素養(yǎng)拓展2 不等式中的恒成立問(wèn)題（精講+精練）（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）素養(yǎng)拓展02不等式中的恒成立問(wèn)題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.結(jié)合圖象務(wù)必理解掌握下面幾個(gè)重要結(jié)論！設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛?，或或中之一種，則①若恒成立（即無(wú)解），則；②若恒成立（即無(wú)解），則；③若有解（即存在使得成立），則；④若有解（即存在使得成立），則；⑤若有解（即無(wú)解），則；⑥若無(wú)解（即有解），則．【說(shuō)明】（1）一般來(lái)說(shuō)，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法．（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號(hào)的取舍?。炊它c(diǎn)值的取舍）2.分離參數(shù)的方法①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時(shí)，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．【注意】（1）分離參數(shù)后，問(wèn)題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）．但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問(wèn)題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時(shí)就用含參轉(zhuǎn)化法．（2）恒成立命題對(duì)自變量的范圍有時(shí)有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn)，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問(wèn)題．】3.其他恒成立類(lèi)型一①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號(hào)不能漏掉)．②在上是減函數(shù)，則恒成立．(等號(hào)不能漏掉)．③在上是單調(diào)函數(shù)，方法一：分上述兩種情形討論；(常用方法)4.其他恒成立類(lèi)型二①，使得方程成立．②，使得方程成．5.其他恒成立類(lèi)型三①，；②，；③，；④，．【方法】處理時(shí)，把當(dāng)常數(shù)；處理時(shí)，把當(dāng)常數(shù)．思考：對(duì)的四種取值情形；或；或等又如何處理呢？【同理！】二、題型精講精練二、題型精講精練1.基本不等式恒成立問(wèn)題一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即的取值范圍為.故選：D.2．（2023·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及給定傾斜角的范圍，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解a的范圍即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，所以對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)任意恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以a的取值范圍是．故選：D．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．} C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式可取的最小值，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，由恒成立可得，解得：，故選：D.4．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25【答案】D【分析】由得到，從而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，從而得到.【詳解】因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．因不等式恒成立，只需，因此，故實(shí)數(shù)的最大值為25．故選：D5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式求出，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后解不等式即可.【詳解】恒成立，即，又，上述兩個(gè)不等式中，等號(hào)均在時(shí)取到，，，解得且，又，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.6．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)滿(mǎn)足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，然后求出的最小值即可，而，所以，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】依題意，，因?yàn)檎龜?shù)滿(mǎn)足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，所以的取值范圍為.故選：B7．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用可得的最小值為4，再根據(jù)含參不等式恒成立解一元二次不等式，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立，則時(shí)，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.8．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿(mǎn)足，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合條件，由可得，然后由可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以由可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故選：B．9．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運(yùn)用兩次基本不等式即可.【詳解】依題意，．又，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，前后兩個(gè)不等號(hào)中的等號(hào)同時(shí)成立，所以的取值范圍為故選：10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求出的值，代入中化簡(jiǎn)，利用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值是，則的最大值為.故選A【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得出進(jìn)行代換，屬于偏難題目.二、多選題11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】ABC【分析】將題目轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，即求的最小值，利用基本不等式求出的最小值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的取值范圍，則答案可求．【詳解】解：，即恒成立，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題的求解，考查學(xué)生計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，是中檔題．12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)，，時(shí)，恒成立，則的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【分析】利用基本不等式求出的最小值，再求出的最大值即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)椋艉愠闪?，則，解得．故選：AB.三、填空題13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)），，且恒成立，則的最大值為_(kāi)_．【答案】4【分析】將不等式變形分離出，不等式恒成立即大于等于右邊的最小值；由于，湊出兩個(gè)正數(shù)的積是常數(shù)，利用基本不等式求最值．【詳解】解：由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案為：4．14．（2023·山西大同·大同市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)將分離出來(lái)，基本不等式求最值即可求解.【詳解】由得．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴的最大值為．故答案為：15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知不等式對(duì)任給，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵x＞0，y＞0，∴不等式等價(jià)為a恒成立，設(shè)m，則m＞0，平方得m2＝（）2111+1＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，∴m2≤2，則0<m∴要使a恒成立，則a，故答案為[，+∞）【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法以及基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．16．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_____．【答案】【分析】分析可得原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，根據(jù)恒成立問(wèn)題結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】∵，則，原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，由，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，∴，解得．故正實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：．2.一元二次不等式恒成立問(wèn)題一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）定義，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)新定義得，再參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【詳解】等價(jià)于，即，記，，．故選：D．2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿(mǎn)足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【詳解】，∵不等式恒成立，∴，解得，故選：B．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)不等式恒成立，時(shí)不等式恒成立，需要時(shí)且，可求得的范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為恒成立，當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，需，解得，綜上可得，不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是．故選：A．4．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）對(duì)任意的，不等式都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離參數(shù)得對(duì)任意的恒成立，則求出即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有恒成立，∴對(duì)任意的恒成立．設(shè)，，，當(dāng)，即時(shí)，，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.5．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于任意實(shí)數(shù)及，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先將除了以外的量看成常量，運(yùn)用基本不等式先求出左邊表達(dá)式的最小值，然后利用分離參數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】由基本不等式，，故只需要即可，即對(duì)于任意的，恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的，，或.當(dāng)時(shí)，由于，原式可變形為，記，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減，在上遞增，于是在上遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由于，原式可變形為，記，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)在上遞減，在上遞增，于是在上遞減，在上遞增，當(dāng)，當(dāng)，注意到，故當(dāng)時(shí)，，故.綜上，.故選：D6．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)在直線上，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將點(diǎn)代入直線方程，再利用基本不等式求得的最小值，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，解之即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，所以，解得，所以.故選：A7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，則a的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】，可看作關(guān)于的二次函數(shù)大于等于0恒成立，則判別式小于等于0恒成立，即在時(shí)恒成立，記，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】，即，算式可看作關(guān)于的二次函數(shù)大于等于0恒成立，則判別式恒成立，即在時(shí)恒成立，記，則，，解得，，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴，則a的最小值是2，故選：D8．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谀┤魧?duì)，使得（且）恒成立，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用一元二次不等式恒成立，得到，求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】對(duì)取對(duì)數(shù)可得：.即關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，只需所以，解得：.故選：A9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)，，由一次函數(shù)以及不等式分析得時(shí)，，變形后代入，然后利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)（），（），因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由不等式恒成立，得：或，即當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，則，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.10．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕c中較大的數(shù)，恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得對(duì)恒成立，對(duì)整理分析可得：對(duì)恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】∵當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；∴當(dāng)時(shí)，，故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，整理得，∵，則，可得，故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，構(gòu)建，可知開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，可得，或，或，解得，所以a的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.對(duì)的符號(hào)分析可得：對(duì)恒成立；2.對(duì)因式分解，分析可得：對(duì)恒成立.二、填空題11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】由一元二次不等式在R上恒成立可得，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)，，即，所以.故答案為：12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)不等式有解可得當(dāng)時(shí)，，結(jié)合二次函數(shù)的最值可求得結(jié)果.【詳解】在內(nèi)有解，，其中；設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，，解得：，的取值范圍為.故答案為：.13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】先移項(xiàng)，根據(jù)不等式是否為二次不等式分類(lèi)討論，當(dāng)是一次不等式，若對(duì)恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需開(kāi)口向上且判別式小于零，建立不等式解出即可.【詳解】解：原不等式可化為對(duì)恒成立．（1）當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)恒成立，只需，解得；（2）當(dāng)時(shí)，若該二次不等式恒成立，只需，解得，所以；綜上：.故答案為：14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式對(duì)任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.【答案】【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解.【詳解】可轉(zhuǎn)化為.設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù).要使恒成立，只需，解得.故答案為：15．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】原不等式可轉(zhuǎn)化為，利用換元法，令，將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在區(qū)間上恒成立問(wèn)題，利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以原不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，，要使在上恒成立，當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若要在上恒成立，由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，即，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸，即時(shí)，只需，解得；當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸，即時(shí)，只需，解得；綜上所述，故答案為：16．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若不等式對(duì)恒成立，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】通過(guò)參數(shù)分離等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，再求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值，即可求出a的取值范圍．【詳解】由不等式對(duì)恒成立，可轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即，而，當(dāng)時(shí)，有最大值，所以，故答案為：．17．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】.【詳解】由已知得不等式對(duì)任意恒成立，所以不等式對(duì)任意恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，則不等式對(duì)任意不恒成立，所以．所以，即，所以．解得．【點(diǎn)睛】解對(duì)數(shù)不等式應(yīng)將兩邊都化成同底數(shù)的對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較真數(shù)的大?。坏仁綄?duì)任意恒成立，可轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)任意恒成立，分與兩種情況討論．時(shí)結(jié)合二次函數(shù)的圖像得結(jié)論．18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，函數(shù)若對(duì)任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．【答案】【分析】由題意分類(lèi)討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或時(shí)，，則；綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱(chēng)軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析．3.一元二次不等式有解問(wèn)題一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】將不等式在上有解，轉(zhuǎn)化為不等式在上有解求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏嫌薪?，所以不等式在上有解，令，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對(duì)于，成立，令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對(duì)于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以f(x)>?3，所以.故選：C3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別在、和的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.【詳解】①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得：，符合題意；②當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口方向向上的二次函數(shù)，只需，即；③當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口方向向下的二次函數(shù)，則必存在實(shí)數(shù)，使得成立；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)向量滿(mǎn)足，，若，，則向量與的夾角不等于（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律將模長(zhǎng)的平方寫(xiě)為向量的平方，結(jié)合一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解求解即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，即，根據(jù)題意整理得有解，所以，解得，故選：C5．（2023·山東·日照一中校考模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為在上有解，設(shè)函數(shù)，，求出函數(shù)的最大值，即可求得答案.【詳解】由題意得，，，即，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)，則，，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故，故選：A7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】據(jù)題意，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，即，將的值代入分析不等式的解集是否為空集，②當(dāng)時(shí)，即，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析不等式解集非空時(shí)的取值范圍，綜合2種情況即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，即，若時(shí)，原不等式為，解可得：，則不等式的解集為，不是空集；若時(shí)，原不等式為，無(wú)解，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，即，若的解集是空集，則有，解得，則當(dāng)不等式的解集不為空集時(shí)，有或且，綜合可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為；故選：C．二、填空題