2021年貴州省高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)附答案解析

2021年高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)

1.已知函數(shù)f(x)=e2x,g(x)—m(2x+1)(加￥0)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，h(x)=f

(x)-g(x).

(I)若m=e,求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若〃(x)21-m恒成立，求實(shí)數(shù)m的值；

(III)若直線(xiàn)y=g(x)是曲線(xiàn)f(x)=e2r的一條切線(xiàn).求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)。>兒都有

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【分析】(I)代入"?的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間即可；

(II)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為〃?72xWe2“-1,通過(guò)討論x的范圍，分類(lèi)參數(shù)加,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性

求出m的值即可；

(III)求出力(x)的解析式，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證61式2令-6>0,即

證1223，>0,令平(力=e2r-1-2/(r>0),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

性證明即可.

【解答】解：(I)%=e時(shí)，g(x)=e(2x+l),xGR,

由題意得：h(x)=f(x)-g(x)=e2x-e(2x+l),xGR,

:.h'(x)=2e2x-2e=2e(e2x1-1),

令〃，(x)=0,解得：x=x,h'(x),h(x)的變化如下：

111

X(-8,一)(-,+8)

222

hr(x)-04-

h(x)遞減極小值遞增

11

：.h(X)的遞減區(qū)間是(-8,-)，遞增區(qū)間是(一，+8)；

22

(II)若〃(x)21-機(jī)恒成立，則加?ZxWe2"-1,

①x=0時(shí)，顯然成立，

②x>0時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2M在(0,+8)恒成立，

令k(r)=午(/>0),則/⑺=

tr

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令P⑺=(r-1)d+1,則p'(r)=rd>0,〃⑺在(0,+°°)遞增,

故〃(r)>p(0)=0,故/(f)>0,k(/)在(0,+8)遞增，

pt_i

而〃zn——=limet=1,故mW1,

t->ott-o

Q2X_I

③xVO時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為次在(-8,0)恒成立,

同理可得621,

綜上：7/7=1；

(III)證明：直線(xiàn)y=g(x)是曲線(xiàn)/'(x)的一條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)是(xo,川),

2x

??/(x)=2e9

.(2e2x°=2m解得：｛言二:

2x

**le°=m(2x0+1)'

故h(x)=e^x-2x-1,

一九(a)一九(匕)

要證一~—>2e?2hb-2,

a-b

即證,0一2。一】一(四一2-1)咨也2,

a-b

e2a_e2b

即證-------->2eu,a>b,

a-b

即證_］》2Ca-b),

令f=a-b>0,即證e?'-1223f>0,

令年(/)=e2/-1-2t(f>0),<p'(r)=2^1-2>0,

故(P(f)在(0,+8)單調(diào)遞增，

.\<p(f)>(p(0)=0,即e2'-1-2f>0,

即證得Ma)"'")>2e2b-2.

a-b

2.已知函數(shù)/(x)=(2/-3x)/,g(x)=alnx,其中〃We.

(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線(xiàn)方程；

(2)求/(x)的最小值；

(3)記/(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)做乃=白善一g(x)的圖象與x軸有且僅有一

個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算/(I),/'(1)的值，求出切線(xiàn)方程即可；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小

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值即可；

(3)求出h(x)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出h(x)的最

小值，從而確定〃的取值范圍.

【解答】解：(1)易知函數(shù)fG)的定義域?yàn)镽,且/(x)=(2x+3)(x-1)F,

所以/(1)=0,

因?yàn)?(1)--e,所以曲線(xiàn)(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線(xiàn)方程為)，=-e.

3

-

(2)由(1)得1(%)=2(x+])(%—l)e",令f(x)=0,得x=2尸

所以，當(dāng)#6(—8,時(shí)，/(X)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)％G(-1,1)時(shí)，f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)尤(1,+8)時(shí)，/(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

所以X=1是/(X)的極小值點(diǎn)；

又當(dāng)XV0時(shí)，f(x)>0,當(dāng)0<^<3時(shí)，f(x)<0,當(dāng)時(shí)，/(x)>0,

所以/(x)只能在(0,方)內(nèi)取得最小值，因?yàn)閄=1是f(x)在(0,|)內(nèi)的極小值點(diǎn)，也

是最小值點(diǎn)，

所以f(X)min=f(1)=-e.

(3)由(1)及題意，得h(x)—(x-1)-alnx,x>0,

因?yàn)??(1)=0且曲線(xiàn)y=/z(x)與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以函數(shù)〃(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，且這個(gè)零點(diǎn)為1,

口、

n.hi?，(/x)=xex--a=—x2--_a；

①當(dāng)aWO時(shí)，h'(x)>0,函數(shù)/z(x)在(0,+~)上單調(diào)遞增，且人(1)=0,

所以符合函數(shù)/?(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，且這個(gè)零點(diǎn)為1；

②當(dāng)0<a<e時(shí)，令根(x)=，F(xiàn)-a,(x>0),

m'(x)—2xex+x1e)c—(S+2x)d>0,

所以在(0,+8)上，函數(shù)〃i(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)?0)=-a<0,m(1)=e-a>0,

所以IroC(0,1),使得，*(xo)=0,即就6*。=a,

所以在(0,xo)±w(x)<0,即〃(x)<0,

所以/?(x)單調(diào)遞減：在(x(),1)上加(x)>0,

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因?yàn)?<“<e,所以在［1,+8)上也有機(jī)(x)>0,

所以在(刈，+8)上加(x)>0,即〃(x)>0,所以萬(wàn)(x)單調(diào)遞增，

xx

所以=%(％0)=(x0-l)e°-xle°lnx0--就〃。(仇犯+3一；)，

x00

11

令t(x)=Inx+^2--(0<x<l),

則t'(x)=1_總+9=_:q+i)q_i)vo,

所以f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以f(x)>r(1)=0,

11

所以+不—而>0,即〃(xo)<0,

因?yàn)镺V〃Ve且。為常數(shù)，

顯然當(dāng)工~*0時(shí)，h(%)f+8,當(dāng)％f+8時(shí)，h(X)f+8,

所以函數(shù)〃(x)在區(qū)間(0,刈)和(X0,+8)上各有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，h(x)=(x-1)ex-elnx,x>0,

所以h'(%)=xe*—(=-令〃(x)-e,(x>0),

所以〃'(x)=2xex+x2,ex=(/+2x)/>0,

所以在(0,+8)上，n(