工學(xué)自動控制之修改

2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動控制理論普通高等教育“九五”部級重點(diǎn)教材2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2描述系統(tǒng)運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型自動控制理論狀態(tài)變量描述狀態(tài)方程是這種描述的最基本形式;適用于多變量控制系統(tǒng)，時(shí)變系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)；MIMO建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法

實(shí)驗(yàn)法解析法

輸入－輸出描述微分方程是這種描述的最基本形式。傳遞函數(shù)、方框圖等其它模型均由它而導(dǎo)出;SISO2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法線性系統(tǒng)的疊加原理自動控制理論用表示系統(tǒng)輸入r(t)和輸出c(t)之間動態(tài)關(guān)系的微分方程可對系統(tǒng)進(jìn)行描述。線性定常系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)根本區(qū)別：線性系統(tǒng)滿足疊加原理，非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理舉例2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4

疊加原理自動控制理論結(jié)論：對于線性系統(tǒng)，一個(gè)輸入的存在不影響另一個(gè)輸入引起的輸出，即，對線性系統(tǒng)，各個(gè)輸入產(chǎn)生的輸出是互不影響的。系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟自動控制理論分析系統(tǒng)工作原理和系統(tǒng)中變量的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量與輸出量選擇合適的中間變量，根據(jù)基本的物理定律，列寫出系統(tǒng)中每一個(gè)元件的輸入與輸出的微分方程式消去其余的中間變量，求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程式對非線性項(xiàng)加以線性化Note:列寫好的微分方程式與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等式右邊，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等式的左邊，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6舉例自動控制理論圖2-1Ｒ-L-C電路例2-1圖示為一RLC電路，求Uc與Ur的微分方程式消去中間變量，則有:上式為RLC電路的數(shù)學(xué)模型，描述了該電路在Ur作用下，電容電壓Uc的變化規(guī)律。解：由基爾霍夫定律得2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7

系統(tǒng)元件的負(fù)載效應(yīng)自動控制理論Note：對電路按回路或支路列寫個(gè)元件的微分方程。若系統(tǒng)中含有n個(gè)獨(dú)立的儲能元件，則微分方程為n階。負(fù)載效應(yīng)，也稱耦合。對于由兩個(gè)以上物理元件組成的系統(tǒng)而言，若其中一個(gè)元件的存在，使另一個(gè)元件在相同輸入下的輸出受到影響，則有如前者對后者施加了負(fù)載。2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8自動控制理論例2-2.試寫出圖2-2電路的微分方程解由基爾霍夫定律列出下列方程組消去中間變量i1、i2得或?qū)懽髟赗1C1和R2C2兩級回路中加上隔離放大器即可消除負(fù)載效應(yīng)圖2-2R-C濾波網(wǎng)絡(luò)例題補(bǔ)充2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型9自動控制理論例2-3.求外力F(t)與質(zhì)量塊m位移ｙ(t)之間的微分方程解由牛頓第二定律列出方程圖2-3彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即式中，ｆ——為阻尼第數(shù)；ｋ——為彈簧的彈性系數(shù)。ky(t)——彈性拉力——阻尼器阻力2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型10自動控制理論第二節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型線性化的假設(shè)

變量對于平衡工作點(diǎn)的偏離較小非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其多階導(dǎo)數(shù)均存在微偏法在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開泰勒級數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。設(shè)一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關(guān)系如圖2-9所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖2-9非線性特性的線性化y=f(x)（2-13）2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型11自動控制理論在給定工作點(diǎn)A（x0,y0）附近，將上式展開為泰勒級數(shù)2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型12自動控制理論第三節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義設(shè)線性定系統(tǒng)的微分方程式為2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型13自動控制理論在零初始條件下，對上式進(jìn)行拉式變換得傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)。Note:一般將外界輸入作用前的輸出的初始條件稱為系統(tǒng)的初始狀態(tài)或初態(tài)。2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型14（1）傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后求得，而拉氏變換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能象征系統(tǒng)的固有特性，即成為描述系統(tǒng)運(yùn)動的又一形式的數(shù)學(xué)模型。（2）由于傳遞函數(shù)包含了微分方程式的所有系數(shù)，因而根據(jù)微分方程就能直接寫出對應(yīng)的傳遞函數(shù)，即把微分算子用復(fù)變量s表示，把c(t)和r(t)換為相應(yīng)的象函數(shù)C(s)和R(s)，則就把微分方程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的傳遞函數(shù)。反之亦然。單位脈沖響應(yīng)及應(yīng)用自動控制理論小結(jié)：系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)g(t)與傳遞函數(shù)G(s)的關(guān)系是時(shí)域t

到復(fù)數(shù)域s的單值變換關(guān)系。2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型15如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t),則利用卷積積分求解系統(tǒng)在任何輸入r(t)作用下的輸出響應(yīng),即下面以一個(gè)R-C電路(圖2-11)為例,說明卷積積分的應(yīng)用該電路的微分方程為自動控制理論圖2-11R-C電路2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型16自動控制理論1、單位階躍輸入由于2、單位斜坡輸入3、正弦輸入式中2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型17傳遞函數(shù)的性質(zhì)自動控制理論

傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的大小和形式無關(guān)若系統(tǒng)輸入已給定，則系統(tǒng)的輸出完全取決于其傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)為復(fù)變量S的有理分式，它的分母多項(xiàng)式S的最高階次n總是大于或等于其分子多項(xiàng)式的最高階次m，即n≥m

傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動過程傳遞函數(shù)可以是有量綱的，也可以是無量綱的。eg

一個(gè)傳遞函數(shù)是由相應(yīng)的零、極點(diǎn)組成物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件可以具有相同類型的傳遞函數(shù)一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出的關(guān)系，它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型18自動控制理論圖2-12多輸入多輸出系統(tǒng)

由圖2-12得對于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)關(guān)系陣去描述它們間的關(guān)系，例如圖2-12所示的系統(tǒng)2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型19自動控制理論典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特點(diǎn)：輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號的變化比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量延續(xù)地反映輸入量的變化規(guī)律微分方程2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型20自動控制理論積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對時(shí)間的積分成正比，即有圖2-13積分環(huán)節(jié)模擬電路圖例如圖2-13所示的積分器，其傳遞函數(shù)為2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型21微分環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號對時(shí)間的微分成正比，即圖2-14微分環(huán)節(jié)模擬電路圖1）實(shí)際的微分環(huán)節(jié)，如圖2-14所示，它的傳遞函數(shù)為：自動控制理論2）直流測速發(fā)電機(jī)。如圖2-15所示，圖2-15直流測速發(fā)電機(jī)2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型22振蕩環(huán)節(jié)特點(diǎn)：如輸入為一階躍信號，則環(huán)節(jié)的輸出卻是周期振蕩形式微分方程自動控制理論具有式（2-33）形式的傳遞函數(shù)在控制工程中經(jīng)常會碰到，例如2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型23自動控制理論1）R-L-C電路的傳遞函數(shù)2）彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3）直流他勵電動機(jī)在變化時(shí)的傳遞函數(shù)上述三個(gè)傳遞函數(shù)在化成式（2-33）所示的形式時(shí)，雖然它們的阻尼比ξ和1/T所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足0＜ξ＜1，則它們都是振蕩環(huán)節(jié)。2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型24自動控制理論純滯后環(huán)節(jié)圖2-16純滯后環(huán)節(jié)模擬電路圖則如果2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型25自動控制理論第四節(jié)控制系統(tǒng)的方框圖和傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)方框圖的一般步驟1、寫出系統(tǒng)中每一個(gè)部件的運(yùn)動方程式2、根據(jù)部件的運(yùn)動方程式寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，一個(gè)部件用一個(gè)方框表示在框中填入相應(yīng)的傳遞函數(shù)3、根據(jù)信號的流向，將各方框單元依次連接起來，并把系統(tǒng)的輸入量置于系統(tǒng)方框圖的最左端，輸出量置于最右端例2-5繪制圖2-18所示電路的方框圖1）列方程2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型26自動控制理論2）畫出上述兩式對應(yīng)的方框圖3）將兩方框圖按信號的流向依次連接，求得2-19C的系統(tǒng)方框圖例2-6繪制圖2-2所示R-C網(wǎng)絡(luò)方框圖1）列方程2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型27自動控制理論2）畫出上述四式對應(yīng)的方框圖，如圖2-20a所示3）根據(jù)信號的流向，將各方框單元依次連接起來，就得到圖2-20b所示的方框圖2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型28自動控制理論方框圖的等效變換1、串聯(lián)連接圖2-23通式：2、并聯(lián)連接圖-2-242023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型29自動控制理論由圖2-24得通式：3、反饋連接圖2-252023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型30自動控制理論1）負(fù)反饋連接2）正反饋連接例如4、引出點(diǎn)移動1）引出點(diǎn)后移圖2-262023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型312）引出點(diǎn)前移5、綜合點(diǎn)移動1）綜合點(diǎn)后移自動控制理論2）綜合點(diǎn)前移2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型32自動控制理論例2-27，求圖2-27所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)解將圖中引出點(diǎn)A后移,然后從內(nèi)回路到外回路逐步化簡,其過程為圖2-28所示圖2-272023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型33自動控制理論圖2-282023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型34控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)如圖2-30所示,圖中R(s)—參數(shù)輸入,D(s)—擾動1、開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)反饋量B(s)與誤差信號E(s)的比值稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。即自動控制理論圖2-302、參改輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令D(s)=0，則圖2-30變?yōu)閳D2-312023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型35根據(jù)式（2-39）求得自動控制理論圖2-31系統(tǒng)的輸出為如果H(s)=1，則圖2-31所示的系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型36自動控制理論3、擾動D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令r(t)=0，把圖2-30改畫為圖2-32，由該圖求得2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型37圖2-33自動控制理論2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型38當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到R(s)和D(s)作用時(shí)，由疊加原理得系統(tǒng)總的輸出為自動控制理論系統(tǒng)總的誤差為2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型39第五節(jié)信號流圖和梅遜公式的應(yīng)用信號流圖也是一種圖示法，反它應(yīng)用于線性系統(tǒng)時(shí)必須先將系統(tǒng)的微分議程組變成以S為變量的代數(shù)方程組，且把每個(gè)議程改寫為下列的因果形式信號流圖的基本組成單元有兩個(gè)：節(jié)點(diǎn)和支路節(jié)點(diǎn)在圖中用“O”表示，它表示系統(tǒng)中的變量；兩變量間的因果關(guān)系用一被稱為支路的有向線段來表示。箭頭表示信號的傳輸方向，兩變量間的因果關(guān)系叫做增益，標(biāo)明在相應(yīng)的支路旁例一個(gè)線性方程為自動控制理論2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型40舉例說明信號流圖繪制的步驟。設(shè)一系統(tǒng)的線性方程組為繪制的步驟如圖2-35所示。自動控制理論圖2-35方程組的信號流程2023/9/2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型41信號流圖的術(shù)語和性質(zhì)1、術(shù)語1）節(jié)點(diǎn)—代表系統(tǒng)中的變量,并等于所有流入該節(jié)點(diǎn)的信號之和。2）支路—信號在支路上按箭頭的指向由一個(gè)節(jié)點(diǎn)流向另一個(gè)節(jié)點(diǎn)3）輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)—相當(dāng)于自變量，它只有輸出支路。4）輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)—它是只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)于因變。5）通路—沿著支路的箭頭方向穿過各相連支路的途徑，稱為通路開通路—通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次閉通路—通路的終點(diǎn)也是通路的起點(diǎn)，并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交