邏輯學(xué)基礎(chǔ)教程（第四版）全套教學(xué)課件

《邏輯學(xué)基礎(chǔ)教程》（第四版）第一章

緒

論第1章緒論第2章概念第3章判斷與演繹推理（一).ppt第4章判斷與演繹推理（二）.ppt第5章邏輯基本規(guī)律.ppt第6章歸納推理.ppt第78章類比推理與論證.ppt第9章（無）第10章命題邏輯.ppt第11章一階謂詞邏輯.ppt第12章模態(tài)邏輯.pptx

第13章非經(jīng)典邏輯.ppt全套PPT課件《邏輯學(xué)》·課程導(dǎo)學(xué)一、《邏輯學(xué)》課程簡介

中文中的“邏輯”一詞屬外來語，它是英文“l(fā)ogic”一詞的音譯。它具有多義性，主要是指一門研究人類思維形式和方法的科學(xué)。

根據(jù)聯(lián)合國教科文組織和《大英百科辭典》的學(xué)科分類與介紹，邏輯學(xué)被認(rèn)為是影響人類社會發(fā)展、科學(xué)知識進(jìn)步和人的素質(zhì)的最重要的基礎(chǔ)學(xué)科之一。

《邏輯學(xué)》被世界知識界和教育界公認(rèn)為高等教育的基礎(chǔ)課程。在世界著名大學(xué)都開設(shè)有邏輯學(xué)和邏輯應(yīng)用類課程。我國港、澳、臺地區(qū)把邏輯學(xué)作為大學(xué)的通識教育課程。二、邏輯學(xué)的知識背景及其與其他學(xué)科關(guān)系

邏輯學(xué)是一門既古老又現(xiàn)代的學(xué)科，公元前四世紀(jì)左右出現(xiàn)的古希臘亞里士多德邏輯、中國先秦的名辯學(xué)和古印度的因明，被并稱為世界古代邏輯的“三大源流”?，F(xiàn)代邏輯是包含眾多分支學(xué)科的科學(xué)領(lǐng)域。

根據(jù)西方邏輯的發(fā)展，邏輯學(xué)分為傳統(tǒng)邏輯和現(xiàn)代邏輯。亞里士多德的《工具論》和培根的《新工具》是傳統(tǒng)邏輯的經(jīng)典著作，現(xiàn)代邏輯（又稱“數(shù)理邏輯”）由萊布尼茲最初構(gòu)想，到20世紀(jì)初建立。

邏輯學(xué)與各門具體科學(xué)的研究和理論發(fā)展均有重要聯(lián)系，其中與哲學(xué)、語言學(xué)、法學(xué)、心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理決策學(xué)的關(guān)系尤為密切，現(xiàn)代邏輯是數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能的重要基礎(chǔ)理論之一。第一節(jié) 邏輯學(xué)的對象一、邏輯學(xué)研究什么柯比（Copi）：“邏輯的研究就是用來區(qū)分對的（好的）論證和錯(cuò)的（壞的）論證的方法和原理的研究

。

”涅爾夫婦（W.kneale

and

M.Kneale）在《邏輯學(xué)的發(fā)展》一書中說：“邏輯是研究有效推理及其規(guī)則的。”蒯因（Quine）說：“通常含混地說，邏輯是必然推論的科學(xué)。

邏輯學(xué)是關(guān)于推理和論證的科學(xué)。具體地說，邏輯學(xué)是關(guān)于推理、論證及其規(guī)律、方法的學(xué)問。

因?yàn)橥评砗驼撟C都要使用概念、判斷，所以國內(nèi)邏輯教科書一般把主要研究傳統(tǒng)邏輯（又稱普通邏輯）的部分，定義為：邏輯學(xué)是研究思維形式（含概念、判斷、推理）及其規(guī)律，和一些邏輯方法的科學(xué)。

根據(jù)上述分析，本課程主要講授的邏輯知識內(nèi)容包括：概念、判斷和推理等思維形式，邏輯的基本規(guī)律，一些常用的邏輯方法和論證等。二、推理、論證和思維形式分析

推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷，推出一個(gè)新判斷的思維形式。推理通常分為演繹推理、歸納推理和類比推理。其中，演繹推理是必然性推理，歸納和類比屬或然性推理。

論證是用已知為真的判斷，確定另一判斷真實(shí)性或虛假性的推理論說過程。它包括證明和反駁（證偽）兩種。

邏輯學(xué)研究推理和論證時(shí)，要分析構(gòu)成它們的邏輯形式結(jié)構(gòu)，包括使用的判斷結(jié)構(gòu)和推理類型。一般地說，邏輯學(xué)研究思維形式，主要分析它們的邏輯形式結(jié)構(gòu)，而暫時(shí)撇開具體的思維內(nèi)容。例如：①一切物質(zhì)都是運(yùn)動(dòng)的。②凡人皆有死。③所有汽車是交通運(yùn)輸工具。這三個(gè)判斷共有的邏輯形式為：所有S都是P再如：④如果下雨，那么地濕。⑤若物體摩擦，則會生熱。⑥水至清則無魚。這三個(gè)判斷共同的邏輯形式是：如果p，那么q

上述例子中思維形式的邏輯表示就是邏輯結(jié)構(gòu)式，也叫邏

輯公式，是學(xué)習(xí)邏輯時(shí)必須要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容。邏輯結(jié)構(gòu)式通常由邏輯常項(xiàng)和邏輯變項(xiàng)兩部分組成。

以上邏輯結(jié)構(gòu)式中的“所有”、“都是”；“如果，那么”就是邏輯常項(xiàng)，它們是不同邏輯形式區(qū)分的標(biāo)志，決定著邏輯形式的不同類型和性質(zhì)。

邏輯結(jié)構(gòu)式中的Ｓ、Ｐ，Ｑ等字母符號叫作邏輯變項(xiàng)，它們代表被抽象掉的思維內(nèi)容。對于任一邏輯公式中的變項(xiàng)代入具體的思維內(nèi)容，就可以還原為日常思維中的判斷或推理。三、邏輯規(guī)律

邏輯規(guī)律是人類邏輯思維必須遵守的法則。包括只對某一種推理或方法具有制約作用的規(guī)律（又稱邏輯規(guī)則）和對所有推理和方法起制約作用的規(guī)律（即邏輯基本規(guī)律）。邏輯基本規(guī)律有：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四、邏輯方法

主要研究日常思維中常用的邏輯方法，如：概念的定義和劃分、限制和概括；歸納推理部分的簡單枚舉法、科學(xué)歸納法、求因果法、概率統(tǒng)計(jì)法，等等。第二節(jié)

邏輯學(xué)的性質(zhì)和作用一、邏輯學(xué)的性質(zhì)

邏輯學(xué)的基本性質(zhì)是它的工具性。邏輯學(xué)既是科學(xué)研究、知識探索的工具，又是人類日常交際和表達(dá)思想的工具。邏輯學(xué)的工具性的具體表現(xiàn)為：“任何科學(xué)都是應(yīng)用邏輯。”（列寧）為表達(dá)論證思想、探求新知提供了必要手段和方法。邏輯學(xué)的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)技能和技巧的訓(xùn)練。二、傳統(tǒng)邏輯與現(xiàn)代邏輯（略）三、邏輯學(xué)的作用邏輯學(xué)有助于我們提高邏輯思維能力。邏輯學(xué)有助于我們獲取新知識。邏輯學(xué)有助于我們有效地交際和表達(dá)思想。邏輯學(xué)有助于我們識別、反駁錯(cuò)誤的認(rèn)識和詭辯。有助于我們開展機(jī)智的斗爭和進(jìn)行邏輯思維的較量。有助于培養(yǎng)自覺的邏輯精神和邏輯意識。第三節(jié)

邏輯學(xué)的發(fā)展及其文化背景一、古希臘和古中國的燦爛文化與不同的邏輯傳統(tǒng)二、近代自然科學(xué)的興起與近代邏輯的產(chǎn)生三、現(xiàn)代科學(xué)文化與現(xiàn)代邏輯四、西方邏輯在中國（西方邏輯的傳入和再傳入）⒉非對稱關(guān)系：當(dāng)aRb為真時(shí)，bRa真假不定，在這種關(guān)系下“R”表示非對稱關(guān)系。例如：“王華喜歡李梅”。其中的“喜歡”就是非對稱關(guān)系?！巴跞A喜歡李梅”真，“李梅喜歡王華”則真假不定。類似的關(guān)系還有“認(rèn)識”、

“批評”等。⒊反對稱關(guān)系：當(dāng)aRb為真時(shí)，bRa必假，在這種關(guān)系下”R“表示反對稱關(guān)系。例如：“A大于B”其中的“大于”就是反對稱關(guān)系?！癆大于B”為真，則“B大于A”必假。類似的關(guān)系還有“戰(zhàn)勝”、“侵略”等㈡?zhèn)鬟f性關(guān)系傳遞性關(guān)系是指存在于三個(gè)或三個(gè)以上關(guān)系項(xiàng)之間的關(guān)系（又稱“多元關(guān)系”）。它所刻劃的是在“aRb”真，且“bRc”真的情況下，“aRc”如何。表示傳遞性關(guān)系的判斷，被稱為傳遞性關(guān)系判斷。傳遞性關(guān)系包括傳遞關(guān)系、非傳遞關(guān)系、反傳遞關(guān)系。⒈傳遞關(guān)系。當(dāng)aRb真，bRc真，則aRc必真。則“R”表示傳遞關(guān)系。例如：“a=b；b=c”其中“=”是傳遞關(guān)系。當(dāng)“a=b；b=c”為真時(shí)，“a=c”必真。類似關(guān)系還有“大于”、“小于”、“是同鄉(xiāng)”等。⒉非傳遞關(guān)系：aRb真，bRc真，則aRc真假不定?！癛”表示的是非傳遞關(guān)系。例如：“甲隊(duì)?wèi)?zhàn)勝了乙隊(duì)，乙隊(duì)?wèi)?zhàn)勝了丙隊(duì)”?！皯?zhàn)勝”為非傳遞關(guān)系?！凹钻?duì)?wèi)?zhàn)勝乙隊(duì)，乙隊(duì)?wèi)?zhàn)勝丙隊(duì)”為真，“甲隊(duì)?wèi)?zhàn)勝丙隊(duì)”則真假不定。⒊反傳遞關(guān)系：aRb真，bRc真，則aRc必假（即并非aRc）?！癛”表示反傳遞關(guān)系。例如：“a是b的4倍，b是c的4倍”。其中“4倍”是反傳遞關(guān)系?！癮是b的4倍，b是c的4倍”為真，“a是c的4倍”必假。三、關(guān)系推理㈠什么是關(guān)系推理關(guān)系推理是以關(guān)系判斷作為前提和結(jié)論，并根據(jù)各種類型關(guān)系的邏輯特性而進(jìn)行的推理。根據(jù)關(guān)系判斷的類型，關(guān)系推理主要分為對稱性關(guān)系推理、傳遞性關(guān)系推理。㈡對稱性關(guān)系推理對稱性關(guān)系推理是根據(jù)對稱性關(guān)系的邏輯特性而進(jìn)行的推理，主要包括對稱關(guān)系推理和反對稱關(guān)系推理。⒈對稱關(guān)系推理其結(jié)構(gòu)式為：aRb，所以，bRa例如：“3+2等于5，所以，5等于3+2”。⒉反傳遞關(guān)系推理其結(jié)構(gòu)式為：aRb，bRc；所以，a﹁Rc例如：a是b的4倍，b是c的4倍，所以，a不是c是4倍。非對稱判斷、非傳遞判斷中的關(guān)系是不確定性關(guān)系，即它們是否對稱，是否傳遞屬不確定的，因此，以非對稱判斷、非傳遞判斷做前提，不能推出有效結(jié)論。第四節(jié) 三段論一、什么是三段論㈠三段論的定義三段論是由兩個(gè)包含著一個(gè)共同項(xiàng)的性質(zhì)判斷出發(fā)，推出一個(gè)新性質(zhì)判斷的推理。因?yàn)樗齻€(gè)性質(zhì)判斷（直言判斷），又稱直言三段論。例如：所有的著名大學(xué)都要參與國際競爭，南開大學(xué)是著名大學(xué)，所以，南開大學(xué)要參與國際競爭。這個(gè)推理就是以兩個(gè)包含著一個(gè)共同項(xiàng)的性質(zhì)判斷為前提，推出一個(gè)新的性質(zhì)判斷的三段論。㈡

三段論的結(jié)構(gòu)⒈任何一個(gè)三段論都包含著三個(gè)項(xiàng)（概念）：大項(xiàng)、小項(xiàng)和中項(xiàng)?！靶№?xiàng)”即結(jié)論中的主項(xiàng)，如上述推理中的“南開大學(xué)”，小項(xiàng)在公式中用“S”表示?！爸许?xiàng)”即在兩前提中都出現(xiàn)，而在結(jié)論中不出現(xiàn)的項(xiàng)，如上述推理中的“著名大學(xué)”。中項(xiàng)在公式中用“M”表示?！按箜?xiàng)”即結(jié)論中的謂項(xiàng)，如上述推理中的“要參與國際競爭”。大項(xiàng)在公式中用“P”表示。⒉任何一個(gè)三段論都包含著三個(gè)性質(zhì)判斷。其中，兩個(gè)作為推理依據(jù)的、包含著一個(gè)共同概念的判斷是前提（分為大、小前提），由兩個(gè)前提推出的新判斷是結(jié)論。“大前提”是包含著大項(xiàng)的前提，如上述推理中的“所有著名大學(xué)都要參與國際競爭”?！靶∏疤帷笔前№?xiàng)的前提，如上述推理中的“南開大學(xué)是著名大學(xué)”?！敖Y(jié)論”是由兩個(gè)前提推出的新判斷，如上述推推理中的“南開大學(xué)要參與國際競爭”。根據(jù)三段論結(jié)構(gòu)的分析，前例推理可用公式表示為：所有的M都是P，S是M，所以，S是P。三、三段論規(guī)則三段論的規(guī)則是保證三段論有效的推理規(guī)則。符合三段論規(guī)則的推理，是有效的三段論；反之，違背三段論規(guī)則的推理，是無效的三段論。三段論規(guī)則共有七條，可分為關(guān)于項(xiàng)的規(guī)則和關(guān)于前提的規(guī)則兩部分。前三條是關(guān)于項(xiàng)的規(guī)則，后四條是關(guān)于前提的規(guī)則。第一，在一個(gè)三段論中，只能有三個(gè)不同的項(xiàng)。否則要犯“四項(xiàng)錯(cuò)誤”（亦稱“四名詞錯(cuò)誤”或“四概念錯(cuò)誤”）。2．分解式聯(lián)言推理的分解式是根據(jù)聯(lián)言推理規(guī)則2，即由前提

肯定聯(lián)言判斷，推出結(jié)論肯定其中任一聯(lián)言支的聯(lián)言推理。例②計(jì)算機(jī)不僅要有硬件，而且要有軟件支持；所以，計(jì)算機(jī)要有軟件支持。組合式的一般邏輯形式為：p并且q所以，p

（或：所以，q）該形式可用符號公式表示為：（

p∧q）→p 或者：（

p∧q）→q（該公式表達(dá)的邏輯原理，可簡稱為“∧－”）3．否定否定式聯(lián)言推理的否定否定式是根據(jù)聯(lián)言推理規(guī)則3，即由前提否定一個(gè)聯(lián)言支，結(jié)論可推出否定包含該聯(lián)言支的整個(gè)聯(lián)言判斷。例③ 并非小王是運(yùn)動(dòng)員，所以，并非小王和小李都是運(yùn)動(dòng)員。否定否定式的一般邏輯形式為：并非p所以，并非（p并且q）該形式可用符號公式表示為：┐p

→

┐（p

∧

q） 或者： ┐q

→

┐（p

∧

q）（其中，符號“┐”是邏輯否定符號，讀作“并非”，它對緊隨其后的命題變項(xiàng)或命題形式構(gòu)成否定。）第二節(jié) 選言判斷及其推理一、選言判斷及其種類㈠什么是選言判斷選言判斷是斷定事物若干種可能情況中至少有一種情況存在，或者只有一種情況存在的復(fù)合判斷。例① 一部作品優(yōu)秀，或者是思想內(nèi)容深刻，或者是藝術(shù)形式精湛。例② 所謂飛碟，要么是地球人施放的飛行器，要么是外星人的飛船，要么是大氣的自然現(xiàn)象。選言判斷由選言支和選言聯(lián)結(jié)詞組成。選言支，是選言判斷中包含的支判斷，一個(gè)選言判斷至少要由兩個(gè)或兩個(gè)以上的選言支組成。選言聯(lián)結(jié)詞，是表示對選言支反映的若干種事物情況選擇性斷定的邏輯標(biāo)志，通常用“或者”、“要么”來表示。㈡選言判斷的種類根據(jù)選言判斷使用的聯(lián)結(jié)詞的不同，或者根據(jù)選言支斷定的事物情況是否可以同時(shí)存在，選言判斷可分為相容選言判斷和不相容選言判斷兩種類型。在選言判斷中，選言聯(lián)結(jié)詞是邏輯常項(xiàng)，不同的選言聯(lián)結(jié)詞可做為區(qū)分相容選言判斷和不相容選言判斷的邏輯標(biāo)志。通常，聯(lián)結(jié)詞“或者”一般用于表示相容選言判斷；聯(lián)結(jié)詞“要么”一般用于表示不相容選言判斷。二、相容選言判斷及其推理㈠相容選言判斷及其結(jié)構(gòu)相容選言判斷是斷定事物若干可能情況中至少有一種情況存在，并且可以同時(shí)存在的選言判斷。所謂“相容”主要指選言支斷定的事物情況可以同時(shí)并存，或者說選言支可以同時(shí)為真。如：例①液體沸騰的原因，或者是因?yàn)闇囟壬?，或者是因?yàn)閴毫p小。例②降低生產(chǎn)成本的方法或者是節(jié)省開支，或者是提高效率。相容選言判斷由相容選言聯(lián)結(jié)詞“或者”聯(lián)結(jié)兩個(gè)以上的選言支組成。日常語言中的“……或……”、“可能……可能……”、“也許……也許……”等關(guān)聯(lián)詞，也具有“或者”的邏輯含義，都可以用作表示相容選言判斷。相容選言判斷的邏輯結(jié)構(gòu)式為：p或者q其中，聯(lián)結(jié)詞“或者”可用符號“∨”（讀作“相容析取”）表示。所以，相容選言判斷的結(jié)構(gòu)式又可寫作：p

∨

q㈡相容選言判斷的真值相容選言判斷斷定事物若干可能情況中，至少有一種情況

存在，并且可以同時(shí)存在。因此，當(dāng)選言支中至少有一個(gè)取

值為真（含選言支同時(shí)為真）時(shí)，相容選言判斷就是真的；

反之，當(dāng)所有選言支都取值為假時(shí)，相容選言判斷就是假的。例如：“小趙是大學(xué)生，或者是運(yùn)動(dòng)員”這個(gè)相容選言判斷，在兩個(gè)選言支斷定的李某“是大學(xué)生”和“是運(yùn)動(dòng)員”中至少有一種情況存在，或者說至少有一個(gè)選言支為真時(shí)，包括“是大學(xué)生，而不是運(yùn)動(dòng)員”、“不是大學(xué)生，而是運(yùn)動(dòng)員”和“既是大學(xué)生，又是運(yùn)動(dòng)員”等情況，該相容選言判斷都是真的；只有在兩個(gè)選言支均取值為假，即在小趙

“既不是大學(xué)生，也不是運(yùn)動(dòng)員”的情況下，該相容選言判斷為假。相容選言判斷的真假情況，可用真值表表示如下：由表中可知：選言支p和q有一個(gè)為真、或者同時(shí)為真，相容選言判斷“p或者q”為真；選言支p和q均為假，相容選言判斷“p或者q”取值為假。㈢相容選言推理1．相容選言推理的定義和規(guī)則相容選言推理是以相容選言判斷為前提，并依據(jù)相容選言判斷的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理。根據(jù)前述相容選言判斷的邏輯性質(zhì)，相容選言推理有以下規(guī)則：⑴由否定一個(gè)選言支，可推出肯定另一個(gè)選言支。⑵由肯定一個(gè)選言支，可推出肯定包含該選言支的整個(gè)選言判斷。⑶由肯定一個(gè)選言支，不能推出否定另一個(gè)選言支。⑵肯定肯定式相容選言推理的肯定肯定式，是根據(jù)相容選言推理的規(guī)則⑵，即由前提肯定一個(gè)選言支，推出結(jié)論肯定包含該選言支的整個(gè)選言判斷。例② 小趙是大學(xué)生，所以，小趙是大學(xué)生，或者是運(yùn)動(dòng)員。肯定肯定式的一般邏輯形式為：p；所以，p或者q用符號公式可表示為：p

→

p∨q（該公式表示的邏輯原理，通常簡稱為“∨＋”。）前件“p”與后件“q”的這種邏輯關(guān)系，也就是邏輯學(xué)中所謂“充分條件”的含義。其中“有p必有q”，也就是說前件存在，后件一定存在，是邏輯“充分條件”的基本含義。在日常語言中，“只要…就…”、“若…則…”、“假如…就…”、“…則…”等關(guān)聯(lián)詞構(gòu)成的句型，通常也表示充分條件假言判斷。我們選用“如果…那么…”做為充分條件假言判斷的典型聯(lián)結(jié)詞。充分條件假言判斷的邏輯結(jié)構(gòu)式為：如果p，那么q其中，聯(lián)結(jié)詞“如果…那么…”可用符號“→”（讀作“蘊(yùn)涵”）表示。所以，充分條件假言判斷的結(jié)構(gòu)式又可寫作： p

→

q㈡充分條件假言判斷的真值根據(jù)充分條件假言判斷的邏輯性質(zhì)及其前后件之間的邏輯關(guān)系，可知，一個(gè)充分條件假言判斷當(dāng)且僅當(dāng)其前件為真并且后件為假時(shí)，則它是假的。因?yàn)槠淝昂蠹g的關(guān)系不符合“充分條件”，即“前件存在的情況下后件一定存在”的邏輯性質(zhì)。反之，在前件與后件的其他真假組合下，充分條件假言判斷都是真的。例如：“如果患了闌尾炎，那么就會肚子疼”這一充分條件假言判斷，當(dāng)其前件為真而后件為假時(shí)，即在“患了闌尾炎并且肚子不疼”的情況下，該判斷取值為假。而在其前后件為其他真假組合時(shí)，包括“患了闌尾炎并且肚子疼”、“沒患闌尾炎并且肚子疼”和“沒患闌尾炎并且肚子不疼”等情況下，該判斷都是真的。（參見下頁真值表）據(jù)表中顯示，當(dāng)前后件取值為p真、q假時(shí)，充分條件假言判斷“如果p那么q”為假；在前后件為其他真假組合下，充分條件假言判斷“如果p那么q”均取值為真。另外，在“如果p，那么q”取值為真時(shí)，正好對應(yīng)前件p為假或者后件q為真的三種情況。也就是說，斷定一個(gè)充分條件假言判斷為真，就等于斷定其前件為假或者后件為真。這種關(guān)系可用等值式表示為：“如果p，那么q”等值于“非p或者q”用符號公式可表示為：（

p→q）←→（┐p∨q）（這是邏輯上“蘊(yùn)涵”與“析取”的轉(zhuǎn)換律）㈢充分條件假言推理1．充分條件假言推理定義和規(guī)則充分條件假言推理是以充分條件假言判斷為前提，并依據(jù)充分條件假言判斷的邏輯性質(zhì)進(jìn)行的推理。根據(jù)前述充分條件假言判斷的前后件之間的關(guān)系，充分條件假言推理有以下規(guī)則：⑴由肯定前件，可以推出肯定后件。⑵由否定后件，可以推出否定前件。⑶由否定前件，不能推出否定后件。⑷由肯定后件，不能推出肯定前件。⑵否定后件式：充分條件假言推理的否定后件式是根據(jù)上述規(guī)則⑵，即由前提否定假言判斷的后件，推出結(jié)論否定假言判斷的前件的假言推理。例②如果電視畫面清晰，那么閉路電視信號傳輸正常；閉路電視信號傳輸出現(xiàn)故障；所以，電視畫面不清晰。否定后件式的邏輯形式為：如果p，那么q；非q；所以，非p該形式可用符號公式表示為：（p

→

q）∧

┐q

→

┐p4．復(fù)雜破壞式假言選言推理的復(fù)雜破壞式，是選言前提分別否定兩個(gè)假言前提不同的后件，結(jié)論否定兩個(gè)假言前提不同的前件的推理。例⑤ 如果某官員聯(lián)系群眾，那么他深入群眾；如果某官員相信群眾，那么他依靠群眾；某官員或者不深入群眾，或者不依靠群眾；所以，他或者不聯(lián)系群眾，或者不相信群眾。例⑤就是復(fù)雜破壞式的二難推理，其結(jié)構(gòu)式為：如果p那么q；如果r那么s；非q或者非s；所以，非p或者非r。用符號公式可表示為：（（p

→

q）∧（r

→

s））∧（┐q

∨

┐s）→（┐p

∨

┐r三、反三段論反三段論是以一個(gè)類似三段論結(jié)構(gòu)的、前件為聯(lián)言判斷的充分條件假言判斷為前提，通過否定假言判斷的后件并肯定其前件中的一個(gè)聯(lián)言支，而否定其前件中的另一個(gè)聯(lián)言支的推理。對于形式有效的三段論來說，當(dāng)大前提為真，并且小前提也為真時(shí)，其結(jié)論一定為真。由此可以反推，如果其結(jié)論為假并且其前提之一為真，則另一前提一定是假的。即由：大前提真∧小前提真→結(jié)論真可得到：結(jié)論假∧大前提真→小前提假或得到：結(jié)論假∧小前提真→大前提假反三段論正是運(yùn)用上述三段論形式變化的原理而進(jìn)行的推理。用符號公式可表示為；（（p∧q）→

r）

→

（（┐r

∧

p）→

┐q）或者：（（p∧q）→

r）

→

（（┐r

∧

q）→

┐p）例②如果所有的鳥都會飛，并且鴕鳥是鳥，則鴕鳥會飛；鴕鳥是鳥，但鴕鳥不會飛；所以，有的鳥不會飛。（＝并非“所有鳥都會飛”）《邏輯學(xué)基礎(chǔ)教程》（第四版）第五章

邏輯基本規(guī)律第五章 邏輯的基本規(guī)律第一節(jié)

概述一、什么是邏輯的基本規(guī)律邏輯的基本規(guī)律是人們運(yùn)用概念、作出判斷、進(jìn)行推理和論證時(shí)必須遵守的最起碼的思維法則，是思維形式的規(guī)律。邏輯的基本規(guī)律有同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。邏輯基本規(guī)律與邏輯規(guī)則的關(guān)系：邏輯基本規(guī)律制約并適用于所有邏輯形式和方法，是普遍的規(guī)律。邏輯規(guī)則是特殊的邏輯規(guī)律，一般只適用于特定的邏輯形式和方法，如推理的規(guī)則，概念定義、劃分的規(guī)則等。重點(diǎn)掌握邏輯基本規(guī)律的內(nèi)容、公式、要求和違反規(guī)律所犯的邏輯錯(cuò)誤。二、邏輯基本規(guī)律的作用與意義（一）保證思想認(rèn)識在同一個(gè)思維過程中的確定性客觀事物在確定的時(shí)空條件下的質(zhì)的穩(wěn)定性，決定了思維認(rèn)識也必須有確定性。因此，邏輯基本規(guī)律的作用，就在于保證思想的確定性。其具體體現(xiàn)為：保證推理與論證的確定性、一貫性、明確性和論證性。（二）邏輯基本規(guī)律作用的條件性邏輯基本規(guī)律是客觀事物的質(zhì)的穩(wěn)定性在人們頭腦中的反映，它不是事物自身的規(guī)律，而是有關(guān)推理、論證的規(guī)律，因此，它只是在同一時(shí)間、同一關(guān)系的條件下，在圍繞著具有確定性的同一對象進(jìn)行推理、論證的過程中才起作用。（三）邏輯基本規(guī)律的意義邏輯基本規(guī)律是客觀事物在確定的時(shí)間、空間條件下的質(zhì)的穩(wěn)定性在人們頭腦中的反映，體現(xiàn)了規(guī)律的客觀性、必然性，在人們的思維過程中起規(guī)范作用。遵守它就可以保證推理與論證的確定性、一貫性、明確性和論證性，違反它就要犯不同的邏輯錯(cuò)誤。第二節(jié)

同一律一、同一律的基本內(nèi)容在同一推理、論證過程中，任何一個(gè)概念或判斷都與其自身保持同一。同一律所要求的“同一”，是指在同一時(shí)間、同一關(guān)系下對具有確定性的同一對象而言；如果不符合這一條件，同一律就失去了它的規(guī)范作用。二、同一律的邏輯表達(dá)式A是A

或

A→A“A”表示的是任何一個(gè)概念或判斷。所謂“A是A”是指：在同一個(gè)推理、論證過程中，一個(gè)概念或判斷所反映的或所斷定的內(nèi)容是始終不變的，其性質(zhì)是確定的。三、同一律的邏輯要求同一律的邏輯要求就是“確定性的要求”。它要求在同一個(gè)推理、論證過程中，每一個(gè)概念或判斷必須保持自身的同一，即必須保持思維自身的確定性。四、違反同一律的邏輯錯(cuò)誤㈠混淆概念或偷換概念㈡混淆論題或偷換論題例如：“張先生買了新手表，他把新手表與家里掛鐘比較，手表一天快了三分鐘。又拿家里掛鐘與電臺標(biāo)準(zhǔn)時(shí)比較，掛鐘一天慢了三分鐘。因此，他認(rèn)為自己的新手表準(zhǔn)確”。第六章 歸納推理第一節(jié)

歸納推理概述一、什么是歸納推理從傳統(tǒng)邏輯角度說，歸納推理是以個(gè)別性或特殊性知識為前提，推出一般性論斷做結(jié)論的推理。例如：金是金屬具有導(dǎo)電性；銀是金屬具有導(dǎo)電性；銅是金屬具有導(dǎo)電性；鐵是金屬具有導(dǎo)電性；所以，所有金屬具有導(dǎo)電性。二、歸納推理與演繹推理的關(guān)系歸納推理與演繹推理既有區(qū)別又有聯(lián)系。二者的主要區(qū)別為：⒈從前提的知識類型看，演繹推理的前提為一般性、普遍性判斷；歸納推理的前提通常為個(gè)別性、特殊性判斷。⒉從結(jié)論的知識范圍看，演繹推理的結(jié)論蘊(yùn)涵在前提中，或者說沒有超出前提的斷定；歸納推理的結(jié)論則超出了前提的斷定。⒊從前提與結(jié)論的聯(lián)系程度看，演繹推理是必然性推理，歸納推理一般說來是或然性推理。當(dāng)然，演繹推理與歸納推理又是密切聯(lián)系的，在思維中具有互相依存的互補(bǔ)關(guān)系。三、歸納推理的種類歸納推理可分為完全歸納推理和不完全歸納推理；不完全歸納推理包括：簡單枚舉歸納和科學(xué)歸納。此外，歸納推理還包括探求因果聯(lián)系的邏輯方法。完全歸納推理簡單枚舉歸納推理歸納推理不完全歸納推理科學(xué)歸納推理探求因果聯(lián)系的方法（穆勒五法）第二節(jié)完全歸納推理與不完全歸納推理一、完全歸納推理完全歸納推理是根據(jù)一類事物中每一個(gè)對象都具有（或不具有）某種屬性，推出該類事物都具有（或不具有）某種屬性的歸納推理。例如：直角三角形的內(nèi)角和是180°；銳角三角形的內(nèi)角和是180°；鈍角三角形的內(nèi)角和是180°；直角、銳角、鈍角三角形是全部的三角形；所以，所有三角形的內(nèi)角和都是180°。這是一個(gè)完全歸納推理，前提斷定三角形這一類事物中的每一種類型都具有內(nèi)角和是180°的屬性，結(jié)論推出“所有三角形的內(nèi)角和都是180°”的一般性認(rèn)識。完全歸納推理的公式表示為：S1

-----

P；S2

-----

P；S3

-----

P；……Sn

-----

P

；S1

、S2

、S3…Sn是S類的全部對象；所以，所有S都是P。公式中S1、S2、S3、S

n分別表示個(gè)別事物，P表示事物的屬性，S表示S1、S2、S3、S

n所屬的一類事物。完全歸納推理的特點(diǎn)是：①前提中考察了一類事物的每一個(gè)對象，無一遺漏。②前提與結(jié)論之間具有必然性聯(lián)系，前提真，結(jié)論必真。二、不完全歸納推理不完全歸納推理是根據(jù)一類事物中部分對象具有（或不具有）某種屬性，推出該類事物全部都具有（或不具有）某種屬性的歸納推理。例如：黃魚是在水中生存的；鯽魚是在水中生存的；鯉魚是在水中生存的；青魚是在水中生存的；黃魚、鯽魚、鯉魚、青魚都是魚；所以，所有的魚都是在水中生存的。這是一個(gè)不完全歸納推理，前提列舉出魚類中的部分對象具有“在水中生存”的屬性，推出“所有的魚都是在水中生存的”一般性認(rèn)識做結(jié)論。不完全歸納推理分為枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理兩類㈠枚舉歸納推理枚舉歸納推理也稱枚舉歸納法，是不完全歸納推理的基本類型之一。它是根據(jù)一類事物中部分對象具有（或不具有）某種屬性，并且沒有遇到相反情況，從而推出該類事物都具有某種屬性的歸納推理。枚舉歸納法是人們在長期的實(shí)踐活動(dòng)基礎(chǔ)上逐漸概括形成的，屬于最基本的邏輯推理類型，也是一種科學(xué)認(rèn)識的方法。枚舉歸納推理的特點(diǎn)：①前提是對一類事物部分對象的斷定。②前提和結(jié)論間只具有或然性聯(lián)系。提高枚舉歸納推理結(jié)論可靠性：①枚舉對象越多，范圍越廣，結(jié)論越可靠；②注意尋找同類中有沒有相反的事例。例如：燕子是卵生的，麻雀是卵生的，大雁是卵生的，老鷹是卵生的，燕子、麻雀、大雁、老鷹都是鳥，所以，所有的鳥都是卵生的。這是一個(gè)枚舉歸納推理，前提考察了鳥類中的部分對象有卵生的屬性，同時(shí)沒有遇到相反情況，推出“所有的鳥都是卵生的”一般性結(jié)論。例如：金遇冷時(shí)體積縮?。汇y遇冷時(shí)體積縮?。汇~遇冷時(shí)體積縮??；金、銀、銅是金屬類的部分對象，它們遇冷時(shí)體積縮小，是因?yàn)榉肿幽哿Φ脑鰪?qiáng)使分子間隙縮小。所以，凡金屬遇冷時(shí)都會體積縮小?？茖W(xué)歸納推理的形式是：S1是（或不是）P；S2是（或不是）P；……Sn是（或不是）P；S1、S2…Sn是S類的部分對象，并且它們與P之間有因果關(guān)系；所以，所有S是（或不是）P。第三節(jié)

穆勒五法“穆勒五法”是歸納邏輯中探求因果聯(lián)系的五種方法，由19世紀(jì)英國邏輯學(xué)家穆勒提出。探求因果聯(lián)系的方法在古代就已萌芽，以后隨著科學(xué)的發(fā)展，經(jīng)過對前人經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，由穆勒概括為五種求因果聯(lián)系的方法，即：求同法、求異法、求同求異并用法、共變法和剩余法，簡稱“穆勒五法”或“求因果五法”。穆勒五法根據(jù)因果聯(lián)系的一些特點(diǎn)，把那些不是被研究現(xiàn)象的原因的先行情況排除掉，而在其余的先行情況與被研究現(xiàn)象之間確立因果聯(lián)系的方法。因此，穆勒五法也叫“排除歸納法”或“排除歸納推理”。求同法的形式是：場合相關(guān)先行情況被研究現(xiàn)象ⅠA、B、CaⅡA、D、EaⅢA、F、Ga…………所以，A是a的原因（或結(jié)果）其中的a表示被研究對象，A表示在不同場合中的惟一共同的先行情況，B、C、D、E、F、G表示不同場合中的不同情況。求同法要求在被研究現(xiàn)象出現(xiàn)的若干場合的相關(guān)先行情況中，除一種情況相同外，其他情況的差異越大，結(jié)論就越可靠。但是，在實(shí)際思維中，要尋找惟一共同的事例是很困難的，并且人們也不可能窮盡被研究現(xiàn)象出現(xiàn)的所有場合。求同法的特點(diǎn)是：⒈異中求同。⒉結(jié)論不是必然推出的。應(yīng)用求同法應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：⒈比較的場合越多，結(jié)論的可靠程度越高。⒉不同場合中的共同先行情況必須是唯一的。二、求異法（差異法）求異法是說：如果在被研究現(xiàn)象出現(xiàn)與不出現(xiàn)的兩種場合的先行情況中，惟有一種情況不同，其他情況相同，那么這個(gè)惟一不同情況就是被研究現(xiàn)象的原因（或結(jié)果）。例如，加拿大洛文教授為了弄清候鳥遷徙之迷，曾在秋天捕捉了幾只候鳥。入冬后，將其中的幾只候鳥置于白晝一天天變短（秋冬）的自然環(huán)境里，另外的幾只候鳥置于日光燈照射之下的類似于白晝一天天延長（春夏）的人工環(huán)境里。到了12月間，將兩種環(huán)境里的候鳥全部放飛，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，日光燈照射的候鳥像春天里的候鳥一樣向北飛去，而未受日光燈照射的候鳥卻留在原地。據(jù)此，洛文教授認(rèn)為：候鳥遷徙的原因不是氣溫的升降，而是晝夜的長短。求異法的形式是：場合 相關(guān)先行情況 被研究現(xiàn)象Ⅰ

A、

B、C aⅡ —、B、C—所以，A是a的原因（或結(jié)果）其中，場合Ⅰ叫做正面場合，先行情況A出現(xiàn)，被研究現(xiàn)象a也出現(xiàn)；場合Ⅱ叫做負(fù)面場合，先行情況中A不出現(xiàn)，被研究現(xiàn)象a也不出現(xiàn)。而B、C則是正負(fù)場合中共有的先行情況。求異法的特點(diǎn)是：⒈同中求異，即正負(fù)場合其他情況完全相同，只有一種不同情況。⒉結(jié)論不是必然推出的。應(yīng)用求異法應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：⒈在正負(fù)場合中，除了某一先行情況不同之外，如果還隱藏著其他不同的先行情況，那么這另一先行情況可能是被研究現(xiàn)象的真正原因（或結(jié)果）。⒉要分析正、負(fù)場合中惟一不同的先行情況是被研究現(xiàn)象的全部原因還是部分原因。因?yàn)?，如果被研究對象的原因是?fù)合的，而且各部分原因的單獨(dú)作用不同，那么，全部原因的一部分情況消失時(shí)，被研究現(xiàn)象也不會出現(xiàn)。三、求同求異并用法（契合差異并用法）求同求異并用法是說，如果在被研究現(xiàn)象出現(xiàn)的若干場合（正事例組）中只有一個(gè)共同情況，而在被研究現(xiàn)象不出現(xiàn)的若干場合（負(fù)事例組）中卻不出現(xiàn)該共同情況，那么這一共同情況就是被研究現(xiàn)象出現(xiàn)的原因（或結(jié)果）。例如，有人做了一種證明運(yùn)動(dòng)對人體的必要性的實(shí)驗(yàn)。把一群大學(xué)生分為兩組，一組人在一房間內(nèi)連續(xù)躺20天，不做運(yùn)動(dòng)；另一組人在另一房間里除臥床外，每天安排做四次運(yùn)動(dòng)，每次持續(xù)10分鐘。結(jié)果前一組人20天實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，出現(xiàn)疲乏、困倦、食少等癥狀，下床后頭暈、心悸，行動(dòng)遲緩，甚至?xí)灥?，而另一組人生理和心理完全正常。求同求異并用法的形式是：場合正事例組Ⅰ正事例組Ⅱ正事例組Ⅲ…相關(guān)先行情況A、B、CA、D、EA、F、G……被研究現(xiàn)象aaa…負(fù)事例組Ⅰ′負(fù)事例組Ⅱ′負(fù)事例組Ⅲ′—、M、N—、Q、P—、Q、S---所以，A是a的原因（或結(jié)果）。共變法的形式是：場合相關(guān)先行情況被研究現(xiàn)象ⅠA1、B、C、Da1ⅡA2、B、C、Da2ⅢA3、B、C、Da3…………所以，A是a的原因（或結(jié)果）。其中，A1、A2、A3……表示惟一相關(guān)先行情況A的不同變化狀態(tài)；a1

、a2

、a3

……表示被研究現(xiàn)象的不同變化狀態(tài)；

B、C、D表示各不同場合中其它相同的先行情況保持不變。剩余法的形式是：復(fù)合現(xiàn)象A、B、C、D，是被研究的復(fù)合現(xiàn)象a、b、c、d的原因；其中已知：B是b的原因C是c的原因D是d的原因所以，A是a的原因剩余法的特點(diǎn)：⒈從余果中尋余因；⒉原因與結(jié)果都是復(fù)合的，不需要若干場合做比較或?qū)φ?；⒊結(jié)論不是必然推出的。第七章

類比推理與假說演繹法第一節(jié)類比推理一、什么是類比推理類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在一系列屬性上相同，從而推出它們在另一個(gè)或另一些屬性上也相同的推理。例如：荷蘭科學(xué)家惠更斯（1629—1695）在研究光的性質(zhì)時(shí)，曾將光與聲這兩類現(xiàn)象做比較，發(fā)現(xiàn)它們之間在許多性質(zhì)上是相同的，如直線傳播，反射、折射、和干擾等；并且已經(jīng)知道聲的傳播具有波動(dòng)狀態(tài)。由此，惠更斯做出推斷：光的傳播也可能具有波動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)，從而提出了“光波”這一科學(xué)概念。類比推理的公式表示為：對象

屬性A---------a、b、c、d；B---------a、b、c；

所以，B可能也有屬性d。公式中的A、B表示兩個(gè)或兩類對象，a、b、c、d表示對象具有的屬性，推出對象可能具有屬性d。類比推理的特點(diǎn)是：第一，前提由兩個(gè)或兩類對象的比較構(gòu)成；第二，前提與結(jié)論的聯(lián)系是或然的。第二節(jié)假說演繹法一、什么是假說假說是根據(jù)已知的事實(shí)材料和科學(xué)原理，對事物的未知原因或發(fā)展規(guī)律所做的假定性解釋。人們在研究客觀事物的過程中，首先要根據(jù)已經(jīng)掌握的情況，提出某種假定或推測（當(dāng)然不是指那些毫無根據(jù)，荒誕不經(jīng)的臆想）。這種假定或推測的思維形式就是假說，它往往是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的前導(dǎo)。任何科學(xué)發(fā)現(xiàn)都要首先提出科學(xué)假說，然后予以確證。假說是一種比較復(fù)雜的思維形式結(jié)構(gòu)，它是各種推理形式及邏輯方法的綜合運(yùn)用。例④（分析論證方式，假言連鎖推論）：淮州市的發(fā)展前景不容樂觀。它的經(jīng)濟(jì)發(fā)展依賴于工業(yè)，工業(yè)為居民提供就業(yè)崗位和工資。而它的自然生存環(huán)境則取決于消除工業(yè)污染。工業(yè)污染危及到它的空氣、水和建筑。不幸的是，它的工業(yè)不可避免地產(chǎn)生污染。如果以上所說都是真的，則它們最有力地支持以下哪項(xiàng)陳述？A．淮州市的生活質(zhì)量只取決于它的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和自然生存環(huán)境。B．淮州市一定會遇到經(jīng)濟(jì)發(fā)展停滯或自然環(huán)境惡化的問題。C．近年來淮州市的經(jīng)濟(jì)環(huán)境已經(jīng)惡化。D．淮州市空氣、水和建筑的污染主要是由化工企業(yè)造成的。命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)部分。它以簡單命題為單位，研究命題經(jīng)邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題的邏輯性質(zhì)以及關(guān)于復(fù)合命題之間的推理關(guān)系。概括地說，它研究邏輯聯(lián)結(jié)詞的邏輯性質(zhì)和相應(yīng)的推理關(guān)系。在命題邏輯中，研究命題時(shí)，只將命題分析到簡單命題為止，對于簡單命題中所包含的其他成分不再做分析。在命題邏輯中，重言式（取值總為真的命題）為數(shù)無窮，它們表達(dá)了命題邏輯的邏輯規(guī)律。弄清這些重言式，對于掌握命題邏輯具有極為重要的意義。為了系統(tǒng)地掌握和研究這些邏輯規(guī)律，通常是將全部重言式包括在一個(gè)系統(tǒng)之中，用公理化的方法將全部命題邏輯規(guī)律系統(tǒng)化，從而得到一個(gè)形式系統(tǒng)。這個(gè)形式系統(tǒng)就是命題邏輯的公理系統(tǒng)，即命題演算。為了介紹命題邏輯的公理系統(tǒng)，這一節(jié)我們需要下面的一些知識。一、命題 邏輯聯(lián)結(jié)詞一個(gè)有真假的語句稱為命題。凡與客觀情況符合的命題叫做真命題，否則稱為假命題。如：5是偶數(shù)。王楠是一個(gè)乒乓球運(yùn)動(dòng)員。真和假統(tǒng)稱為真值。亦即真是真值，假

也是真值。如果一個(gè)命題能正確反映客

觀世界，它就是真命題并取真值。否則，它就是假命題并取假值。在下面的討論

中，我們將撇開命題的其他屬性，只把

命題看作或真或假的語句。一般說來，一個(gè)命題，如果其中不再包含其他的命題成分，那么就稱它為簡單命題。例如，在前面所舉的幾個(gè)命題中，“王楠是一個(gè)乒乓球運(yùn)動(dòng)員”，

“5是偶數(shù)”等都是簡單命題。一個(gè)命

題，如果其中至少包含有一個(gè)其他命題，那么就稱他為復(fù)合命題。如“2是素?cái)?shù)并且3也是素?cái)?shù)”，“并非3是偶

數(shù)”等等，這些都是復(fù)合命題。前一

個(gè)例子中包含兩個(gè)簡單命題，即“2是素?cái)?shù)”和“3也是素?cái)?shù)”。后面的例子

中包含一個(gè)簡單命題，即“3是偶數(shù)”。組成復(fù)合命題的那些命題叫作復(fù)合命

題的支命題。把幾個(gè)支命題聯(lián)結(jié)起來從而構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題的詞項(xiàng)叫做真值聯(lián)結(jié)詞。在該課程中，經(jīng)常用到的真值聯(lián)結(jié)詞一共有五個(gè)。它們是：否定詞（并非）、合取詞（并且）、析取詞（或）、蘊(yùn)涵詞（如果，則）和等值詞（當(dāng)且僅當(dāng)）。關(guān)于其他聯(lián)結(jié)詞與日常語言中對應(yīng)的聯(lián)結(jié)詞之間的區(qū)別，我們不再討論。由于這五個(gè)聯(lián)結(jié)詞反映了思維中經(jīng)常出現(xiàn)的五種復(fù)合命題的真假關(guān)系，所以我們把這五個(gè)聯(lián)結(jié)詞叫做基本的真值聯(lián)結(jié)詞。由它們構(gòu)成的真值形式分別叫做否定式（即：┑p,讀作：并非

p）、合取式（即：pq，讀作：p并且q）、析取式（即：p

q，讀作：p或者q）、蘊(yùn)涵式（即：pp蘊(yùn)涵q）和等值式（即：pq，讀作：

q，讀作：p等值于q）。它們所對應(yīng)的真值表如下：p

┑ppq真假pq假真pqpqp

q真真真真真真真假假真假假假真假真真假假假假假真真函項(xiàng)的種類是有限的。從真值表的角度來講，含有2個(gè)命題變項(xiàng)的真值形式，能并且只能做出16個(gè)不同的

真值表。另外，從前面的討論中可以看出，不同的真值函項(xiàng)按所取真值的不同，可以分為下面三類：第一類：永真的，即不論真值函項(xiàng)中所含變項(xiàng)取什么值，真值函項(xiàng)的值總為真。例如，p

﹁p。第二類：有真有假的，即不論真值函項(xiàng)中所含變項(xiàng)取什么值，真值函項(xiàng)的值有時(shí)為真有時(shí)為假。例如，p

q。第三類：永假的，即不論真值函項(xiàng)中所含變項(xiàng)取什么值，真值函項(xiàng)的值總為假。如：┑（p┑p），它們的真值表為：pq┑pp┑ppq┑（p

┑p）真真假真真假真假假真假假假真真真假假假假真真假假習(xí)慣上，我們把具有第一類特征的真值形式叫做重言式。它所對應(yīng)的真值函項(xiàng)叫做重言的真值函項(xiàng)。把具有第二類特征的真值形式叫做可滿足式。把具有第三類特征的真值形式叫做不可滿足式，或永假式，或矛盾式。在命題邏輯中，重言式是人們最感興趣的，因?yàn)樗从车氖敲}邏輯中的邏輯規(guī)律。從思維和形式結(jié)構(gòu)上來說，可以將重言式分為以下三類：再用蘊(yùn)涵號

將前提（p

q）

p和結(jié)論q聯(lián)結(jié)起來，構(gòu)成蘊(yùn)涵式（（p

q）

p）q，則這一命題形式是重言式。推理的正確性是顯然的。第三類：還有一些重言式是以等值形式出現(xiàn)的，它們又叫重言等值式。這些等值式也表現(xiàn)了命題邏輯的規(guī)律，其中有一些對邏輯演算是很重要的。借助這些規(guī)律可以形成重要的邏輯方法，如求范式等。例11

用簡化真值表方法判斷：（（p

q）┑p）

┑q是否重言式。解：（（p

q） ┑

p） ┑

q①假（假設(shè)）②真假③真真真④假當(dāng)p假q真時(shí)，（（pq）┑p）┑q為假，故（（p

q）┑p）┑q不是重言式?，F(xiàn)在，做α：（（p

q）

┑p）

┑q的真值表：pq┑p┑qpq（pq）┑pα真真假假真假真真假假真假假真假真真假真真假假假真真真真真從上面的真值表也可以看出：當(dāng)p假

q真時(shí)，該公式的值為假。因此它不是重言式。這與用簡化真值表方法得出的結(jié)論是一致的。簡化真值表方法還可以更簡單一些。如：（（p q

）┑

p

）真②（（p q

）（（p q

） ┑

p

）

┑q假①┑q假假①②┑q真③┑

p

）真

真

假假②

③

①②┑

p

）

┑q③

④ ②

③④（（p q

）真真

真真假

假假真①

②③(2)真值樹方法真值樹方法也是一種用來判定一個(gè)給定的公式（命題形式）是否為重言式的方法。在很多場合中它比真值表和簡化真值表方法更為有效。真值樹的形狀像一棵倒置的樹。這

棵樹記做T。T的元素叫結(jié)點(diǎn)，每一結(jié)點(diǎn)

上都放一個(gè)有窮的公式集。如圖1-1所示，每個(gè)結(jié)點(diǎn)屬于惟一的一層，層可以用自然數(shù)標(biāo)明。如圖1-1所示的真值樹有3層，我們也可以說真值樹的深度為3。這里Фij（i,j=0，1，2，3

）是任意有窮的公式集。Ф00叫做真值樹T的始點(diǎn)，Ф21叫做

Ф11后繼，Ф31叫做樹T的一個(gè)終點(diǎn)。由Ф00，Ф11，Ф21和Ф31組成的這條道路叫真值樹的一個(gè)分枝。不同結(jié)點(diǎn)上的公式集

既可以相同，也可以不同。一棵真值樹

有幾個(gè)終點(diǎn)，就有幾個(gè)分枝。單個(gè)的Ф00也叫一棵真值樹（退化的），它既是始

點(diǎn)又是終點(diǎn)，它的結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)。所以，這棵真值樹只有一個(gè)分枝，就是它自身。真值樹T長出新枝的規(guī)則如下：┑┑規(guī)則：如果在T的一個(gè)終止于結(jié)點(diǎn)Ф的分枝的公式中有一個(gè)公式┑┑α,則附加一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)｛α｝作為Ф的后繼，如下圖所示。┑┑規(guī)則：︱┑┑α︱α規(guī)則：如果在T的一個(gè)終止于結(jié)點(diǎn)Ф的分枝的公式中有一個(gè)公式α

β，則附加兩個(gè)新的結(jié)點(diǎn)｛α｝和｛β｝作為Ф的后繼，如下圖所示。規(guī)則：︱α

βαβ┑

規(guī)則：如果在T的一個(gè)終止于結(jié)點(diǎn)Ф的分枝的公式中有一個(gè)公式┑（αβ），則附加一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)｛┑α，┑β｝作為Ф的后繼，如下圖所示。┑

規(guī)則：︱┑（α

β）︱┑α

,

┑β√┑┑p┑r︱p∕＼┑pq×∕＼┑qr×

×因?yàn)槲覀兡軌驑?gòu)造┑（┑（┑q

r）

（┑（┑p

q）

（┑pr）））的一個(gè)反駁，所以，┑（┑q

r）（┑（┑p

q）

（┑p

r））是一個(gè)重言式。（六）求優(yōu)范式的步驟根據(jù)優(yōu)范式的定義，從一個(gè)給定的范式出發(fā)，求其優(yōu)范式的步驟如下：第一，展開：把不包含某一命題變項(xiàng)的簡單合取或簡單析取，置換為含有這一命題變項(xiàng)的一些簡單合取或簡單析取。展開的規(guī)則如下：①在簡單合取

中引入命題變項(xiàng)（可取p，q，r等為值），將

換為

（┑）；②在簡單析取

中引入命題變項(xiàng)（可取p，q，r等為值），將

換為

（┑）；列。在按照特定的字典順序排列時(shí)，可使用交換律和結(jié)合律。（r

p）的優(yōu)析取范式。q）

（r

p）例17

求（p

q

p）解：消去p，得：

（p展開，得：（（p

q）

（r

┑r））

（（r

p）

（q

┑q

）分配，得：（p

q

r）

（p

q

┑r）

（r

p

q）

（r

p命題變項(xiàng)的排列：（p

q

r）

（p

q

┑r）

（p

q

r）

（p

┑簡單合取的排列，得：(p

q

r）

（p

q

r）

（p

q

┑r）

（p

┑q消去重復(fù)的簡單合取，得：即得所求優(yōu)析取范式。（p

q

r）

（p

q

┑r）

（p

┑q

r）此式為所求優(yōu)析取范式。第二節(jié)

命題邏輯的公理系統(tǒng)一、 形式系統(tǒng)（一）形式系統(tǒng)一個(gè)形式系統(tǒng)通常是由四部分組成的，它們是：各種初始符號、一組形成規(guī)則、公理和推理規(guī)則。初始符號是一個(gè)形式系統(tǒng)使用的符號，經(jīng)解釋后其中一部是初始概念。例如，命題演算中的“┑”是一個(gè)初始符號，經(jīng)解釋后它表示否定。初始符號給定之后，它們可以組成各種各樣的符號序列。形成規(guī)則規(guī)定，哪些符號序列是我

們要研究的，因?yàn)檫@類符號序列經(jīng)解釋后

是有意義的命題。因此，我們稱這類符號

序列為合式公式，簡稱公式，否則就不是

合式公式。例如，在命題演算中，“p┑”是沒有意義的符號序列，它不是合式公式；而“┑p”有意義，它表示命題p的否定命題，所以它是一個(gè)合式公式。我們建立形式系統(tǒng)的最終目的是要把所有的重言式匯集成一個(gè)整體。在這個(gè)整體中，重言式能演繹地排列出來，而且排在后面的總可以從前面“演繹”出，最前面的就是作為演繹出發(fā)的“公理”。它可以演繹出其他“重言式”，但它卻不能由別的“重言式”演繹出來。這里，對公理的惟一要求是，每一公理都是形式系統(tǒng)中的公式。在這里充當(dāng)演繹角

色的就是“推理規(guī)則”。每一推理規(guī)則規(guī)

定怎樣從一個(gè)公式或一組公式通過符號變

換得出另一個(gè)公式，由推理規(guī)則推導(dǎo)出的

公式叫作這個(gè)整體或者這個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)定理。初始符號和形成規(guī)則組成形式系統(tǒng)的語言，也叫形式語言。這種語言不是日常語言，而是只具有形狀的形式語言，或者說是一種表意的符號語言。公理和推理規(guī)則組成演繹工具，這種演繹工具僅僅是移動(dòng)符號的規(guī)則。對這樣的形式系統(tǒng)，我們要求它滿足，要有一個(gè)機(jī)械的方法判定下列各點(diǎn)：一符號是否為初始符號；任一符號序列是否為合式公式；任一公式是否為公理；任一公式是否能從給定的公式根據(jù)推理規(guī)則得到；一個(gè)有窮長的公式序列是否為證明，即序列中每一公式是否為公理或是從先行的公式應(yīng)用推理規(guī)則得到的。這里要求的機(jī)械方法是指：每一步都是按照某種事先給出的規(guī)則明確規(guī)定的而且在有窮步驟內(nèi)完成的方法。這樣做的目的是為了保證系統(tǒng)的嚴(yán)格性?？傊?，一個(gè)形式系統(tǒng)是由它的符號、公式、公理和推理規(guī)則完全確定的。有時(shí)我們也把形式系統(tǒng)看作一個(gè)完全形式化了的公理系統(tǒng)。所謂公理系統(tǒng)，就是從一些叫作公理的公式出發(fā)，根據(jù)演繹規(guī)則，推導(dǎo)出一系列叫作定理的公式，這樣形成的演繹體系就叫作公理系統(tǒng)。命題邏輯的重言式組成的系統(tǒng)就是一個(gè)公理系統(tǒng)。（二）語義和語法盡管我們建立起來的符號語言是純形式的，由它產(chǎn)生的符號和符號組成的公式不表示任何意義，公式的證明也只是公式的變形。但是，由于我們使用的是特定的人工語言，是一種表意的符號語言，這就使符號和所表達(dá)的意義之間有完全的對應(yīng)。因此，在講到概念、命題和推理時(shí)，我們就可以代之以和它們相應(yīng)的符號、公式，從而使對命題的研究轉(zhuǎn)化為對語言的研究，即對這種語言的語法和語義問題的研究。當(dāng)我們暫時(shí)撇開意義，只從語言符號方面來考慮問題時(shí)，這就是命題演算的語法研究。然而命題演算作為形式系統(tǒng)并不是不需要解釋，一個(gè)形式系統(tǒng)也只有經(jīng)過解釋后，才能有意義，才能成為關(guān)于某一領(lǐng)域的公理系統(tǒng)。給語言符號一種解釋，這就是命題演算的語義研究。在討論一種語言時(shí)，我們也還要使用語言，這兩種語言不是同一層次上的語言。當(dāng)被討論的語言是某種人工的表意符號時(shí)，定理5被稱為命題演算的雙重否定原則，定理6是定理5的逆命題。定理7證明：├（）（┑┑）①

β

┑┑β（定理5）②（β③

┑α┑┑β）β

┑α（┑α┑┑ββ┑α┑┑β）

（A4）（①,②MP）④

┑α⑤（┑α┑┑β┑┑β┑┑

β┑┑β┑α┑α）（A3）（（┑αβ

┑α┑┑β）（┑αβ┑┑β┑α））（定理1）從├

和├

，可得├。我們將稱此規(guī)則為“三段論”規(guī)則。PC的常用導(dǎo)出規(guī)則還有：若├（合取分解）;若├若├，則├

；若├，則├和├

則├，則├（條件合取）（等值構(gòu)成）4.若├，則├，則├

[

/

]或若├

[

/ ]

（等值置換）和5.若├，則├

┑

┑

（假言易位）第三節(jié)

命題演算的自然推理系統(tǒng)命題邏輯還可以用其他方式來構(gòu)造，本節(jié)給出命題邏輯的另一推理系統(tǒng)—自然推理系統(tǒng)

FPC。自然推理系統(tǒng)不是以公理為出發(fā)點(diǎn)建立演繹系統(tǒng)，而是引入假設(shè)利用推理規(guī)則進(jìn)行推理的演繹系統(tǒng)。由于這種演繹系統(tǒng)的形式推理規(guī)則、形式推理關(guān)系和形式證明比較直接并且比較自然地反映了演繹推理過程，因此它比