9.1.2+分層隨機抽樣課件2020-2021學年高一下學期數(shù)學人教A版(2019)必修第二冊

第九章統(tǒng)計9.1.2分層隨機抽樣教學目標

了解分層隨機抽樣的特點和適應范圍，了解分層隨機抽樣的必要性（重點）01

掌握各層樣本量比例分配的方法（重點、難點）02能

03

04學科素養(yǎng)

分層隨機抽樣的概念

數(shù)學抽象

直觀想象

邏輯推理

各層樣本量比例分配的方法數(shù)學運算

各層樣本量比例分配的方法

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學建模01知識回顧RetrospectiveKnowledge隨機數(shù)法(隨機試驗、信息技術)3.總體均值與樣本均值抽簽法2.最常用的簡單隨機抽樣

一般地，設一個總體含有N個個體,從中逐個地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.1.簡單隨機抽樣的概念簡單隨機抽樣02知識精講

ExquisiteKnowledge

一家家具廠要為樹人中學高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定可調節(jié)課桌椅的標準高度．已知樹人中學高一年級有712名學生，其中男生有326名，女生有386名．如果要通過抽查的方法調查高一年級學生的平均身高，你有什么辦法？應該怎么抽取樣本？

可以用簡單隨機抽樣的抽簽法或者隨機數(shù)法．

一家家具廠要為樹人中學高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定可調節(jié)課桌椅的標準高度．已知樹人中學高一年級有712名學生，其中男生有326名，女生有386名．如果要通過抽查的方法調查高一年級學生的平均身高，你有什么辦法？應該怎么抽取樣本？【抽簽法】先給712名學生編號，例如1~712進行編號；然后把所有編號寫在外觀、質地等無差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌；最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應的學生進入樣本，直到抽足樣本所需要的人數(shù)．

一家家具廠要為樹人中學高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定可調節(jié)課桌椅的標準高度．已知樹人中學高一年級有712名學生，其中男生有326名，女生有386名．如果要通過抽查的方法調查高一年級學生的平均身高，你有什么辦法？應該怎么抽取樣本？【隨機數(shù)法】先給712名學生編號，例如1~712進行編號；用隨機數(shù)工具產(chǎn)生1~712范圍內的整數(shù)隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，使與編號對應的學生進入樣本；重復上述過程，直到抽足樣本所需要的人數(shù)．

抽樣調查最核心的問題就是樣本的代表性．

簡單隨機抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機會被抽中，但因為抽樣的隨機性，有可能會出現(xiàn)比較“極端”的樣本．

例如，在問題一的調查中，可能出現(xiàn)樣本中50個個體大部分來自高個子或者矮個子的情形．

這種“極端”樣本的平均數(shù)會大幅度偏離總體平均數(shù)，從而使得估計出現(xiàn)誤差．針對以上抽樣方法，你發(fā)現(xiàn)了什么不足之處？

我們知道，影響身高的因素有很多，性別是一個主要因素．高中男生普遍高于女生，而相同性別的身高差異相對較?。俏覀兙涂梢岳眯詣e和身高的這種關系，把高一年級學生分成男生和女生兩個身高有明顯差異的群體，對兩個群體分別進行簡單隨機抽樣，然后匯總作為總體的一個樣本．由于在男生和女生兩個群體中都抽取了相應的個體，這樣就能有效地避免“極端”樣本．能否利用這個額外信息改進簡單隨機抽樣方法，減少“極端數(shù)據(jù)”，從而提高對整個年級平均身高的估計？

對男生、女生分別進行簡單隨機抽樣，樣本量在男生、女生中應分別分配？

自然地，為了使樣本的結構與總體的分布相近，人數(shù)多的群體應多抽一些，人數(shù)少的應少抽一些．因此，按男生、女生在全體學生中所占的比例進行分配是比較合理的方式．

即這樣無論是男生還是女生，每個學生抽到的概率都相等．當總樣本量為50時，可以計算出從男生、女生分別應抽取的人數(shù)為

我們按照上述方法抽取了一個容量為50的樣本，其觀測數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：

通過計算，得出男生和女生身高的樣本平均數(shù)分別為170.6，160.6．根據(jù)男生、女生身高的樣本平均數(shù)以及它們各自的人數(shù)，可以估計總體平均數(shù)為

即估計樹人中學高一年級學生的平均身高在165.2cm左右．男生?173.0174.0166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0?女生?163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0

上面我們按照性別變量，把高一年級學生劃分為男生、女生兩個身高差異較小的子總體分別進行抽樣，進而得到總體的估計．分層隨機抽樣的定義：

一般地，按一個或多個變量把總體劃分為若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．

在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．

在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n．

我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個個體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個個體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個個體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個個體的變量值，則第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為【2013課標全國Ⅰ，理3】為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()．A．簡單隨機抽樣

B．按性別分層抽樣C．按學段分層抽樣D．系統(tǒng)抽樣[2014·湖北卷]甲、乙兩套設備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設備生產(chǎn)，則乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．[2014·重慶卷]某中學有高中生3500人，初中生1500人．為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100B．150C．200D．250

與考察簡單隨機抽樣估計效果類似，小明也想通過多次抽樣考察一下分層隨機抽樣的估計效果．他用比例分配的分層隨機抽樣，從高一年級的學生中抽取了10個樣本量為50的樣本，計算出樣本平均數(shù)如下表所示．與上一節(jié)“探究”中相同樣本量的簡單隨機抽樣的結果比較，小明有了一個重要的發(fā)現(xiàn)．你是否也有所發(fā)現(xiàn)？探究

我們把分層隨機抽樣的平均數(shù)與簡單隨機抽樣的平均數(shù)用右圖進行對比，其中紅線表示整個年級學生身高的平均數(shù)．

從試驗結果看，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)圍繞總體平均數(shù)波動，與簡單隨機抽樣的結果比較，分層抽樣并沒有明顯優(yōu)于簡單隨機抽樣．

但相對而言，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻，簡單隨機抽樣中出現(xiàn)了（第2個）偏離總體平均數(shù)的幅度較大的樣本平均數(shù)，即出現(xiàn)了比較“極端”的樣本，而分層隨機抽樣沒有出現(xiàn)．

實際上，在個體之間差異較大的情形下，只要選取的分層變量合適，使得各層間差異明顯、層內差異不大，分層隨機抽樣的效果一般會好于簡單隨機抽樣，也好于很多其他抽樣方法．

分層隨機抽樣的組織實施也比簡單隨機抽樣方便，而且除了能得到總體的估計外，還能得到每層的估計．

在實際抽樣調查中，由于