平面幾何練習題高一教師版

平面幾何練習題（高一）教師版rtT彳P是厶ABC內(nèi)一點，且滿足2PA-3PB?6PC=0，試確定厶FAB,APBC,APCA的面積之比.答：6?2B_解:如圖,,分別在PA、PB、_解:如圖,,分別在PA、PB、PC_的延長線上取點*Ai,Bi,Ci,使PA,=2PAPB=3PBPC6PC!PA1PB1PC^0.P A1B1C1的重心，…S應ab=S胡s=S霑ca.Spab6?23.SPA1B123S_SPB1G SSpb廠丁6,S?CA^PC1A1 .o /TQ /TQ _…SaFAB?△PBC?△PCA=62八PGA在長方形ABCD中,E為AB上一點，AB=14,CE=13,DE=15.CF丄DE于F，連接AF,BF.求△ABF的面積.答：36.96.解：先求BE.設BE=x，貝UAE=14-x,在直角△ADE與直角△BCE中應用勾股定理，得DE2-aE^=AD2=BC2=CE2-BE2,即得方程152-(14-x)2=132-x2，所以x=5.22再應用勾股定理，得AD=BC=13-x=12.Sabcd=12X4=168,所以&cde=84.設DF=y，則EF=15-y,在直角△CDF與直角△CEF中應用勾股定理，得CD2-DF2=CF2=CE2-EF2，即得方程142-x2=132-(15-x)2，所以x=8.4.84 84因此，Sacdf=84X- =28 =47.04.15 51又由于S^cdf+Saabf=Sabcd=84,所以S^abf=84-Sacdf=84-47.04=236.96.如圖，D ABC內(nèi)一點，使得/BAD=ZBCD，且/BDC=90°已知AB=5,BC=6,M為AC的中點，求DM.答」.2解：延長CD至UE,使得DE=DC,連接BE,則△BDE也△BDC,所以BE=BC=6,/BED=ZBCD=/BAD，所以A、D、B、E四點共圓，因此/EAB=/EDB=90°所以ae=H55專

在△ABC中，ABC=100°.ACB=65°在AB邊上取點M，使得.MCB=55°在AC邊上取點N,使得NNBC=80°.試確定ZNMC的度數(shù).答：25°解：易知NBAC=15°,作厶MCB的外接圓，與BN的延長線交于點Mi,則在這個圓中弦CMi與CM對的圓周角互補，所以CMi=CM.又MiCM=NMiBM=100°-0°=20°厶ACM=65°-5°=10°所以NMiCN=i0°又CN=CN，所以△MiCN也△MCN.因此，.NMC=NMiC=CMB=BAC+ACM=i5°+i0°=25°P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA=i厘米，PB=2厘米，PC=3厘米.則△PBC的面積(單位：平方厘米)為(A)22.(B)22.(C)2-遼.(D)2-2.2答：A.解：將△APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90o,得厶CQB，顯然△CQB^AAPB，連接PQ,因為/PBQ=90o,PB=QB=2,所以/PQB=/QPB=45o,PQ=2運.在△PQC中,PC=3,CQ=i,PQ=2血，由于32=i2+(2、、2)2，所以PC2=CQ2+PQ2，所以/PQC=90o,這樣，四邊形PBQC的面積工SPBQ，SpQc=i22 23i-.2.又/PQB=45o,ZBQC=45o+90o=i35o,作CH丄BQ的延長線于H，貝CQH=45q因此CHSCQH=45q因此CHSbqc二丄BQCH2所以Spbc-Spbqc如圖，兩同心圓的半徑分別為6和i0如圖，兩同心圓的半徑分別為6和i0,矩形ABCD的邊AB、CD分別為兩圓的弦，當矩形面積取最大值時，試確定它的周長.答：i28T34答: i7.解：設這兩個圓的圓心是點0,則厶OAD的面積是矩形ABCD面積的-,4所以△OAD的面積最大時，矩形ABCD面積取得最大值.而OA、OD是定值，OA=6,OD=i0,所以OA與OD垂直時，△OAD的面積最大，此時，矩形ABCD的周長為空仝4.7.如圖所示，線段OA=OB=OC=1，/AOB=60o,/BOC=30o,以OA,OB,OC為直徑畫3個圓，兩兩的交點為M,N,P,則陰影部分的曲邊三角形的面積是 .解：女口圖，連接AC,AN,BN,AM,BM,MP,NP,OM,ON,OP,易知/OPA=ZOPC=90o,/ANO=/BNO=90o,/BMO=ZCNO=90o,所以A,P,C共線；A,N,B共線；B,M,C共線.由OA=OB=OC=1,可知P,M,N分別是AC,BC,AB的中點，MPNB為平行四邊形,BN=MP,BM=NP,所以BN與MP長度相等，BM與NP長度相等，因此，1曲邊三角形MPN的面積=SMpnb= abc,2而 S^ABC=Saocb-S^aoc=S^AOB+S^BOC_S^AOCTOC\o"1-5"\h\z1 1 3-1=—4 2 4 '—1所以，曲邊三角形MPN的面積=-S^abc=—8如圖，過。O外一點M引圓的切線切圓于點B,連接MO交圓于點A,已知MA=4厘米，MB=4「3厘米.N為AB的中點.曲邊三角形（陰影部分）的面積等于 平方厘米.答.4（6_乂）答: 3 .解根據(jù)條件，延長MO交圓于C,設圓的半徑為r,MC=4+2r由切割線定理得MB2=MAMC，即48=4（4+2r）解得r=4cm,OC=OA=AM=4cm連接OB,在直角△OBM中，sin?MOB二塑二也3TOC\o"1-5"\h\zOM8 2所以/MOB=60°,因此AB為60°而N為AB的中點，則 / MON=30° , 所1 1 1 2SMon=-OMONsin30；二—84-=8(cm).2 2而扇形AON的面積K42-30 —(cm2),360 3所以陰影圖形的面積乞佇二塑)(cm2).3 3如右圖,AB與。O切于點A.連接B與。O內(nèi)一點D的線段交圓于點C.并且AB=6,DC=CB=3,0D=2，則OO的半徑等于 .即3(D^6p^6^^36.即3(D^6p^6^^36.所以DE=6.由相交弦定理可得DEDC二DFDG,

所以18才2-4.解得r-,22.交圓于F,G(如左圖).FG是。O的直徑.設。O的半徑為r，由切割線定理，有 BCBEB,A即63=(r-2)(r2),10?如右圖，在半徑為1的圓O中內(nèi)接有銳角三角形ABC,H是厶ABC的垂心，角平分線AL垂直于OH，則BC= .解：易知，圓心O及垂心H都在銳角三角形ABC的內(nèi)部，延長AO交圓于N，連接AH并延長至H1與BC相交，連接CN,在Rt△CAN和Rt△AH1B中，/ANC=ZABC，于是有/CAN=ZBAH1,再由AL是厶ABC的角平分線，得/仁/2.由條件APIOH,得AH=AO=1.連接BO交圓于M，連接AM、CM、CH，可知AMCH為平行四邊形，所以CM=AH=AO=1,BM=2，因為△MBC是直角三角形，由勾股定理得BC二?22-12二.3.11.分別以銳角三角形ABC的邊AB,BC,CA為直徑畫圓，如圖所示.已知在三角形外的陰影曲邊三角形面積為w平方厘米，在三角形內(nèi)的陰影曲邊三角形面積為u平方厘米，試確定三角形ABC的面積.解：由于三角形ABC是銳角三角形，因此以三邊為直徑的圓，兩兩的交點是三角形高線的垂足，分別落在三角形的邊上，圖中13個區(qū)域如圖分別用字母表示：x,y,z為形外的3個陰影曲邊三角形面積，則w=x+y+z,u為形內(nèi)的陰影曲邊三角形面積，a,b,c,d,e,f是6個弓形，p,q,r是三角形內(nèi)陰影曲邊三角形之外部分.可以看出，x+(a+b)=u+p+q+(c+f),y+(c+d)=u+q+r+(e+b),z+(e+f)=u+r+p+(a+d)，這三式的等號左右分別相加，得x+y+z=2(u+p+q+r)+u,即w=2S^ABC+U,所以S\ABC= (W-U)平方厘米.12.如圖,四個陰影三角形的面積都等于1求證：CB2二C1B2,AC2=12.如圖,四個陰影三角形的面積都等于1求證：CB2二C1B2,AC2=AC2,求證:Sab^C：=Sbc1C2A2-Sca1a2B2；(1)(2)二SiBA2=BA2；(3)解答:求Sabc的值.ABi(D設 ，連接AB2,則S-ab1b2-'.連接B1C2，CA2，貝UAC2AB1

所以 -='C2A2B[CS/B2C2 :.SZ - ，=sab2c2CA]A2B2B1C2//CA2,sA2B2C2由sAB2C1=[.，-S'AB2C,所以gb2=b2c.=2丄；：AC2二C2Ai.=2，二BA2=A2B1.CB2=GB2,AC2二AC2,BA2二B1A2.所以SbC1所以SbC1C2a2=S因此SAB^B2C2 sBC[C2A2-Sca1a2b2.(2)由上所證，C1B2=B2C?易知S目礙二SBB2C?也就是1Sbc1C2A2=1Sc^A2B2,-Sca1A2B2-同理由BA2=B1A2可證得Sab1B2C^-Sbc1C2A2.(3)由Sab,B2C^-SbC1C2A^-ScA1A>B2.即2，=2 =2即2，=2 =2叫.■= =J,AB1 BC1BQC1A AB這樣由SabSab1b2c^SBC1C2A^-Sc^A2B2因此S.ABC=43(.51)=73、5.

如圖，在菱形ABCD中，/ABC=120°BC=^/3,P是BC延長線上向遠離點C方向運動的一個動點，AP交CD于點E,聯(lián)結BE并延長交DP于點Q.如果動點P在初始位置時/QBP=15°,在終止位置時A./QBP=35°，試確定P運動時點Q走過的曲線段的長度.4—兀°連接BD,作厶ABD的外接圓交于F，連接BF,DF,FC和CQ,易知/APDFB=7DFP=7BFP=120° 7BFE=7APECP=120°所以B,F,E,C四點共圓，所7仁72,由于7DFP=7DCP=120°,所D,F,C,P四點共圓，所以/2=73,因此/仁/3,所以B,C,Q,D四點共圓.即點Q在厶BCD的外接圓上.易知，當P在BC延長線上由C向外運動時，Q在厶BCD的外接圓的CD上從點C起沿逆時針方向運動.△BCD是邊長為63的正三角形’它的外接圓半徑為63于評，所以外接圓周長為2n>6=12n.由于Q在厶BCD的外接圓上運動的圓周角等于一135°15=20°所以Q心BCD的外接圓上運動的弧為40°是整個圓周的1，所以，動點P運動時Q走過的這段曲線QQ2的長度為12 4-.9 3

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，/BAD的平分線交BC于點M，交DC的延長線于點“，△CMN的外心為0,ACMN的外接圓與△CBD的外接圓的另一交點為K?證明：(1)點0在厶CBD的外接圓上;(2)/AKC=90°.證明(1)由于平行四邊形ABCD中，/BAD的平分線交BC于點M，交DC的延長線于點N,所以/BMA=/MAD=ZBAM，因此BA=BM，同理可得MC=CN.連接OC,貝UOC平分/NCM.連接OB，OM，OD，設/BAD=9,則1 日/OCD=/BCD+ZOCM=9+—(180°-=90+—2 2/BMO=180°-OMC=180°-OCM=90°+-，2所以/BMO=ZOCD.因此，△OBM◎△ODC，所以/OBC=ZODC.于是B，O,C，D四點共圓，也就是點O在厶CBD的外接圓上.…(8分)(2)由(1)知BO=OD，又KO=OC，因為B,K,O,C和D都在同一個圓上，貝UK,C關于BD的中垂線對稱，BK=CD=AB，又/KBD=/CDB=/ABD，所以點K與點A是關于BD的對稱點，即AK_BD，而KC//BD,所以AK丄KC,即/AKC=90°.D是正△ABC的邊BC上一點，設△ABD與厶ACD的內(nèi)心分別為h,I2,外222心分別為O1,O2,求證:(I1O1)+(l2O2)=(1112).證明：作以A為中心、逆時針旋轉(zhuǎn)60的變換R(代60：)，使△ABD到厶ACD1，由于/ADC+ZAD〔C=/ADC+ZADB=