè)的輸入和轉(zhuǎn)換，都與此有關(guān)。進制轉(zhuǎn)換是指同一數(shù)值在不同進制之間進行不同表示的轉(zhuǎn)換。整個進制轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵建立在數(shù)制的概念上。現(xiàn)在雖然對進制轉(zhuǎn)換方法進行討論的文章較多,但主要討論都是轉(zhuǎn)換的技巧,沒有真正涉及進制轉(zhuǎn)換的實質(zhì)。本文將從數(shù)制的概念入手,提出在任意進制之間進行轉(zhuǎn)換的基本模式。一、位”規(guī)則的基本符號數(shù)制是人類進行計數(shù)的一種方法。對某種數(shù)制,如果使用了r個基本符號,并且用這些符號排列出的符號串來表示數(shù)值,則稱它為基r數(shù)制。如果基r數(shù)制滿足“逢r進位”規(guī)則,則可以對符號串中的每一個位置給了一個定值,稱這個值為該位置的權(quán)。設(shè)數(shù)值N,它在基r數(shù)制中的表示為:N=DmDm-1…D1,D0·D-1D-2…D-k其中Di(-k≤i≤m)是r個基本符號中的一個。第i位的權(quán)值為:ri。因此對于數(shù)值N在權(quán)值的表示下為:N=Σi=?kmDi×ri在數(shù)制中,基本符號可以是任意選擇。但由于大家習慣了十進制中使用的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個符號,這對認識二進制、八進制和十六進制帶來了很大的影響。二、各進制中不同基所代表的各基于同一進制根據(jù)數(shù)值N在權(quán)值下的表示,同一個數(shù)值在不同進制中,因為不同的基而表示各異。下面就數(shù)值N在二進制、八進制、十進制和十六進制下的表示進行分析。1.基本符號的編碼(N)2=(DmDm?1?D1D0?D?1D?2?D?k)2=(Dm×10m+Dm?1×10m?1+?D1×101+D0×100+D?1×10?1+D?2×10?2?+D?k×10?k)2=(D/m×2m+Dm?1/×2m?1+?+D/1×21+D/0×20+D?1/×2?1+D?2/×2?2?+D/?k×2?k)10=(Σi=?kmD/i×2i)10其中Di(-k≤i≤m)是二進制基本符號中的一個,為0或者為1。而D/i(-k≤i≤m)是十進制中的基本符號。運算規(guī)則按照十進制中的“逢十進一”規(guī)則,運算出來的結(jié)果為十進制下的數(shù)值。比如:(10110.11)2=(1×10100+0×1011+1×1010+1×101+0×100+1×10-1+1×10-10)2=(1×24+0×23×+1×22+1×21+20+1×2-1+1×2-2)10=(16+4+2+0.5+0.25)10=(22.75)102.進制中的值(N)2=(DmDm?1?D1D0?D?1D?2?D?k)2=(Dm/×2m+Dm?1/×2m?1+?+D/1×21+D0/×20+D?1/×2?1+D?2/×2?2?+D?k/×2?k)8=(Σi=?kmDi/×2i)8其中Di(-k≤i≤m)是二進制基本符號中的一個,為0或者為1。而D/i(-k≤i≤m)是八進制中的基本符號,同時權(quán)值ri也是用八進制表示。運算規(guī)則按照八進制中的“逢八進一”規(guī)則,運算出來的結(jié)果為八進制下的數(shù)值。比如:(10110.11)2=(1×24+0×23+1×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2)8=(20+4+2+0.4+0.2)8=(26.6)83.各基本符號之間的關(guān)系(N)2=(DmDm?1?D1D0?D?1D?2?D?k)2=(Dm/×2m+Dm?1/×2m?1+?+D/1×21+D/0×20+D/?1×2?1+D?2/×2?2?+D?k/×2?k)16=(Σi=?kmD/i×2i)16其中Di(-k≤i≤m)是二進制基本符號中的一個,為0或者為1。而Di/(-k≤i≤m)是十六進制中的基本符號,同時權(quán)值ri也是用十六進制表示。運算規(guī)則按照十六進制中的“逢十六進一”規(guī)則,運算出來的結(jié)果為十六進制下的數(shù)值。比如:(10110.11)2=(1×24+0×23+1×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2)16=(10+4+2+0.8+0.4)16=(16.C)16除了十六進制在十進制的基本符號基礎(chǔ)上引入了A,B,C,D,E,F符號,在二進制、八進制、十進制和十六進制中的基本符號是一致,很容易引起誤會。根據(jù)二進制在不同進制下的權(quán)值表示,可以將一個二進制數(shù)值轉(zhuǎn)化為相應進制下的數(shù)值表示。同理,八進制、十進制和十六進制之間的轉(zhuǎn)化也一樣。三、對應進制的表示進制轉(zhuǎn)換建立在數(shù)值的進位數(shù)制表示基礎(chǔ)上,它由基和權(quán)的符號表示決定。一種進制關(guān)系在另一種進制表示下,基和權(quán)的表示將發(fā)生變化,同時按照相應進制運算規(guī)則得到的數(shù)值表示就是對應的進制表示。因此任意進制之間的轉(zhuǎn)換可以用下列公式表示:(N)P=(DmDm?1?D1D0?D?1D?2?D?k)x=(Dm/×Pm+Dm?1/×Pm?1+?+D1/×P1+D0/×P0+D?1/×P?1+D?2/×P?2?+D?k