第3章溫度場數(shù)學模型與數(shù)值求解

1主要內容1、傳熱的基本方式2、傳熱分析的常用數(shù)值分析方法3、溫度場數(shù)學模型4、基于有限差分方法的離散5、初始條件與邊界條件6、潛熱處理7、溫度場數(shù)值模擬流程圖2第一節(jié)傳熱的基本方式（1/4）1.熱傳導2.熱對流3.熱輻射

3第一節(jié)傳熱的基本方式（2/4）-熱傳導

物體各部分之間不發(fā)生相對位移時，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運動進行的熱量傳遞稱為熱傳導，簡稱導熱。在緊密地不透明的物體內部，熱量只能依靠導熱方式傳遞。只有在物體處于不同溫度時，熱量才能從一個物體傳遞到另一個物體，或從物體的某一部分傳遞到物體的另一部分。熱總是從溫度高的地方流向溫度低的地方，鑄件凝固冷卻時，鑄件內部的溫度高于外界，因此鑄件內部向其外側以及鑄型傳遞熱量。在三維迪卡爾坐標系統(tǒng)，連續(xù)介質各點在同一時刻的溫度分布叫做溫度場，溫度場的一般可表達為T=?(x,y,z,t)。若溫度場不隨時間變化，則稱做穩(wěn)定溫度場，由此產生的導熱為穩(wěn)定導熱；若溫度場隨時間改變，則稱做不穩(wěn)定溫度場，不穩(wěn)定溫度場的導熱為不穩(wěn)定導熱。導熱的基本定律是Fourier定律，F(xiàn)ourier定律的具體內容我們在后面再闡述。4第一節(jié)傳熱的基本方式（3/4）-熱對流

熱對流是指流體中溫度不同的各部分相互混合的宏觀運動引起熱量傳遞的現(xiàn)象。熱對流總與流體的導熱同時發(fā)生，可以看作是流體流動時的導熱。對流換熱的情況比只有熱傳導的情況復雜。對流換熱可以用Newton冷卻定律來描述，即

對流換熱按引起流動運動的不同原因可分為自然對流和強制對流兩大類。自然對流是由于流體冷、熱部分的密度不同而引起的，如暖氣片表面附近熱空氣向上流動就是自然對流。如果流體的流動是由于水泵或其他壓差所造成的，則稱為強制對流。

式中，q為熱流密度；為對流換熱系數(shù)；

為流體的特征溫度；為固體邊界溫度。5第一節(jié)傳熱的基本方式（4/4）-熱輻射

物體通過電磁波傳遞能量的方式稱為輻射。物體會因各種原因發(fā)出輻射能，其中因熱的原因發(fā)出輻射能的現(xiàn)象稱為熱輻射。自然界中各個物體都不停地向空間發(fā)出熱輻射，同時又不斷地吸收其它物體發(fā)出的熱輻射。發(fā)出與吸收過程的綜合效果造成了物體間以輻射方式進行了熱量傳遞。輻射換熱可以用Stefen-Boltsman定律來描述，即

式中，q為熱流密度;

為表面的絕對溫度；

為輻射黑度；

為Stefen-Boltsman常數(shù)。6第二節(jié)傳熱分析的常用數(shù)值分析方法

（1/3）

數(shù)值方法是進行數(shù)值模擬的重要方面，前面提到目前比較常用的數(shù)值方法有：有限差分法、有限元法、直接差分法、邊界元法。對于鑄造凝固過程CAE技術來說，主要是采用有限差分法、有限元法，前面的章節(jié)已對這兩種方面進行了較為詳細地介紹，下面對采用這兩種方法如何進行傳熱分析做一個簡要說明。7第二節(jié)傳熱分析的常用數(shù)值分析方法

（2/3）1有限差分法有限差分法，又稱泰勒展開差分法，是最早用于傳熱的計算方法。該方法具有差分公式導出簡單和計算成本低等優(yōu)點，目前已成為應用最為廣泛的一種數(shù)值分析方法。有限差分方法，其實質就是將求解區(qū)域劃分為有限個網格單元，將微分問題化為差分問題，離散化得到差分格式，利用差分格式來求解相應問題。用有限差分來求解不穩(wěn)定導熱過程可按如下的步驟進行：將不穩(wěn)定導熱過程所涉及的區(qū)域在空間和時間上進行離散化處理；物性條件、初始條件和邊界條件的設定；寫出單元差分格式；將求解的過程編成計算程序，由計算機算出結果，得到溫度場相關結果。8第二節(jié)傳熱分析的常用數(shù)值分析方法

（3/3）2有限元法有限元法求解導熱問題是利用微分方程邊值問題等價于相應變分問題這一特點的。用有限元法求解不穩(wěn)定導熱過程可歸納為如下的步驟：將不穩(wěn)定導熱過程所涉及的區(qū)域在空間和時間上進行離散化處理；物性條件、初始條件和邊界條件的設定；寫出單元泛函數(shù)表達式；構造每個單元的插值函數(shù)；求得泛函數(shù)極值條件的代數(shù)方程表達式；構造代數(shù)方程組；將求解的過程編成計算程序，由計算機算出結果，得到溫度場相關結果。9第三節(jié)溫度場數(shù)學模型Fourierequation:三維場合：二維場合：一維場合：10第四節(jié)基于有限差分方法的離散（1/8）-二維場合二維差分單元i的的熱平衡關系圖在二維情況下，對傅立葉熱傳導微分方程進行基于有限差分法的離散。如右圖所示，單元i是一邊長為△x的正四邊形單元，它與相鄰的四個單元進行熱量交換。11第四節(jié)基于有限差分方法的離散（2/8）-二維場合從相鄰的單元1、2、3、4單元i的熱量總和QSUM為：

在微小的時間△t內，單元i吸收的的熱量Q為：12第四節(jié)基于有限差分方法的離散（3/8）-二維場合根據(jù)能量守恒定定律得:整理得：變形得：13第四節(jié)基于有限差分方法的離散（4/8）-二維場合由上式知，單元i在t+Δt時刻的溫度等于t時刻自身溫度以及相鄰4個單元溫度的線性組合。顯而易見，如果相鄰單元溫度高或低，單元i的溫度也相應地大或??；另外從物理含義來說，單元i在t時刻溫度高，則其在t+Δt時刻的溫度也應該高，即等式右邊第一項系數(shù)必須不小于零，即式中：整理得：14第四節(jié)基于有限差分方法的離散（5/8）-三維場合在三維場合下，對傅立葉熱傳導微分方程進行基于有限差分法的離散。如下圖所示，單元i是一邊長為△x的正六面體單元，它與相鄰的六個單元進行熱量交換。

三維差分單元i的熱平衡關系圖15第四節(jié)基于有限差分方法的離散（6/8）-三維場合從相鄰的單元1、2、3、4、5、6單元i的熱量總和QSUM為：

在微小的時間△t內，單元i吸收的的熱量Q為：16第四節(jié)基于有限差分方法的離散（7/8）-三維場合根據(jù)能量守恒定定律得:變形得：整理得：17第四節(jié)基于有限差分方法的離散（8/8）-三維場合與二維情況一樣，Δt必須滿足一定條件才能保證數(shù)值解的穩(wěn)定。由上式知，單元i在t+Δt時刻的溫度等于t時刻自身溫度以及相鄰6個單元溫度的線性組合。顯而易見，相鄰6個單元溫度的高低，直接影響了單元i在t+Δt時刻溫度的大??；同樣，單元i在t時刻溫度高，則其在t+Δt時刻的溫度也應該高，即等式右邊第一項系數(shù)必須不小于零，即式中：整理得：對于立方體單元i來說時間步長Δt滿足下式

:18第五節(jié)初始條件與邊界條件（1/2）-初始條件

初始條件就是要確定t=0時刻（開始計算時刻），各單元的溫度值。對于三維溫度場，初始時刻（t=0）的溫度場為：

鑄件部分：鑄型部分：

在進行初始溫度的設置時，可以假設鑄件“瞬間充型、初溫均布”，即可以用如下方程來表示:19第五節(jié)初始條件與邊界條件（2/2）-邊界條件(1)熱傳達邊界條件(2)熱輻射邊界條件(3)熱觸熱阻邊界條件(4)完全接觸邊界條件(5)絕熱邊界條件(6)溫度為定值的邊界條件T=定值

(7)比熱流量為定值的邊界條件定值

20第六節(jié)潛熱處理（1/5）1、定義液相的內能EL大于固相的內能ES，因此，當合金凝固由液相變?yōu)楣滔鄷r，必須產生的內能變化。這個內能變化（通常用L表示）稱為凝固潛熱，或稱為熔化潛熱（LatentHeatofFusion）。2、考慮了析出潛熱的熱能守恒式

21第六節(jié)潛熱處理（2/5）3、潛熱的處理方法(1)等價比熱法(2)熱焓法(3)溫度回復法(4)改良的等價比熱法

*假想凝固區(qū)間22第六節(jié)潛熱處理（3/5）4、采用改良的等價比熱法的溫度場有限差分格式

23第六節(jié)潛熱處理（4/5）5、跨越凝固區(qū)間或假想凝固區(qū)間時的溫度校正24第六節(jié)潛熱處理（5/5）5、跨越凝固區(qū)間或假想凝固區(qū)間時的溫度校正25第七節(jié)溫度場數(shù)值模擬流程圖

溫度場數(shù)值模擬系統(tǒng)包括三大部分：前處理、計算分析、后處理。前處理包括含三維造型