考點(diǎn)33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、表面積和體積9種常見考法歸類（解析版）

考點(diǎn)33空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、表面積和體積9種常見考法歸類考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)二空間圖形的展開圖問題考點(diǎn)三最短路徑問題考點(diǎn)四立體圖形的直觀圖考點(diǎn)五空間幾何體的表面積考點(diǎn)六空間幾何體的體積（一）直接利用公式求體積（二）割補(bǔ)法求體積（三）等體積法求體積（四）已知體積求其他量考點(diǎn)七空間幾何體的截面問題考點(diǎn)八與球有關(guān)的切、接問題（一）幾何體的外接球（二）幾何體的內(nèi)切球考點(diǎn)九立體幾何中的軌跡問題考點(diǎn)十立體幾何中的最值問題1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形定義有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體結(jié)構(gòu)特征底面互相平行且全等；側(cè)面都是平行四邊形；側(cè)棱都相等且互相平行底面是一個(gè)多邊形；側(cè)面都是三角形；側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)上、下底面互相平行且相似；各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)；各側(cè)面為梯形分類①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按側(cè)棱與底面的關(guān)系：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，否則叫做斜棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體.①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱錐、四棱錐、五棱錐…②正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐.③正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)…②正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)2.常見四棱柱及其關(guān)系3.簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征①母線互相平行且相等，并垂直于底面②軸截面是全等的矩形③側(cè)面展開圖是矩形①母線相交于一點(diǎn)②軸截面是全等的等腰三角形③側(cè)面展開圖是扇形①母線延長線交于一點(diǎn)②軸截面是全等的等腰梯形③側(cè)面展開圖是扇環(huán)截面是圓面5.簡單組合體由簡單幾何體組合而成的幾何體叫簡單組合體.其構(gòu)成形式主要有：由簡單幾何體拼接，或由簡單幾何體截去或挖去一部分.6.立體圖形的直觀圖(1)概念：直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形，立體幾何中通常是在平行投影下得到的平面圖形.(2)斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段.③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變.注：按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積是原圖形的eq\f(\r(2),4)倍，即S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝S直觀圖7.簡單幾何體的表面積與體積(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l其中r，r′為底面半徑，l為母線長.(2)柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積(S是底面積，h是高)柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底為直截面周長V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球(R是半徑)S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3解決空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征問題的基本方法：(1)定義法：緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定；(2)反例法：學(xué)會(huì)通過反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，設(shè)法舉出一個(gè)反例即可.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．(4)既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略．9.最短距離問題研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題．10.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出.11.解決有關(guān)“斜二測(cè)畫法”問題注意點(diǎn)一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長度的關(guān)系.12.求解多面體的表面積關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺(tái)中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，通過建立未知量與已知量間的關(guān)系進(jìn)行求解.13.求空間幾何體體積的常用方法求空間幾何體體積的常用方法為公式法、割補(bǔ)法和等積變換法(等體積法)：公式法對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算其體積等體積法一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積，對(duì)于三棱錐，由于其任意一個(gè)面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計(jì)算的方式來求體積；利用“等積性”還可求“點(diǎn)到面的距離”.14.求旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.直角梯形繞直角腰旋轉(zhuǎn)一周形成的是圓臺(tái)，四分之一圓繞半徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的是半球，所以陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周形成的是組合體，圓臺(tái)挖去半球，S表＝S圓臺(tái)側(cè)＋S下底面＋S半球表.15.求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計(jì)算體積所需要的幾何量.求旋轉(zhuǎn)體的體積常用公式法、分割法等，注意相關(guān)公式要牢記.16.與球有關(guān)的切、接問題解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：17.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.18.空間幾何體的截面問題作出截面的關(guān)鍵是找到截線，作出截線的主要根據(jù)有：(1)確定平面的條件；(2)三線共點(diǎn)的條件；(3)面面平行的性質(zhì)定理．19.立體幾何中的最值問題解決空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問題，一般可以從三方面著手：(1)從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決；(2)利用空間幾何體的側(cè)面展開圖；(3)找出問題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值．解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點(diǎn)法，二次函數(shù)的配方法、公式法，函數(shù)有界法(如三角函數(shù)等)考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．【多選】（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐廬中學(xué)期末）下列命題正確的是（

）A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形D．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行【答案】BD【分析】根據(jù)常見幾何體的性質(zhì)與定義逐個(gè)選項(xiàng)辨析即可.【詳解】對(duì)A，棱臺(tái)指一個(gè)棱錐被平行于它的底面的一個(gè)平面所截后，截面與底面之間的幾何形體，其側(cè)棱延長線需要交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故B正確；對(duì)C，用平面截圓柱得到的截面也可能是橢圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，棱柱的面中，至少上下兩個(gè)面互相平行，故D正確；故選：BD2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯(cuò)誤的是（

）A．棱柱的側(cè)棱互相平行B．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐C．正三棱錐的各個(gè)面都是正三角形D．棱臺(tái)各側(cè)棱所在直線會(huì)交于一點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)相應(yīng)幾何體的定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知A正確；當(dāng)以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，所得幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，故B正確；正三棱錐的底面是正三角形，其余側(cè)面是全等的等腰三角形，故C錯(cuò)誤；棱臺(tái)是用平行于底面的平面截棱錐而得，故側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)，D正確.故選：C3．【多選】（2023春·甘肅·高三校聯(lián)考期中）下列命題正確的是（

）A．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐母線的定義可判斷A，根據(jù)棱臺(tái)的定義可判斷B，根據(jù)圓臺(tái)的定義可判斷C，根據(jù)平面與圓柱底面的位置關(guān)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)圓錐的母線的定義，可知A正確；對(duì)于B，把梯形的腰延長后有可能不交于一點(diǎn)，此時(shí)得到幾何體就不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)圓臺(tái)的定義，可知C正確；對(duì)于D，當(dāng)平面不與圓柱的底面平行且不垂直于底面時(shí)，得到的截面不是圓和矩形，故D錯(cuò)誤.故選：AC4．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是（

）

A．棱柱 B．棱臺(tái) C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判斷【詳解】如圖.

∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，∴有水的部分始終有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形(水面與兩平行平面的交線)，因此呈棱柱形狀.故選：A5．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼?耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則（

）A．“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形； B．“羨除”一定不是臺(tái)體；C．不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“羨除”； D．“羨除”至多有兩個(gè)面為梯形.【答案】ABC【分析】畫出圖形，利用新定義判斷A；通過，判斷“羨除”一定不是臺(tái)體，判斷B；利用反證法判斷C；通過兩兩不相等，則“羨除”有三個(gè)面為梯形，判斷D．【詳解】由題意知：，四邊形為梯形，如圖所示：對(duì)于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形，故A正確；對(duì)于B：由于，所以：“羨除”一定不是臺(tái)體，故B正確；對(duì)于C：假設(shè)四邊形和四邊形BCDF為平行四邊形，則，且，則四邊形為平行四邊形，與已知的四邊形為梯形矛盾，故不存在，故C正確；對(duì)于D：若，則“羨除”三個(gè)面為梯形，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．6．（2023春·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個(gè)石凳都是由正方體截去八個(gè)相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形B．該幾何體恰有12個(gè)面C．該幾何體恰有24條棱D．該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的形狀逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】據(jù)圖可得該幾何體的面是等邊三角形或正方形，A正確；該幾何體恰有14個(gè)面，B不正確；該幾何體恰有24條棱，C正確；該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)，D正確．故選：B7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）1750年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質(zhì)，其中一條是：如果用V，E和F分別表示簡單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，則有如下關(guān)系：．已知一個(gè)正多面體每個(gè)面都是全等的等邊三角形，每個(gè)頂點(diǎn)均連接5條棱，則（

）A．50 B．52 C．60 D．62【答案】D【分析】根據(jù)多面體的性質(zhì)，結(jié)合歐拉公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知條件得出，解得，所以．故選：D．考點(diǎn)二空間圖形的展開圖問題8．（2023秋·黑龍江綏化·高三?？计谀┤鐖D是一個(gè)正方體的平面展開圖，將其復(fù)原為正方體后，互相重合的點(diǎn)是_______.①與②與③與④與【答案】①②④【分析】還原正方體即可解決.【詳解】根據(jù)題意，標(biāo)記下圖，還原得由圖知，與，與，與重合，故答案為：①②④9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是一個(gè)長方體的展開圖，如果將它還原為長方體，那么線段AB與線段CD所在的直線（

）A．平行 B．相交 C．是異面直線 D．可能相交，也可能是異面直線【答案】C【分析】將展開圖還原成長方體，即可判斷【詳解】如圖，將展開圖還原成長方體，易得線段AB與線段CD是異面直線，故選：C10．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖①，這是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，將小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，這時(shí)小正方體正面朝上的圖案是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方體的側(cè)面展開圖找出相對(duì)面，再由其特征得到結(jié)果.【詳解】由圖①可知，“同心圓”和“圓”相對(duì)，“加號(hào)”和“箭頭”相對(duì)，“心形”和“星星”相對(duì)．由圖②可得，小正方體從如圖②所示的位置翻到第6格時(shí)正面朝上的圖案是．故選：C.考點(diǎn)三最短路徑問題11．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的高為2，底面周長為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為（

）．A． B． C．3 D．2【答案】B【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，解三角形即得解.【詳解】解：圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，由題得,所以.所以在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長度為.故選：B12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長為的正，糧堆母線的中點(diǎn)處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是___________.【答案】【分析】求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)的距離問題即可.【詳解】解：由題意得：圓錐的底面周長是，則，解得：可知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是，如圖所示：則圓錐的側(cè)面展開圖中：，，所以在圓錐側(cè)面展開圖中：故答案為：13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】畫出圓錐的側(cè)面展開圖，則螞蟻爬行的最短距離為，在中，解三角形即可.【詳解】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)的最短距離為，設(shè)，圓錐底面周長為，所以，所以，在中，由，得故選：B．14．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱中，，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F的最短路徑長度為________．

【答案】/【分析】分析可得沿棱柱的表面從E到F可能經(jīng)過棱，，，再分別展開直觀圖求解即可.【詳解】若從E到F經(jīng)過棱則沿棱展開如圖，過作于，則，，故.

若從E到F經(jīng)過棱則沿棱展開如圖，，，.

若從E到F經(jīng)過棱則沿棱展開如圖，，，.

若從E到F經(jīng)過棱則沿棱展開如圖，由題意，為等腰直角三角形，四邊形為正方形，故為等腰直角三角形，故四邊形為直角梯形.又，，故.

故沿棱柱的表面從E到F的最短路徑長度為.故答案為：考點(diǎn)四立體圖形的直觀圖15．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由斜二測(cè)畫法原理將直觀圖轉(zhuǎn)化為原圖，根據(jù)原圖運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：，由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：，可得，所以原三角形的周長.故選：B.16．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是（

）A． B． C．16 D．8【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測(cè)畫法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.17．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖，一個(gè)用斜二測(cè)畫法畫出來的三角形是一個(gè)邊長為a的正三角形，則原三角形的面積是（

）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【答案】C【分析】利用斜二測(cè)畫法中邊長的比例關(guān)系求出面積的比.【詳解】∵S△A′B′C′＝a2sin60°＝a2，∴S△ABC＝S△A′B′C′＝a2.故選：C.【點(diǎn)睛】斜二測(cè)直觀圖的面積與原圖形的面積比為，原圖形的面積與直觀圖的面積比為.18．（2023秋·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)?？计谀┯幸粔K多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為__________【答案】【分析】利用直觀圖中的信息，求出的長度，從而得到原平面圖形中的長度，利用梯形的面積公式求解即可.【詳解】過作于，在直觀圖中，，，，所以，，故原平面圖形的上底為，下底，高為，所以這塊菜地的面積為，故答案為：.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、均在坐標(biāo)軸上，且△AOB的面積為12，則的長度為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】畫出△AOB的原圖，根據(jù)三角形△AOB的面積為12可得答案.【詳解】畫出△AOB的原圖為直角三角形，且，因?yàn)?，所以，所?故選：B.20．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是()A．AB B．AD C．BC D．AC【答案】D【詳解】因?yàn)锳′B′與y′軸重合，B′C′與x′軸重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC為斜邊，故AB<AD<AC，BC<AC.故選D.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)直三棱柱的高為2，如圖，其底面ABC水平放置的直觀圖（斜二測(cè)畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的“三變”“三不變”可得底面平面圖，然后可解.【詳解】由斜二測(cè)畫法的“三變”“三不變”可得底面平面圖如圖所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面積為.故選：C22．【多選】（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，四邊形是由斜二測(cè)畫法得到的平面四邊形水平放置的直觀圖，其中，，，點(diǎn)在線段上，對(duì)應(yīng)原圖中的點(diǎn)，則在原圖中下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積為14B．與同向的單位向量的坐標(biāo)為C．在向量上的投影向量的坐標(biāo)為D．的最小值為17【答案】ABD【分析】根據(jù)直觀圖可得四邊形為直角梯形，從而可求得原圖形的面積，即可判斷A；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)，再根據(jù)與同向的單位向量為，即可判斷B；根據(jù)在向量上的投影向量的坐標(biāo)為即可判斷C；設(shè)，根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示即可判斷D.【詳解】解：由直觀圖可得，四邊形為直角梯形，且，則四邊形的面積為，故A正確；如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為，故B正確；，則在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確.故選：ABD.考點(diǎn)五空間幾何體的表面積23．（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）如圖，扇形中，，，將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為______．【答案】【分析】根據(jù)題意得到幾何體為以為圓心，為半徑的半個(gè)球體，再求其表面積即可.【詳解】將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體為以為圓心，為半徑的半個(gè)球體.幾何體的表面積為.故答案為：24．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】底面圓周長為，計(jì)算母線長為，再計(jì)算側(cè)面積得到答案.【分析】底面圓周長為，母線長為，側(cè)面積為.故選：C25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱長為2，，則該斜三棱柱的側(cè)面積是_________．【答案】/【分析】過點(diǎn)作于，證出≌，得出，證得平面，得出，結(jié)合再證明出，得出平行四邊形為矩形，即可計(jì)算出斜三棱柱的側(cè)面積．【詳解】過點(diǎn)作于，如圖所示，，，，≌，，，即，又，平面，又平面，，又，，∴平行四邊形為矩形，∴該斜三棱柱的側(cè)面積為：，故答案為：．26．（2023春·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖一個(gè)正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個(gè)茶葉盒的表面積為______.【答案】【分析】根據(jù)棱柱表面積的求法，結(jié)合已知求茶葉盒的表面積.【詳解】由題設(shè)，一個(gè)底面的面積為，一個(gè)側(cè)面矩形面積為，所以茶葉盒的表面積為.故答案為：27．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是圓錐的一個(gè)軸截面，分別為母線的中點(diǎn)，，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸截面求出底面半徑和母線長，再根據(jù)側(cè)面積公式可求出結(jié)果.【詳解】如圖：因?yàn)?，所以，則圓錐底面半徑，，即母線，所以圓錐的側(cè)面積.故選：D28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊長為的等腰直角三角形，高為，則該“塹堵”的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用柱體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，該“塹堵”的表面積為.故選：D.29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是球的小圓上的三點(diǎn)，若，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出小圓的半徑，由平面，結(jié)合勾股定理，可求得球的半徑，計(jì)算其表面積得答案.【詳解】因?yàn)椋允钦切?，是其外接圓圓心，所以的外接圓半徑，球的半徑，所以球的表面積為.故選：B.30．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由側(cè)面為等邊三角形，結(jié)合面積公式求解即可..【詳解】設(shè)底面棱長為，正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則側(cè)面為等邊三角形，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為.故選：D31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長都相等的四棱錐），其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長的比值為，則以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】設(shè)底面的正方形的邊長為，由棱錐的性質(zhì)求棱錐的高，由此確定以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比.【詳解】如圖為正四棱柱，為側(cè)面三角形底邊上的高，設(shè)，由已知側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長的比值為，所以，連接，設(shè)其交點(diǎn)為，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，又，平面，所以平面，又平面，所以，即為以為斜邊的直角三角形，因?yàn)?，，所以，所以以四棱錐的高為邊長的正方形面積，四棱錐的側(cè)面積，所以，所以以四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為，故選：B.32．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈钤绯鐾恋氖仆勇菔窃谏轿飨目h發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱與圓錐的表面積公式求解.【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為，故選：C.考點(diǎn)六空間幾何體的體積（一）直接利用公式求體積33．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）若某圓錐高為3，其側(cè)面積與底面積之比為，則該圓錐的體積為________.【答案】【分析】由題意可列出關(guān)于圓錐底面半徑和母線的方程組，解方程組即可求得底面半徑和母線，從而可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)此圓錐的底面半徑為，母線長為，則，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的弧長是圓錐底面圓的周長，扇形的半徑是圓錐母線長，所以，，又側(cè)面積與底面積之比為，所以，所以，結(jié)合可解得，，所以該圓錐的體積.故答案為：

34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半徑為1的半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長等于側(cè)面展開圖的弧長，求得底面圓半徑，根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，結(jié)合圓錐體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】母線長為1，設(shè)底面圓半徑為，則，∴，∴，故圓錐的體積為，故選：A.35．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)中，，，則其體積為________.【答案】【分析】作出正四棱臺(tái)的直觀圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用勾股定理求出棱臺(tái)的高，最后根據(jù)棱臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖正四棱臺(tái)中，則，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，又，所以，即正四棱臺(tái)的高，所以棱臺(tái)的體積.故答案為：36．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個(gè)正四棱錐，如圖2，已知正四棱錐的高為4.87m，其側(cè)棱與高的夾角為45°，則該正四棱錐的體積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長為am，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，易得平面ABCD，，再根據(jù)高為4.87m求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)正四棱錐的底面邊長為am，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，則平面ABCD，由題可得，故，所以，解得，所以該正四棱錐的體積.故選：D.37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái),如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個(gè)空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內(nèi)水深約（

）cmA．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.1【答案】C【分析】取圓臺(tái)的中軸面,補(bǔ)全為一個(gè)三角形,根據(jù)三角形相似,找到加入礦泉水后水面的半徑和水深的關(guān)系,根據(jù)圓臺(tái)體積為,列出等式,解出即可.【詳解】解:由題知礦泉水的體積為,將圓臺(tái)的中軸面拿出,補(bǔ)全為一個(gè)三角形如圖所示:加入礦泉水后,記石瓢壺內(nèi)水深為,水平面半徑為,由圖可知,所以有即,解得,由,得,即,解得:,故加入礦泉水后圓臺(tái)的體積為:,解得,所以.故選:C（二）割補(bǔ)法求體積38．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，點(diǎn)D是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為（

）A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)易知為直三棱柱，即側(cè)面為矩形，利用柱體體積公式、錐體體積公式求，進(jìn)而確定比值.【詳解】不妨令，且上下底面等邊三角形，又底面ABC，易知為直三棱柱，即側(cè)面為矩形，所以三棱柱體積，而，故，所以，故，所以.故選：D39．（2023·遼寧·朝陽市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖是兩個(gè)直三棱柱和重疊后的圖形，公共側(cè)面為正方形，兩個(gè)直三棱柱底面是腰為2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為______．【答案】/【分析】將幾何體轉(zhuǎn)化為直三棱柱加兩個(gè)三棱錐，利用棱柱和棱錐體積公式即可得到答案.【詳解】依題意中，，，則，該幾何體可視為直三棱柱的側(cè)面和側(cè)面在形外附著兩個(gè)三棱錐、，且為中點(diǎn)，有平面，平面，所以幾何體體積，故答案為：.40．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐的體積為___________.

【答案】【分析】利用已知作出截面，進(jìn)而利用分割法即可求得以平面截正方體所得截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐的體積.【詳解】延長交的延長線于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面.因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，即，解得，同理可得，則，，因?yàn)椋?，又，則，同理可得；所以，，，，，.故答案為：

41．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得.

(1)求證：平面平面；(2)若，分別為，的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，可得，再利用勾股定理證明，即可證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，再根據(jù)結(jié)合棱錐的體積公式即可得解.【詳解】（1），，，，平面，平面，又平面，，由直角梯形，，，，，得，則，所以，又，，平面，平面，又平面，平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，由（1）得，則，，，，，即三棱錐的體積為.

（三）等體積法求體積42．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)中位線定理和面面垂直的判定即可求解；（2）根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，AC與BD交于點(diǎn)O所以O(shè)為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，F(xiàn)分別是棱PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E為三角形的中位線，OF為三角形的中位線，所以,，平面，平面，平面，平面，平面，平面，而,平面，平面，平面平面PCD.（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的菱形，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，底面ABCD，所以，，所以和均為直角三角形，所以，，所以，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)體積相等法可知，所以，所以.，故三棱錐的體積為.43．（2023·四川成都·川大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，再證明,由此證明，根據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論；（2）證明平面，根據(jù)錐體體積公式可得，再結(jié)合所給數(shù)據(jù)計(jì)算體積.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦切危?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?

（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，所以三棱錐和三棱錐的體積相等，所以，連接交線段與點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，，所以，，所以，由?）平面，，所以.（四）已知體積求其他量44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為，，該圓臺(tái)的體積為，則該圓臺(tái)的高為______.【答案】3【分析】由圓臺(tái)的體積公式直接求得.【詳解】圓臺(tái)的體積，得.所以該圓臺(tái)的高為3.故答案為：3.45．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的底面半徑為2，其體積與半徑為1的球的體積相等，則該圓錐的母線長為（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】設(shè)圓錐的高為，根據(jù)圓錐及球的體積公式求出，再由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】設(shè)圓錐的高為，則，解得，所以母線長為.故選：C46．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長度的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出外接球半徑，根據(jù)勾股定理逆定理得到，且，求出點(diǎn)D到平面ABC的距離，求出點(diǎn)D所在球的截面的半徑及三角形ABC的外接圓半徑，設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，當(dāng)CE最長時(shí)CD最長，結(jié)合，求出CD長度的最大值.【詳解】因?yàn)榍虻捏w積為，故球的半徑R滿足，故，而，，，故，故，故，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，則，故，點(diǎn)D在球的截面圓上，設(shè)截面圓所在的平面為α，因?yàn)椋云矫姒僚c平面ABC在球心的異側(cè)，

設(shè)球心到平面ABC的距離為d，而△ACB外接圓的半徑為，則，故球心到平面α的距離為，故截面圓的半徑為，設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，則E的軌跡為圓，圓心為△ABC的外心即AB的中點(diǎn)，當(dāng)CE最長時(shí)CD最長，此時(shí)，故CD長度的最大值為.故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.47．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃兆?，古稱“角黍”，早在春秋時(shí)期就已出現(xiàn)，到晉代成為了端午節(jié)的節(jié)慶食物．現(xiàn)將兩個(gè)正四面體進(jìn)行拼接，得到如圖所示的粽子形狀的六面體，其中點(diǎn)G在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若此六面體的體積為，則下列說法正確的是（

）

A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】D【分析】設(shè)，然后求出正四面體的高，然后由體積可求得，然后由側(cè)面展開圖可求的最小值.【詳解】設(shè)，則正四面體的高為，因?yàn)榱骟w的體積為，所以，解得，

的最小值為等邊三角形高的2倍，即，故選：D考點(diǎn)七空間幾何體的截面問題48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】利用平行畫出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.【詳解】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，，六邊形是過，，這三點(diǎn)的截面圖，過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形．故選：D49．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在長方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【分析】連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，即可得到截面圖形，從而得解.【詳解】如圖連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為平面截該長方體所得的截面多邊形.其中因?yàn)?，，，所以，則，所以，又，所以，所以，則，顯然，則，所以.故選：C50．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，先證三角形即為平面截正方體所得截面，然后可得周長.【詳解】記的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接，由正方體性質(zhì)可知，平面，因?yàn)槠矫?，所以又為正方形，所以因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)镻，E分別為的中點(diǎn)，所以，所以，同理可證，又，平面所以平面，所以三角形即為平面截正方體所得截面，易知三角形為正三角形，所以截面周長為.故選：C

51．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為_________．

【答案】/【分析】利用直三棱柱的側(cè)面展開圖求解即可.【詳解】由題意可知過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的周長即的周長，因?yàn)橹比庵愿鱾?cè)面均為矩形，所以，直三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，

則在矩形中，所以過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為，故答案為：52．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖，正方體的棱長為，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由正方體的性質(zhì)證明平面，同樣由正方體性質(zhì)知時(shí)，截面與棱相交于它們的中點(diǎn)處，計(jì)算出，然后從1開始增加，平面逐漸平移，由棱錐平行于底面的截面的性質(zhì)易得的表達(dá)式，，然后確定在時(shí)，是常數(shù)，與的情形相似可得．從而得出結(jié)論．【詳解】

如圖，連接，，平面，平面，則，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，平面，平面，所以平面，因此平面與平面重合或平行，取的中點(diǎn)，連接，則，，同理可證平面，由于，，所以三棱錐是正三棱錐，與平面的交點(diǎn)是的中心，正方體棱長為，則，，所以，所以，由棱錐的平行于底面的截面的性質(zhì)知，當(dāng)平面從平面平移到平面時(shí)，，即，，，顯然，

平面過平面再平移至平面時(shí)，如圖，把正方形沿旋轉(zhuǎn)到與正方形在同一平面內(nèi)，如圖，則共線，由正方形性質(zhì)得，同理，，因此此種情形下，截面的周長與截面的周長相等，平移平面，一直到平面位置處，由正方體的對(duì)稱性，接著平移時(shí)，截面周長逐漸減少到，綜上，的值域是．故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用正方體性質(zhì)求出截面初始位置（）時(shí)，截面周長，然后由棱錐的性質(zhì)求出（），再通過空間問題平面化的思想（結(jié)合對(duì)稱性）求出時(shí)的值，由對(duì)稱性可得時(shí)函數(shù)值的取值情況．53．（2023·四川涼山·三模）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為______．【答案】【分析】作出截面截面，為的中點(diǎn)，則可得截面是邊長為的菱形，求出其面積即可.【詳解】如圖，在正方體中，平面平面，平面與平面的交線必過且平行于，故平面經(jīng)過的中點(diǎn)，連接，得截面，易知截面是邊長為的菱形，其對(duì)角線，，截面面積．故答案為：．54．（2023秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎襟w的棱長為2，M、N分別為、的中點(diǎn)，過、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形，根據(jù)梯形的面積公式求解即可.【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，其中，高為，故面積為.故選:D．55．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，Q為BC中點(diǎn)，，側(cè)面底面，則過點(diǎn)Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為_______________．【答案】【分析】連接，找到球心到平面和平面的射影為和的中心,，再通過面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理得到，再利用勾股定理求出相關(guān)長度，找到截面圓的最值情況，代入計(jì)算即可得到答案.【詳解】連接,由,可知：和是等邊三角形,設(shè)三棱錐外接球的球心為,所以球心到平面和平面的射影是和的中心,，是等邊三角形,為中點(diǎn),所以,又因?yàn)閭?cè)面底面,側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面,而底面,因此,所以是矩形,應(yīng)為和是邊長為4的等邊三角形,所以兩個(gè)等邊三角形的高,在矩形中,，連接,所以,設(shè)過點(diǎn)的平面為,當(dāng)時(shí),此時(shí)所得截面的面積最小,該截面為圓形,可得,因此圓的半徑為,所以此時(shí)面積為,當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時(shí),此時(shí)截面的面積最大,面積為:,所以截面的面積范圍為.故答案為：.

考點(diǎn)八與球有關(guān)的切、接問題（一）幾何體的外接球56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，可將棱柱補(bǔ)成長方體，長方體的對(duì)角線即為球的直徑，從而可求球的表面積．【詳解】解：三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，可將棱柱補(bǔ)成長方體，且長方體的長寬高分別為3,4,12.長方體的對(duì)角線，即為球的直徑.球的半徑，球的表面積為.故選：C．57．（2023·四川南充·閬中中學(xué)?？级＃┤鐖D，圓臺(tái)中，，其外接球的球心O在線段上，上下底面的半徑分別為，，則圓臺(tái)外接球的表面積為________.【答案】【分析】列出外接球半徑所滿足的方程，解出半徑，得外接球表面積.【詳解】設(shè)外接球半徑為R，則，解得，所以外接球表面積為，故答案為：.58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的糧倉可近似為一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體，且圓錐的底面圓與圓臺(tái)的較大底面圓重合.已知圓臺(tái)的較小底面圓的半徑為1，圓錐與圓臺(tái)的高分別為和3，則此組合體的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)外接球半徑為R，球心為O，圓臺(tái)較小底面圓的圓心為，根據(jù)球的性質(zhì)與圓臺(tái)的上下底面垂直，從而有，且球心在上下底面圓心的連線上，，即可求出，得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)外接球半徑為R，球心為O，圓臺(tái)較小底面圓的圓心為，則，而，故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查組合體外接球的表面積，利用球的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.59．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為2，球的表面積為，則此正四棱柱的底面邊長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線長求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，所以，所以球的直徑為，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，則，解得.故選：A.60．（2023·全國·校聯(lián)考二模）在正四棱臺(tái)中，上?下底面邊長分別為，該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，則該正四棱臺(tái)的高為__________.【答案】1或7【分析】求出外接球半徑，找到球心的位置，分球心在線段上和在的延長線上兩種情況，求出高.【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的外接球的半徑為，則，解得，連接相交于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，連接，則球心在直線上，連接，如圖1，當(dāng)球心在線段上時(shí)，則，因?yàn)樯?下底面邊長分別為，所以，由勾股定理得，，此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為，如圖2，當(dāng)球心在的延長線上時(shí)，同理可得，，此時(shí)該正四棱臺(tái)的高為.故答案為：1或761．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，，兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，結(jié)合正方體的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，正三棱錐中，，則，所以，同理可得，即，，兩兩垂直，可把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，即正方體的體對(duì)角線就是球的直徑，所以球心位于正方體對(duì)角線的中點(diǎn),所以三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，所以.62．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？计谀┰谡庵?，所有棱長之和為定值，當(dāng)正三棱柱外接球的表面積取得最小值時(shí)，正三棱柱的側(cè)面積為（

）A．12 B．16 C．24 D．18【答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)、正弦定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合球的性質(zhì)、球的表面積公式、棱柱的側(cè)面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，，為正實(shí)數(shù)，設(shè)，為正常數(shù)，，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，底面外接圓半徑為，由正弦定理得，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以正三棱柱外接球的表面積的最小值，．則，此時(shí)正三棱柱的側(cè)面積為．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.63．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱所有頂點(diǎn)都在球O上，若球O的體積為，則該正三棱柱體積的最大值為________.【答案】8【分析】由條件結(jié)合球的體積公式求球的半徑，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，求出三棱柱的高，結(jié)合棱柱的體積求三棱柱的體積，再利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.【詳解】設(shè)正三棱柱的上，下底面的中心分別為，連接，根據(jù)對(duì)稱性可得，線段的中點(diǎn)即為正三棱柱的外接球的球心，線段為該外接球的半徑，設(shè)，由已知，所以，即，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，在中，，所以，，又的面積，所以正三棱柱的體積，設(shè)，則，，所以，，所以，令，可得或，舍去，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，三棱柱的體積最大，最大體積為.故答案為：.

（二）幾何體的內(nèi)切球64．【多選】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于三棱柱的命題，正確的是（

）A．任意直三棱柱均有外接球B．任意直三棱柱均有內(nèi)切球C．若正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則該三棱柱的體積為D．若直三棱柱的外接球球心在一個(gè)側(cè)面上，則該三棱柱的底面是直角三角形【答案】ACD【分析】根據(jù)外接球的特征可知，連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線段的中點(diǎn)到直三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即為外接球球心，從而判斷A；根據(jù)內(nèi)切球的特征可知，直三棱柱底面內(nèi)切圓半徑需為直三棱柱高的一半，即可判斷B；根據(jù)正三棱柱內(nèi)切球半徑可求得正三棱柱的高和底面正三角形邊長，代入棱柱體積公式，即可判斷C；由球心在底面的射影為底面三角形一條邊的中點(diǎn)，且到三角形各個(gè)頂點(diǎn)距離相等，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，取連接直三棱柱上、下底面三角形外心的線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)的距離均為，其中為底面三角形外接圓半徑，為直三棱柱的高，點(diǎn)即為直三棱柱的外接球球心，A正確；對(duì)于B，若直三棱柱有內(nèi)切球，則其高等于直徑，底面內(nèi)切圓半徑等于內(nèi)切球半徑，即底面內(nèi)切圓半徑需為直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若正三棱柱的內(nèi)切球半徑為，則正三棱柱的高為，底面正三角形的高為，設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為，則，解得：，該正三棱柱的體積，C正確；對(duì)于D，若外接球球心在直三棱柱的側(cè)面上,則球心為該側(cè)面的中心，其到底面三角形各頂點(diǎn)的距離相等，球心在底面上的射影到底面三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離也相等，又側(cè)面中心在底面的投影在底面三角形的一條邊上，該投影為底面三角形一條邊的中點(diǎn)，且到另一頂點(diǎn)的距離為該邊長的一半，該底面三角形為直角三角形，D正確.故選：ACD.65．【多選】（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）正三棱錐的底面邊長為3，高為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．三棱錐的表面積為C．三棱錐的外接球的表面積為D．三棱錐的內(nèi)切球的表面積為【答案】ABD【分析】求得的位置關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得三棱錐的表面積判斷選項(xiàng)B；求得三棱錐的外接球的表面積判斷選項(xiàng)C；求得三棱錐的內(nèi)切球的表面積判斷選項(xiàng)D.【詳解】如圖，取棱的中點(diǎn)，連接則正三棱錐中，.因?yàn)槠矫?，且，所以平面，則，故A正確；作平面，垂足為，則.由正三棱錐的性質(zhì)可知在上，且.因?yàn)?，所以，則.因?yàn)?，所以，則三棱錐的表面積，故B正確；設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則在上，連接，則，即，解得，則三棱錐的外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤.設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，解得，從而三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，故D正確.故選：ABD66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，列出等量關(guān)系，即可求解.【詳解】如圖，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，點(diǎn)為球心，內(nèi)切球的半徑為，為切點(diǎn)，設(shè)，即，由條件可知，，在中，，即，解得：，所以圓錐內(nèi)切球的體積.故選：D67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為________．【答案】3【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖為半圓可求半徑與母線長的關(guān)系，根據(jù)軸截面及內(nèi)切球的半徑可求圓錐的高.【詳解】因?yàn)閮?nèi)切球的體積為，故內(nèi)切球的半徑滿足，故.設(shè)母線的長為，底面圓的半徑為，故，故，故軸截面為等邊三角形（如圖所示），設(shè)分別為等邊三角形的內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)，為內(nèi)切圓的圓心，則共線且，，而，故，故，故答案為：3.68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正四棱臺(tái)的上?下底面邊長分別為2，分別為的中點(diǎn)，8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為___________.【答案】【分析】借助于正投影，由切線性質(zhì)分析可得相關(guān)長度和角度關(guān)系，在比例關(guān)系求內(nèi)切圓半徑．【詳解】該十面體及內(nèi)切球的正投影為等腰梯形與內(nèi)切圓，如圖所示：，可得故故答案為：．考點(diǎn)九立體幾何中的軌跡問題69．（2023·河南·許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考二模）在正三棱柱中，，以的中點(diǎn)M為球心，4為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（

）A．2π B．3π C．4π D．8π【答案】C【分析】作出輔助線，求出各邊長，找到交線軌跡，求出答案.【詳解】取的中點(diǎn)分別為，N為四邊形的中心，連接MN，，因?yàn)椋仕倪呅螢檎叫?，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，平面且，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，由勾股定理得，所以題中所求交線軌跡為以N為圓心，2為半徑的圓，球與側(cè)面的交線軌跡如圖所示，故交線長．故選：C70．【多選】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長為4，M是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為C．若保持，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為D．平面被正方體截得截面為等腰梯形【答案】BCD【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；過做平面平面，即可判斷B；根據(jù)點(diǎn)的軌跡是圓弧，即可判斷C；作出正方體被平面所截的截面即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，

連接，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：

因?yàn)槠矫?，平面，，又，，，平面，所以平面，平?所以'，同理可得，，，平面.所以平面.所以過點(diǎn)作交交于，過作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面.則平面平面.設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，由點(diǎn)在棱上，且，可得，所以，故B正確；對(duì)于C，如圖：

若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點(diǎn)作平面，則，此時(shí).所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時(shí)圓心角為.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度，故C正確；對(duì)于D，如圖：

延長，交于點(diǎn)，連接交于，連接，所以平面被正方體截得的截面為.，所以.，所以，所以，所以，且