2022-2023學(xué)年廣東省廣州市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）第I卷（選擇題，共60分）一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.1 B.i C.3 D.3i【正確答案】A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可知虛部.【詳解】，故其虛部為1.故選：A2.已知水平放置的△ABC按“斜二測(cè)畫法”得到如右圖所示的直觀圖，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一個(gè)A.等邊三角形 B.直角三角形C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形【正確答案】ABC=2.AOBC中，BO=OC=1，BC=2.AOBC,且AO=2A′O′=AB=.AC=O和△ACO中AB=.AC=2.故△ABC等邊三角形3.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，母線與軸的夾角為60°，則圓錐的高為（）A. B. C.20cm D.10cm【正確答案】D【分析】畫出圖形，利用余弦值求出圓錐的高.【詳解】如圖，由題意得：，BC=20cm，則cm.故選：D4.如圖，在中，C為BD的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用向量加，減，數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】.故選：D5.在中，，，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】由余弦定理可得，即，，解得.故選：B.6.把一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的半徑為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求出圓柱的高，由圓柱和球的體積關(guān)系即可得出半徑【詳解】因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，所以圓柱的高為，則圓柱的體積為，設(shè)球的半徑為，則，故選：C7.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】，.故選：C8.如圖，從無(wú)人機(jī)上測(cè)得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無(wú)人機(jī)的高度是，則此時(shí)峽谷的寬度是（）A60 B. C.30 D.【正確答案】A【分析】利用銳角三角函數(shù)，得到，，進(jìn)而利用，即可得到答案.【詳解】由已知得，得到，，故選：A二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）．A.模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量是單位向量，所有單位向量均相等B.已知平面內(nèi)的一組基底，，則向量，也能作為一組基底C.已知單位向量，滿足，則在方向上的投影向量為D.已知，i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則【正確答案】BC【分析】結(jié)合單位向量、向量的基底、投影向量、虛數(shù)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，雖然單位向量模長(zhǎng)相等，但方向可以不同，故不是所有單位向量均相等，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，為一組基底，∴，不共線，∴，也不共線，∴，也可以作為一組基底，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，兩邊平方得，，所以在方向上的投影向量為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選BC．10.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（）A.z的實(shí)部是1 B.z的虛部是 C. D.【正確答案】AC【分析】依題意根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)與模，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，的?shí)部為，虛部為；故選：AC11.已知中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c下列命題正確的有（）A若，則B.若，，則外接圓半徑為10C.若，則為等腰三角形D若，，，則【正確答案】ACD【分析】利用三角形性質(zhì)和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用三角形面積公式可知D正確.【詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因?yàn)?，所以，即，整理可得，即，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因?yàn)?，，，所以，D正確.故選：ACD.12.在圓錐中，C是母線上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)，，底面圓的半徑為r，圓錐的側(cè)面積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為B.當(dāng)時(shí)，從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞圓錐側(cè)面一周的最小長(zhǎng)度為C.當(dāng)時(shí)，圓錐的外接球表面積為D.當(dāng)時(shí)，棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【正確答案】BCD【分析】依題意可得，對(duì)于A，利用余弦定理求出，即可判斷為鈍角，從而求出截面面積最大值，對(duì)于B、C、D，首先求出圓錐的高，將圓錐的側(cè)面展開，化曲為直，利用余弦定理計(jì)算最小值，即可判斷B，求出外接球的半徑，即可求出外接球的表面積，從而判斷C，再求出圓錐的內(nèi)切球的半徑與正四面體的外接球的半徑，即可判斷D；【詳解】解：依題意可知，所以．對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，所以為鈍角，所以過(guò)頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于BCD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，圓錐的高為．以下分析BCD選項(xiàng)：側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為，所以圓心角．所以，B選項(xiàng)正確．設(shè)圓錐的外接球的球心為，半徑為，所以，解得，所以外接球的表面積為，C選項(xiàng)正確．棱長(zhǎng)為的正四面體如下圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球半徑為．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，所以，所以棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，D選項(xiàng)正確．故選：BCD第II卷（選擇題，共90分）三、填空題（共4小題）13.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)___________.【正確答案】【分析】化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.【詳解】，則.故答案為.14.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果，，，那么的最大內(nèi)角的余弦值為________.【正確答案】【分析】由邊的大小關(guān)系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.【詳解】角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果，，，則是最大角，則，故答案為.本題考查三角形中的邊角關(guān)系，考查余弦定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.15.已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)__________．【正確答案】1【分析】由三點(diǎn)共線可令且，結(jié)合已知有，即可求m值.【詳解】由，，三點(diǎn)共線，可令且，∴，綜上，，可得.故116.如圖所示，一個(gè)由圓錐和圓柱組成的玻璃容器，中間聯(lián)通（玻璃壁厚度忽略不計(jì)），容器中裝有一定體積的水，圓柱高為10，底面半徑為3，圓錐高為，底面半徑大于圓柱，左圖中，圓柱體在下面，液面保持水平，高度為，右圖中將容器倒置，水恰好充滿圓錐，則圓錐底面的半徑為________．【正確答案】【分析】根據(jù)前后體積一致，列出計(jì)算式即可求解.【詳解】,解得.故四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚.17.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求m的值；（2）若，求m的值.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）根據(jù)純復(fù)數(shù)的定義:實(shí)部為0，虛部不等于0，列出方程即可求解.（2）設(shè)，代入式子化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等充要條件即可列出式子進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以滿足，解得:或.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，將其代入，則，整理得:，且，解得:，或，或，解得:18.已知向量與的夾角，且．（1）求（2）在上的投影向量；（3）求向量與夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求出，可求得;（2）根據(jù)投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可；（3）利用向量的夾角公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，所以；【小問(wèn)2詳解】在上的投影向量為∶；【小問(wèn)3詳解】，則，即向量與夾角的余弦值為．19.如圖，已知點(diǎn)A，B，M，N同一平面內(nèi)，且，，，，.（1）求MN的長(zhǎng)；（2）求△AMN的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）連接，根據(jù)余弦定理得到，確定，利用勾股定理計(jì)算得到答案.（2）分別計(jì)算，，，面積相減得到答案.【小問(wèn)1詳解】如圖所示：連接，則，，則，則，.【小問(wèn)2詳解】，，，故.20.如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以海里小時(shí)的速度沿著正東方向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以海里小時(shí)的速度沿著直線追擊（1）當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里（2）問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【正確答案】（1）兩船相距海里.（2）巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在中，解三角形得，，在中，由余弦定理求得.（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，結(jié)合圖形知巡邏艇的追趕方向.【小問(wèn)1詳解】由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時(shí)，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距海里.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)巡邏艇經(jīng)過(guò)小時(shí)經(jīng)方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.21.已知（1）當(dāng)k為何值時(shí)，與共線？（2）若，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，由三點(diǎn)共線可得與共線，列出方程，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗裕?，因?yàn)榕c共線，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗?，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以與共線，即，解得.22.如圖