數(shù)列求和及求通項(xiàng)方法總結(jié)

數(shù)列求和及求通項(xiàng)1、公式法：禾U用等差、等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和2、錯(cuò)位相減法：一、數(shù)列求和的常用方法2、錯(cuò)位相減法：求一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積的通項(xiàng)的前 n項(xiàng)和，均可用錯(cuò)位相減法例：已知數(shù)列an竺二，求前n項(xiàng)和Sn例：已知數(shù)列an竺二，求前n項(xiàng)和Sn33、裂項(xiàng)相消法：將通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)①形如ann(nk)，可裂項(xiàng)成an111盒-云），列出前n項(xiàng)求和消去一些項(xiàng)②形如a，可裂項(xiàng)成a*=丄（Yn+k-Jn），列出前n②形如a.nk k例：已知數(shù)列an=『1）爲(wèi)嚴(yán)2），a-1，求前n項(xiàng)和S4、分組求和法：把一類由等比、等差和常見的數(shù)列組成的數(shù)列，先分別求和，再合并。例：已知數(shù)列an=2n-2n-1，求前n項(xiàng)和Sn5、逆序相加法:把數(shù)列正著與和倒著與依次對(duì)應(yīng)相加（等差數(shù)列求和公式的推廣）一、數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見方法有:1、 關(guān)系法2、 累加法3、 累乘法4、 待定系數(shù)法5、 逐差法6對(duì)數(shù)變換法7、倒數(shù)變換法

8、換元法9、數(shù)學(xué)歸納法累加法和累乘法最基本求通項(xiàng)公式的方法把所求數(shù)列變形，構(gòu)造成一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，再通過累求通項(xiàng)公式的基本思路無非就是加法或累乘法求出通項(xiàng)公式。把所求數(shù)列變形，構(gòu)造成一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，再通過累二、方法剖析1、關(guān)系法：適用于sn=f(n)型求解過程：a求解過程：anai=Si(n=1)

E-Sn」(nX2)例：已知數(shù)列「a例：已知數(shù)列「an加勺前n項(xiàng)和為Sn二n2?n1，求數(shù)列忌［的通項(xiàng)公式2、累加法：適用于an1=an?f(n) 廣義上的等差數(shù)列求解過程：若an an■f(n)I* 1 : *, ~~ 'I1 一 II1則去一印=f(1) -I'1. |I'■■-.Ja3-a2=f(2) ','.l累加I寧nJ n4所有等式兩邊分別.相加得：an-ai=5：f(k)則an=ai+Hf(k)k=1 km例：已知數(shù)列①‘滿足遞推式=an12n1(n_2),6=1,求、an的通項(xiàng)公式3、累乘法：適用于an1二f(n)an――廣義上的等比數(shù)列求解過程：若an求解過程：若an1二f(n)an，則二f(n)則亞二f(1),魚二f(2)……旦二f(n-1)a1 a2 an-4a n」 n」所有等式兩邊分別相乘得： n f(k)則anuadf(k)ai kJ kJ例：已知數(shù)列乩］滿足遞推式an=2nan」(n_2)，其中內(nèi)=3,求丘的通項(xiàng)公式4、 待定系數(shù)法：適用于an廠pan?f(n)形如anq=panb(p,b為常數(shù)；p,b=0,p=1)型(還可用逐差法)I.IUL求解過程：構(gòu)造數(shù)列anq?k二p(ank)，展開得an panpk一k，因?yàn)橄禂?shù)相等，所以解方程 pk-k二b得k= ，所以有： an卅+ =p(an+ )，這樣就構(gòu)造出了一個(gè)以 aq+ 為首項(xiàng)，公比為p的等p-1 p-1 p-1 p-1、\fZl1//■il~'l! \ ('I| -比數(shù)列丿an+b卜。從而求得{an}的通項(xiàng)公式為an=(a+b)pn_l———p_1j P_1P_1C?、//丿j例:已知數(shù)列bn滿足遞推式an=2an』1(n_2)，其中a1=2,求"a的通項(xiàng)公式形如an1=panbnc(p,b,c為常數(shù)；p,b=0,p=1)型形如an*=pan+bn2+cn+d(p,b,c,d為常數(shù);p,b式0,p式1)型形如an+=pan+mqn+d(m,p,q,d為常數(shù)；m,p,q式0;p,qH1)型\ \ \\ 、魚/盧'l1形如a*2二pan1'qan(p,q為常數(shù)；p,q=0；p,q=1)型r----■5、 逐差法:形如anq=pan■b(p,b為常數(shù)，p,b=0,p=1)，可以把n換成n-1有an二pan4b，兩式相減得a.1-a.=p(an-a.J，這樣就構(gòu)造出了一個(gè)以a2-a1為首項(xiàng)，公比為p的等比數(shù)列玄計(jì)-玄襯，再運(yùn)用累加法求出'an/的通項(xiàng)公式例：已知數(shù)列&［滿足遞推式an=2an「1(n一2)，其中印=2,求式的通項(xiàng)公式6對(duì)數(shù)變換法：適用于an［=pa,(q=1)型求解過程：①當(dāng)p=1時(shí)，an彳.=a「(q=1)，等式兩邊取對(duì)數(shù)有：In(an.i)=ln(a「)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則有：In(ani)=qln(a“)，這樣就構(gòu)造了一個(gè)以In(aj為首項(xiàng)，公比為q的等比數(shù)列\(zhòng)ln(aj1。從而求得9n/的通項(xiàng)公式為an二a/一例:已知數(shù)列乩?滿足遞推式ani=an2，ai=2，求數(shù)列:an?的通項(xiàng)公式②當(dāng)p=1時(shí)，an彳=pa,(q=1)，等式兩邊取對(duì)數(shù)有：In(an.J=In(pa,)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則有：In(ani)=InpqIn(an)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出通項(xiàng)。例:已知數(shù)列a｝滿足遞推式ani=2an3，ai=2，求數(shù)列玄油勺通項(xiàng)公式二——J*!'/'*II"I7、 倒數(shù)變換法：適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例：已知數(shù)列滿足遞推式an.i=2an，ai=2，求數(shù)列乩［的通項(xiàng)公式an+48、 換元法：適用于含根式的遞推公式例：已知數(shù)列匕［滿足遞推式an?i=ian?ian，ai=2，求數(shù)列乩訥通項(xiàng)公式2-II'.II9、數(shù)學(xué)歸納法：通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系求出數(shù)列的前 n項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明\\ \\ '|'|例：已知數(shù)列&「滿足遞推式an.i二an?—豈導(dǎo)一，a^-，求數(shù)列玄？的通項(xiàng)公式(2n+i)2(2n+3) 9綜合練習(xí)：I、已知數(shù)列、an諭足遞推式an=2an「i(n—2)，其中a4=I5(〔)求ai，a2，a3;(2)求數(shù)列「an1的通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列On?的前n項(xiàng)和Sn；變式：①若an=2an」?n(n_2)?②若％=2a.二，n2(n_2)?③若an=2anj23n2(n_2)?思考：若a."a.八n3(n_2)?2、設(shè)在數(shù)列fan［中，6=2,an.i=旦2，求數(shù)列^an/的通項(xiàng)公式；2an3、數(shù)列a泊勺前n項(xiàng)和為Sn，ai=1，a.i二2Sn(n?N)II<>iL求數(shù)列a1的通項(xiàng)公式；求數(shù)列訂an^的前n項(xiàng)和Tn;r~l二i—y■ 小、 H 'i-|iir-~..ysC14：iiiI-j' | ! 1 *I| -4、已知Sn是數(shù)列玄汕勺前n項(xiàng)和，a/3，a^2，Sn^3Sn2Sni^0(n_2,n?N)2f. ■ .■ /求證3-心時(shí)