2021年陜西省西安市八校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（文科）（一）（解析版）

2021年陜西省西安市八校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（文科）（一）

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合A,全集U={-1,-2,I,2,3,4},若Cu4={l,3,4),則集合A是()

A.{-1,-2,0,2}B.{-1,-2,2}C.{-1,-2}

D.{0}

2.已知/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=加氏+1,則/(-e)=()

A.2B.0C.-2D.1

7T

3.若。€(-——，0)，且sina+cosa=0,則sin3a=()

2

A.-返B.返C.-返D.—

2222

4.在1到100的整數(shù)中，除去所有可以表示為2"(”€N+)的整數(shù)，則其余整數(shù)的和是()

A.3928B.4024C.4920D.4924

22

5.已知雙曲線S：三—--=1的離心率為2,則雙曲線S的兩條漸近線的夾角為()

mm+8

*71九人冗2兀c兀22九

A.—B.—C.—■或——D.―■或^—

636333

TT

6.已知信=1,F3=2,且Z與式的夾角為k，則域-<53=()

0

A.V7B.272C.V10D.779

7.已知點(diǎn)P在圓C：(x-2)2+(y+1)2=[上，直線/：3x+4y=12與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分

別為M,N,則△PMN的面積的最大值是（）

A.—B.8C.衛(wèi)D.9

22

8.已知在△ABC角A、B、C的對邊分別是。、b、c,且。=4,b=3,c=2.則△ABC的

最大角的正弦值是（）

A.-1B.叵C.--fil-D,匡

4244

TT

9.己知f(x)=^Jinxcosx+sin2x-(xG[0,—D.則/(X)的值域是（）

A.[-*B.[-1,

c-l-pHD.[-1,1]

10.如圖，已知底面邊長為a的正四棱錐P-A8CQ的側(cè)棱長為2m其截面PAC的面積為

877＞則正四棱錐尸-A8CD的高是（）

p

/、、、\/

D'C

A.7^4B.2^/14C.4-77D.4

11.已知命題p：3xeR,x-10>/gx,命題q：VxeR,ev>^-,則()

A.“pVq”是假命題B.“pf\q”是真命題

C."pyfq”是假命題D."PC是真命題

12.設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x)且函數(shù)y=(1-x)/(%)的圖象如圖所

示，則下列結(jié)論一定成立的是()

A.函數(shù)/(X)的極大值是/(2),極小值是/(I)

B.函數(shù)f(x)的極大值是/(-2),極小值是/(I)

C.函數(shù)/(x)的極大值是f(2),極小值是/(-2)

D.函數(shù)/(x)的極大值是/(-2),極小值是/(2)

二、填空題(共4小題).

13.若拋物線的準(zhǔn)線方程為y=2,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

14.若aCR,i為虛數(shù)單位，12+41=4,則。=.

1

5x-m,x<14

15.設(shè)函數(shù)/'(x)=<,若/(/(￡■))=8,則根=.

x>l5

16.已知函數(shù)/(X)=/+?+力有兩個(gè)零點(diǎn)》］、及，且-1<XI<0<X2<2,則z=a-2〃的取

值范圍為

三、解答題(本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第

17?21題為必考題：第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。)

17.己知｛〃〃｝為等差數(shù)列，各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列g(shù)”｝的前〃項(xiàng)和為S”，且歷=3,S3=

39,a\=b2-7,。40=沙4-1.

(I)求｛小｝、｛仇｝的通項(xiàng)公式;

(II)求和，1+2。2+2。3+....+2〃〃+?！?1.

18.已知正四面體ABC。，M、N分別在棱A。、AB±,且AN=—AB,尸為

23

棱AC上任意一點(diǎn)(P不與A重合).

(1)求證：直線MN〃平面BOP；

(II)若正四面體ABCD的各棱長均為60cm.求三棱錐M-BDC的體積.

19.西安市某街道辦為了綠植街道兩邊的綠化帶，購進(jìn)了1000株樹苗，這批樹苗最矮2米,

最高2.5米，枝樹苗高度繪制成如圖頻率分布直方圖(如圖).

(I)試估計(jì)這批樹苗高度的中位數(shù)；

(II)現(xiàn)按分層抽樣方法，從高度在［2.30,2.50］的樹苗中任取6株樹苗，從這6株樹苗

中任選3株，求3株樹苗中至少有一株樹苗高度在⑵40,2.50］的概率.

,'組距

2.02,102.202.302402.50'‘小

22

20.已知橢圓C：,巧、B分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓

azbZ

C上的任一點(diǎn)，且『冏的最大值和最小值分別為3和1,過尸2的直線為/.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)直線/與橢圓C交于A、3兩點(diǎn)，求△A8A的面積的最大值.

21.已知函數(shù)/(x)=lnxln2x.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(2)設(shè)/?(x)=/(x)-1,求證：h(x)在［1,+8)上有唯一零點(diǎn).

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.已知曲線S的參數(shù)方程為卜+l(e為參數(shù)，0＜。＜2皿).點(diǎn)「(-《，-a;巨)

［y=3coSe22

在曲線s上，直線/過點(diǎn)P,且傾斜角為二.

(I)求點(diǎn)尸在曲線S上對應(yīng)的參數(shù)0的值；

(II)求直線/被曲線S截得的線段的長度.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知/(x)=x|x-3|-4.

(I)解不等式/(x)＜0；

(II)設(shè)g(x)='(xW3,且xr0),求g(x)的值域.

X

參考答案

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合A,全集U={-1,-2,1,2,3,4},若CuA={l,3,4),則集合A是()

A.{-1,-2,0,2}B.{-1,-2,2)

C.{-1,-2}D.{0}

解；因?yàn)槿痎/={-1,-2,1,2,3,4},若CuA={l,3,4),

由補(bǔ)集的定義可得，A={-1,-2,2).

故選：B.

2.已知，(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=/nx+l,則/(-e)=()

A.2B.0C.-2D.1

解：根據(jù)題意，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=lnx+\,則/(e)=lne+\=2,

又由為奇函數(shù)，則/(-e)=-f(e)=-2,

故選：C.

TT

3.若“6(-0),且sina+cosa=0,則sin3a=()

A.-迪B.迪C.-返D.—

2222

解：因?yàn)閟ina+cosa=0,所以tanCl=亙嗎一二-1，

cosQ

jr

又因?yàn)閍e(-—,0),

2

所以a=」TT\

4

則sin3a=sin(-等)Fin**.

故選：A.

4.在1到100的整數(shù)中，除去所有可以表示為2""6N+)的整數(shù)，則其余整數(shù)的和是()

A.3928B.4024C.4920D.4924

解:因?yàn)楫?dāng)為6口,100］時(shí)，〃=1,2,3,4,5,6,

所以21+22+23+24+25+26=2*)~=126,

又1+2+3+…+100=-l°U1°1-=5050,

所以在1至I」100的整數(shù)中，除去所有可以表示為2?（〃￡N+）的整數(shù)，其余的整數(shù)的和為

5050-126=4924.

故選：D.

22

5.已知雙曲線S：三--1=1的離心率為2,則雙曲線S的兩條漸近線的夾角為（）

mm+8

A,三□兀C」或工D.看或2兀

63633

22

解：當(dāng)機(jī)+8>0時(shí)，雙曲線S：工一=1的離心率為2,

mm+8

可得￡=

a

解得〃?=4,所以雙曲線的漸近線方程為：后土y=0,

兀

雙曲線S的兩條漸近線的夾角為：—.

22

當(dāng)m+8V0時(shí)，雙曲線S：=1的離心率為2,

mm+8

可得￡?=-8-2m=2,

-8-m

22

解得〃--12,所以雙曲線七_(dá)金=0的漸近線方程為:=0,

雙曲線S的兩條漸近線的夾角為：-y.

故選：B.

TT

6.已知二|=1,市=2,且之與式的夾角為則覆->/5沼=（）

0

A.V?B.2&C.VWD.719

TT

解：,/1軟1=1,lfcj=2，且&與b的夾角為三—,

□

a■b=1x2義

???□倔f2-273-a-b+3b2=1-2ax歷3X22=7,

故心-后="

故選：A.

7.已知點(diǎn)尸在圓C：（x-2）2+。，+1）2=［上，直線/：3x+4y=12與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分

別為M,N,則△PMN的面積的最大值是（）

17

A.15B.8D.9

Vc.~2

解：如圖,

|6-4-12I

圓C的圓心(2,-1)至!]直線3x+4y=12的距離3=~°=2.

V3z+r

則圓C上的點(diǎn)P到直線/的距離的最大值為3.

又直線/：3x+4)，=12與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為M(4,0),N(0,3),

，|MN=5.

XAMN面積的最大值為S==X5X3=學(xué).

22

故選：A.

8.已知在AABC角A、8、C的對邊分別是a、b、c,且〃=4,b=3,c=2.則△ABC的

最大角的正弦值是()

B?隼C.邛口.零

解：最大角是A,根據(jù)余弦定理:9+4-16」，且(0,n)

2bc2X3X24

?**sinA=Vl-cos2A二

故選：D.

9.已知/(x)=J^inxcosx+siMx-/(xG[0,,則/(%)的值域是()

A.[-y,y]B.[-1,1]C.[-X1]D.L-l,

解：f(x)=2Z^in2x+lcos2x_X=J^in2x-lcos2x=sin(2x-?),

222226

八兀兀「兀5兀17T1

VXGIOJ-?T,2x-e-——，-~~]**?sin(2.x--)G[--91],

66662

：.f(x)的值域?yàn)閇-/，1].

故選：C.

10.如圖，已知底面邊長為"的正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長為2”，其截面PAC的面積為

8曲，則正四棱錐P-ABC。的高是()

A.舊B.2?14C.477

解：由題意可知，PA=PC=2a,AC=&a，

所以△PAC的面積S蔣?AOh-^-?V2aaa2?

又截面PAC的面積為877，

所以李@2=80，解得。=4,

所以正四棱錐尸-ABCD的高即為△"(?的高h(yuǎn)=/X4=2g.

故選：B.

11.已知命題p：3x6R,x-10>lgx,命題4：V.rGR,標(biāo)〉今則()

A."pV/'是假命題B.“pAq”是真命題

C."pV「q”是假命題D."pA「4”是真命題

解：命題〃：3xGR,x-}0^>lgxf當(dāng)x=100時(shí)，不等式成立，故〃為真命題；

命題0VxGR,當(dāng)X=-1時(shí)，不等式不成立，故q為假命題：

故："pV/'是真命題，“pAq”是假命題，“pLq”是真命題，“pLq”是真命

題.

故選：D.

12.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x)且函數(shù)y=(1-x)/(x)的圖象如圖所

示，則下列結(jié)論一定成立的是()

y

-A-]A2\#

A.函數(shù)/(x)的極大值是/(2),極小值是/(I)

B.函數(shù)f(x)的極大值是/(-2),極小值是/(I)

C.函數(shù)/(x)的極大值是/(2),極小值是/(-2)

D.函數(shù)f(x)的極大值是/(-2),極小值是f(2)

解：由函數(shù)的圖象可知，f(-2)=0,/(2)=0,

并且當(dāng)xV-2時(shí)，/(x)>0,

當(dāng)(x)<0,

函數(shù)/(x)有極大值/(-2).

又當(dāng)1cx<2時(shí)，，(%)<0,

當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0,

故函數(shù)/(x)有極小值/(2).

故選：D.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卷中相應(yīng)的橫線上)

13.若拋物線的準(zhǔn)線方程為y=2,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是F=-8y.

解：由拋物線的準(zhǔn)線方程為)，=2,可知拋物線是焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線，

設(shè)其方程為/=-2py(p>0),

則其準(zhǔn)線方程為產(chǎn)步2,得P=4.

...該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是N=-8y.

故答案為：x2=-8y.

14.若aeR,i為虛數(shù)單位，|2+爭=4,則a=_±2?_.

解：因?yàn)閨2仔=|2+^r|=|2-ai|=4,

所以#22+(-a)2=4,解得a=±2?.

故答案為：士2炳.

5x1

15.設(shè)函數(shù)/(x)=<,若/(/(當(dāng))=8,則nt=1

X

L2,X>1'5

5x-m,]

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=\'、，

2X,x>l

AA

則/(心)=5X—-m=4-tn,

55

4

當(dāng)機(jī)<3時(shí)，4-"z21,fCf(—))=/(4-m)=24'/w=8,解可得m=1,符合題意，

5

4,,

當(dāng)相>3時(shí)，4-m<1,f(f(—))=f(4-m)=5(4-m)-m=20-6〃?=8,解可得

5

m=2,不符合題意，

綜合可得：〃?=1,

故答案為：1

16.已知函數(shù)/（X）=N+ox+b有兩個(gè)零點(diǎn)羽、xi,且-1<加V0<X2<2,則z=〃-2〃的取

值范圍為[-2,3].

f（-1）=-a+b+l>0

解：由題意可得，f（0）=b<0,

f（2）=2a+b+4>0

由不等式組作出可行域如圖,

。,解得a=-l

聯(lián)立，-a+b+l=

2a+b+4=0b=-2'

作出直線。-26=0,由圖可知，平移直線至（-1,-2）時(shí)，z=a-2b有最大值為3；

至（-2,0）時(shí)，z=〃-2b有最小值為-2.

??.z=a-2b的取值范圍為[-2,3],

故答案為：[-2,3].

三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第

17?21題為必考題：第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。)

17.已知｛“”｝為等差數(shù)列，各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和為S”且"=3,S3=

39,a\—b2-7,。40=方4-1.

(I)求｛〃〃｝、｛d｝的通項(xiàng)公式；

(II)求和。1+2。2+2〃3+......+2%+。肝1.

解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛如｝的公差為d,等比數(shù)列仍〃｝的公比為必q>0,

由方=3,S3=39,a\=bi~7,。40=d-1,可得3+3q+3q2=39,a\=3q-7,a\+39d=3q3

-1,

解得q=3,d=2,ai=2,

貝lj%=2+2(M-1)=2〃；乩=3?3〃i=33〃€N*；

。。+功+?！?。。+。"+小+

(II)1+2?2+23+.......1=2(0+2+3+.......1)-a\-an+\

=2*—(H+1)(2+2〃+2)-2-2(〃+1)=2/+4〃.

2

18.已知正四面體ABC。，M、N分別在棱A。、A8上，且AM=Lw￡>,AN^—AB,P為

23

棱AC上任意一點(diǎn)(P不與A重合).

(I)求證：直線MN〃平面80戶；

(II)若正四面體ABCD的各棱長均為60cm.求三棱錐M-BDC的體積.

解：(I)證明：由可得點(diǎn)M在A。上，則有41/=斗。,

23

又AN=LB,所以MN//DB,

3

又平面8Z)P,BDc^jEfBDP,所以MN〃平面BDP；

(II)設(shè)G為底面△A8C的重心，。為4c的中點(diǎn)，如圖所示,

貝"BQ=^"X60=30A/1c7"，GS=-1-BQ=20V3C7W)

x60=40C7n>

所以GD=7602-(20V3)2=20V6C/M，

由(I)可知MN〃DB,且MNC平面。BC,OBu平面。BC,故MN〃平面OBC,

所以點(diǎn)M與點(diǎn)N到平面BDC的距離相等,

所以三棱錐M-BDC的體積與三棱錐N-BDC的體積相等,

又三棱錐N-BDC的體積與三棱錐D-BNC的體積相等,

所以VM-BDC=VD-BNC卷"SABNC

X(yX60X40x^-)X20V6=12000V2cm3-

所以三棱錐M-BDC的體積為12000&cm3?

19.西安市某街道辦為了綠植街道兩邊的綠化帶，購進(jìn)了1000株樹苗，這批樹苗最矮2米,

最高2.5米，枝樹苗高度繪制成如圖頻率分布直方圖（如圖）.

（I）試估計(jì)這批樹苗高度的中位數(shù);

（II）現(xiàn)按分層抽樣方法，從高度在［2.30,2.50］的樹苗中任取6株樹苗，從這6株樹苗

中任選3株，求3株樹苗中至少有一株樹苗高度在［2.40,2.50］的概率.

頻率

丁組距

2.02,102.202.302402.50

解：（I）由頻率分布直方圖得：

［2.0,2.2）的頻率為：（1+3.5）X0.1=0.45,

［2.2,2.3）的頻率為：2.5X0.1=0.25,

估計(jì)這批樹苗高度的中位數(shù)為:

2?10.5~0.45

XQ.1=2.12.

,0.25

（II）按分層抽樣方法，從高度在⑵30,2.50］的樹苗中任取6株樹苗,

9

則［2.30,2.40)中抽取：6義仁~=4株，

2+1

［2.40,2.50)中抽取：6X」;=2株，

2+1

從這6株樹苗中任選3株，

基本事件總數(shù)〃=或=20，

3株樹苗中至少有一株樹苗高度在［2.40,2.50］包含的基本事件個(gè)數(shù)：

田+C：C；=16,

.??3株樹苗中至少有一株樹苗高度在［2.40,2.50］的概率P=—=-^-=4-

n205

22

20.已知橢圓C：三了f=l(a>b>0),Q、份分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓

C上的任一點(diǎn)，且IPF2I的最大值和最小值分別為3和1,過B的直線為I.

(I)求橢圓C的方程：

(II)設(shè)直線/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),求△ABFi的面積的最大值.

解：(I)由橢圓的性質(zhì)可知，［a+c=3,解得〃=2,。=1,

(a-c=1

h2=a2-c2=3,

22

所以橢圓方程為工久=1,

43

(II)由題意分析可知直線I的斜率不能為零，設(shè)A(xi,yi),B(X2,”)，l的方程

為x=my+[,

x=my+l

聯(lián)立方程<22，得(3/772+4)y2+6my-9=0,

I431

△=36切2+36(3次2+4)>0,

6m-9

"產(chǎn)2=丁"32=W，

2

，Iy!-y2I=V(y1+y2)-4yiy2^

1________

=12.=[2,91

(3m2+4)29(m+1)+~5+6’

mJ+l

所以當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取到最大值3,

X2X

SAABF.4-Clyl-y20,

即三角形A8F1面積的最大值為3.

21.已知函數(shù)/(x)=bvclnlx.

(1)求曲線y=/(無)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(2)設(shè)6(x)=/(x)-1,求證：h(x)在［1,+8)上有唯一零點(diǎn).

解：(1)由/(x)=lnxln2x,得/(x)=^n^x-^^nx,

XX

：.f(1)=ln2,又/(I)=0,

，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為〉=>2(x-1)；

證明：(2)h(x)=f(x)-l=lnxln2x-1,

h'(x)=ln2x+lnx=^^u>0),

XX

由〃'(x)>0,得加2f>0,即2x2>l,...x〉返，

2

.?.當(dāng)xe(0,返)時(shí)，h'(x)<0,當(dāng)xe(返，+8)時(shí)，h1(x)>0,

22

則〃(x)在(0,返)上單調(diào)遞減，在(返，+8)上單調(diào)遞增，

22

：.h(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

又h(1)=-1<0,當(dāng)xf+8時(shí)，h(x)—+°o,

：.h(x)在［1,+8)上有唯一零點(diǎn).

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果