非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格變形方法綜述

非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格變形方法綜述

1網(wǎng)格變形方法區(qū)域化動(dòng)網(wǎng)格研究方向在實(shí)際工程問題的數(shù)值模擬中，包括運(yùn)動(dòng)邊界的非定常流場(chǎng)問題的解決方案是計(jì)算流場(chǎng)問題之一，如自由表面問題、多體分離問題、強(qiáng)迫振動(dòng)問題和流固耦合問題。從物體運(yùn)動(dòng)的模式和流動(dòng)特征的角度來看，非定常流動(dòng)問題可分為三個(gè)類別：物體靜態(tài)，水體本身是非定常的，單個(gè)物體的剛性運(yùn)動(dòng)和多體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以采用定態(tài)網(wǎng)格或隨體運(yùn)動(dòng)網(wǎng)格。在第三個(gè)問題中，必須應(yīng)用動(dòng)態(tài)網(wǎng)格技術(shù)。動(dòng)態(tài)網(wǎng)格技術(shù)是指通過網(wǎng)格變形、網(wǎng)格重建和局部網(wǎng)格重建，適應(yīng)計(jì)算區(qū)域的變化，變形飛機(jī)、翼氣動(dòng)、彈性振動(dòng)和生物模擬流等問題所涉及的非定常問題。動(dòng)態(tài)網(wǎng)格技術(shù)是對(duì)這些不規(guī)則問題進(jìn)行數(shù)值模擬的一項(xiàng)重要技術(shù)。此外，還應(yīng)使用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)來計(jì)算由固體力學(xué)產(chǎn)生的材料和結(jié)構(gòu)的較大變形。非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格具有適應(yīng)復(fù)雜外形和邊界、可通過流場(chǎng)大梯度區(qū)域自適應(yīng)來提高對(duì)間斷(如激波等)的分辨率、實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格分區(qū)及并行計(jì)算比結(jié)構(gòu)網(wǎng)格更加直接等優(yōu)勢(shì).因而非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格方法在計(jì)算流體力學(xué)(CFD)和有限元(FEM)計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用,如流固耦合、外掛投放、物體運(yùn)動(dòng)和自由表面問題等.當(dāng)前主要的非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格方法可分為網(wǎng)格變形法、網(wǎng)格重構(gòu)法以及網(wǎng)格變形與局部或全場(chǎng)網(wǎng)格重構(gòu)結(jié)合.網(wǎng)格變形法是指在不增加或刪除網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)并保持原網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變的條件下,根據(jù)結(jié)構(gòu)邊界變形或運(yùn)動(dòng)計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移,從而得到適應(yīng)邊界變形的計(jì)算網(wǎng)格.網(wǎng)格重構(gòu)則是重新生成計(jì)算網(wǎng)格以適應(yīng)計(jì)算區(qū)域的改變.網(wǎng)格重構(gòu)不但會(huì)帶來網(wǎng)格生成的計(jì)算量,還將給數(shù)值計(jì)算帶來載荷平衡運(yùn)算、處理不可微現(xiàn)象等額外工作量.此外,重構(gòu)后的插值運(yùn)算會(huì)導(dǎo)致額外的耗散誤差.因此提高網(wǎng)格變形能力及變形后的網(wǎng)格質(zhì)量、減少網(wǎng)格重構(gòu)次數(shù)并提高數(shù)值解精度是目前動(dòng)網(wǎng)格研究的重點(diǎn).目前網(wǎng)格變形方法的研究有三個(gè)顯著特點(diǎn):(1)研究重點(diǎn)由二維平面問題轉(zhuǎn)移到三維實(shí)體和曲面問題;(2)從單一網(wǎng)格類型的動(dòng)網(wǎng)格發(fā)展到混合網(wǎng)格的動(dòng)網(wǎng)格生成;(3)適應(yīng)大規(guī)模網(wǎng)格變形的需求.動(dòng)網(wǎng)格研究領(lǐng)域已取得許多重要研究成果一些學(xué)者也對(duì)網(wǎng)格變形方法進(jìn)行了概括和總結(jié).Yang等等總結(jié)了彈簧法和彈性體法,指出彈性體法是目前網(wǎng)格變形能力最好的方法.Klingner等總結(jié)了流體數(shù)值模擬中需要考慮的動(dòng)網(wǎng)格問題,指出了邊界網(wǎng)格質(zhì)量和高速場(chǎng)網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)數(shù)值計(jì)算精度的影響,但是其動(dòng)網(wǎng)格方法僅考慮了網(wǎng)格重構(gòu).Hrvoje和Zeljko比較了彈性體法和偏微分方程法對(duì)網(wǎng)格變形的控制及網(wǎng)格變形效率.Bottasso等、Rendall和Allen對(duì)彈簧法、彈性體法、偏微分方程法等重要分支領(lǐng)域的研究進(jìn)展進(jìn)行了評(píng)述.McDaniel和Morton將主要的網(wǎng)格變形方法分成三類,并比較了各類網(wǎng)格變形方法的效率,但分類較粗.張來平等根據(jù)網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的不同,概述了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和混合網(wǎng)格的動(dòng)網(wǎng)格技術(shù),其中非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格變形方法有彈簧法和基于Delaunay背景網(wǎng)格的直接插值法.安效民等比較和綜述了彈簧法、無限插值法、偏微分方程法和邊界元法.楊國(guó)偉總結(jié)了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格變形的無限插值法、彈簧法和基于背景網(wǎng)格變形的動(dòng)網(wǎng)格方法.但是,迄今為止對(duì)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格變形方法尚缺乏系統(tǒng)和全面的分類、比較與總結(jié).本文在總結(jié)現(xiàn)有網(wǎng)格變形研究的基礎(chǔ)上,提出了一種網(wǎng)格變形方法的分類,將現(xiàn)有的方法歸類為虛擬結(jié)構(gòu)法、偏微分方程法和代數(shù)法三類,給出了每一類方法的詳細(xì)分類,并比較了主要網(wǎng)格變形方法的特性.本文還評(píng)述了當(dāng)前動(dòng)網(wǎng)格研究領(lǐng)域的幾個(gè)主要研究方向及進(jìn)展.本文最后簡(jiǎn)要地探討了今后網(wǎng)格變形研究的發(fā)展趨勢(shì).2非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格變形的主要方法2.1流場(chǎng)動(dòng)網(wǎng)格的建立虛擬結(jié)構(gòu)法(pseudo-structuralapproach)是目前最流行的實(shí)現(xiàn)整體流場(chǎng)動(dòng)網(wǎng)格生成的方法之一.它的基本步驟是:假設(shè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)由彈簧或彈性結(jié)構(gòu)連接;對(duì)彈簧或彈性結(jié)構(gòu)取恰當(dāng)?shù)膹椈蓜偠然驈椥阅Ａ?通過求解彈性問題,得到邊界運(yùn)動(dòng)或變形所引起的計(jì)算域網(wǎng)格變形.虛擬結(jié)構(gòu)法包括彈簧近似法和彈性體法,彈簧近似法可認(rèn)為是彈性體法的離散形式.2.1.1小變形結(jié)構(gòu)彈簧法彈簧法假設(shè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)由彈簧連接,整個(gè)計(jì)算域網(wǎng)格是一個(gè)達(dá)到平衡狀態(tài)的彈簧系統(tǒng);選取恰當(dāng)?shù)膹椈蓜偠萲ij,如式(1),組成彈簧系統(tǒng)的剛度矩陣K;求解節(jié)點(diǎn)靜力平衡方程,如式(2),獲得由于邊界變形或運(yùn)動(dòng)帶來的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移,從而得到適應(yīng)計(jì)算域變化的計(jì)算網(wǎng)格式中,xi,xj分別為節(jié)點(diǎn)i,j的向量,lij為連接節(jié)點(diǎn)i,j的邊長(zhǎng)式中q為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移向量,其中邊界節(jié)點(diǎn)位移已知.彈簧法根據(jù)彈簧剛度的不同取法可以細(xì)分為線彈簧法、扭轉(zhuǎn)彈簧法和半扭轉(zhuǎn)彈簧法等.線彈簧法的彈簧剛度僅與網(wǎng)格邊長(zhǎng)相關(guān),在變形過程中容易出現(xiàn)網(wǎng)格邊相交而過早出現(xiàn)非法網(wǎng)格,且不能直接應(yīng)用于三維問題.扭轉(zhuǎn)彈簧法通過引入與網(wǎng)格中邊的夾角相關(guān)的扭轉(zhuǎn)彈簧來約束網(wǎng)格邊的扭轉(zhuǎn)變形.扭轉(zhuǎn)彈簧法可結(jié)合預(yù)共軛梯度法通過減少求解方程組的時(shí)間來提高網(wǎng)格變形效率半扭轉(zhuǎn)彈簧法不僅考慮了沿網(wǎng)格邊的線彈簧而且考慮了與角度相關(guān)的扭轉(zhuǎn)彈簧.扭轉(zhuǎn)彈簧法和半扭轉(zhuǎn)彈簧法的網(wǎng)格變形能力遠(yuǎn)優(yōu)于線彈簧法彈簧法算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、所需存儲(chǔ)空間較小、可以靈活控制局部網(wǎng)格變形.因此,彈簧法在工程中處理小變形問題時(shí)得到廣泛應(yīng)用,如機(jī)翼的俯仰振動(dòng)、氣彈變形、自由表面問題、多體機(jī)翼的小幅相對(duì)運(yùn)動(dòng)等.彈簧法一般可直接處理小變形問題,但在處理邊界大變形問題時(shí)易產(chǎn)生非法網(wǎng)格其網(wǎng)格變形效率也不高.許多文獻(xiàn)提出了對(duì)彈簧法的改進(jìn),從僅考慮線性彈簧到非線性彈簧、從一致的彈簧剛度到變化的彈簧剛度,以及從二維問題推廣到三維問題等.網(wǎng)格變形能力較弱是彈簧法的局限性之一一方面,彈簧法的靜力平衡方程是橢圓型方程其邊界位移不能很好地傳遞到網(wǎng)格內(nèi)部;另一方面,為了提高計(jì)算效率和簡(jiǎn)化算法實(shí)現(xiàn),所選取的彈簧剛度只能控制網(wǎng)格的一種或幾種變形,不能避免所有的網(wǎng)格非法形式.此外,三維網(wǎng)格變形的復(fù)雜性導(dǎo)致二維彈簧法直接應(yīng)用到三維問題時(shí)往往失效.為了讓邊界位移更好地傳遞到網(wǎng)格內(nèi)部不少文獻(xiàn)提出了改進(jìn)方法.Blom采用邊界改進(jìn)的方法,即增大邊界附近網(wǎng)格的彈簧剛度,以減小臨近邊界區(qū)域網(wǎng)格的變形量,從而解決橢圓型平衡方程帶來的變形局部化問題.郭正等一方面通過節(jié)點(diǎn)與變形或運(yùn)動(dòng)邊界的相對(duì)距離改進(jìn)彈簧剛度,使彈簧剛度與相對(duì)距離成反比;另一方面,取單元Jacobian行列式和體積的比值作為彈簧剛度,使大單元相對(duì)小單元易于變形.但在上述邊界改進(jìn)中計(jì)算節(jié)點(diǎn)與邊界的相對(duì)距離將帶來較大的工作量.周璇等基于Delaunay背景網(wǎng)格插值快速計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)與邊界的相對(duì)距離,對(duì)單元彈簧剛度逐層改進(jìn),從而將邊界位移更好地傳遞到遠(yuǎn)場(chǎng)網(wǎng)格中.彈簧法從二維推廣到三維時(shí),由于在變形過程中四面體任意兩個(gè)面間夾角的變化,節(jié)點(diǎn)可能越過其對(duì)邊或面而引起“單元倒置”.為了將二維彈簧法推廣到三維網(wǎng)格變形,有的研究通過增加對(duì)網(wǎng)格變形的約束來提高彈簧法的網(wǎng)格變形能力.Bottasso等認(rèn)為單元非法是由于頂點(diǎn)離開了它所在的凸包(ball),因而在扭轉(zhuǎn)彈簧的基礎(chǔ)上引入ball-vertex彈簧,如圖1,提出了對(duì)二維和三維都適用的ball-vertex彈簧法.該方法有效地約束了頂點(diǎn)在其所屬多面體內(nèi)的運(yùn)動(dòng),明顯提高了變形后的網(wǎng)格質(zhì)量.Markou等在半扭轉(zhuǎn)彈簧法的基礎(chǔ)上增加4個(gè)虛擬彈簧,提出ortho-semi-torsional(OST)彈簧法,并采用預(yù)共軛梯度法(PCG)快速求解方程組以提高網(wǎng)格變形效率.扭轉(zhuǎn)彈簧法、半扭轉(zhuǎn)彈簧法、ball-vertex彈簧法和OST彈簧法4種方法中,ball-vertex彈簧法和半扭轉(zhuǎn)彈簧法更高效,但變形能力低于扭轉(zhuǎn)彈簧法和OST彈簧法,而結(jié)合PCG算法的OST彈簧法網(wǎng)格變形效率則優(yōu)于其余3種方法.也有研究通過將四面體單元等效為幾個(gè)三角形單元或是通過定義四面體中邊所對(duì)的角,直接將二維彈簧法推廣到三維網(wǎng)格變形.此外,也可通過彈簧法與其他方法結(jié)合的方式提高彈簧法的變形能力和變形效率,以滿足特殊情形下的數(shù)值計(jì)算要求.如結(jié)合陣面推進(jìn)法和半扭轉(zhuǎn)彈簧法,改進(jìn)運(yùn)動(dòng)邊界附近的網(wǎng)格質(zhì)量,提高黏性網(wǎng)格的網(wǎng)格質(zhì)量;結(jié)合彈簧法和局部網(wǎng)格重構(gòu)法,解決外掛投放等大變形問題.2.1.2結(jié)構(gòu)網(wǎng)格變形控制彈性體法假設(shè)計(jì)算網(wǎng)格域?yàn)閺椥越橘|(zhì),選取恰當(dāng)?shù)膹椥阅Ａ坎⒗梦灰七吔鐥l件,通過求解彈性體變形方程,如式(3),得到計(jì)算網(wǎng)格隨邊界的運(yùn)動(dòng)或變形.其中,σ為Cauchy應(yīng)力張量,tr()為跡算子,?為微分算子,y為位移,ε(y)為應(yīng)變張量,λ和μ是lame常量,I是單位張量,f為外力.彈性體法把網(wǎng)格變形當(dāng)成連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題來求解,使網(wǎng)格變形能最小.與其他網(wǎng)格變形方法相比,彈性體法是一個(gè)基于物理模型的通用網(wǎng)格變形方法,其網(wǎng)格變形能力優(yōu)于彈簧法.彈性體法常用于氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)、多體相對(duì)運(yùn)動(dòng)、機(jī)翼折疊等較大變形的網(wǎng)格變形問題.但這種方法實(shí)質(zhì)上是求解一個(gè)彈性體變形問題,計(jì)算量很大、網(wǎng)格變形效率低、實(shí)現(xiàn)復(fù)雜,其網(wǎng)格變形效率不能滿足大規(guī)模網(wǎng)格變形的要求.類似于彈簧法,根據(jù)彈性模量的取值可將彈性體法分為線彈性體法和非線性彈性體法.線彈性體法,即采用各向同性彈性材料假設(shè)的彈性體法,網(wǎng)格變形時(shí)結(jié)構(gòu)邊界附近的小網(wǎng)格易發(fā)生扭轉(zhuǎn)甚至非法.非線性彈性體法采用與網(wǎng)格畸變量成反比、不均勻、各向異性的彈性剛度.非線性彈性體法由材料性質(zhì)控制網(wǎng)格畸變,合理的彈性剛度分布可以顯著減少網(wǎng)格畸變.例如,增加結(jié)構(gòu)邊界附近網(wǎng)格單元的彈性剛度或以單元大小和形狀為參數(shù)改進(jìn)彈性剛度,以減小邊界附近或網(wǎng)格質(zhì)量較差單元的變形量.Nielsen等基于線彈性體法,通過對(duì)不同單元取不同泊松比以保持單元合法性.對(duì)低長(zhǎng)寬比單元,泊松比按可壓縮材料取值,而對(duì)高長(zhǎng)寬比單元,泊松比按不可壓縮材料取值.Huo等基于網(wǎng)格分層的思想,逐層決定網(wǎng)格的彈性剛度.Sheta等通過特定材料性質(zhì)控制單元切向應(yīng)變,從而減小單元切向畸變.Bar-Yoseph等用滑移邊界條件(slidingboundarycondition)代替Dirichlet邊界條件,有效減少了畸變網(wǎng)格,從而提高了網(wǎng)格變形質(zhì)量.也有的研究同時(shí)采用多種方法提高彈性體法的網(wǎng)格變形能力.Stein等同時(shí)采用了多種改進(jìn)方法:網(wǎng)格變形由單元大小和形狀的改變決定;使網(wǎng)格形狀對(duì)彈性剛度的影響大于網(wǎng)格單元大小對(duì)彈性剛度的影響;引入剛度系數(shù)來增加小單元的剛度.Compere等結(jié)合彈性體法和局部網(wǎng)格質(zhì)量改進(jìn),不僅增加小單元的彈性模量,而且單獨(dú)處理網(wǎng)格質(zhì)量較差單元.但是,變化的單元?jiǎng)偠热≈狄环矫嬖黾恿藦椥泽w法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性,另一方面由于較小或質(zhì)量較差單元的剛度遠(yuǎn)大于大單元的剛度,可能存在單元過剛或過柔的問題,從而影響網(wǎng)格變形能力.為解決部分單元過剛或過柔的問題,一些學(xué)者提出了統(tǒng)一的確定各向異性彈性模量的方法.Lopez等直接從網(wǎng)格質(zhì)量的角度出發(fā),將網(wǎng)格變形問題定義為一個(gè)優(yōu)化問題:以網(wǎng)格單元扭轉(zhuǎn)和膨脹度量網(wǎng)格質(zhì)量,通過優(yōu)化給定目標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)的網(wǎng)格質(zhì)量;通過最小化單元變形能函數(shù),確定彈性材料的材料性質(zhì).該方法相較于其他彈性體法的優(yōu)點(diǎn)在于直接將網(wǎng)格質(zhì)量作為彈性模量取值標(biāo)準(zhǔn),是一種直接考慮網(wǎng)格質(zhì)量的方法,有效地提高了網(wǎng)格變形能力,如圖2所示.但反復(fù)計(jì)算Jacobian矩陣和求解大型方程組將帶來較大的時(shí)間花費(fèi).Bogaers提出基于網(wǎng)格優(yōu)化的降階模型(reducedordermodel)的網(wǎng)格變形方法,有效地提高了網(wǎng)格變形效率.Hsu等提出由兩次連續(xù)線彈性有限元分析求解一個(gè)網(wǎng)格邊界位移已知的各向同性連續(xù)體問題的滿應(yīng)力設(shè)計(jì)方法.第一次各向同性有限元分析得到每個(gè)網(wǎng)格單元的剛度改進(jìn),第二次有限元分析利用前面改進(jìn)的單元?jiǎng)偠惹蠼庥?jì)算網(wǎng)格隨運(yùn)動(dòng)或變形邊界的網(wǎng)格變形.雖然求解兩次彈性方程將帶來較大時(shí)間花費(fèi),但該方法可同時(shí)“吸收”鄰接單元變形并保持原網(wǎng)格單元的大小和質(zhì)量.Yang等提出基于鄰接關(guān)系的彈性模量?jī)?yōu)化方法,該優(yōu)化方法主要步驟包括:取每個(gè)網(wǎng)格單元的彈性模量為設(shè)計(jì)變量,通過確定彈性模量在網(wǎng)格單元中的分布,使得表示變形后網(wǎng)格扭曲程度的全局目標(biāo)函數(shù)取最小值.Gao等采用非線性彈性邊界元法,在保持黏性區(qū)域網(wǎng)格正交性的同時(shí)最小化該區(qū)域網(wǎng)格的扭轉(zhuǎn)變形,并由此確定最優(yōu)的材料性質(zhì).以上彈性剛度的改進(jìn)方法不可避免地增加了算法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性和計(jì)算量,對(duì)于大規(guī)模網(wǎng)格變形十分不利.為了提高網(wǎng)格變形效率,Truong等將改進(jìn)后的伴隨矩陣法應(yīng)用到線彈性體法的梯度計(jì)算中,離散的伴隨方程顯著提高了網(wǎng)格變形效率.Lefrancois引入粗網(wǎng)格,結(jié)合彈性體法和插值法,通過減小彈性體法的計(jì)算規(guī)模直接提高了網(wǎng)格變形效率.2.2laplace方程偏微分方程法(partialdifferentialequations,PDE)的基本思想是由位勢(shì)方程,如式(6),決定網(wǎng)格位移,通過避免網(wǎng)格退化和保持網(wǎng)格單元大小不變來保證變形后的網(wǎng)格質(zhì)量.式中u為節(jié)點(diǎn)位移向量,邊界節(jié)點(diǎn)的位移已知,作為邊界條件.PDE算法的網(wǎng)格變形能力受位移變量間不耦合條件的限制,通常應(yīng)用于小規(guī)模網(wǎng)格或優(yōu)化問題.PDE算法可分為L(zhǎng)aplace方程、雙調(diào)和算子(biharmonicoperator)和四元代數(shù)法等.Laplace方程單獨(dú)求解不同方向的網(wǎng)格變形,是最常用的偏微分方程法,也是線彈性體法的特殊情形.與彈簧法和彈性體法相比,Laplace方程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小,對(duì)于剛體位移、轉(zhuǎn)動(dòng)變形以及整體膨脹等單一變形可以得到較好的結(jié)果.但對(duì)于邊界非單一變形,Laplace方程的網(wǎng)格變形能力不如彈簧法和彈性體法.目前Laplace方程多用于網(wǎng)格優(yōu)化問題,如采用非線性偏微分方程進(jìn)行網(wǎng)格優(yōu)化以控制法向網(wǎng)格間距.Laplace方程不能避免網(wǎng)格單元交叉所導(dǎo)致的網(wǎng)格非法.類似于彈簧法和彈性體法,不少研究通過控制局部網(wǎng)格變形來提高網(wǎng)格變形能力.Burg引入擴(kuò)散系數(shù),以控制邊界附近節(jié)點(diǎn)的位移.Kanchi等基于擴(kuò)散系數(shù)提出了對(duì)Laplace方程的改進(jìn):擴(kuò)散系數(shù)的取值與給定網(wǎng)格中當(dāng)前網(wǎng)格單元面積相關(guān);引入與網(wǎng)格單元大小相關(guān)的剛度,減少小單元變形,從而減少網(wǎng)格的“小尺寸效應(yīng)”.Casas等也采用引入了擴(kuò)散系數(shù)的Laplace方程,其中擴(kuò)散系數(shù)與內(nèi)部節(jié)點(diǎn)到變形邊界的距離成反比.同時(shí)為了提高網(wǎng)格變形能力,將整個(gè)變形過程分為若干步完成,每步變形中網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的最大位移均小于節(jié)點(diǎn)所在網(wǎng)格單元的最小外接圓半徑,以避免節(jié)點(diǎn)位移過大所導(dǎo)致的網(wǎng)格單元非法.Hrvoje等討論了不同形式的擴(kuò)散因子對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量的影響,其中由單元中心與最近邊界距離的二次方構(gòu)成的擴(kuò)散因子能得到較好的網(wǎng)格質(zhì)量.也有學(xué)者考慮從其他方面提高偏微分方程法的網(wǎng)格變形能力.對(duì)給定邊界,Laplace方程只能取Dirichlet或Neumann邊界條件,不能同時(shí)控制邊界位置和法向網(wǎng)格間距,二階PDE算法都不可避免地存在這個(gè)問題.法向網(wǎng)格間距的連續(xù)性直接影響變形后的網(wǎng)格質(zhì)量.Helenbrook提出利用雙調(diào)和算子計(jì)算網(wǎng)格變形的方法,即同時(shí)滿足Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件的四階偏微分方程.盡管雙調(diào)和算子的計(jì)算量大于Laplace方程,但其網(wǎng)格變形能力優(yōu)于二階偏微分方程,如圖3.Samareh指出四元復(fù)數(shù)(一個(gè)實(shí)數(shù)和三個(gè)虛數(shù))可以較好地表達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)變形,從而提出了基于四元代數(shù)的網(wǎng)格變形方法.該方法分別考慮了邊界平動(dòng)變形和轉(zhuǎn)動(dòng)變形對(duì)內(nèi)部網(wǎng)格單元變形的影響,在二維邊界轉(zhuǎn)動(dòng)算例中較好地保持了邊界附近網(wǎng)格的正交性,但該方法不能直接推廣到三維問題的網(wǎng)格變形中.Bos等結(jié)合Laplace方程和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)(solidbodyrotation)網(wǎng)格變形法以提高網(wǎng)格變形質(zhì)量,并將其應(yīng)用于低雷諾數(shù)下的翼型振動(dòng)計(jì)算.2.3基于分辨率的數(shù)值化法虛擬結(jié)構(gòu)法和偏微分方程法都需要考慮網(wǎng)格鄰接關(guān)系并迭代求解方程組,計(jì)算量較大.代數(shù)法則僅根據(jù)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的空間位置來移動(dòng)節(jié)點(diǎn),不考慮節(jié)點(diǎn)鄰接關(guān)系和網(wǎng)格類型,是一種高效和直接的網(wǎng)格變形方法.主要的代數(shù)法可分為徑向基函數(shù)插值法、基于Delaunay背景網(wǎng)格的直接插值法和距離函數(shù)插值法等.2.3.1求解微分方程條件徑向基函數(shù)插值法(radialbasisfunctionsRBFs)的基本思想是由邊界節(jié)點(diǎn)位移插值計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移,其主要步驟是:(1)對(duì)整個(gè)流場(chǎng),由基函數(shù)構(gòu)成的插值函數(shù)描述整體計(jì)算網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)位移,插值函數(shù)s(r)的形式為式中,?為所選取的徑向基函數(shù),r為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位置向量,節(jié)點(diǎn)i為徑向基函數(shù)的中心,通常是運(yùn)動(dòng)或變形曲面上的節(jié)點(diǎn),ri為其位置向量,N為所選取的徑向基函數(shù)中心的個(gè)數(shù),αi為未知的插值函數(shù)系數(shù);(2)結(jié)合邊界條件和正交性條件,通過求解方程組得到系數(shù)αi;(3)將邊界節(jié)點(diǎn)位移代入插值函數(shù)中得到計(jì)算網(wǎng)格內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移.RBFs可以直接推廣到三維網(wǎng)格變形,如圖4中的曲面變形.RBFs所需求解的方程組個(gè)數(shù)僅與邊界節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān),計(jì)算量遠(yuǎn)小于彈簧法和彈性體法,而且節(jié)點(diǎn)位移的計(jì)算與其鄰接節(jié)點(diǎn)位移無關(guān),更容易實(shí)現(xiàn)并行,已應(yīng)用于翼型振動(dòng)等曲面網(wǎng)格的網(wǎng)格變形.但是,對(duì)不同的網(wǎng)格變形RBFs存在基函數(shù)的選取問題,基函數(shù)的選取直接關(guān)系到變形后的網(wǎng)格質(zhì)量.Boer等討論了基函數(shù)的不同形式對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量的影響,通過選取恰當(dāng)?shù)幕瘮?shù)形式,對(duì)機(jī)翼擺動(dòng)等變形,變形后結(jié)構(gòu)邊界附近網(wǎng)格的質(zhì)量?jī)?yōu)于彈簧法.此外,相較于背景網(wǎng)格插值法和距離函數(shù)插值法,RBFs需要求解方程組,時(shí)間花費(fèi)相對(duì)較大.目前,徑向基函數(shù)插值法已應(yīng)用于氣動(dòng)外形的優(yōu)化設(shè)計(jì)和網(wǎng)格優(yōu)化問題.為了提高RBFs算法的網(wǎng)格變形效率,不少學(xué)者提出了改進(jìn)方法,主要集中在減小方程求解規(guī)模和提高方程求解效率兩方面.Rendall等采用貪心算法,利用邊界節(jié)點(diǎn)的子集近似表示結(jié)構(gòu)邊界及其變形,通過減小方程的求解規(guī)模以提高網(wǎng)格變形效率.VanZuijlen等將邊界節(jié)點(diǎn)分為動(dòng)邊界節(jié)點(diǎn)和靜邊界節(jié)點(diǎn),用網(wǎng)格變形矩陣結(jié)合位移插值矩陣,根據(jù)邊界節(jié)點(diǎn)的位移對(duì)所有流場(chǎng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)施加插值位移,從而減小徑向基函數(shù)方程的求解規(guī)模.Rendall等發(fā)展了一種逐點(diǎn)插值的插值形式,通過局部插值減小方程的求解規(guī)模,從而提高網(wǎng)格變形質(zhì)量和網(wǎng)格變形效率.Botsch等采用最小二乘法快速求解方程組,以提高網(wǎng)格變形效率.2.3.2基于背景網(wǎng)格插值法的網(wǎng)格變形Liu等提出的背景網(wǎng)格插值法的主要步驟是:(1)由外邊界(遠(yuǎn)場(chǎng)邊界)角點(diǎn)和內(nèi)邊界(變形或運(yùn)動(dòng)邊界)上的點(diǎn)集生成Delaunay背景網(wǎng)格,如圖5所示;(2)求出計(jì)算域中網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)在其相應(yīng)的Delaunay背景網(wǎng)格單元(三角形或四面體單元)的面積坐標(biāo)或體積坐標(biāo),面積坐標(biāo)及面積的計(jì)算公式如下式中,ei是面積坐標(biāo),(xp,yp)是計(jì)算網(wǎng)格內(nèi)節(jié)點(diǎn)p的坐標(biāo),(xA,yA),(xB,yB),(xC,yC)是節(jié)點(diǎn)p所在背景網(wǎng)格單元(三角形單元ABC)頂點(diǎn)的坐標(biāo),S為三角形單元ABC的面積;(3)根據(jù)內(nèi)邊界節(jié)點(diǎn)的位移直接移動(dòng)背景網(wǎng)格;(4)根據(jù)背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移和相應(yīng)的面積坐標(biāo)(或體積坐標(biāo))插值得到適應(yīng)邊界變形的計(jì)算網(wǎng)格變形,節(jié)點(diǎn)(xp,yp)對(duì)應(yīng)的變形后坐標(biāo)如下式中,分別為節(jié)點(diǎn)(xp,yp)所在三角形單元的頂點(diǎn)A,B,C變形后的坐標(biāo).背景網(wǎng)格插值法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,不需要迭代計(jì)算求解大規(guī)模方程組,適用于不同的網(wǎng)格類型,并可直接推廣到三維網(wǎng)格變形中,是目前效率最高的網(wǎng)格變形方法之一.但是,背景網(wǎng)格插值法僅對(duì)凸域的網(wǎng)格變形有效,對(duì)于非凸邊界變形(如可變形飛行器)、曲面變形等則不能將邊界變形傳遞到內(nèi)部網(wǎng)格中.這種方法也同樣不能保證計(jì)算網(wǎng)格移動(dòng)后的合法性,存在網(wǎng)格移動(dòng)時(shí)方法失效的問題.Delaunay背景網(wǎng)格僅包含4個(gè)外邊界節(jié)點(diǎn)(三維情況下為8個(gè)),在某些區(qū)域存在網(wǎng)格堆積現(xiàn)象.而且越靠近內(nèi)邊界的網(wǎng)格(尺寸一般較小)變形越大,而距內(nèi)邊界稍遠(yuǎn)的網(wǎng)格(尺寸一般較大)變形很小.這樣造成靠近內(nèi)邊界網(wǎng)格的網(wǎng)格質(zhì)量更容易變差,影響了網(wǎng)格變形能力.此外,背景網(wǎng)格交叉后,重新生成背景網(wǎng)格和定位網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于丟棄初始網(wǎng)格的良好特性,而保留變形后的較差網(wǎng)格信息,此后的網(wǎng)格質(zhì)量因此而變差,并且重新生成Delaunay背景網(wǎng)格和定位網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)也將帶來額外的工作量.為提高背景網(wǎng)格的網(wǎng)格質(zhì)量,肖天航等提出在Delaunay背景網(wǎng)格中加入輔助節(jié)點(diǎn)以提高背景網(wǎng)格質(zhì)量,輔助節(jié)點(diǎn)在邊界發(fā)生變形后的位移仍由原Delaunay背景網(wǎng)格得到,內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移由新的Delaunay網(wǎng)格插值得到.但是添加輔助節(jié)點(diǎn)的方法沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn),需要人工干預(yù).為提高變形后的網(wǎng)格質(zhì)量,背景網(wǎng)格插值法可結(jié)合網(wǎng)格重構(gòu)或混合網(wǎng)格.Zhang等首先生成混合網(wǎng)格作為初始網(wǎng)格,其主要步驟包括:在結(jié)構(gòu)邊界生成貼體四邊形網(wǎng)格,并由自適應(yīng)四叉樹網(wǎng)格覆蓋整個(gè)計(jì)算域;刪除四叉樹網(wǎng)格和四邊形網(wǎng)格的重合部分;由三角網(wǎng)格覆蓋剩余的空間.然后在結(jié)構(gòu)邊界運(yùn)動(dòng)或變形后,四邊形網(wǎng)格隨著邊界運(yùn)動(dòng)或變形,四叉樹網(wǎng)格保持不動(dòng),而三角網(wǎng)格的變形則由背景網(wǎng)格插值法得到.最后,當(dāng)變形后的三角網(wǎng)格質(zhì)量太差時(shí),重新生成四叉樹網(wǎng)格和三角網(wǎng)格.圖6為混合網(wǎng)格的網(wǎng)格變形圖,該方法結(jié)合了混合網(wǎng)格的優(yōu)勢(shì),邊界區(qū)域的高質(zhì)量網(wǎng)格保證了流場(chǎng)計(jì)算的準(zhǔn)確性.背景網(wǎng)格插值法也可與其他方法相結(jié)合,如非結(jié)構(gòu)重疊網(wǎng)格方法.該方法的主要思想是:對(duì)每個(gè)互相重疊的貼體網(wǎng)格,生成相應(yīng)的Delaunay背景網(wǎng)格;在每個(gè)時(shí)間步,Delaunay背景網(wǎng)格隨著結(jié)構(gòu)邊界變形或運(yùn)動(dòng);最后由背景網(wǎng)格的變形插值得到計(jì)算網(wǎng)格的變形.2.3.3通過幾何位移插值和接觸定義來提高網(wǎng)格變形能力,并增加了網(wǎng)格變形的邊界Zhao等在研究微流體(microflow)的動(dòng)邊界問題時(shí)采用了基于距離函數(shù)的插值方法.距離函數(shù)插值法的主要思想是:(1)定義距離函數(shù),通常與距離成反比.對(duì)流場(chǎng)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)is,其函數(shù)值為式中,d(is)為節(jié)點(diǎn)is到結(jié)構(gòu)邊界的最短距離,dmax為所有d(is)的最大值;(2)計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)到結(jié)構(gòu)邊界的最短距離d(is);(3)記錄距離該節(jié)點(diǎn)最近的邊界節(jié)點(diǎn)iswall;(4)節(jié)點(diǎn)位移δr(is)由距離函數(shù)與相應(yīng)的邊界節(jié)點(diǎn)(距離最短的節(jié)點(diǎn))位移δr(iswall)插值得到,即:距離函數(shù)插值法可控制內(nèi)邊界附近的網(wǎng)格變形,保證了較好的邊界網(wǎng)格質(zhì)量,但同樣不能保證計(jì)算網(wǎng)格移動(dòng)后的合法性.為了提高網(wǎng)格變形能力和變形效率,大量文獻(xiàn)提出了改進(jìn)方法.Zhao等利用鄰接節(jié)點(diǎn)位移加權(quán)平均的形式修正節(jié)點(diǎn)位移,簡(jiǎn)捷地提高了變形后的網(wǎng)格質(zhì)量.Melville將變形邊界離散為連續(xù)的凸邊界,對(duì)每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)選取對(duì)應(yīng)的邊界節(jié)點(diǎn),一般是凸邊界上與內(nèi)部節(jié)點(diǎn)距離最小的節(jié)點(diǎn)最后由所選取的邊界節(jié)點(diǎn)位移插值得到內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移.Allen采用類似于Melville的距離函數(shù)方法,獨(dú)立考慮多個(gè)邊界變形所引起的節(jié)點(diǎn)平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移,提高了網(wǎng)格變形能力,其三段翼型剛體轉(zhuǎn)動(dòng)及擺動(dòng)時(shí)的網(wǎng)格變形能力均優(yōu)于彈簧法其四葉片轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的多區(qū)域網(wǎng)格(multiblock)及其變形圖如圖7所示.Witteveen等基于距離倒數(shù)加權(quán)(inversedistanceweighting,IDW),由動(dòng)邊界節(jié)點(diǎn)位移直接插值得到計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移較好地提高了變形網(wǎng)格中結(jié)構(gòu)邊界附近的網(wǎng)格質(zhì)量,如圖8.該方法用于網(wǎng)格變形和網(wǎng)格質(zhì)量?jī)?yōu)化問題,其網(wǎng)格變形效率優(yōu)于RBFs算法.但I(xiàn)DW方法需要根據(jù)不同邊界形狀選取不同參數(shù),不適合不規(guī)則邊界運(yùn)動(dòng)或變形所引起的網(wǎng)格變形.McDaniel等采用區(qū)域劃分的方法提高網(wǎng)格變形效率,將整個(gè)計(jì)算域網(wǎng)格劃分為剛體位移區(qū)域與外部變形區(qū)域,以提高邊界區(qū)域網(wǎng)格變形后的網(wǎng)格質(zhì)量.同時(shí),McDaniel等也比較了區(qū)域劃分方法分別結(jié)合距離函數(shù)插值法與背景網(wǎng)格插值法的網(wǎng)格變形效率,距離函數(shù)插值法在網(wǎng)格規(guī)模較大時(shí)的變形效率優(yōu)于背景網(wǎng)格插值法.Gerhold等提出由代數(shù)前緣法(algebraicadvancingfronttechnique)得到適應(yīng)結(jié)構(gòu)邊界變形的計(jì)算網(wǎng)格.它的基本思想是:將所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)按與變形邊界的距離升序排序;取節(jié)點(diǎn)間的距離為權(quán),由鄰接節(jié)點(diǎn)位移的加權(quán)平均更新節(jié)點(diǎn)位移.這種方法最大的優(yōu)點(diǎn)就是采用推波前進(jìn)的思想將邊界變形傳遞到內(nèi)部網(wǎng)格區(qū)域,其網(wǎng)格變形效率較高.但是和背景網(wǎng)格插值法一樣,前緣法也對(duì)曲面變形無效,且不能有效控制變形過程中網(wǎng)格單元的非法.對(duì)于機(jī)翼翹曲所引起的網(wǎng)格變形,較早出現(xiàn)非法單元.3目前，主要研究方向如下3.1邊界改進(jìn)方法復(fù)雜結(jié)構(gòu)(如外掛彈機(jī)翼)及不規(guī)則變形(如可變形飛行器的翼身變形)會(huì)給動(dòng)網(wǎng)格帶來凹區(qū)域變形、大規(guī)模網(wǎng)格、邊界初始網(wǎng)格質(zhì)量不高、邊界大變形或大位移、多種變形疊加等問題,嚴(yán)重影響網(wǎng)格變形能力和變形后的網(wǎng)格質(zhì)量.目前復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)網(wǎng)格問題,尤其在邊界發(fā)生大變形或大位移的情況下,往往需要將網(wǎng)格變形與網(wǎng)格重構(gòu)相結(jié)合.變形后的網(wǎng)格質(zhì)量不僅影響數(shù)值計(jì)算的效率和精度,而且影響邊界層表達(dá)的準(zhǔn)確性.網(wǎng)格重構(gòu)不但會(huì)帶來網(wǎng)格生成、載荷平衡運(yùn)算、處理不可微現(xiàn)象等額外計(jì)算量,而且重構(gòu)后的插值運(yùn)算會(huì)給計(jì)算帶來耗散誤差.因此,提高網(wǎng)格變形方法的網(wǎng)格質(zhì)量,盡量減少或推遲網(wǎng)格重構(gòu)是此類問題動(dòng)網(wǎng)格生成的重點(diǎn)研究目標(biāo).復(fù)雜結(jié)構(gòu)外形在不規(guī)則變形下的動(dòng)網(wǎng)格生成主要有兩個(gè)難點(diǎn):一是如何控制邊界區(qū)域的網(wǎng)格質(zhì)量;二是如何將邊界變形傳遞到內(nèi)部網(wǎng)格.這兩個(gè)難點(diǎn)也直接關(guān)系到動(dòng)網(wǎng)格方法的網(wǎng)格變形能力一方面,邊界區(qū)域網(wǎng)格不僅直接影響數(shù)值計(jì)算精度,而且這些網(wǎng)格通常也是最早非法的網(wǎng)格;另外邊界變形盡可能地傳遞到內(nèi)部網(wǎng)格是得到均勻網(wǎng)格變形的必要條件.不少學(xué)者基于彈簧法、背景網(wǎng)格插值法等,提出了針對(duì)邊界區(qū)域網(wǎng)格質(zhì)量的改進(jìn)方法.彈簧法的邊界改進(jìn)通過增加與邊界相連單元的彈簧剛度,減少邊界單元的變形,以便邊界變形更好地傳遞到內(nèi)部網(wǎng)格中.上述邊界改進(jìn)方法能在一定程度上提高網(wǎng)格變形能力,但主要存在以下局限:(1)僅對(duì)緊靠物面邊界的網(wǎng)格改進(jìn);(2)若對(duì)網(wǎng)格的彈簧剛度逐層改進(jìn),需要考慮復(fù)雜的網(wǎng)格拓?fù)潢P(guān)系,而且計(jì)算節(jié)點(diǎn)到結(jié)構(gòu)邊界的最小距離將帶來相當(dāng)?shù)挠?jì)算量;(3)對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)外形,尤其在包含非凸域的情況下,基于單元與結(jié)構(gòu)邊界相對(duì)距離的邊界改進(jìn)方法不能有效地控制網(wǎng)格變形還需要綜合考慮邊界變形方式等因素.彈簧法結(jié)合混合網(wǎng)格也是一種有效的改進(jìn)方法,混合網(wǎng)格中結(jié)構(gòu)邊界附近的四邊形貼體網(wǎng)格隨著邊界運(yùn)動(dòng)或變形,能夠有效地保持邊界區(qū)域的網(wǎng)格質(zhì)量背景網(wǎng)格插值法作為一種高效的網(wǎng)格變形方法也可考慮應(yīng)用到復(fù)雜結(jié)構(gòu)邊界變形所引起的計(jì)算網(wǎng)格變形.但背景網(wǎng)格插值法僅對(duì)凸域的網(wǎng)格變形有效,對(duì)于非凸域的邊界變形或曲面變形則不能很好地將網(wǎng)格變形傳遞到內(nèi)部網(wǎng)格.Lefrancois結(jié)合彈性體法和背景網(wǎng)格插值法生成動(dòng)網(wǎng)格.該方法通過在背景網(wǎng)格中加入內(nèi)部節(jié)點(diǎn)彌補(bǔ)原背景網(wǎng)格的局限性,通過彈性體法求解背景網(wǎng)格變形也將邊界變形更均勻地傳遞到內(nèi)部網(wǎng)格中,而且彈性體法和背景網(wǎng)格插值法的結(jié)合也顯著地提高了彈性體法的網(wǎng)格變形效率.周璇等結(jié)合改進(jìn)后的彈簧法和背景網(wǎng)格插值法實(shí)現(xiàn)了不規(guī)則邊界變形所引起的計(jì)算網(wǎng)格變形,不僅提高了彈簧法的網(wǎng)格變形效率,而且提高了彈簧法和背景網(wǎng)格插值法的網(wǎng)格變形質(zhì)量.其背景網(wǎng)格和相應(yīng)的計(jì)算網(wǎng)格如圖9.通過彈簧–插值法實(shí)現(xiàn)了可變形飛行器的流場(chǎng)網(wǎng)格變形,如圖10.Masoud等結(jié)合彈簧法和RDS(reduceddomainstrategy),將流場(chǎng)網(wǎng)格區(qū)域劃分變形區(qū)域和不變形區(qū)域,從而提高網(wǎng)格變形效率.Rendall等在徑向基函數(shù)插值的基礎(chǔ)上,提出了一個(gè)高效的網(wǎng)格變形方法.該方法主要有兩點(diǎn)改進(jìn):一是減少定義變形表面的節(jié)點(diǎn)數(shù);二是采用局部網(wǎng)格修正的方法減小由于節(jié)點(diǎn)數(shù)縮減所帶來的曲面表達(dá)誤差.Jin等針對(duì)大變形問題,提出基于macro-element和插值法的網(wǎng)格變形方法,macro-element的變形通過彈性體法求解,并由插值的方法得到流場(chǎng)網(wǎng)格的變形.3.2網(wǎng)格變形方法曲面網(wǎng)格變形是三維動(dòng)網(wǎng)格生成的重要研究領(lǐng)域,它的應(yīng)用相當(dāng)廣泛.工程結(jié)構(gòu)中常用的薄殼結(jié)構(gòu),如球罐、壓力容器、飛機(jī)蒙皮、汽車外殼等,都是由規(guī)則曲面或自由曲面組合而成.曲面網(wǎng)格變形是三維計(jì)算域網(wǎng)格變形的前提,曲面變形后的網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)后續(xù)實(shí)體中網(wǎng)格的變形有很大影響.對(duì)于網(wǎng)格數(shù)較大的曲面,彈簧法和彈性體法的時(shí)間花費(fèi)太大,而高效的背景網(wǎng)格插值法和前緣法卻難以解決曲面翹曲變形.曲面網(wǎng)格變形的實(shí)現(xiàn)需要考慮兩方面:一是曲面網(wǎng)格表達(dá)的準(zhǔn)確性;二是網(wǎng)格變形的計(jì)算效率.Rendall等的算法結(jié)合了徑向基函數(shù)和貪心算法,該方法可分為三個(gè)相對(duì)獨(dú)立的步驟:首先建立一個(gè)曲面邊界的有向距離函數(shù),并由距離函數(shù)求解描述整個(gè)計(jì)算網(wǎng)格變形的徑向基函數(shù);然后在保證所需曲面誤差精度的前提下,利用貪心算法得到徑向基函數(shù)中心點(diǎn)的子集,減小曲面網(wǎng)格規(guī)模;最后由邊界子集求解徑向基函數(shù).該方法不僅提高了網(wǎng)格變形的計(jì)算效率,而且保證了曲面邊界表達(dá)的準(zhǔn)確性.Allen基于距離插值方法提出一個(gè)基于網(wǎng)格連接關(guān)系且與單元類型無關(guān)的通用網(wǎng)格變形方法,尤其對(duì)于曲面翹曲變形能夠較好地保持變形后網(wǎng)格的正交性.Gargoloff等結(jié)合混合網(wǎng)格提出了一個(gè)適合表面轉(zhuǎn)動(dòng)變形的網(wǎng)格變形方法,實(shí)現(xiàn)了三維機(jī)翼轉(zhuǎn)動(dòng)所引起的計(jì)算網(wǎng)格變形.該網(wǎng)格變形方法可分為三步:將網(wǎng)格沿翼展方向分為若干個(gè)拓?fù)湎嗨频木W(wǎng)格層;由彈簧法計(jì)算同一個(gè)網(wǎng)格層中內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移;同時(shí)通過三次多項(xiàng)式控制網(wǎng)格層的變形,使得網(wǎng)格層仍垂直于計(jì)算域邊界(結(jié)構(gòu)表面).工程實(shí)際問題的數(shù)值計(jì)算中大量采用三維實(shí)體網(wǎng)格,因此三維實(shí)體網(wǎng)格的動(dòng)網(wǎng)格生成在工程計(jì)算中有著重要的意義.現(xiàn)有網(wǎng)格變形方法如彈簧法、彈性體法等,在推廣到三維網(wǎng)格變形中時(shí),不僅會(huì)產(chǎn)生算法復(fù)雜性增加、網(wǎng)格變形效率降低等問題,而且變形后的網(wǎng)格質(zhì)量往往不理想.三維四面體單元或六面體單元的網(wǎng)格畸變不同于二維三角形單元和四邊形單元,如何描述并控制三維網(wǎng)格畸變是提高三維網(wǎng)格變形質(zhì)量的關(guān)鍵.一些學(xué)者已開展了這方面的研究.Burg提出網(wǎng)格畸變的原因是由于某個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于其鄰接節(jié)點(diǎn)的位移,分析了對(duì)于單一變形情況下網(wǎng)格變形非法的本質(zhì),得到了通用的網(wǎng)格畸變條件,并實(shí)現(xiàn)了單一變形情況下網(wǎng)格的極限變形.雖然這個(gè)方法僅對(duì)邊界膨脹這種單一變形適用,但為今后的研究提供了一種新思路.Bottasso等提出由四面體單元的外接球控制網(wǎng)格變形,成功地將彈簧法應(yīng)用到三維問題的網(wǎng)格變形中.3.3大規(guī)模動(dòng)網(wǎng)格的并行計(jì)算需求并行計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為求解超大規(guī)模問題提供了可行性.有限元網(wǎng)格生成的并行化已取得了許多重要進(jìn)展,但動(dòng)網(wǎng)格生成的并行化卻相對(duì)滯后.而動(dòng)網(wǎng)格生成的計(jì)算量遠(yuǎn)大于網(wǎng)格生成,因此其對(duì)并行計(jì)算的需求更加迫切.當(dāng)涉及大規(guī)模動(dòng)網(wǎng)格問題時(shí),在單機(jī)或串行機(jī)上生成動(dòng)網(wǎng)格存在動(dòng)網(wǎng)格生成時(shí)間過長(zhǎng)、單機(jī)內(nèi)存容量不能滿足需求等問題.如何快速生成大規(guī)模及超大規(guī)模動(dòng)網(wǎng)格已成為提高非定常計(jì)算效率的瓶頸問題.3.4節(jié)點(diǎn)技術(shù)4特殊情況下的網(wǎng)格變形策略本文在總結(jié)現(xiàn)有網(wǎng)格變形研究的基礎(chǔ)上,提出了一種網(wǎng)格變形方法的詳細(xì)分類,如圖11所示.本文綜述了虛擬結(jié)構(gòu)方法、偏微分方程法和代數(shù)法這三大類方法及其分支的最新研究進(jìn)展,比較了主要網(wǎng)格變形方法的特性,如表1.本文還對(duì)當(dāng)前動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)的主要研究方向,如復(fù)雜結(jié)構(gòu)外形在不規(guī)則變形下的動(dòng)網(wǎng)格生成、三維動(dòng)網(wǎng)格生成、并行動(dòng)網(wǎng)格生成和動(dòng)節(jié)點(diǎn)技術(shù)進(jìn)行了評(píng)述.近年來動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)在研究和應(yīng)用領(lǐng)域取得了許多重要進(jìn)展,提出了一批新的網(wǎng)格變形算法,實(shí)現(xiàn)了如振動(dòng)矩形機(jī)翼繞流問題、翼身組合體的機(jī)翼顫振、柔性撲翼的翹曲變形等問題中的動(dòng)網(wǎng)格生成.雖然本文的討論著重于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的網(wǎng)格變形,但現(xiàn)有的非結(jié)構(gòu)動(dòng)網(wǎng)格方法均可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和混合網(wǎng)格.然而,動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)中還有許多問題有待解決.一方面,現(xiàn)有的網(wǎng)格變形方法還存在一些難點(diǎn),如復(fù)雜邊界在不規(guī)則變形下的動(dòng)網(wǎng)格生成;另一方面,現(xiàn)有的算法在計(jì)算效率、變形質(zhì)量、算法可靠性、幾何適應(yīng)性、計(jì)算規(guī)模、便捷性等方面還有待于進(jìn)一步提高以適應(yīng)工程實(shí)際的需要.以下提出幾個(gè)動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)領(lǐng)域的研究方向供深入探討:(1)在通用算法的研究方面,變形能力強(qiáng)、高效和高質(zhì)量的新型網(wǎng)格變形方法將是研究重點(diǎn).同時(shí)也可考慮多種方法的聯(lián)合運(yùn)用,以提高核心算法的可靠性和幾何適應(yīng)性,達(dá)到速度與質(zhì)量之間的平衡;(2)網(wǎng)格變形方法可結(jié)合網(wǎng)格優(yōu)化方法、混合網(wǎng)格或重疊網(wǎng)格等方法,以適應(yīng)特殊的數(shù)值計(jì)算對(duì)特定區(qū)域網(wǎng)格質(zhì)量的要求;(3)動(dòng)網(wǎng)格生成算法的并行化和分布化,并行化計(jì)算環(huán)境對(duì)于大規(guī)模、超大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算以及高端工程應(yīng)用是十分必要的;(4)研究針對(duì)特殊邊界變形方式或特定問題的網(wǎng)格變形策略,以提高特定情形下的網(wǎng)格變形效率及變形后的網(wǎng)格質(zhì)量.需要指出的是,由于作者研究工作的局限