離散型隨機(jī)變量及其分布

1.離散型隨機(jī)變量的分布律定義1.

2.

則稱為隨機(jī)變量X的概率分布律，簡稱分布律.XX的分布律也可用如下的表格形式來表示：解例1

X所有可能取的值為0，1，2.于是分布律為以A記事件第一次罰球時(shí)罰中,以B記事件第二次罰球時(shí)罰中,則有或?qū)⒎植悸蓪懗?.60.0750.325012X

線條圖概率直方圖另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.60.20.40.6012PXPX2.三種重要的離散型隨機(jī)變量的概率分布

(1)兩點(diǎn)分布

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取a與b兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從兩點(diǎn)分布(其中0<p<1)

當(dāng)a=0，b=1時(shí)兩點(diǎn)分布稱為(0—1)分布即：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從(0—1)分布或伯努利分布.(其中0<p<1)實(shí)例1“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.

隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.其分布律為實(shí)例2200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.

兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明（2）二項(xiàng)分布1)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)

將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,或稱為

n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).2)n重伯努利試驗(yàn)

伯努利資料實(shí)例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).實(shí)例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點(diǎn)”,就是

n重伯努利試驗(yàn).3)二項(xiàng)概率公式且兩兩互不相容.稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布注意:

貝努里概型對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或

，

且P(A)=p

，

；

（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.例如在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從B(5,0.6)的二項(xiàng)分布.解因此例2分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例3解圖示概率分布

例4

經(jīng)驗(yàn)表明人們患了某種疾病，有30%的人不治自愈.醫(yī)藥公司推出一種新藥，隨機(jī)選10個(gè)患此病的病人服用新藥，已知其中9人很快就痊愈了.設(shè)各人自行痊愈與否相互獨(dú)立.試推斷這些病人是自愈的，還是新藥起了作用.解

假設(shè)新藥毫無作用，則一個(gè)病人痊愈的概率為p=0.3.以X記10個(gè)病人中自愈的病人數(shù)，則X~B(10,0.3)（3）泊松分布

泊松資料泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.（4）泊松定理設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，其分布律為，k=0,1,2,…,n.又設(shè)np=,(是常數(shù))，則有二項(xiàng)分布與泊松分布有以下的關(guān)系.該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項(xiàng)分布

泊松分布

可見，當(dāng)n充分大,p又很小時(shí),可用泊松分布來近似二項(xiàng)分布！

由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.

我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等例５

某一地區(qū)，一個(gè)人患某種疾病的概率為0.01，設(shè)各人患病與否相互獨(dú)立.現(xiàn)隨機(jī)抽取200人，求其中至少4人患這種病的概率.解

以X記200人中患此病的人數(shù)，所求概率為查泊松分布表（附表３）則X~B(200，0.01).利用泊松定理，例6

為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi),配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理(我們也只考慮這種情況),問至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題由泊松定理得故有個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01.故至少需配備8例8（課堂討論）設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由四人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺;其二是由3人共同維護(hù)臺80.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.解按第一種方法發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”,而不能及時(shí)維修的概率為則知80臺中發(fā)生故障故有即有

按第二種方法故80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布二項(xiàng)分布泊松分布兩點(diǎn)分布３．小結(jié)

解：分析思考一報(bào)童賣報(bào)，每份0.15元，其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)X為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.當(dāng)0.15X<1000×0.1時(shí)，報(bào)童賠錢故{報(bào)童賠錢}{X666}{報(bào)童賠錢}{賣出的報(bào)紙錢不夠成本}解例13.例題講解JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBase