大學高數(shù)向量及其線性運算課件

第二節(jié)向量及其線性運算<<工科數(shù)學分析>>北京理工大學2010-2011學年第二學期第二節(jié)向量及其線性運算<<工科數(shù)學分析>>1大學高數(shù)向量及其線性運算課件2向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或與同方向的單位向量可記作或零向量沒有方向，或者說其方向是任意的向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量3自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構成的向量，叫做點M的向徑.即向量可以在空間中任意地平行移動，如此移動后仍被看成是原來的向量。本書中考慮的都是自由向量。自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同4[1]定義加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法[1]定義加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反5向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結合律：（3）[2]定義減法向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結合律：（36三、向量與數(shù)的乘法三、向量與數(shù)的乘法7數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結合律：（2）分配律：兩個向量的平行關系數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結合律：（2）分配律：8證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得9按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量.按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的10例1化簡解例1化簡解11例2試用向量方法證明：對角線互相

平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結論得證.例2試用向量方法證明：對角線互相

平分12向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標量的區(qū)別）（平13大學高數(shù)向量及其線性運算課件14一、向量在軸上的投影與投影定理一、向量在軸上的投影與投影定理15大學高數(shù)向量及其線性運算課件16證于是證于是17空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的18空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影19空間一向量在軸上的投影

數(shù)空間一向量在軸上的投影數(shù)20關于向量的投影定理（1）證關于向量的投影定理（1）證21定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量22關于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）關于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）23特別地，如果把上述向量a在軸上

的投影換成向量a在向量b上的投影,

可得到類似的概念與性質：特別地，如果把上述向量a在軸上

的投影換成向量a在向量b上的24二、向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標二、向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標25由例1知由例1知26向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的投影向量在軸上的27按基本單位向量的坐標分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標：向量的坐標表達式：特殊地：按基本單位向量的坐標分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐28向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式29解為直線上的點，解為直線上的點，30由題意知：#由題意知：#31非零向量的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.三、向量的模與方向余弦的坐標表示式非零向量的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方32由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標表示式由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.向33當時，向量方向余弦的坐標表示式當34方向余弦的特征特殊地：單位向量為方向余弦的特征特殊地：單位向量為35解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或36解例4

設有向量21PP,已知221=PP，它與x軸和y軸的夾角分別為3p和4p，如果1P的坐標為)3,0,1(，求2P的坐標.解例4設有向量21PP,已知221=PP，它與x軸和y軸37大學高數(shù)向量及其線性運算課件38解解39向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.向量的模與方向余弦的坐標表示式.四、小結（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別）向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐40作業(yè)P3,

3,4P4,

5P10-11,

2,7,10,15,作業(yè)P3,

3,441思考題思考題42思考題解答對角線的長為思考題解答對角線的長為43練習題練習題44大學高數(shù)向量及其線性運算課件45練習題答案練習題答案46思考題已知平行