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【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)素養(yǎng)拓展02不等式中的恒成立問(wèn)題(精講+精練)一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.結(jié)合圖象務(wù)必理解掌握下面幾個(gè)重要結(jié)論!設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛?,或或中之一種,則①若恒成立(即無(wú)解),則;②若恒成立(即無(wú)解),則;③若有解(即存在使得成立),則;④若有解(即存在使得成立),則;⑤若有解(即無(wú)解),則;⑥若無(wú)解(即有解),則.【說(shuō)明】(1)一般來(lái)說(shuō),優(yōu)先考慮分離參數(shù)法,其次考慮含參轉(zhuǎn)化法.(2)取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān),另外要注意①②③④中前后等號(hào)的取舍?。炊它c(diǎn)值的取舍)2.分離參數(shù)的方法①常規(guī)法分離參數(shù):如;②倒數(shù)法分離參數(shù):如;【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?,而的值一定不?時(shí),可用倒數(shù)法分離參數(shù).】③討論法分離參數(shù):如:④整體法分離參數(shù):如; ⑤不完全分離參數(shù)法:如;⑥作商法凸顯參數(shù),換元法凸顯參數(shù).【注意】(1)分離參數(shù)后,問(wèn)題容易解決,就用分離參數(shù)法(大多數(shù)題可以使用此方法).但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后,問(wèn)題反而變得更復(fù)雜,則不分離參數(shù),此時(shí)就用含參轉(zhuǎn)化法.(2)恒成立命題對(duì)自變量的范圍有時(shí)有一部分或端點(diǎn)是必然成立的,應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn),再分離參數(shù)求解.【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問(wèn)題.】3.其他恒成立類(lèi)型一①在上是增函數(shù),則恒成立.(等號(hào)不能漏掉).②在上是減函數(shù),則恒成立.(等號(hào)不能漏掉).③在上是單調(diào)函數(shù),方法一:分上述兩種情形討論;(常用方法)4.其他恒成立類(lèi)型二①,使得方程成立.②,使得方程成.5.其他恒成立類(lèi)型三①,;②,;③,;④,.【方法】處理時(shí),把當(dāng)常數(shù);處理時(shí),把當(dāng)常數(shù).思考:對(duì)的四種取值情形;或;或等又如何處理呢?【同理!】二、題型精講精練二、題型精講精練1.基本不等式恒成立問(wèn)題一、單選題1.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用基本不等式可求得的最小值,由此可得的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),,即的取值范圍為.故選:D.2.(2023·上海·高三專(zhuān)題練習(xí))已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn),曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為,若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及給定傾斜角的范圍,轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解a的范圍即可.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角,所以對(duì)于任意的恒成立,即對(duì)任意恒成立,即,又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故,所以a的取值范圍是.故選:D.3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知且,若恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
)A. B.} C. D.【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式可取的最小值,從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】∵,且,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴,由恒成立可得,解得:,故選:D.4.(2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,且,若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為(
)A.9 B.12 C.16 D.25【答案】D【分析】由得到,從而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值,從而得到.【詳解】因?yàn)椋?,,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.因不等式恒成立,只需,因此,故實(shí)數(shù)的最大值為25.故選:D5.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))當(dāng)不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用基本不等式求出,將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,然后解不等式即可.【詳解】恒成立,即,又,上述兩個(gè)不等式中,等號(hào)均在時(shí)取到,,,解得且,又,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.6.(2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末)已知正數(shù)滿(mǎn)足,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由題意可得,然后求出的最小值即可,而,所以,化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】依題意,,因?yàn)檎龜?shù)滿(mǎn)足,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立,所以的取值范圍為.故選:B7.(2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,且不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用可得的最小值為4,再根據(jù)含參不等式恒成立解一元二次不等式,即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則,當(dāng)且僅當(dāng),即且時(shí),等號(hào)成立,則時(shí),取到最小值4,要使不等式恒成立,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.8.(2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中??茧A段練習(xí))已知正數(shù),滿(mǎn)足,若不等式恒成立,則的最大值為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】結(jié)合條件,由可得,然后由可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以由可得,因?yàn)?,所以,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),故選:B.9.(2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末)已知正數(shù)a,b滿(mǎn)足,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先參變分離得,再利用,與相乘,然后連續(xù)運(yùn)用兩次基本不等式即可.【詳解】依題意,.又,而,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),前后兩個(gè)不等號(hào)中的等號(hào)同時(shí)成立,所以的取值范圍為故選:10.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,不等式恒成立,則的最大值為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】設(shè),求出的值,代入中化簡(jiǎn),利用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】設(shè),則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值是,則的最大值為.故選A【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式,解題的關(guān)鍵是設(shè),得出進(jìn)行代換,屬于偏難題目.二、多選題11.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若不等式對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的值可以為(
)A.1 B.2 C.4 D.5【答案】ABC【分析】將題目轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,即求的最小值,利用基本不等式求出的最小值,進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的取值范圍,則答案可求.【詳解】解:,即恒成立,,則,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,.故選:ABC.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,考查恒成立問(wèn)題的求解,考查學(xué)生計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,是中檔題.12.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))當(dāng),,時(shí),恒成立,則的取值可能是(
)A. B. C.1 D.2【答案】AB【分析】利用基本不等式求出的最小值,再求出的最大值即可求解.【詳解】因?yàn)椋?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.因?yàn)椋艉愠闪?,則,解得.故選:AB.三、填空題13.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)),,且恒成立,則的最大值為_(kāi)_.【答案】4【分析】將不等式變形分離出,不等式恒成立即大于等于右邊的最小值;由于,湊出兩個(gè)正數(shù)的積是常數(shù),利用基本不等式求最值.【詳解】解:由于恒成立,且即恒成立只要的最小值即可,,故,因此故答案為:4.14.(2023·山西大同·大同市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知,若不等式恒成立,則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)將分離出來(lái),基本不等式求最值即可求解.【詳解】由得.又,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴,∴的最大值為.故答案為:15.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知不等式對(duì)任給,恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用基本不等式求出式子的最大值即可得到結(jié)論.【詳解】解:∵x>0,y>0,∴不等式等價(jià)為a恒成立,設(shè)m,則m>0,平方得m2=()2111+1=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào),∴m2≤2,則0<m∴要使a恒成立,則a,故答案為[,+∞)【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題,利用參數(shù)分離法以及基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).16.(2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立,則正實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_____.【答案】【分析】分析可得原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立,根據(jù)恒成立問(wèn)題結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】∵,則,原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立,由,,則,可得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),∴,解得.故正實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為:.2.一元二次不等式恒成立問(wèn)題一、單選題1.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))定義,若關(guān)于的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】首先根據(jù)新定義得,再參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【詳解】等價(jià)于,即,記,,.故選:D.2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))數(shù)列滿(mǎn)足,若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【分析】由利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【詳解】,∵不等式恒成立,∴,解得,故選:B.3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立,則的取值范圍是(
)A. B.C.或 D.或【答案】A【分析】對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論,當(dāng)時(shí)不等式恒成立,時(shí)不等式恒成立,需要時(shí)且,可求得的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),不等式化為恒成立,當(dāng)時(shí),要使不等式恒成立,需,解得,綜上可得,不等式對(duì)任意恒成立,則的取值范圍是.故選:A.4.(2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校??奸_(kāi)學(xué)考試)對(duì)任意的,不等式都成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】分離參數(shù)得對(duì)任意的恒成立,則求出即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的,都有恒成立,∴對(duì)任意的恒成立.設(shè),,,當(dāng),即時(shí),,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選:D.5.(2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)對(duì)于任意實(shí)數(shù)及,均有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】先將除了以外的量看成常量,運(yùn)用基本不等式先求出左邊表達(dá)式的最小值,然后利用分離參數(shù),結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】由基本不等式,,故只需要即可,即對(duì)于任意的,恒成立,等價(jià)于對(duì)任意的,,或.當(dāng)時(shí),由于,原式可變形為,記,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減,在上遞增,于是在上遞增,此時(shí);當(dāng)時(shí),由于,原式可變形為,記,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減,在上遞增,于是在上遞減,在上遞增,當(dāng),當(dāng),注意到,故當(dāng)時(shí),,故.綜上,.故選:D6.(2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模)已知點(diǎn)在直線上,若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】將點(diǎn)代入直線方程,再利用基本不等式求得的最小值,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化,解之即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以,故,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí)等號(hào)成立,因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立,所以,解得,所以.故選:A7.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù),若對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),恒成立,則a的最小值是(
)A. B.0 C.1 D.2【答案】D【分析】,可看作關(guān)于的二次函數(shù)大于等于0恒成立,則判別式小于等于0恒成立,即在時(shí)恒成立,記,利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】,即,算式可看作關(guān)于的二次函數(shù)大于等于0恒成立,則判別式恒成立,即在時(shí)恒成立,記,則,,解得,,解得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,∴,則a的最小值是2,故選:D8.(2023秋·江西撫州·高三臨川一中??计谀┤魧?duì),使得(且)恒成立,則實(shí)數(shù)的值是(
)A. B. C.2 D.【答案】A【分析】利用一元二次不等式恒成立,得到,求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】對(duì)取對(duì)數(shù)可得:.即關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立,只需所以,解得:.故選:A9.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知,,若時(shí),關(guān)于的不等式恒成立,則的最小值為(
)A.2 B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè),,由一次函數(shù)以及不等式分析得時(shí),,變形后代入,然后利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)(),(),因?yàn)椋援?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;由不等式恒成立,得:或,即當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),恒成立,所以當(dāng)時(shí),,則,即,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為.故選:B.10.(2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕c中較大的數(shù),恒成立,則a的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得對(duì)恒成立,對(duì)整理分析可得:對(duì)恒成立,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】∵當(dāng)時(shí),則,可得;當(dāng)時(shí),則,可得;∴當(dāng)時(shí),,故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立,整理得,∵,則,可得,故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立,構(gòu)建,可知開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸,可得,或,或,解得,所以a的取值范圍為.故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:1.對(duì)的符號(hào)分析可得:對(duì)恒成立;2.對(duì)因式分解,分析可得:對(duì)恒成立.二、填空題11.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若不等式對(duì)一切恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】由一元二次不等式在R上恒成立可得,即可求的范圍.【詳解】由題設(shè),,即,所以.故答案為:12.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))關(guān)于的不等式在內(nèi)有解,則的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)不等式有解可得當(dāng)時(shí),,結(jié)合二次函數(shù)的最值可求得結(jié)果.【詳解】在內(nèi)有解,,其中;設(shè),則當(dāng)時(shí),,,解得:,的取值范圍為.故答案為:.13.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若不等式對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】先移項(xiàng),根據(jù)不等式是否為二次不等式分類(lèi)討論,當(dāng)是一次不等式,若對(duì)恒成立,只需是恒等式,若是二次不等式,只需開(kāi)口向上且判別式小于零,建立不等式解出即可.【詳解】解:原不等式可化為對(duì)恒成立.(1)當(dāng)時(shí),若不等式對(duì)恒成立,只需,解得;(2)當(dāng)時(shí),若該二次不等式恒成立,只需,解得,所以;綜上:.故答案為:14.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若不等式對(duì)任意恒成立,實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.【答案】【分析】把題意轉(zhuǎn)化為,設(shè),由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組,即可求解.【詳解】可轉(zhuǎn)化為.設(shè),則是關(guān)于m的一次型函數(shù).要使恒成立,只需,解得.故答案為:15.(2023·云南昆明·高三昆明一中??茧A段練習(xí))若關(guān)于的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】原不等式可轉(zhuǎn)化為,利用換元法,令,將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在區(qū)間上恒成立問(wèn)題,利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以原不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立,令,,要使在上恒成立,當(dāng)時(shí),不符合題意,當(dāng)時(shí),若要在上恒成立,由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得該函數(shù)圖象開(kāi)口向下,即,當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸,即時(shí),只需,解得;當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸,即時(shí),只需,解得;綜上所述,故答案為:16.(2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若不等式對(duì)恒成立,則a的取值范圍是____________.【答案】【分析】通過(guò)參數(shù)分離等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式,再求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值,即可求出a的取值范圍.【詳解】由不等式對(duì)恒成立,可轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立,即,而,當(dāng)時(shí),有最大值,所以,故答案為:.17.(2023·高三課時(shí)練習(xí))若對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】.【詳解】由已知得不等式對(duì)任意恒成立,所以不等式對(duì)任意恒成立,即不等式對(duì)任意恒成立,當(dāng)時(shí),則不等式對(duì)任意不恒成立,所以.所以,即,所以.解得.【點(diǎn)睛】解對(duì)數(shù)不等式應(yīng)將兩邊都化成同底數(shù)的對(duì)數(shù),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較真數(shù)的大?。坏仁綄?duì)任意恒成立,可轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)任意恒成立,分與兩種情況討論.時(shí)結(jié)合二次函數(shù)的圖像得結(jié)論.18.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知,函數(shù)若對(duì)任意x∈[–3,+),f(x)≤恒成立,則a的取值范圍是__________.【答案】【分析】由題意分類(lèi)討論和兩種情況,結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】分類(lèi)討論:①當(dāng)時(shí),即:,整理可得:,由恒成立的條件可知:,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時(shí),,則;②當(dāng)時(shí),即:,整理可得:,由恒成立的條件可知:,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)或時(shí),,則;綜合①②可得的取值范圍是,故答案為.點(diǎn)睛:對(duì)于恒成立問(wèn)題,常用到以下兩個(gè)結(jié)論:(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從:①開(kāi)口方向;②對(duì)稱(chēng)軸位置;③判別式;④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析.3.一元二次不等式有解問(wèn)題一、單選題1.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若不等式在上有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】將不等式在上有解,轉(zhuǎn)化為不等式在上有解求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏嫌薪?,所以不等式在上有解,令,則,所以,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選:B2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若存在,使得不等式成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對(duì)于,成立,令,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,即可求出.【詳解】存在,不等式成立,則,能成立,即對(duì)于,成立,令,,則,令,所以當(dāng),單調(diào)遞增,當(dāng),單調(diào)遞減,又,所以f(x)>?3,所以.故選:C3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若存在實(shí)數(shù),使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】分別在、和的情況下,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.【詳解】①當(dāng)時(shí),不等式化為,解得:,符合題意;②當(dāng)時(shí),為開(kāi)口方向向上的二次函數(shù),只需,即;③當(dāng)時(shí),為開(kāi)口方向向下的二次函數(shù),則必存在實(shí)數(shù),使得成立;綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.4.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)向量滿(mǎn)足,,若,,則向量與的夾角不等于(
)A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律將模長(zhǎng)的平方寫(xiě)為向量的平方,結(jié)合一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解求解即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為,,由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,,即,根據(jù)題意整理得有解,所以,解得,故選:C5.(2023·山東·日照一中校考模擬預(yù)測(cè))若正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足,且不等式有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
).A.或 B.或C. D.【答案】A【分析】將代數(shù)式與相乘,展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿(mǎn)足,則,即,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即的最小值為,因?yàn)椴坏仁接薪?,則,即,即,解得或.故選:A.6.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知關(guān)于的不等式在上有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】分離參數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為在上有解,設(shè)函數(shù),,求出函數(shù)的最大值,即可求得答案.【詳解】由題意得,,,即,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解,設(shè),則,,對(duì)于,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則,故,故選:A7.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若關(guān)于的不等式的解集不為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】據(jù)題意,分兩種情況討論:①當(dāng)時(shí),即,將的值代入分析不等式的解集是否為空集,②當(dāng)時(shí),即,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析不等式解集非空時(shí)的取值范圍,綜合2種情況即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,分兩種情況討論:①當(dāng)時(shí),即,若時(shí),原不等式為,解可得:,則不等式的解集為,不是空集;若時(shí),原不等式為,無(wú)解,不符合題意;②當(dāng)時(shí),即,若的解集是空集,則有,解得,則當(dāng)不等式的解集不為空集時(shí),有或且,綜合可得:實(shí)數(shù)的取值范圍為;故選:C.二、填空題
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