《幾何本原》中的歐幾里得

《幾何本原》中的歐幾里得

“奧齊迪不久就被稱為科洛豐的哈莫亞斯和門德的菲利普斯（都是拉丁語學(xué)生），他與他的幾何起源一起有名。在《幾何原本》中，他系統(tǒng)化了歐多克索斯的許多定理，完善了泰阿泰德諸多定理，將前人十分松散的命題建立在不可反駁的證明形式上。”——普羅克洛斯（Proclus,410-485)（一）歐幾里得與《幾何原本》歐幾里得（Euclid，約300B.C.）的《幾何原本》是希臘時期乃至整個人類史上最重要的數(shù)學(xué)著作。大約在公元前300年左右成書之后，就被反復(fù)傳抄。1482年作為最早排版印刷的數(shù)學(xué)著作之一，《幾何原本》的第一個印刷版本出現(xiàn)在意大利威尼斯，這個完整的第一個拉丁文本譯自阿拉伯文而非希臘文。希臘文的第一個印刷本出版于1533年，1570年第一個英文譯本出版，之后出版了上千個版本，幾乎被翻譯成了各種語言。1607年的明朝萬歷年間，我國出版了徐光啟（1562-1633）和利瑪竇（MatteoRicci,1552-1610）的前6卷譯本，1857年清朝咸豐七年出版了李善蘭（1810-1882）和偉烈亞力（AlexanderWylie,1815-1887）的后9卷譯本。除《圣經(jīng)》之外，估計沒有哪本書敢自夸有這么多版本，其影響力在數(shù)學(xué)著作中更沒有與之比肩的。然而，具有如此聲望的超級暢銷書作者，歐幾里得的生平卻如此不詳，生卒年和出生地都一概不知。歷史上還常把他與蘇格拉底（Socrates，約469B.C.-399B.C.）的學(xué)生，麥加拉學(xué)派奠基人歐幾里得張冠李戴，后者與蘇格拉底一樣，重視邏輯學(xué)，對數(shù)學(xué)的興趣不太高?！稁缀卧尽返臍W幾里得，曾被托勒密一世索特（Soter，約367B.C.-283B.C.）在亞歷山大城創(chuàng)建的繆斯學(xué)院（Museum）邀請去執(zhí)教數(shù)學(xué)，相傳托勒密曾問：除《幾何原本》之外，是否還有其他學(xué)習(xí)幾何的捷徑，歐幾里得答：學(xué)習(xí)無王者之路。公元前300左右我國的戰(zhàn)國時期（475B.C.-221B.C.），歐幾里得生活在古希臘文化中心亞歷山大城，因此我們稱為亞歷山大城的歐幾里得，其教育可能來自于柏拉圖學(xué)派。《幾何原本》獲得了超級成功，以致于人們一般提到歐幾里得，就會把他與《幾何原本》等同起來。事實上，除了《幾何原本》，他還撰寫過十多本著作，涵蓋光學(xué)、天文學(xué)、音樂和力學(xué)等主題。僅數(shù)學(xué)方面，他就撰寫了《圓錐曲線》《曲面軌跡》《糾錯集》具有解析幾何元素的《系論集》等?？上淖髌反蠖嗍髁耍掖嬷两竦挠形宀浚骸稁缀卧尽贰秷D形的分割》《數(shù)據(jù)》《現(xiàn)象篇》和《光學(xué)》，這也是現(xiàn)存最古老的希臘數(shù)學(xué)著作。而《幾何原本》所展現(xiàn)的優(yōu)越性，在希臘時期就有所好評，甚至阿基米德（Archimedes,287B.C.-212B.C.）和阿波羅尼斯（Apollonius，約262B.C.-約190B.C.）在提及前人成就時都以《幾何原本》為依據(jù)；將他之前的希波克拉底（HippocratesofChios，公元前5世紀(jì)）、柏拉圖學(xué)派的利昂（Leon）和托伊迪烏斯（Theudius）等300來年的數(shù)學(xué)著作都取代了，僅《幾何原本》留傳至今。正如希爾伯特（DavidHilbert,1862-1943）指出：一部科學(xué)著作的重要程度可由被廢棄的較早著作數(shù)量來衡量。歐幾里得《幾何原本》共13卷[第十四卷是許普西克爾斯（Hypsicles，約150B.C.的作品，第十五卷可能是伊西多爾（約523年）的作品]，是希臘古典時期自泰勒斯（Thales，約625B.C.-547B.C.）以來300多年的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)發(fā)展，基于亞里士多德（Aristotle,384B.C.-322B.C.）的邏輯學(xué)建立的公理化體系，不同于中國《九章算術(shù)》（約公元前1世紀(jì)）的算法統(tǒng)率例題體例。它包括初等幾何（點(diǎn)、線、面、圓和球）、初等數(shù)論（高等算術(shù)）、幾何代數(shù)等。計算的藝術(shù)沒有在內(nèi)，可能他認(rèn)為這些實用技術(shù)不屬于學(xué)院傳授內(nèi)容。歐幾里得對學(xué)習(xí)幾何的實用性不太強(qiáng)調(diào)。而圓錐曲線或高次平面曲線也沒在內(nèi)，他把這些更高級的數(shù)學(xué)放在他的其他著作中。由此可以揣摩《幾何原本》的撰寫目的主要是作為學(xué)生課本，而非寫給專家的?！稁缀卧尽芬婚_始給出23個定義、5個公設(shè)和5個公理，然后演繹推導(dǎo)展開命題的證明（內(nèi)容詳見表）。這些命題多是從前輩成果中汲取，但由于歐幾里得本人沒有主張自己的原創(chuàng)性，因此要想分清前輩與他的原創(chuàng)絕非易事。不過譬如卷I定義8（平面角），公設(shè)5，命題47畢達(dá)哥拉斯定理證明、逆定理（命題48）及一般化（卷Ⅵ31），及面積應(yīng)用一般化（卷Ⅵ28、29）等應(yīng)屬于他的原創(chuàng)。盡管很多命題的發(fā)現(xiàn)不是歐幾里得，但是整本著作的體系結(jié)構(gòu)（定義—公理—定理）、公理的選擇和定理演繹推導(dǎo)由簡到繁的排序，以及諸多定理的證明等都是歐幾里得的獨(dú)創(chuàng)。他開創(chuàng)的公理化體系方法已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)之典范，其幾何內(nèi)容仍占據(jù)今天中學(xué)平面和立體幾何的主體部分，不過當(dāng)今教材的形式更接近勒讓德（A.M.Legendre,1752-1833）的《幾何原理》，這是借助代數(shù)對《幾何原本》的改寫本?！稁缀卧尽肺樟俗蕴├账挂詠矶辔粩?shù)學(xué)家的成果，其中畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約585B.C.-500B.C.）和歐多克索斯（Eudoxus，約408B.C.-約355B.C.）前文已介紹。這里我們先談?wù)剬畔ＥD三大著名作圖難題中的倍立方和化圓為方問題有真正進(jìn)展的第一人——開奧斯的希波克拉底（HippocratesofChios，約430B.C.），注意不要與醫(yī)務(wù)道德《希波克拉底誓言》制定者科斯的希波克拉底（HippocratesofCos,460B.C.-370B.C.）混淆，開奧斯和科斯都屬于多德卡尼斯群島中的島嶼。我們的主人公在公元前430年離開故鄉(xiāng)，以商人身份去了雅典，據(jù)亞里士多德說，他在拜占庭經(jīng)商被騙到血本無歸。不過他并沒有氣餒，反而慶幸因此使他轉(zhuǎn)向了幾何學(xué)研究，成為了公元前五世紀(jì)希臘最有名的數(shù)學(xué)家。他可能是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒，也編寫過一部《幾何原本》，早歐幾里得100多年。據(jù)說將定理按其證明所需條件依次排序和將間接證明方法引入數(shù)學(xué)的思想最早都來自于他?？上Ч拔迨兰o(jì)之前的希臘數(shù)學(xué)文獻(xiàn)都無一幸存，但關(guān)于希波克拉底留下了一個著作片段，據(jù)辛普利修斯（Simplicius,6世紀(jì)前半葉）聲稱是從首位數(shù)學(xué)史家亞里士多德學(xué)派的歐德莫斯（Eudemus，約4世紀(jì)B.C.）《數(shù)學(xué)史》中逐字抄錄的。這也是迄今得到的最接近那個時期的數(shù)學(xué)原始材料，它描述了希波克拉底關(guān)于求月牙形面積的工作，這與求解化圓為方問題有關(guān)。他首先指出兩圓面積之比等于各自直徑平方之比，以此證明了相似弓形面積之比等于其底邊平方之比。他的圓面積定理，似乎是希臘數(shù)學(xué)中最早對曲線求積法的準(zhǔn)確表述。歐德莫斯相信希波克拉底給出了該定理的證明，但嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明在當(dāng)時似乎不可能，因為他采用的仍是畢達(dá)哥拉斯可公度量比例論的思想和概念，惟有可能是借助間接歸繆法獲證，在歐幾里得《幾何原本》中的證明（卷XII命題2）是源自于歐多克索斯的。除了希波克拉底的著作片段，辛普利修斯還留下了阿基塔斯（Archytas，約428B.C.-約347B.C.）關(guān)于倍立方問題的片段文字。阿基塔斯從求出兩已給量之間的兩個比例中項來求解倍立方問題，這兩個比例中項通過幾何綜合方法求解三個曲面（柱面、錐面和環(huán)面）交點(diǎn)得出。他還將曲線視為動點(diǎn)軌跡與曲面由曲線移動產(chǎn)生的觀點(diǎn)引進(jìn)數(shù)學(xué)。阿基塔斯生活在意大利南部西西里太蘭吐姆（Tarentum），是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最后的信徒之一，教過柏拉圖（Plato，約427B.C.-347B.C.）和歐多克索斯，從而成為柏拉圖學(xué)派的先驅(qū)者。他將算術(shù)（靜止的數(shù)）、幾何（靜止的量）、音樂（運(yùn)動的數(shù)）和天文（運(yùn)動的量）四學(xué)科確定為文科教育的核心，再加上三學(xué)科（語法、修辭和芝諾的邏輯）構(gòu)成了文科七藝，這支配了西方兩千年的教育學(xué)思想?？梢姅?shù)學(xué)能在教育中扮演重要角色，阿基塔斯功不可沒。而阿基塔斯對數(shù)學(xué)的最重要貢獻(xiàn)，可能是他對暴君戴奧尼索斯的干涉，從而救了柏拉圖一命。盡管柏拉圖不是數(shù)學(xué)家，但在柏拉圖學(xué)院大門“不懂幾何者不得入內(nèi)”的格言已經(jīng)讓這位“數(shù)學(xué)締造者”影響之大，公元前4世紀(jì)希臘幾乎所有重要數(shù)學(xué)工作都與他的朋友和學(xué)生有關(guān)。顯然柏拉圖對數(shù)學(xué)如此尊重并非來自他老師蘇格拉底，而使他有此態(tài)度多半歸功于年公元前388他在西西里訪問過的阿基塔斯。作為柏拉圖學(xué)派的主要成員，泰阿泰德（Theaetetus，約415B.C.-約369B.C.）考察了更高類型無理數(shù)并將其分類，從中可以看出數(shù)系是怎樣被推廣到更多無理數(shù)的。不過，他的不可公度量僅指能在幾何中產(chǎn)生且作為長度能用幾何方法作出的量。在柏拉圖的《泰阿泰德》對話錄中，泰阿泰德與蘇格拉底和西奧多羅斯以對話形式討論了不可公度量特性，反映在歐幾里得《幾何原本》的卷X。柏拉圖以此紀(jì)念這位出色的數(shù)學(xué)家和朋友，在開篇鋪墊性對話中就借麥加拉的歐幾里得對話贊美了泰阿泰德：“蘇格拉底跟他相處交談之后，對他的天賦極為贊賞?！卑乩瓐D在《蒂邁歐篇》對話錄中闡述了5種正多面體以及與宇宙圖形關(guān)聯(lián)的思想，從歐幾里得《幾何原本》卷XIII的一條批注可知，其中的正八面體和正二十面體研究當(dāng)歸于泰阿泰德。顯然他廣泛研究過這5種正多面體，其成果體現(xiàn)在《幾何原本》的卷XIII。譬如：卷XIII命題13-17，依次表述的正四、八、六、二十和十二面體中每一個內(nèi)接正多面體的邊和半徑之比，以及全書最后一個命題（卷XIII命題18）的推論：“除這5種圖形以外，不存在其他由等邊及等角且彼此相等的面構(gòu)成的圖形。”歐幾里得《幾何原本》作為最早以公理化體系編纂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典，利用少數(shù)公理證明出幾百個定理，這對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響超越了任何其他數(shù)學(xué)著作。歐幾里得對公理和定理的選擇是相當(dāng)考究和出色的，尤其是卷I的第5公設(shè)：“同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于二直角之和，則這二直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。”這就是著名的平行公理，他非常清楚這個公理超越了人類的有限經(jīng)驗，必然牽涉到無限空間，他巧妙的提出二直線能相交于有限遠(yuǎn)處的條件。然而與其余公理相比，平行公理明顯過于復(fù)雜，就連歐幾里得本人也可能覺得缺乏說服力，因為他在先證明了所有無需用其證明的定理之后才開始使用。其后在為了消除對歐氏第5公設(shè)疑惑的漫長探索中，參與這項工作的人是如此之多而又徒勞無功，以至于達(dá)朗貝爾（d’Alembert,1759）將這問題稱為“幾何原理中的家丑”。直到19世紀(jì)經(jīng)高斯（1777-1855）、鮑耶（JohnBolyai,1802-1860）、羅巴切夫斯基（Lobatchevsky,1793-1856）以及黎曼（Riemann,1826-1866）等的不懈努力，才逐漸揭開其神秘面紗，創(chuàng)立的非歐幾何在愛因斯坦（AlbertEinstein,1879-1955）的相對論中大放異彩，終讓人們改變了歐幾里得幾何是物質(zhì)世界所固有唯一真理的認(rèn)知。其實對《幾何原本》邏輯結(jié)構(gòu)的批評，幾乎從成書之日就已經(jīng)開始。早在帕普斯（Pappus,3世紀(jì)末）和普羅克洛斯（Proclus,410-485）就有對其定義和公理的批評。萊布尼茲指出卷I命題1的證明中，應(yīng)用兩個互相經(jīng)過對方圓心的圓有公共點(diǎn)，有賴于直觀，這實質(zhì)涉及直線和圓的連續(xù)性假定。高斯（Gauss,1777-1855）指出“在……之間”必須建立于清晰概念基礎(chǔ)上，以及直線、平面等概念。就連哲學(xué)家叔本華（Schopenhauer,1788-1860）也奇怪?jǐn)?shù)學(xué)家們只針對第5公設(shè)，而不去攻擊公理4“彼此能重合的物體是全等的”重疊法；對于這點(diǎn)也許歐幾里得本人也有察覺，因為他在凡是能用其他方法證明的，他都總是盡量回避，哪怕使用重疊法會使證明更簡單。即便如此，《幾何原本》在很長時期仍是數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的典范，很多瑕疵被認(rèn)為僅是次要問題。直到非歐幾何的工作，才使得數(shù)學(xué)家們清醒地認(rèn)識到了《幾何原本》中的這些缺陷?；诂F(xiàn)代視角，可發(fā)現(xiàn)歐幾里得使用了數(shù)十個他未意識到的假定，于是數(shù)學(xué)家們著