2021年全國中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：概率（含解析）

一、選擇題

4.（2021?黔東南）一個(gè)不透明的袋子中裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除了顏色外無其他差別，從中摸出

3個(gè)球，下列事件屬于必然事件的是（）

A.至少有1個(gè)球是白色球B.至少有1個(gè)球是黑色球

C.至少有2個(gè)球是白球D.至少有2個(gè)球是黑色球

B

8.（2021?哈爾濱）一個(gè)不透明的袋子中裝有12個(gè)小球，其中8個(gè)紅球、4個(gè)黃球，這些小球除顏色外無其它

差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的小球是紅球的概率是（）

D

4.（2021?徐州）甲、乙兩個(gè)不透明的袋子中各有三種顏色的糖果若干，這些糖果除顏色外無其他差別.具體

情況如下表所示.

糖果紅色黃色綠色總計(jì)

袋子

甲袋2顆2顆1顆5顆

乙袋4顆2顆4顆10顆

若小明從甲、乙兩個(gè)袋子中各隨機(jī)摸出一顆糖果，則他從甲袋比從乙袋（）

A.摸到紅色糖果的概率大B.摸到紅色糖果的概率小

C.摸到黃色糖果的概率大D.摸到黃色糖果的概率小

C

解析：小明從甲袋子中各隨機(jī)摸出一顆糖果，摸到紅色糖果的概率為2,摸到黃色糖果的概率為2,

55

從乙袋子中摸出一顆糖果，摸到紅色糖果的概率為巴=2,摸到黃色糖果的概率為2=J,,

10510555

，小明從甲袋比從乙袋摸到黃色糖果的概率大，故選C.

4.（2021?泰州）”14人中至少有2人在同一個(gè)月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P,則（）

A.P=OB.O<P<1C.P=\D.P>\

C

6.（2021?仙桃）下列說法正確的是（）

A.“打開電視機(jī)，正在播放《新聞聯(lián)播》”是必然事件

B.“明天下雨概率為0.5”，是指明天有一半的時(shí)間可能下雨

C.一組數(shù)據(jù)“6,6,7,7,8”的中位數(shù)是7,眾數(shù)也是7

D.甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績(jī)的平均數(shù)相同，方差分別是s"，2=0.2,s/=0.4,則甲的

成績(jī)更穩(wěn)定

1)

3.（2021?賀州）下列事件中屬于必然事件的是（）

A.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°B.打開電視機(jī)，正在播放新聞聯(lián)播

C.隨機(jī)買一張電影票，座位號(hào)是奇數(shù)號(hào)D.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上

A

6.（2021?常州）以下轉(zhuǎn)盤分別被分成2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)面積相等的扇形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這4個(gè)轉(zhuǎn)盤各1次，已

知某轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在陰影區(qū)域的概率為則對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)盤是（)

D.

｛答案｝D

8.（2021.威海）在一個(gè)不透明的袋子里裝有5個(gè)小球，每個(gè)球上都寫有一個(gè)數(shù)字，分別是1,2,3,4,5,這些

小球除數(shù)字不同外其它均相同.從中隨機(jī)一次摸出兩個(gè)小球，小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率為（）

A.gB.且C.—D.3

2525105

C｛解析｝畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，兩個(gè)小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的共有6種，再由概率公式求解即

可.

畫樹狀圖如圖:

共有20種等可能的結(jié)果，兩個(gè)小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的共有6種，

小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率為9=2，因此本題選C.

2010

9.（2021?永州）小明計(jì)劃到永州市體驗(yàn)民俗文化，想從“零陵漁鼓、瑤族長(zhǎng)鼓舞、東安武術(shù)、舜帝祭典”四

種民俗文化中任意選擇兩項(xiàng)，則小明選擇體驗(yàn)“瑤族長(zhǎng)鼓舞、舜帝祭典”的概率為（）

1131

A.—B.-C.—D.一

3446

｛答案｝D

解析：把“零陵漁鼓、瑤族長(zhǎng)鼓舞、東安武術(shù)、舜帝祭典”四種民俗文化分別記為：A、B、C、D,

畫樹狀圖如圖：

開始

/1\/N/N/N

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，小明選擇體驗(yàn)“瑤族長(zhǎng)鼓舞、舜帝祭典”的結(jié)果有2種，...小明選擇體驗(yàn)“瑤族長(zhǎng)

21

鼓舞、舜帝祭典”的概率為一=一

126

4.（2021.包頭4題））柜子里有兩雙不同的鞋，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋是同一雙的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.—

3456

｛答案｝A

8.（2021?河南）現(xiàn)有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻，從中

隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率是（）

｛答案｝A

10.（2021?煙臺(tái)）連接正六邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，并將中間的六邊形涂成黑色，制成如圖所示的鏢盤，將一

枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為（）

10.B.解析：如圖，將陰影部分分割成圖形小三角形的大小，令小三角形的面積為分別表示出陰影部分

的面積個(gè)正六邊形的面積，根據(jù)概率公式求解即可.如圖所示，令SMBC=a,

A

則S*6〃，S畛*.?將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為翟4故選:

B.

3.（2021?北部經(jīng)濟(jì)區(qū)）如圖，小明從A入口進(jìn)入博物館參觀，參觀后可從8,C,。三個(gè)出口走出，他恰好

從。出口走出的概率是（）

｛答案｝B

3.（2021.廣東）同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

1111

A.—B.C.D.

12632

B｛解析｝概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.畫樹狀圖為:

開始

缶缶缶4缶

和234567345678456789567891067891011789101112

共有36種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果有6種，...兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7

的概率為54因此本題選兒

7.（2021?柳州7題）如圖，有4張形狀大小質(zhì)地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、單板滑雪、冰壺

四種不同的圖案，背面完全相同，現(xiàn)將這4張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機(jī)抽取一張，抽出的

卡片正面恰好是冰壺項(xiàng)目圖案的概率是（）

13

A.-D.-

44

（答案｝A

9.（2021?懷化）“成語”是中華文化的瑰寶，是中華文化的微縮景觀.下列成語：①“水中撈月"，②‘‘守株

待兔”，③“百步穿楊”，④“甕中捉鱉”描述的事件是不可能事件的是（）

A.①B.②C.③D.④

A

6.（2021?宜昌）在六張卡片上分別寫有6,一竽，3.1415,n,0,6六個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)抽取一張，卡片上的數(shù)

為無理數(shù)的概率是（）

2111

A.-B.—C.-D.—

3236

C

4.（2021?湖州）下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈

B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心

C.班里的兩名同學(xué)，他們的生日是同一天

D.從一個(gè)只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球

D

6.（2021?北京6題）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.-

4323

c【解析】畫樹形圖得：

開始

正反

由樹形圖可知共4種等可能的結(jié)果，一枚硬幣正面向上，一枚硬幣反面向上的有2種結(jié)果，，一枚硬幣正面向上,

?枚硬幣反面向上的的概率為上

42

4.（2021?麗水）一個(gè)布袋里裝有3個(gè)紅球和5個(gè)黃球，它們除顏色外其余都相同.從中任意摸出一個(gè)球是紅球

的概率是（）

C

4.（2021?紹興）在一個(gè)不透明的袋中裝有6個(gè)只有顏色不同的球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球.從袋

中任意摸出一個(gè)球，是白球的概率為（）

A

5.（2021?衢州）一個(gè)布袋里放有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，它們除顏色外其余都相同.從布袋中任意摸出1個(gè)球，摸

到白球的概率是（）

A.1B.2C.1D.1

3355

（答案｝D________

7.（2021?杭州）某軌道列車共有3節(jié)車廂，設(shè)乘客從任意一節(jié)車廂上車的機(jī)會(huì)均等.某天甲、乙兩位乘客同時(shí)

乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率是（）

C【解析】把3節(jié)車廂分別記為A、B,C,畫樹狀圖如圖:

開始

甲ABC

/N/T\/1\

乙ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，甲和乙從同一節(jié)車廂上車的結(jié)果有3種，

二=]_

二甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率為§一,，

9.(2021?長(zhǎng)沙9題)有一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù).將它投擲兩次，則兩次

擲得骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是()

A解析：列表如下:

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

由表可知共有36種等可能的情況，兩次擲得骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有4利I,兩次擲得骰子朝

41

上一面的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為一=

369

6.(2021?武漢)學(xué)校招募運(yùn)動(dòng)會(huì)廣播員，從兩名男生和兩名女生共四名候選人中隨機(jī)選取兩人，則兩人恰好是

一男一女的概率是()

23

D.

34

C

2.(2021?武漢)下列事件中是必然事件的是()

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上

B.隨意翻到一本書的某頁，這一頁的頁碼是偶數(shù)

C.打開電視機(jī)，正在播放廣告

D.從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來自同一個(gè)班級(jí)

D

9.(2021?安徽9題)如圖在三條橫線和三條豎線組成的圖形中，任選兩條橫線和兩條豎線都可以圖成一個(gè)矩形,

從這些矩形中任選一個(gè)，則所選矩形含點(diǎn)4的概率是()

?A

D【解析】將從左到右的三條豎線分別記作a、b、c,將從上到下的三條橫線分別記作m、〃、/,列表如下,

abbeac

mnab、mnbe、mnac、mn

nlab、nlbe、nlac、nl

mlab、mlbe、mlac、ml

由表可知共有9種等可能結(jié)果，其中所選矩形含點(diǎn)A的有be、mn；be、ml；ac、加〃；ac、ml這4種結(jié)果，

；?所選矩形含點(diǎn)A的概率:故選：。.

3.（2021?揚(yáng)州）下列生活中的事件，屬于不可能事件的是（）

A.3天內(nèi)將下雨

B.打開電視，正在播新聞

C.買一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)號(hào)

D.沒有水分，種子發(fā)芽

D

10.（2021?臨沂）現(xiàn)有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已過期，隨機(jī)抽取2盒，至少有一盒過期的概率是（）

5

A,\BC.-D.

-I46

D【解析】把2盒不過期的牛奶記為A、B,2盒己過期的牛奶記為C、D,

畫樹狀圖如圖：

開始

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，至少有一盒過期的結(jié)果有10種,

至少有一盒過期的概率為9=f.

126

3.（2021?新疆）不透明的袋子中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出1

個(gè)球，恰好是白球的概率為（)

1234

A.-B.一C.一D.一

5555

14.（2021?宜昌）社團(tuán)課上，同學(xué)們進(jìn)行了“摸球游戲”：在一個(gè)不透明的盒子里裝有幾十個(gè)除顏色不同外其

余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷

重復(fù)上述過程.整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象如圖所示，經(jīng)分析

可以推斷盒子里個(gè)數(shù)比較多的是—.（填“黑球”或“白球”）

摸出黑球的頻率

1.0-

0.8-

0.6-

0.4-

0.2——,——?—s—,—--?~~—

_________IIIIIIIIII,

O50100150200250300350400450500摸球的總次數(shù)

白球

6.（2021?恩施州）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人

的概率為（）

3132

A.-B.-C.D.-

55105

C【解析】畫樹狀圖如圖：

開始

男男男女女

男男女女男男女女男男女女男男男女男男男女

共有20種等可能的結(jié)果，這兩名工人恰好都是男工人的結(jié)果有6種，

.?.這兩名工人恰好都是男工人的概率為￡?=—.

2010

7.（2021?隨州）如圖，從一個(gè)大正方形中截去面積為3c層和12CTH2的兩個(gè)小正方形，若隨機(jī)向大正方形

內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）

A【解析】由圖可知大正方形中的兩個(gè)小正方形連長(zhǎng)分別為2百c“、V3CTO.

，大正方形的邊長(zhǎng)為2V5+遮=3遮（a”）.則大正方形的面積為（3百）2=27,

陰影部分的面積為27-12-3=12.則米粒落在圖中陰影部分的概率為丁12=14

279

8.（2021?齊齊哈爾）五張不透明的卡片，正面分別寫有實(shí)數(shù)一1,夜，白，邪,5.06006000600006…（相鄰兩

個(gè)6之間0的個(gè)數(shù)依次加1）,這五張卡片除正面的數(shù)不同外其余都相同，將它們背面朝上混合均勻后任取一

張卡片，取到的卡片正面的數(shù)是無理數(shù)的概率是（）

1234

A.—B.—C.-D.—

5555

B

｛解析｝抽出卡片正面是無理數(shù)的可能有應(yīng)和5.060060006000（）6…（相鄰兩個(gè)6之間0的個(gè)數(shù)依次加1）,P（無

2

理數(shù)）=:.

8.（2021?玉林）一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，這些球除顏色外其他均相同，從中任意摸出3

個(gè)球，下列事件為必然事件的是（）

A.至少有1個(gè)白球B.至少有2個(gè)白球

C.至少有1個(gè)黑球D.至少有2個(gè)黑球

4.（2021?安順、貴陽）“一個(gè)不透明的袋中裝有三個(gè)球，分別標(biāo)有1,2,x這三個(gè)號(hào)碼，這些球除號(hào)碼外都相

同，攪勻后任意摸出一個(gè)球，摸出球上的號(hào)碼小于5”是必然事件，則x的值可能是（）

A.4B.5C.6D.7

6.（2021?海南）在一個(gè)不透明的袋中裝有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，從中

隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是（）

｛答案｝C

8.（2021?襄陽）不透明袋子中裝有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，從袋子口隨機(jī)摸出2個(gè)球，下列

事件是必然事件的是（）

A.摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球B.摸出的2個(gè)球都是白球

C.摸出的2個(gè)球中1個(gè)是紅球1個(gè)是白球D.摸出的2個(gè)球都是紅球

A

【解析】易知“不透明袋子中裝有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，從袋子口隨機(jī)摸出2個(gè)球”，有兩種

可能：2個(gè)都是紅球或2個(gè)球中1個(gè)紅球1個(gè)白球，從而“摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球”是必然事件，故選A.

6.（2021?東營(yíng)）經(jīng)過某路口的汽車，可能直行，也可能左拐或右拐.假設(shè)這三種可能性相同，現(xiàn)有兩車經(jīng)過該路

口，恰好有一車直行，另一車左拐的概率為（）

A

【解析】不妨把直行，左拐和右拐分別記為4、B、C,畫樹狀圖如圖:

共有9種等可能的結(jié)果，有一車直行，另一車左拐的結(jié)果有2種,

2

.??甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率為3.

二、填空題

13.（2021?大連）一個(gè)不透明的口袋中有兩個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2.隨機(jī)摸取一個(gè)小球

后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球，兩次取出的小球標(biāo)號(hào)的和等于4的概率為.

-【解析】畫樹狀圖如圖：

4

■

1212

和2334

共有4種等可能的結(jié)果，兩次取出的小球標(biāo)號(hào)的和等于4的結(jié)果有1種，.?.兩次取出的小球標(biāo)號(hào)的和等于4的概

率為L(zhǎng)

4

14.（2021?益陽）小李在雙休日到田間參加除草勞動(dòng)，他隨機(jī)從鋤頭、鐵鍬、鐮刀中選用一種勞動(dòng)工具，則他

選到鋤頭的概率是-1.

一3一

工解析：???小李在雙休H到山間參加除草勞動(dòng)，他隨機(jī)從鋤頭、鐵鍬、鐮刀中選用一種勞動(dòng)工具，

3

,他選到鋤頭的概率是上.

3

11.（2021?泰州）某班按課外閱讀時(shí)間將學(xué)生分為3組，第1、2組的頻率分別為0.2、0.5,則第3組的頻率

是.

0.3【解析】由各組頻率之和為1得，1一0.2-0.5=0.3.

13.（2021?仙桃）不透明的布袋中有紅、黃、藍(lán)3種只是顏色不同的鋼筆各1支，先從中摸出1支，記錄下它的

顏色，將它放回布袋并攪勻，再從中隨機(jī)摸出1支，記錄下顏色，那么這兩次摸出的鋼筆為紅色、黃色各一支的

概率為.

2

9

14.（2021?龍東）一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)小球，這些小球除標(biāo)號(hào)外完全相同，隨機(jī)摸出1

個(gè)小球，然后把小球重新放回口袋并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)小球，那么兩次摸出小球上的數(shù)字之和是奇數(shù)的概率

是

44

｛答案【解析】如下表，因此本題的答案是

\123

1(1.1)(1.2)(1,3)

2(2,1)(2.2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

13.（2021?寧波）一個(gè)不透明的袋子里裝有3個(gè)紅球和5個(gè)黑球，它們除顏色外其余都相同.從袋中任意摸出

一個(gè)球是紅球的概率為

3

8

13.（2021?金華）某單位組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，共準(zhǔn)備了150張獎(jiǎng)券，設(shè)一等獎(jiǎng)5個(gè)，二等獎(jiǎng)20個(gè)，三等獎(jiǎng)80個(gè).已

知每張獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)的可能性相同，則1張獎(jiǎng)券中一等獎(jiǎng)的概率是—.

1

30

12.（2021?臺(tái)州）一個(gè)不透明布袋中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)

小球，該小球是紅色的概率為.

2

3

14.（2021?聊城）有四張大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分別印有等邊三角形、平行四邊形、菱形和圓,

將這四張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，所抽取的卡片正面上的圖形都既是軸對(duì)稱圖形，又是

中心對(duì)稱圖形的概率是.

（答案｝!

6

｛解析｝設(shè)等邊三角形、平行四邊形、菱形、圓分別為A,B,C,D,

根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

開始

ABCD

A\A\A\A\

RCDACnARDARC

一共有12種情況，抽出的兩張卡片的圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形為C、。共有2種情況,

]_

，尸；既心”心對(duì)稱圖，區(qū)=2+12=6

12.（2021?溫州）一個(gè)不透明的袋中裝有21個(gè)只有顏色不同的球，其中5個(gè)紅球，7個(gè)白球，9個(gè)黃球.從中

任意摸出1個(gè)球是紅球的概率為-.

s

21

13.（2021?湖州）某商場(chǎng)舉辦有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，每張獎(jiǎng)券被抽中的可能性相同，若以每1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單

位，設(shè)5個(gè)一等獎(jiǎng)，15個(gè)二等獎(jiǎng)，不設(shè)其他獎(jiǎng)項(xiàng)，則只抽1張獎(jiǎng)券恰好中獎(jiǎng)的概率是—.

表【解析】只抽1張獎(jiǎng)券恰好中獎(jiǎng)的概率是鬻故答案為：擊.

15.（2021?嘉興）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個(gè)等級(jí)的三匹馬

記分如表，每匹馬只賽一場(chǎng)，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場(chǎng)兩勝則贏.已知齊王的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?0,8,6.若

田忌的三匹馬隨機(jī)出場(chǎng)，則田忌能贏得比賽的概率為—.

馬匹下等馬中等馬上等馬

姓名

齊王6810

田忌579

9【解析】由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng)，當(dāng)齊王的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?0,8,6時(shí)，田

6

忌的馬按5,9,7的順序出場(chǎng)，田忌才能贏得比賽，

當(dāng)田忌的三匹馬隨機(jī)出場(chǎng)時(shí)，雙方馬的對(duì)陣情況如下：

齊王的馬上中下上中下上中下上中下上中下上中下

田忌的馬上中下上下中中上下中下上下上中下中上

雙方馬的對(duì)陣中，只有一種對(duì)陣情況田忌能贏，，田忌能贏得比賽的概率為

6

13.（2021?上海）已知數(shù)據(jù)1、1、2、3、5、8、13、21、34,從這些數(shù)據(jù)中選取一個(gè)數(shù)據(jù)，得到偶數(shù)的概

率為，

-1【解析】在9個(gè)數(shù)據(jù)中，偶數(shù)有2、8、34共三個(gè)，所以得到偶數(shù)的概率為33=1士，故答案為1士.

3933

14.（2021?重慶A卷）在桌面上放有四張背面完全一樣的卡片，卡片的正面分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,1,3.把四

張卡片背面朝上，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字且放回洗勻，再從中隨機(jī)抽取一張.則兩次抽取卡片上的數(shù)字之

積為負(fù)數(shù)的概率是—.

7【解析】畫樹狀圖如圖：

4

/TV,

-1013-1013-1013-1013

積10-1-30000-1019-3039

共有16種等可能的結(jié)果，兩次抽取卡片上的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有4種,

???兩次抽取卡片上的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的概率為卷故答案為：

1644

15.（2021?安順、貴陽）貴陽市2021年中考物理實(shí)驗(yàn)操作技能測(cè)試中，要求學(xué)生兩人一組合作進(jìn)行，并隨機(jī)抽

簽決定分組.有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加測(cè)試，則甲、乙兩位同學(xué)分到同一組的概率是.

-｛解析｝甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加測(cè)試，抽到兩個(gè)人的所有情況有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、

6

丙丁，共6種等可能的情況，甲乙被抽到的情況只有1種，.?.概率是

6

14.（2021?重慶B卷）不透明袋子中裝有黑球1個(gè)、白球2個(gè)，這些球除了顏色外無其他差別.從袋子中隨機(jī)

摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，將袋子中的球搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，前后兩次摸出的球都是

白球的概率是.

g【解析】列表如下

黑白白

黑（黑，黑）（白，黑）（白，黑）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

由表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中前后兩次摸出的球都是白球的有4種結(jié)果,

所以前后兩次摸出的球都是白球的概率為:，故答案為：g.

14.（2021?瀘州）不透明袋子中裝有3個(gè)紅球，5個(gè)黑球，4個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨

機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出紅球的概率是—.

7【解析】?.?袋子中共有3+5+4=12個(gè)除顏色外無其他差別的球，其中紅球的個(gè)數(shù)為3,

從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率是2=

124

25.（2021?成都）我們對(duì)一個(gè)三角形的頂點(diǎn)和邊都賦給一個(gè)特征值，并定義：從任意頂點(diǎn)出發(fā)，沿順時(shí)針或逆

時(shí)針方向依次將頂點(diǎn)和邊的特征值相乘，再把三個(gè)乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和或逆序旋

轉(zhuǎn)和.如圖1,。什卬+加是該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和，的+3+”是該三角形的逆序旋轉(zhuǎn)和.已知某三角形的特

征值如圖2,若從1,2,3中任取一個(gè)數(shù)作為x,從1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)作為y,則對(duì)任意正整數(shù)z,此

三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率是—.

：【解析】該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差為（4x+2z+3y）-（3x+2y-4z）=x+y-2z,

畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的結(jié)果數(shù)為9,

所以三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率=2="

124

12.（2021?南充）在-2,-1,1,2這四個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，其倒數(shù)等于本身的概率是二

：【解析】在-2,-1,1,2這四個(gè)數(shù)中，其倒數(shù)等于本身的有-1和1這兩個(gè)數(shù)，

所以四個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，其倒數(shù)等于本身的概率是:=

42

15.（2021?賀州）盒子里有4張形狀、大小、質(zhì)地完全相同的卡片，上面分別標(biāo)著數(shù)字2,3,4,5.從中隨機(jī)抽

出1張后不放回，再隨機(jī)抽出1張，則兩次抽出的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是.

答案：|

11.（2021?岳陽）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，這些小球除顏色外無其它差另U，

從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的小球是白球的概率為—.

3

5

12.（2021?資陽）將2本藝術(shù)類、4本文學(xué)類、6本科技類的書籍混在一起.若小陳從中隨機(jī)抽取一本，則抽中

文學(xué)類的概率為一.

1【解析】一共有2+4+6=12本書籍，其中文學(xué)類有4本，.?.小陳從中隨機(jī)抽取一本，抽中文學(xué)類的概率為

41

12-3

15.（2021?天津15題）不透明袋子中裝有7個(gè)球，其中有3個(gè)紅球、4個(gè)綠球，這些球除顏色外無其他差別.從

袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，則它是紅球的概率是—.

3

7

12.（2021?荊州）有兩把不同的鎖和四把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，另外兩把鑰匙不能打開這

兩把鎖.隨機(jī)取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是一?

1_21

7【解析】由題意得，共有2X4=8種等可能情況，其中能打開鎖的情況有2利故一次打開鎖的概率為g

484

14.（2021?株洲）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，則兩次都是“正面朝上”的概率是.

工【解析】畫樹狀圖如下：

4

共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次都是“正面朝上”的結(jié)果有1種，...兩次都是“正面朝上”的概率="

12.（2021?通遼）如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常隨機(jī)閉合開關(guān)S,邑，S3中的兩個(gè)，能讓兩個(gè)

小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率是.

3

｛解析｝把開關(guān)與,S2,S3分別記為A、B、C,畫樹狀圖如圖:

共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的結(jié)果有2種，.?.能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為3.

13.（2021.襄陽）中國象棋文化歷史久遠(yuǎn)，在圖中所示的部分棋盤中，“焉”的位置在“-----"（圖中虛線）

的下方，“焉”移動(dòng)一次能夠到達(dá)的所有位置已用“,”標(biāo)記，則“焉”隨機(jī)移動(dòng)一次，到達(dá)的位置在“-----”

上方的概率是.

【解析】在圖上標(biāo)記的“焉”的8個(gè)等可能走的位置中，位于圖中虛線上方的位置有2個(gè)，從而所求概率為士2=一1.

84

14.（2021?呼和浩特）動(dòng)物學(xué)家通過大量的調(diào)查，估計(jì)某種動(dòng)物活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為

0.5,據(jù)此若設(shè)剛出生的這種動(dòng)物共有〃只，則20年后存活的有只，現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物活到25

歲的概率是.

0.8a,1解析：若設(shè)剛出生的這種動(dòng)物共有〃只，則20年后存活的有0.8“只，設(shè)共有這種動(dòng)物x只，則活到

05%5

20歲的只數(shù)為0.8羽活到30歲的只數(shù)為0.5口故現(xiàn)年20歲到這種動(dòng)物活到25歲的概率為一丁=二.

0.8X8

13.（2021?本溪）有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著一近，-1,0,V3,2.從中隨機(jī)抽取一張，則

1

抽出卡片上寫的數(shù)是舊的概率為—.-

13.（2021.綏化）在單詞wa/zemMcs（數(shù)學(xué)）中任意選擇一個(gè)字母恰好是字母“尸的概率是.

三、解答題

19.（2021?營(yíng)口）李老師為緩解小如和小意的壓力，準(zhǔn)備了四個(gè)完全相同（不透明）的錦囊，里面各裝有一張

紙條，分別寫有：A.轉(zhuǎn)移注意力，8.合理宣泄，C.自我暗示，D.放松訓(xùn)練.

（1）若小如隨機(jī)取走一個(gè)錦囊，則取走的是寫有“自我暗示”的概率是

~4~

（2）若小如和小意每人先后隨機(jī)抽取一個(gè)錦囊（取走后不放回），請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求小如和小意

都沒有取走“合理宣泄”的概率.

解：（1）若小如隨機(jī)取走一個(gè)錦囊，則取走的是寫有“自我暗示”的概率是工，

故答案為:

（2）畫樹狀圖如圖:

小如ABCD

/1\/N/N/N

小意BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，小如和小意都沒有取走“合理宣泄”的結(jié)果有6種,

.??小如和小意都沒有取走“合理宣泄”的概率為9=』.

122

24.（2021?徐州）如圖，是一個(gè)豎直放置的釘板，其中，黑色圓面表示釘板上的釘子，A、D4

分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙，這些空隙大小均相等，從入口A處投放一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間空隙

的圓球，圓球下落過程中，總是碰到空隙正下方的釘子，且沿該釘子左右兩個(gè)相鄰空隙繼續(xù)下落的機(jī)會(huì)相等，直

至圓球落入下面的某個(gè)槽內(nèi).用畫樹狀圖的方法，求圓球落入③號(hào)槽內(nèi)的概率.

O

Ai

ClGca

AAAA

DiD：D：DiD：DiDsD

共有8種情況，其中落入③號(hào)槽的有3種,

P（落入③號(hào)槽）=-

8

19.（2021?泰州）江蘇省第20屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將在泰州舉辦，“泰寶”和“鳳娃”是運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物.在一次宣傳活

動(dòng)中，組織者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2張放在一個(gè)不透明的盒子中并攪勻，卡片除圖案外其余均

相同.小張從中隨機(jī)抽取2張換取相應(yīng)的吉祥物，抽取方式有兩種：第一種是先抽取1張不放回，再抽取1張;

第二種是一次性抽取2張.

（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率（填“相同”或“不同"）;

（2）若小張用第一種方式抽取卡片，求抽到不同圖案卡片的概率.

解：（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率相同，

故答案為：相同;

（2）把泰寶”和“鳳娃”兩種吉祥物分別記為:A、8,

畫樹狀圖如圖：

共有12種等可能的結(jié)果，小張抽到不同圖案卡片的結(jié)果有8種，

.?.抽到不同圖案卡片的概率為旦=2.

123

20.（2021?長(zhǎng)沙20題）“網(wǎng)紅”長(zhǎng)沙入選2021年“五一”假期熱門旅游城市.本市某景點(diǎn)為吸引游客，設(shè)置

了一種游戲，其規(guī)則如下：凡參與游戲的游客從一個(gè)裝有12個(gè)紅球和若干個(gè)白球（每個(gè)球