第一講 猜想與反駁

第一講猜想與反駁第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月猜想與反駁

數(shù)學問題的提出和解決是推動數(shù)學發(fā)展的重要力量。猜想與反駁是解決數(shù)學問題的一個重要思想方法。猜想是人們根據(jù)一定的經(jīng)驗材料和已知事實對數(shù)學問題作出的推測性判斷，可能為真，也可能為假。對于猜想得到的命題，或者經(jīng)過演繹證明確認為真命題，或者舉出反例判斷其為假命題。用一個反例作為論據(jù)否定猜想的方法稱為反例反駁。歸納猜想和類比猜想是數(shù)學猜想的兩種主要類型。在數(shù)學教學中，加強猜想能力培養(yǎng)對于提高學生的思維能力和創(chuàng)造能力具有重要意義。第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一節(jié)歸納猜想

一、歸納

歸納法是通過一些個別的、特殊的情況加以觀察、分析，進而導出一個一般性結(jié)論的推理方法。歸納法是一種從特殊到一般的推理方法，它與演繹法被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二、歸納的類型1、不完全歸納法所謂不完全歸納法，是根據(jù)對某類事物中的部分對象的分析，作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理方法。

不完全歸納法的一般推理形式是：

例3用1到8這8個數(shù)字分別組成兩個四位數(shù)，使他們相乘的積最大。請寫出這兩個數(shù)。例2求凸n邊形的內(nèi)角和公式。第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析：由已知的八個數(shù)字組成兩個四位數(shù)，可以有很多種不同的方法，欲通過逐一列舉的方法進行比較積的大小，顯然相當復雜。不妨先解決一個比較簡單而又不改變原命題性質(zhì)的問題：用5，6，7，8這四個數(shù)字組成兩個兩位數(shù)，使其乘積最大。易知，十位數(shù)字應(yīng)取較大的兩個數(shù)8和7，這樣得到的兩位數(shù)只有85，76和86，75兩種情況。顯然85*76＞86*75。進一步分析上述不等式的真正含義，可以揭示出數(shù)字組合與其乘積之間的聯(lián)系。無論85，76還是86，75，它們的和都相等，只是前一對數(shù)比后一對數(shù)更為接近。第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可以歸納出兩條組數(shù)的原則：①較大的數(shù)字盡量靠左；②要加上的兩個數(shù)字，其中較大的應(yīng)附在較小的后面，使得所組成的兩數(shù)之差較小。根據(jù)上述原則就可逐步寫出所求的四位數(shù)：8585385317767647642故所求的四位數(shù)是8531，7642。第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

值得指出的是，不完全歸納法具有一定的局限性。從不完全歸納法的含義中可以看到，不完全歸納法的結(jié)果是在僅僅觀察、分析了某類事物的部分對象之后，對該類事物的屬性所提出的猜想。因此，其前提與結(jié)論之間不具有必然的聯(lián)系，其結(jié)果具有或然性。不完全歸納法只是一種合情推理，而不是嚴格的邏輯論證方法，所得結(jié)論的正確性，尚需經(jīng)過嚴格的邏輯推理和實踐檢驗后才能確認。第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、完全歸納法完全歸納法是根據(jù)對某類事物中的每一對象的情況分析，進而作出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理方法。

完全歸納法的一般推理形式是：第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

完全歸納法在數(shù)學教學中有著廣泛的應(yīng)用，常用于敘述概念、歸納結(jié)論。統(tǒng)一定義和證明定理等。APBOABPOABPO第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

三、歸納猜想

1、數(shù)學猜想

綜觀數(shù)學發(fā)展的歷史，數(shù)學問題的產(chǎn)生主要來自三個方面：（1）人們的社會實踐（2）自然科學的刺激（3）數(shù)學內(nèi)部的需要

2、歸納猜想人們運用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

將完全歸納法與不完全歸納法進行比較，我們可以知道：由完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的，具有確定性。因此，完全歸納法可以作為一種嚴格的論證方法。這是因為完全歸納法考察了某類事物的全體對象，因此，當它的前提為真時，其結(jié)論必然為真。而演繹推理是前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理，即當前提為真時，結(jié)論必為真。所以，完全歸納法實質(zhì)上屬于演繹推理的范疇。第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析：10階方陣一共有100個數(shù)，舉出一個實例比較繁，不妨先研究一個2X2的方陣，顯然，用后一種方法選出來的數(shù)大。因為四個數(shù)中某些數(shù)可以相同，所以有理由猜想，在10X10的方陣中，用前一種方法選省來的數(shù)不大于用后一種方法選出來的數(shù)。這個猜想的數(shù)學表示是：

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歸納猜想的思維步驟為：特例---歸納---猜想。面對一個數(shù)學猜想，我們可以從兩個方向進行思考：通過演繹推理證由此猜想為真;或者找出反例說由此猜想為假，從而否定或修正此猜想。第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

第二節(jié)類比猜想

一、類比

所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。波利亞認為“類比就是一種相似”。類比法是一種從特殊到特殊的推理方法，其結(jié)論具有或然性，是否正確需要經(jīng)過嚴格的證明或者實踐檢驗。開普勒說：“我珍視類比勝過任何別的東西。它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它是最不容易忽視的。”拉普拉斯指出：“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！钡?4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、類比的類型

1、表層類比（形式或結(jié)構(gòu)上的簡單類比）表層類比是根據(jù)兩個被比較對象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似所進行的類比。這種類比可靠性較差，結(jié)論具有很大的或然性。如a(b+c)=ab+ac類比出sin(A+B)=sinA+sinB是錯誤的；而類比到數(shù)列的和的極限（分別存在時）是正確的。又如，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，類比得到三角形外角平分線性質(zhì)，就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。

第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2、深層類比（方法或模式上的縱向類比）

深層類比又稱實質(zhì)性類比。它是通過對被比較對象的處于相互依存的各種相似屬性之間的多種因果關(guān)系的分析而得到的類比。這種縱向類比，是在數(shù)學的同一分支內(nèi)的一種類比。一般表現(xiàn)為空間問題用平面問題來類比，即降維類比；多元問題用一元問題來類比，即減元類比等。例如，平面上的一個三角形可與空間的一個四面體作類比。從平面勾股定理可類比出空間勾股定理。即第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

3、溝通類比（各分科之間的類比）

這種類比與深層類比的主要區(qū)別是。深層類化所類比的方法或模式是比較簡單的模仿，不如溝通類比深刻；溝通類比所涉及的對象之間的類比往往不是一眼就能發(fā)現(xiàn)的，要經(jīng)過適當?shù)穆?lián)想才能進行。類比推理在小學數(shù)學學習中亦有著廣泛的應(yīng)用，它是學生獲取新的數(shù)學知識的主要方法之一。例如，由加法對乘法的分配律，通過類比可以得到減法對乘法的分配律；由整數(shù)、小數(shù)乘法的算法，運用類比可推出分數(shù)乘法的算法。又如，在求解問題時，可以運用波利亞提出的“選一個類似的、較易的問題，去解決它，改造它的解法，以便把他作為一個模式。然后，利用剛剛建立的模式，以達到原來問題的解法?！?/p>

第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

三、類比猜想

人們運用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分數(shù)非常相似，只不過是用字母替代數(shù)而已＿因此，我們可以猜想，分式與分數(shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分。四則運算等方面都是對應(yīng)相似的。事實也確是如此。

第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

盡管類比法有著廣泛的應(yīng)用，但是它畢竟是一種合情推理，由類比得出的正確結(jié)論雖然很多，可是由類比導出的錯誤結(jié)論也不少見。因此，類比得到的結(jié)論正確與否，還必須經(jīng)過嚴格的證明。例如，在立體幾何中，常常會遇到一些與平面幾何中“形式”相同的命題：①不相交的兩直線一定平行；②垂直于同一直線的兩直線一定平行；③過已知點作已知直線的垂線，有且只有一條。這些在平面幾何中的真命題，在立體幾何中卻都是假命題。第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，CE與DF交于P點，求證：AP=AD。分析：即證角ADP=角APD，而角ADF=DEA，故只需證明A、E、P、D四點共圓。AFECBDP思考：已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是角ACB的平分線交AE于F，交AB于D點。（1）求角ADF的度數(shù)：（2）若AB=AC，求AC：BC。BDACEF第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

第三節(jié)反例反駁

一、反例反駁

提出一個問題的猜想是解決這個問題過程中的一個重要步驟，但并不是解決問題的終結(jié)。人們提出的猜想總是有兩種可能：命題為真或者命題為假。因此：或者給出證明；或者加以反駁。在數(shù)學中，反駁通常都是尋找一個符合猜想條件的特例。這個特例稱為此猜想的反例。這種用一個反例作為論據(jù)否定猜想的方法就叫做反例反駁。它是用特殊否定一般的一種思維形式。第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

反例反駁在邏輯上的依據(jù)是：如果命題成立，則命題應(yīng)該對一切特例都成立；既然現(xiàn)在這個作為反例的特例與命題矛盾，因此這個命題不成立。由此可知，否定一個猜想的反例應(yīng)該具備如下兩個條件：

①反例滿足構(gòu)成猜想的所有條件；②反例與構(gòu)成猜想的結(jié)論矛盾。第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、反例在數(shù)學發(fā)展中的應(yīng)用如果在已有的數(shù)學理論體系中發(fā)現(xiàn)了反例，而這個反例既不能被已有的理論所解釋，又無法從已有的理論框架中排除，這就形成了悻論。雖然數(shù)學悻論不會經(jīng)常出現(xiàn)，但是一旦出現(xiàn)，就能深刻揭示出數(shù)學體系內(nèi)部隱藏的矛盾，引發(fā)出一系列的重大問題，從而促進數(shù)學理論的完善、更新和發(fā)展。第三次數(shù)學危機，是由于在康托爾的一般集合論的邊緣發(fā)現(xiàn)的悻論所造成的。因為眾多數(shù)學分支都是建立在集合論的基礎(chǔ)上，所以集合論中發(fā)現(xiàn)停論自然會引起數(shù)學的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。

第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

第三次數(shù)學危機從整體看來至今尚未解決到令人滿意的程度?？墒牵瑪?shù)學仍然在大踏步地向前發(fā)展，數(shù)學對人類正在作出越來越大的貢獻。正如著名數(shù)學哲學家拉卡托斯在《證明與反駁》一書中提出的：數(shù)學知識是如何增長的？是靠一成不變地增加千真萬確的定理數(shù)目，還是按證明與反駁的邏輯不斷改進？拉卡托斯的回答是后者。數(shù)學發(fā)展絕不是一往無前的和平建設(shè)，矛盾和沖突充斥了數(shù)學發(fā)展的歷史，今日暫時的大統(tǒng)一源于昨日的大混戰(zhàn)。人們在實踐中，揭示矛盾，提出猜想，以證明與反駁互為印證協(xié)同作用于數(shù)學知識的革新與發(fā)展。第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

三、反例在數(shù)學中的應(yīng)用反例不但在數(shù)學的發(fā)展史上占有重要的地位，而且在數(shù)學教學中也有著極為重要的意義。由于反例在否定一個命題時具有特殊的威力，如能在教學中恰當?shù)丶右赃\用，常?？梢允盏绞掳牍Ρ兜男Ч７吹乖跀?shù)學教學中的應(yīng)用大致有以下幾個方面。

1．在評判學生對提問的回答或批改作業(yè)時，可用舉反例的方法指出其中的錯誤。

第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

2．在概念教學中，對某些重要概念，有時單從正面給出定義并舉例說明是不夠的，為了加深學生對概念本質(zhì)屬性的理解，可以針對學生錯誤理解的例子，舉出反倒讓學生辨析。

第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

3．在定理、法則學習中，初學者往往因為死記結(jié)論或者錯誤類比，不注意定理、法則的條件，而常常出錯。運用反例可以有效地糾正這類錯誤。

針對這類錯誤，可以啟發(fā)學生對x,y賦值計算，并比較兩邊的數(shù)是否相等。這種具體的反例不僅能使學生認識到錯誤，而且往往會留下比較深刻的印象。第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)猜想能力的培養(yǎng)

面對一個問題，經(jīng)過認真的觀察和思考，通過歸納或者類比提出猜想，然后從兩個方面入手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假，并且進一步修正或者否定此猜想。這兩個方向上的工作是相反相成、相互啟發(fā)、相互制約的。演繹證明即使未能確認猜想為真，所獲得的部分結(jié)果也能使尋找反例的范圍更加明確；舉反例則能揭示猜想的不合理部分，有助于對猜想的修正和繼續(xù)證明。這種從演繹證明和舉反例兩個方向上去逐步解決問題的方法是科學研究的常用方法之一。數(shù)學教學中應(yīng)當引導學生學習和運用這種方法，這對激發(fā)學生的創(chuàng)新精神、培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力會有很大幫助。正是基于這種認識，著名數(shù)學教育家波利亞早在1953年就發(fā)出呼吁：讓我們教猜想吧！第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月一、用猜想學習新的知識

學生在學習“能被3整除的數(shù)的特征”時，很容易受能被2，5整除的數(shù)的特征影響，作出“個位是3的倍數(shù)的數(shù)能被3整除”的猜想。對此，老師不必急于否定學生的猜想，可出示一列數(shù)引導學生進行觀察、驗證：116，43，253，146，89，259；學生能夠發(fā)現(xiàn)這6個數(shù)的個位數(shù)都是3的倍數(shù)，但是它們都不能被3整除，從而意識到原先的猜想是錯誤的，心中充滿疑惑，探求新知的強烈欲望會油然而生。第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

這時老師宜抓住契機寫出第二列數(shù)：12，21，36，63，234，423，135，531；引導學生進行仔細觀察，并思考問題：第二列數(shù)能否被3整除？這8個數(shù)的個位數(shù)有什么特點？接著指出：判斷一個數(shù)能否被3整除不能只看個位，也與數(shù)的排列順序無關(guān)。那么，究竟與什么有關(guān)，具有什么樣的特征呢？在教師的啟發(fā)下，學生會重新作出下列猜想：①可能與各位數(shù)的乘積有關(guān)；②可能與各位數(shù)的和有關(guān)；③可能與各位數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）有關(guān)等。對這些猜想，教師可放手讓學生自己進行驗證，從而逐步得出能被3整除的數(shù)的特征是：一個數(shù)的各位上的數(shù)字之和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除。第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月學生觀察后可得出：小正方形面積的2倍＜圓面積＜小正方形面積的4倍；即半徑*半徑*2＜圓面積＜半徑*半徑*4。從而大膽猜想：圓面積大約是半徑平方的3倍。教師可在此基礎(chǔ)上進一步啟發(fā)學生結(jié)合圓周長計算公式得出猜想：圓的面積是半徑平方的ス倍。最后再組織學生通過實驗進行驗證，由此確認清猜想得到的圓面積公式。

第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二、用猜想探究數(shù)學規(guī)律

本題是古埃及數(shù)學中一個未經(jīng)確認真假的命題。因此，我們應(yīng)做好兩種準備：或者證明它正確而加以接受；或者舉出反例加以否定，并進一步研究如何修改該命題使之成為正確的命題。為了研究如何對原來的命題進行修正，需要考慮該命題可能成立的范圍。根據(jù)分類思想，可將四邊形按邊、角的特殊性依次分為正方形、矩形、平行四邊形、梯形、一般四邊形。然后依次對前四種特殊情況進行嘗試（因為對一般四邊形命題已被否定）。根據(jù)舉例驗證，發(fā)現(xiàn)在正方形和矩形中，這個命題是正確的；在平行四邊形和梯形中，這個命題不成立。因此猜測這個命題成立的范圍是矩形，而且僅僅是矩形。（證略

）第36頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月將正三角形與正四面體進行類比，可得到如下猜想：正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為一定值。

如何證明這個猜想呢？對維維阿尼定理的證明?？赏ㄟ^計算原三角形ABC的面積以及面PAB，面PBC，面PCA三個小三