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第一章集合集合函數(shù)三角函數(shù)平面向量直線和圓的方程圓錐曲線方程數(shù)列復(fù)數(shù)立體幾何概率與統(tǒng)計(jì)全套可編輯PPT課件目錄第一節(jié)集合第二節(jié)集合的運(yùn)算第三節(jié)充要條件第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法CONTENTS第一節(jié)集合第二節(jié)集合的運(yùn)算第三節(jié)充要條件第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法一、集合的概念日常生活中，我們所看到的、聽(tīng)到的、觸摸到的、想到的各種各樣的實(shí)物或一些抽象的符號(hào)都可以視作對(duì)象，由某些指定的對(duì)象集在一起所組成的整體就叫做集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集。組成集合的每個(gè)對(duì)象稱(chēng)為元素。例如，把所有小于10的自然數(shù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的各個(gè)數(shù)都看成對(duì)象，所有這些對(duì)象匯集在一起就構(gòu)成了一個(gè)集合，其中的每個(gè)數(shù)即為這個(gè)集合中的元素.

關(guān)于集合的概念有如下說(shuō)明：01

集合的元素具有確定性，即作為一個(gè)集合的元素，必須是確定的。也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就是確定的了02

集合的元素具有互異性，即給定一個(gè)集合，則集合的元素一定是互不相同的03

集合的元素具有無(wú)序性，即集合中元素間一般不考慮順序

例1下列語(yǔ)句能否確定一個(gè)集合？（1）一切很大的數(shù)；（2）方程x2=4的所有解；（3）不等式x-5>0的所有解.

根據(jù)集合所含有的元素個(gè)數(shù)可以將其分為有限集和無(wú)限集兩類(lèi).含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.例如，上述例1中的（2）所構(gòu)成的集合即為有限集，（3）所構(gòu)成的集合即為無(wú)限集.在例1的（2）中，集合的元素是-2和2，它們都是方程x2=4的解，像這樣，方程的所有解組成的集合叫做這個(gè)方程的解集；同樣，在例1的（3）中，由不等式的所有解所組成的集合叫做這個(gè)不等式的解集.由數(shù)所組成的集合稱(chēng)作數(shù)集.我們用某些特定的大寫(xiě)英文字母表示常用的一些數(shù)集：所有非負(fù)整數(shù)所組成的集合叫做自然數(shù)集，記作N；所有正整數(shù)所組成的集合叫做正整數(shù)集，記作N*；所有整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作Z；所有有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作Q；所有實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記作R.二、集合的表示方法1列舉法

例2用列舉法表示下列集合：（1）大于1小于10的所有偶數(shù)組成的集合；（2）方程x2+x-6=0的解集

2描述法有的集合用列舉法表示起來(lái)是很不方便的，如“由大于2的所有實(shí)數(shù)組成的集合”，大于2的實(shí)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，顯然無(wú)法用列舉法將該集合的元素一一列出，此時(shí)用描述法來(lái)表示該集合則比較方便.把描述集合元素的特征性質(zhì)或表示集合中元素的規(guī)律寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)用來(lái)表示集合的方法叫做描述法.例如，上述“由大于2的所有實(shí)數(shù)組成的集合”，可以看出該集合的元素都具有如下性質(zhì)：都是實(shí)數(shù)，都大于2.因此，該集合可用描述法表示為｛x︱x>2，x∈R｝，花括號(hào)內(nèi)豎線左側(cè)的x表示這個(gè)集合中的任意一個(gè)元素，元素x從實(shí)數(shù)集R中取值，豎線的右側(cè)寫(xiě)出的是元素的特征性質(zhì).如果從上下文可以明顯看出集合的元素為實(shí)數(shù)，則x∈R也可以省略不寫(xiě)，如上述的集合可表示為｛x︱x>2｝

例3用描述法表示下列集合：（1）｛-3，3｝；（2）大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合；（3）不等式10x+1≥0的解集

三、集合之間的關(guān)系1子集

例4寫(xiě)出集合A=｛1，2，3｝的所有子集和真子集

2集合的相等

觀察集合A=｛1，2，3｝，B=｛x︱0<x<4，x∈N｝，

可以看出，集合A和集合B的元素完全相同，只是兩個(gè)集合的表達(dá)方式不同

一般地，如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，或者集合B的每一個(gè)元素都是集合A的元素，那么就說(shuō)集合A等于集合B.

例5判斷下列各組集合的關(guān)系：

第二節(jié)集合的運(yùn)算第三節(jié)充要條件第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法一、交集

觀察集合：

A=｛0，1，2，3，4，5｝，B=｛1，2，3，6，7，8｝，C=｛1，2，3｝，可以看出，集合C的元素恰好是集合A與集合B的所有共同元素.一般地，像上述那樣，給定兩個(gè)集合A、B，由既屬于A又屬于B的所有共同元素構(gòu)成的集合叫做集合A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”可用下圖所示的陰影部分來(lái)形象地表示

例1已知A=｛-1，0，1，2，3｝，B=｛1，3，5，7｝，求A∩B解

A∩B=｛1，3｝，可用右圖來(lái)表示

例2已知A=｛x︱x是等腰三角形｝，B=｛x︱x是直角三角形｝，求A∩B

例3已知A=｛x︱-2<x≤1｝，B=｛x︱0<x<4｝，求A∩B分析集合A、B是用描述法表示的集合，并且集合的元素沒(méi)法一一列舉出來(lái)，因此可以結(jié)合數(shù)軸來(lái)進(jìn)行解題。解在數(shù)軸上表示集合A、B，如圖所示.解

在數(shù)軸上表示集合A、B，如圖所示.從圖中易看出，陰影部分即為集合A、B的交集，即A∩B=｛x︱-2<x≤1｝∩｛x︱0<x<4｝=｛x︱0<x≤1｝二、并集

觀察下面三個(gè)集合：

M=｛-2，-1，0｝，N=｛1，2，3，4｝，P=｛-2，-1，0，1，2，3，4｝，可以看出，集合P是集合M與集合N的所有元素組成的.一般地，像上述那樣，對(duì)于兩個(gè)給定的集合A、B，由集合A和集合B的所有元素組成的集合叫做集合A和集合B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”。

例5已知A=｛3，4，5，6｝，B=｛5，6，7，8｝，求A∪B解A∪B=｛3，4，5，6｝∪｛5，6，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝則可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3

例6已知A=｛x︱-1<x≤2｝，B=｛x︱0<x≤3｝，求A∪B解將集合A和集合B在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖所示分析本題結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行解題比較直觀則可看出A∪B=｛x︱-1<x≤2｝∪｛x︱0<x≤3｝=｛x︱-1<x≤3｝三、補(bǔ)集

第三節(jié)充要條件第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法

例1指出下列各組中的條件p是結(jié)論q的什么條件：（1）p：x=3，q：（x-1）（x-3）=0；（2）p：x>1，q：x>3；（3）p：x=y，q：（x-y）2=0.解

（1）由條件x=3成立能夠推出結(jié)論（x-1）（x-3）=0成立，因此p是q的充分條件；而由結(jié)論（x-1）（x-3）=0成立則不能夠推出條件x=3成立，因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，（x-1）（x-3）=0也成立，所以p不是q的必要條件.（2）由條件x>1成立不能推出結(jié)論x>3成立，如x=2時(shí)，2>1但2<3，因此p不是q的充分條件；而由結(jié)論x>3成立則能夠推出條件x>1成立，所以p是q的必要條件.（3）由條件x=y成立能夠推出結(jié)論（x-y）2=0成立，而由結(jié)論（x-y）2=0成立也能夠推出條件x=y成立，因此p是q的充要條件.第四節(jié)不等式與區(qū)間第五節(jié)不等式的解法一、實(shí)數(shù)大小的比較

如果a＞b，且b＞c，則a＞c二、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)1所描述的不等式的性質(zhì)稱(chēng)為不等式的傳遞性性質(zhì)2如果a＞b，則a+c＞b+c.證明

因?yàn)閍＞b，所以a-b＞0.又因?yàn)椋╝+c）-（b+c）=a-b＞0，所以a+c＞b+c.

性質(zhì)2表明，不等式兩邊都加上（或都減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，因此將性質(zhì)2稱(chēng)為不等式的加法性質(zhì).性質(zhì)3如果a＞b，c＞0，則ac＞bc；如果a＞b，c＜0，則ac＜bc

性質(zhì)3表明，不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，因此將性質(zhì)3稱(chēng)為不等式的乘法性質(zhì)三、區(qū)間

我們知道，實(shí)數(shù)集是與數(shù)軸上的點(diǎn)集一一對(duì)應(yīng)的，如集合｛x︱1＜x＜3｝可以在數(shù)軸上表示如圖所示.由數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的所有實(shí)數(shù)所組成的集合叫做區(qū)間，這兩個(gè)點(diǎn)叫做區(qū)間端點(diǎn).不含端點(diǎn)的區(qū)間叫做開(kāi)區(qū)間，圖中，集合｛x︱1＜x＜3｝即表示的是開(kāi)區(qū)間，記作（1，3），其中1表示區(qū)間的左端點(diǎn)，3表示區(qū)間的右端點(diǎn).在數(shù)軸上表示區(qū)間時(shí)，開(kāi)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示（見(jiàn)圖）.1有限區(qū)間

含有兩個(gè)端點(diǎn)的區(qū)間叫做閉區(qū)間，如圖中集合｛x︱1≤x≤3｝表示的區(qū)間即為閉區(qū)間，記作［1，3］.在數(shù)軸上表示閉區(qū)間時(shí)，其兩個(gè)端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示.只含左端點(diǎn)的區(qū)間叫做右半開(kāi)區(qū)間，如集合｛x︱1≤x＜3｝表示的區(qū)間即為右半開(kāi)區(qū)間，記作［1，3）；只含右端點(diǎn)的區(qū)間叫做左半開(kāi)區(qū)間，如集合｛x︱1＜x≤3｝表示的區(qū)間即為左半開(kāi)區(qū)間，記作（1，3］.

例5已知集合A=（0，3），B=［1，5），求A∪B，A∩B解集合A、B用數(shù)軸表示如下圖所示，由圖可看出A∪B=（0，5），A∩B=［1，3）

集合｛x︱x＞3｝可在數(shù)軸上表示如圖所示.2無(wú)限區(qū)間

由圖可以看出，集合｛x︱x＞3｝表示的區(qū)間的左端點(diǎn)為3，沒(méi)有右端點(diǎn)，這時(shí)可將其記作（3，+∞），其中“+∞”讀作“正無(wú)窮大”，表示右端點(diǎn)可以沒(méi)有具體的數(shù)，可以任意大.同樣，集合｛x︱x＜3｝表示的區(qū)間可記作（-∞，3），其中“-∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”.集合｛x︱x≥3｝表示的區(qū)間為［3，+∞），是右半開(kāi)區(qū)間；集合｛x︱x≤3｝表示的區(qū)間為（-∞，3］，是左半開(kāi)區(qū)間.由上可以看出，一般可以用區(qū)間來(lái)表示的集合用區(qū)間表示會(huì)更方便.

例6

解集合A、B在數(shù)軸上表示如圖所示

第五節(jié)不等式的解法一、一元一次不等式

觀察下面兩個(gè)不等式：（1）x2-2x+1＞0；（2）x2-3x+10≤0.可以看出，這兩個(gè)不等式的共同特點(diǎn)是：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）未知數(shù)x的最高次數(shù)都是2.一般地，像上述那樣，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式，叫做一元二次不等式，它的一般形式為ax2+bx+c＞（≥）0或ax2+bx+c＜（≤）0，其中，a、b、c為常數(shù)，且a≠0.上述一元二次不等式的一般形式的左邊恰好是自變量為x的一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的解析式.下面我們將通過(guò)實(shí)例來(lái)研究一元二次不等式的解法，以及它與相應(yīng)的函數(shù)、方程之間的關(guān)系.

二、含絕對(duì)值的不等式

在初中我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有︱x︱≥0，且有

︱x︱的幾何意義是在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式叫做含絕對(duì)值的不等式.

根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，不等式︱x︱＞1表示的是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于1的所有點(diǎn)的集合，在數(shù)軸上表示如圖（a）所示；︱x︱＜1表示的是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于1的所有點(diǎn)的集合，在數(shù)軸上表示如圖（b）所示.1︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式由圖（a）可看出，不等式︱x︱＞1的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）；由圖（b）可看出，不等式︱x︱＜1的解集為（-1，1）.一般地，不等式︱x︱＞a（a＞0）的解集為（-∞，-a）∪（a，+∞），不等式︱x︱＜a（a＞0）的解集為（-a，a）.

對(duì)于︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式可以轉(zhuǎn)化為︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型來(lái)求解.例如，解不等式︱2x+1︱＜1，可先設(shè)2x+1=m，則不等式︱2x+1︱＜1可化為︱m︱＜1，可解得

-1<m<1，即-1<2x+1<1，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得-1<x<0，則原不等式︱2x+1︱＜1的解集為（-1，0）.像上述那樣，將︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式轉(zhuǎn)化為︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式來(lái)求解的方法稱(chēng)為“變量替換法”或“換元法”，即用新的簡(jiǎn)單的變量（如上述的“m”）來(lái)替換原來(lái)的變量（如上述的“2x+1”），從而將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.在實(shí)際的運(yùn)算過(guò)程中，變量替換的過(guò)程可以省略不寫(xiě).2︱ax+b︱＞c或︱ax+b︱＜c（c＞0）型不等式三、分式不等式

例7

解不等式組（Ⅰ）得x＞3；解不等式組（Ⅱ）得x＜－2.所以原不等式的解集為(－∞,－2)∪(3,+∞).課后習(xí)題完成下面的表格完成下面的表格THANKSFORLISTENING

第二章函數(shù)目錄第一節(jié)函數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié)反函數(shù)第三節(jié)實(shí)數(shù)指數(shù)冪第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對(duì)數(shù)第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)CONTENTS第一節(jié)函數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié)反函數(shù)第三節(jié)實(shí)數(shù)指數(shù)冪第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對(duì)數(shù)第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)一、函數(shù)的概念

在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了變量與函數(shù)的概念.在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定了一個(gè)x值，就有唯一的一個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)，那么我們稱(chēng)y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.例如，一輛汽車(chē)以60千米/小時(shí)的速度勻速行駛，則在t小時(shí)里汽車(chē)行駛的路程為s=60t，這里的時(shí)間t為自變量，路程s為因變量，時(shí)間t在某個(gè)范圍內(nèi)變化，路程s也相應(yīng)地在某個(gè)范圍內(nèi)變化，路程s是時(shí)間t的函數(shù).用變量的觀點(diǎn)來(lái)描述函數(shù)，可以形象地描述事物的變化規(guī)律，但有一定的局限性.先看下面的問(wèn)題：?jiǎn)栴}一y=1(x∈R)是一個(gè)函數(shù)嗎？問(wèn)題二函數(shù)y=x與函數(shù)y=x2x是同一個(gè)函數(shù)嗎？初中學(xué)過(guò)的函數(shù)概念很難回答這些問(wèn)題，于是，我們從新的角度給出函數(shù)的定義：設(shè)集合D是一個(gè)非空集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于D中的任意一個(gè)數(shù)x，都有唯一確定的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合D上的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x∈D，其中x叫做自變量，自變量x的取值范圍（集合D）叫做函數(shù)f(x)的定義域，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y︱y=f(x),x∈D}叫做函數(shù)f(x)的值域.當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)的值y0叫做函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作y0=f(x0).該定義使用了集合語(yǔ)言確切地刻畫(huà)了函數(shù)，更具有一般性.從中我們還可以看出，函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定的，因此一個(gè)函數(shù)的確定只需要兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則.

例1

解

(1)要使函數(shù)有意義，必須使x－5≥0，所以函數(shù)的定義域?yàn)閤≥5，即［5,+∞).

(2)當(dāng)x+3≠0，即x≠－3時(shí)，函數(shù)有意義，所以函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,-3)∪(-3,+∞).

例2

二、函數(shù)的表示方法1函數(shù)的三種表示方法上一節(jié)我們已經(jīng)明確了函數(shù)的概念，那么怎樣表示一個(gè)函數(shù)呢？例如，商店里面所售練習(xí)本的單價(jià)為0.8元，買(mǎi)練習(xí)本的本數(shù)x（本）與付款款額y(元)的函數(shù)關(guān)系如何表示?首先，我們做一個(gè)表格：列出表格可以很直觀地反映出練習(xí)本的本數(shù)x與付款款額y之間的關(guān)系，像這種通過(guò)列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法.但這種表示方法一般不完整，如要買(mǎi)80本練習(xí)本，則所需付的款額表中就沒(méi)有，那么還可以用什么方式表示呢？我們可以用一個(gè)數(shù)學(xué)式子y=0.8x來(lái)表示.像這種在函數(shù)y=f(x)(x∈D)中，f(x)是用代數(shù)式或解析式（0.8x）來(lái)表達(dá)的方法叫做解析法.這種方法嚴(yán)謹(jǐn)、完整，但不夠直觀.另外，描繪函數(shù)的圖像，也可以直觀形象地表示一個(gè)函數(shù)，如下圖所示.像這種利用圖像表示函數(shù)的方法叫做圖像法.

例4某工廠的一名普通工人每天的基本工資是20元，每加工完成一個(gè)合格零件日收入增加5元，一名工人的日收入y是他每天完成的合格零件數(shù)x的函數(shù)，當(dāng)一名工人每天完成的合格零件數(shù)在5件以?xún)?nèi)（含5件）時(shí)，請(qǐng)用三種方法表示這個(gè)函數(shù)解（1）按照題意，分別計(jì)算出一名工人每天完成合格零件數(shù)x在1～5件時(shí)的日薪y(tǒng)（元），列成表格，因此函數(shù)用列表法表示如表所示：

例4解（2）根據(jù)題意，函數(shù)的解析式為y=20+5x，因此函數(shù)的解析法表示為y=5x+20,x∈{1,2,3,4,5}.

(3)以表中的x值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出各個(gè)相應(yīng)的點(diǎn).因此，函數(shù)的圖像法表示如圖所示.2分段函數(shù)

例6國(guó)內(nèi)跨省市之間郵寄信函,每封信函的質(zhì)量m（克）和對(duì)應(yīng)的郵資M（元）如表所示:請(qǐng)用解析法和圖像法表示該函數(shù)

例6解（1）函數(shù)的解析式為

（2）函數(shù)的圖像如圖所示.這種在定義域的不同部分有不同對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)叫做分段函數(shù)三、函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性圖為某地區(qū)2008年元旦這一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖.從上圖中可以看到，在4點(diǎn)到14點(diǎn)這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，氣溫是逐步升高的；在0點(diǎn)到4點(diǎn)和14點(diǎn)到24點(diǎn)的時(shí)間段內(nèi)，氣溫是逐步下降的

（2）當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)>f(x2)成立，那么函數(shù)y=f(x)叫做區(qū)間I上的減函數(shù)（或單調(diào)遞減函數(shù)），區(qū)間I叫做函數(shù)y=f(x)的減區(qū)間.觀察下圖，函數(shù)y=f(x)是區(qū)間(a,b)上的減函數(shù)，區(qū)間(a,b)是該函數(shù)的減區(qū)間.在某一區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù)叫做在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，該區(qū)間叫做這個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2函數(shù)的奇偶性

引例1

在初中平面幾何中，我們學(xué)習(xí)了關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的知識(shí).知道點(diǎn)M(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(－a,b)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M″(－a,－b).

引例2

例10

第二節(jié)反函數(shù)第三節(jié)實(shí)數(shù)指數(shù)冪第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對(duì)數(shù)第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)一、反函數(shù)的定義

二、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系

先看下面的例子

例2求函數(shù)y=2x－2的反函數(shù)，并在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的圖像.

第三節(jié)實(shí)數(shù)指數(shù)冪第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對(duì)數(shù)第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)一、有理數(shù)指數(shù)冪

在初中我們學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪，知道當(dāng)n∈N*時(shí)，

二、實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算法則

有理指數(shù)冪還可以推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.一般地，當(dāng)a>0,α為任意實(shí)數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)指數(shù)冪a、α都是有意義的.可以證明，對(duì)任意實(shí)數(shù)α、β，上述運(yùn)算法則仍然成立三、冪函數(shù)舉例

例5

例5解接下來(lái)采用描點(diǎn)法作這6個(gè)函數(shù)的圖像.分別在其定義域中取一些值，如表2-6~表2-9所示：

例5它們的圖像如圖所示第四節(jié)指數(shù)函數(shù)第五節(jié)對(duì)數(shù)第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)

先看下面的問(wèn)題，研究問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系

問(wèn)題1

問(wèn)題2

例1解列出x、y的對(duì)應(yīng)值，如表所示

例1解用描點(diǎn)法，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像，如圖所示

例2解列出x、y的對(duì)應(yīng)值，如表所示

例2解用描點(diǎn)法，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像，如圖所示

（3）當(dāng)a>1時(shí)，該函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，該函數(shù)是減函數(shù)，如圖所示.第五節(jié)對(duì)數(shù)第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)一、對(duì)數(shù)的概念

根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)具有如下性質(zhì):010和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即N>0；02

03

二、積、商、冪的對(duì)數(shù)第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)一、對(duì)數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)

例1解分別列出兩個(gè)函數(shù)x、y的對(duì)應(yīng)值，如表2－12，表2－13所示：

作對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x和y=log3x的圖像

例1解

用描點(diǎn)法，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像，如圖所示

例2解分別列出兩個(gè)函數(shù)x、y的對(duì)應(yīng)值，如表2－14，表2－15所示：

例1解

用描點(diǎn)法，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像，如圖所示

（3）在定義域內(nèi)，當(dāng)a>1時(shí)是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)是減函數(shù)，如圖所示課后習(xí)題THANKSFORLISTENING

第三章三角函數(shù)目錄第一節(jié)任意角的概念與弧度制第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第三節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)CONTENTS第一節(jié)任意角的概念與弧度制第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第三節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、角的概念的推廣

我們知道，角可以看成是平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.如圖（a）所示，射線的端點(diǎn)是O，它從位置OA旋轉(zhuǎn)到另一位置OB形成的圖形叫做角.旋轉(zhuǎn)位置開(kāi)始的射線OA叫做角的始邊，終止位置的射線OB叫做角的終邊，端點(diǎn)O叫做角的頂點(diǎn).規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，如圖（a）所示；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖（b）所示.當(dāng)射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們稱(chēng)它形成一個(gè)零角，零角的始邊與終邊重合

在以前所學(xué)的知識(shí)中，我們只研究了0°~360°范圍的角，但在現(xiàn)實(shí)生活中我們還會(huì)遇到更大范圍的角.例如，游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪，當(dāng)它一圈又一圈地轉(zhuǎn)動(dòng)著的時(shí)候，其轉(zhuǎn)動(dòng)的角度不是只限于0°~360°.為了描述這種現(xiàn)實(shí)狀況，我們把角的概念加以推廣，即推廣到任意角，包括正角、負(fù)角和零角.如圖所示，正角α=210°，負(fù)角β=－150°.

為了方便研究，我們經(jīng)常在平面直角坐標(biāo)系中研究角.將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合.坐標(biāo)平面被直角坐標(biāo)系分為四個(gè)部分，如圖所示，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限.此時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角，或者說(shuō)這個(gè)角在第幾象限.

例1如圖所示，60°、420°、－300°角都是第一象限的角，見(jiàn)圖（a）；150°角是第二象限的角，－150°角是第三象限的角，見(jiàn)圖（b）；－30°、330°角都是第四象限的角,見(jiàn)圖（c）.

邊在坐標(biāo)軸上的角叫做界限角，如0°、90°、180°、270°、360°、－90°、－180°角都是界限角.從圖（a）可以看出420°、－300°角都與60°角的終邊相同，并且都可以表示成60°與k個(gè)周角的和，其中的k為整數(shù)，即420°=60°+k×360°(k=1),－300°=60°+k×360°(k=－1)，它們是角的始邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到60°角的終邊位置后，分別繼續(xù)按逆時(shí)針或順時(shí)針?lè)较蛟傩D(zhuǎn)一周所形成的角，其終邊都相同，因此將其叫做終邊相同的角.與60°角的終邊相同的角有無(wú)限多個(gè)，用集合表示為{α︱α=60°+k·360°,k∈Z}.一般地，與角α終邊相同的角有無(wú)限多個(gè)，并且它們（包括角α在內(nèi)）都可以寫(xiě)成β=α+k·360°(k∈Z)的形式,所以它們所組成的集合為{β︱β=α+k·360°,k∈Z}二、弧度制初中我們研究過(guò)角的度量，即將圓周的1／360所對(duì)的圓心角叫做1度角，記作1°，如圖（a）所示.這種用“度”做單位來(lái)度量角度的單位制叫做角度制.現(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)另外一種度量角的單位制——弧度制.把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作1弧度或1rad，如圖（b）所示.

表中給出了一些特殊角的弧度與角度之間的換算.采用弧度制之后，每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)；反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)角.這樣，角與實(shí)數(shù)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第三節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念

下表所示為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義域.二、任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)在各象限的正負(fù)號(hào)

由于r>0，所以三角函數(shù)值的正負(fù)由終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)確定.因此由三角函數(shù)的定義以及各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)可知：

為了便于記憶，我們將三角函數(shù)的正負(fù)號(hào)標(biāo)在各個(gè)象限內(nèi)，如圖所示三、界限角的正弦值、余弦值和正切值

第三節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)

例

第四節(jié)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、角α與α+2kπ(k∈Z)的三角函數(shù)間的誘導(dǎo)公式

由第一節(jié)可知，在直角坐標(biāo)系中，角α與α+2kπ(k∈Z)的終邊相同.根據(jù)三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等，即sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα.利用上述公式，我們就可以把求任意角的三角函數(shù)的值轉(zhuǎn)化為求0°~360°的三角函數(shù)的值.二、角α與－α的三角函數(shù)間的誘導(dǎo)公式

于是，我們得到角α與－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα,tan(－α)=－tanα.利用上述公式，我們就可以把負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù).三、角α與π±α的三角函數(shù)間的誘導(dǎo)公式

如圖所示，已知任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，由于角π+α的終邊就是角α的終邊的反向延長(zhǎng)線，所以角π+α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα,sinα)，點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(cos(π+α),sin(π+α))，又由于點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P′的坐標(biāo)又可以寫(xiě)為(－cosα,－sinα)，所以可得sin(π+α)=－sinα,cos(π+α)=－cosα.

于是，我們得到角α與π－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(π－α)=sinα,cos(π－α)=－cosα,tan(π－α)=－tanα.

以上公式統(tǒng)稱(chēng)為誘導(dǎo)公式，利用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，用以求三角函數(shù)式的值或化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.第五節(jié)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

下面研究三角函數(shù)的時(shí)候，按照慣例采用字母x來(lái)表示角（自變量）.在平面直角坐標(biāo)系中，可以利用描點(diǎn)法得到正弦函數(shù)的圖像.一般地，作圖時(shí)自變量x應(yīng)采用弧度制.現(xiàn)在利用描點(diǎn)法畫(huà)出正弦函數(shù)的圖像.把區(qū)間［0,2π］分為8等份，分別求得函數(shù)y=sinx在各分點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，列表如表所示：

以表中每組(x,y)的值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，把它們依次連結(jié)成光滑的曲線，就得到了正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間［0,2π］上的圖像，如圖所示.

因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以將函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖像向左或向右平移（每次移動(dòng)2π個(gè)單位長(zhǎng)度），這樣就得到正弦函數(shù)y=sinx在R上的圖像，如圖所示.正弦函數(shù)的圖像叫做正弦曲線.

觀察發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖像有五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,－1),(2π,0).在直角坐標(biāo)系中，描出這五個(gè)點(diǎn)后，正弦函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖像的形狀就基本上確定了.因此在精確度要求不高時(shí)，經(jīng)常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線把它們連結(jié)起來(lái)，就得到了正弦函數(shù)在［0,2π］上的簡(jiǎn)圖.這種作圖的方法叫做“五點(diǎn)法”.

下面我們研究正弦函數(shù)的主要的性質(zhì).1定義域正弦函數(shù)y=sinx的定義域是R.2值域

3周期性對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，當(dāng)x取定義域D內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有x+T∈D，并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.正弦函數(shù)的定義域是R，對(duì)x∈R都有x+2kπ∈R(k∈Z),并且由誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx可知，正弦函數(shù)是周期函數(shù).周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，如2π,4π,6π,…，－2π,－4π,－6π,…都是正弦函數(shù)的周期.事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)2kπ(k∈Z,k≠0)都是正弦函數(shù)的周期.如果周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么就把它叫做最小正周期.一般在不引起混淆的情況下，我們所說(shuō)的函數(shù)的周期都是指它的最小正周期.例如，正弦函數(shù)的周期是2π.5單調(diào)性

4奇偶性觀察正弦曲線，可以看到正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，即正弦函數(shù)是奇函數(shù).二、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

現(xiàn)在利用描點(diǎn)法畫(huà)出余弦函數(shù)的圖像.把區(qū)間［0,2π］分為8等份，分別求得函數(shù)y=cosx在各分點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，列表如表所示：

直角坐標(biāo)系內(nèi)作出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，把它們依次連結(jié)成光滑的曲線，就得到了余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間［0,2π］上的圖像，如圖所示.

因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以將函數(shù)y=cosx在［0,2π］上的圖像向左或向右平移（每次移動(dòng)2π個(gè)單位長(zhǎng)度），這樣就得到余弦函數(shù)y=cosx在R上的圖像，如圖所示.余弦函數(shù)的圖像叫做余弦曲線.

下面我們研究余弦函數(shù)的主要的性質(zhì).1定義域余弦函數(shù)y=cosx的定義域是R.2值域余弦函數(shù)y=cosx的值域?yàn)椋郏?,1］.當(dāng)x=2kπ,k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最大值1；當(dāng)x=(2k+1)π,k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最小值-1.3周期性余弦函數(shù)的定義域是R，對(duì)x∈R都有x+2kπ∈R(k∈Z),并且由誘導(dǎo)公式cos(x+2kπ)=cosx可知，與正弦函數(shù)相同，余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，它的周期是2kπ(k∈Z,k≠0)，并且最小正周期是2π.4奇偶性觀察余弦曲線，可以看到余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即余弦函數(shù)是偶函數(shù).5單調(diào)性

由余弦曲線可以看出，當(dāng)x由0增大到π時(shí)，曲線逐漸下降，cosx的值由1減小到－1；當(dāng)x由π增大到2π時(shí)，曲線逐漸上升，cosx的值由－1增大到1.根據(jù)余弦函數(shù)的周期性可知：余弦函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間［(2k－1)π,2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個(gè)區(qū)間［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.三、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

由正切函數(shù)的圖像可知，正切函數(shù)有如下的性質(zhì)1定義域

2值域函數(shù)y=tanx的值域?yàn)镽，因此，它是無(wú)界的.3周期性函數(shù)y=tanx是周期函數(shù)，周期為π.4奇偶性由公式tan(－x)=－tanx可知，y=tanx是奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).5單調(diào)性

四、余切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

用類(lèi)似于正切函數(shù)的作圖方法，可以作出余切函數(shù)y=cotx的定義域?yàn)閧x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}內(nèi)的圖像如圖所示.余切函數(shù)的圖像稱(chēng)為余切曲線.由圖可以看出，正切曲線是由相互平行的直線x=kπ(k∈Z)所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線所構(gòu)成的.

由余切函數(shù)的圖像可知，余切函數(shù)有如下的性質(zhì).1定義域函數(shù)y=cotx的定義域?yàn)閧x|x∈R,x≠kπ,k∈Z}2值域函數(shù)y=cotx的值域?yàn)镽，因此，它是無(wú)界的.3周期性函數(shù)y=cotx是周期函數(shù)，周期為π.4奇偶性由公式cot(-x)=-cotx可知，y=cotx是奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).5單調(diào)性

函數(shù)y=cotx在(kπ,π+kπ)（k∈Z）內(nèi)是單調(diào)遞減的.第六節(jié)正弦型曲線第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx.在物理學(xué)和電學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)，這類(lèi)函數(shù)稱(chēng)為正弦型函數(shù).它與正弦函數(shù)y=sinx有著密切的關(guān)系.我們先來(lái)討論正弦型函數(shù)的周期.在正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，則y=Asin(ωx+φ)=Asinz.

綜上所述，正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性質(zhì)：定義域?yàn)镽；

值域?yàn)椋郏瑼,A］，即最大值為A，最小值為－A.

二、正弦型函數(shù)的圖像

例4

以表中每組(x,y)為坐標(biāo)描點(diǎn)，如圖所示，在直角坐標(biāo)系中比較精確地描出對(duì)應(yīng)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

用光滑的曲線連接各點(diǎn)，得到函數(shù)y=sin(2x+π3)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，如圖所示

第七節(jié)加法定理第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、兩角和與差的余弦公式

二、兩角和與差的正弦公式

兩角和的正弦公式反映了α+β的正弦函數(shù)值與α,β的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.將式中的β?lián)Q成－β，則有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.由此，我們得到了兩角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.該式反映了α－β的正弦函數(shù)值與α,β的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.三、兩角和與差的正切公式

四、二倍角公式

第八節(jié)解斜三角形第九節(jié)反三角函數(shù)一、正弦定理

二、余弦定理

三、正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

通過(guò)學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理，我們可以應(yīng)用這些三角函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題,比如計(jì)算高度、長(zhǎng)度、距離和角的大小等.

例7一艘船以每小時(shí)36海里的速度向正北方向航行，在A處觀察到燈塔C在船的北偏東30°方向，0.5小時(shí)后船行駛到B處，此時(shí)燈塔C在船的北偏東45°方向，如圖所示，求B處到燈塔C的距離.

例7

例8

如圖所示，設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，現(xiàn)需要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離.測(cè)量者在與點(diǎn)A同側(cè)的岸上選定了一點(diǎn)C，并測(cè)量出A,C之間的距離為45m，又測(cè)出∠BAC=45°,∠ACB=75°.根據(jù)以上的信息，求出A,B兩點(diǎn)的距離（精確到0.1m）.

例8

第九節(jié)反三角函數(shù)一、反正弦函數(shù)

先看下面的例子.

例1

例1

從圖像可以看出，反正弦函數(shù)y=arcsinx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，而且是奇函數(shù)，即arcsin(－x)=－arcsinx.二、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)

反余弦函數(shù)根據(jù)反函數(shù)圖像的性質(zhì)，可得出反余弦函數(shù)y=arccosx、反正切函數(shù)y=arctanx和反余切函數(shù)y=arccotx的圖像（如圖所示）.反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余弦函數(shù)反余切函數(shù)反余弦函數(shù)從圖像可以看出，反余弦函數(shù)y=arccosx在定義域內(nèi)是減函數(shù)，沒(méi)有奇偶性；反正切函數(shù)y=arctanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且是奇函數(shù),反余切函數(shù)y=arccotx在定義域內(nèi)是減函數(shù)，沒(méi)有奇偶性.三、已知三角函數(shù)值求指定區(qū)間內(nèi)的角

課后習(xí)題THANKSFORLISTENING

第四章平面向量目錄第一節(jié)平面向量的概念第二節(jié)平面向量的線性運(yùn)算第三節(jié)平面向量的坐標(biāo)表示第四節(jié)平面向量的內(nèi)積CONTENTS第一節(jié)平面向量的概念第二節(jié)平面向量的線性運(yùn)算第三節(jié)平面向量的坐標(biāo)表示第四節(jié)平面向量的內(nèi)積

如圖所示，當(dāng)人用力推一個(gè)箱子的時(shí)候，根據(jù)初中所學(xué)的物理知識(shí)我們知道，箱子在水平方向上受到推力及地面給箱子的摩擦力，這兩個(gè)力不但有數(shù)值的大小，而且還有方向.在現(xiàn)實(shí)生活中，存在兩種類(lèi)型的量，一種只有數(shù)值的大小而沒(méi)有方向，它們可以用實(shí)數(shù)表示，如質(zhì)量、時(shí)間、體積、溫度等；而另外一種量不僅有數(shù)值的大小，而且還有方向，如力、速度、位移等.為了區(qū)分這兩種量，我們把只有數(shù)值大小的量叫做數(shù)量（或標(biāo)量），把既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）.

如圖（a）所示，如果兩個(gè)向量的模相等，方向也相同，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)向量相等.向量a與b相等，記作a=b.如圖（b）所示，如果兩個(gè)向量的模相等，方向相反，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)向量互為相反向量，a的相反向量記作-a.規(guī)定：零向量的相反向量仍為零向量.方向相同或相反的兩個(gè)非零向量叫做互相平行的向量,向量a與b平行記作a∥b.規(guī)定：零向量與任何一個(gè)向量都平行.由于任意一組互相平行的向量都可以平移到同一條直線上，因此互相平行的向量又叫做共線向量.

例1

第二節(jié)平面向量的線性運(yùn)算第三節(jié)平面向量的坐標(biāo)表示第四節(jié)平面向量的內(nèi)積一、平面向量的加法

向量加法具有以下的性質(zhì)：01

a+0=0+a,a+(－a)=0；02

a+b=b+a；03

(a+b)+c=a+(b+c).這說(shuō)明，在平行四邊形ABCD中，AC表示的向量為AB與AD的和，這種求和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.二、平面向量的減法

三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的一個(gè)積是一個(gè)向量，叫做數(shù)乘向量，記作λa，它的模為︱λa︱=︱λ︱·︱a︱.一般地，有（1）0·a=0,λ·0=0；（2）當(dāng)︱λa︱≠0時(shí)，若λ>0，則λa的方向與a的方向相同，若λ<0，則λa的方向與a的方向相反.

實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算.和實(shí)數(shù)之間相乘一樣，對(duì)于任意的向量a,b及實(shí)數(shù)λ,μ，向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：（1）(λμ)a=λ(μa)=μ(λa)；（2）(λ+μ)a=λa+μa；（3）λ(a+b)=λa+λb.

向量的加法、減法以及數(shù)乘向量運(yùn)算都叫做向量的線性運(yùn)算.在第一節(jié)中，我們知道了向量平行的概念，因此結(jié)合向量平行與數(shù)乘向量的含義，我們可以得到如下的結(jié)論：設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量，如果存在非零實(shí)數(shù)λ，使得b=λa，那么a∥b；反之，如果a∥b，那么一定存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.一般地，λa+μb（λ,μ均為實(shí)數(shù)）叫做a,b的一個(gè)線性組合.如果l=λa+μb，則稱(chēng)l可以用a,b線性表示.

第三節(jié)平面向量的坐標(biāo)表示第四節(jié)平面向量的內(nèi)積

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的每一點(diǎn)都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示，這對(duì)實(shí)數(shù)就是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).同樣，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量也可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)表示.

第四節(jié)平面向量的內(nèi)積一、平面向量的內(nèi)積

由內(nèi)積的概念可以得到以下幾個(gè)重要的結(jié)果：01

a·0=0，0·a=0；02

03

<a,b>=0°時(shí)，a·b=︱a︱·︱b︱，當(dāng)<a,b>=180°時(shí)，a·b=－︱a︱·︱b︱；04

05

我們也可以知道內(nèi)積滿足下面的運(yùn)算律：01

a·b=b·a；02

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；03

(a+b)·c=a·c+b·c.二、向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，向量a的坐標(biāo)為(x1,y1)，向量b的坐標(biāo)為(x2,y2)，i、j分別為x軸、y軸上的單位向量，則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.由于i⊥j，所以i·j=0，又︱i︱=︱j︱=1，所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j·j=x1x2︱i︱2+y1y2︱j︱2=x1x2+y1y2.

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第五章直線和圓的方程目錄第一節(jié)兩點(diǎn)間距離公式及中點(diǎn)公式第二節(jié)直線的方程第三節(jié)兩條直線的位置關(guān)系第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓CONTENTS第一節(jié)兩點(diǎn)間距離公式及中點(diǎn)公式第二節(jié)直線的方程第三節(jié)兩條直線的位置關(guān)系第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓一、兩點(diǎn)間的距離公式

二、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)A(x1,y2)、B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M(x0,y0)是線段AB的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A、B、M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為A1、A2、B1、B2、M1、M2，如圖所示

第二節(jié)直線的方程第三節(jié)兩條直線的位置關(guān)系第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓一、直線的傾斜角與斜率直線l在直角坐標(biāo)系中與兩個(gè)坐標(biāo)軸有不同的夾角，其中直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，叫做直線l的傾斜角，如圖所示的角α.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，直線l的傾斜角為零度角.

規(guī)定：

這樣，對(duì)任意的直線l，它的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.直線l的傾斜角為α（α≠90°），則α的正切值叫做這條直線的斜率，通常用小寫(xiě)字母k表示，即k=tanα.當(dāng)α=90°時(shí)，直線l的斜率不存在，當(dāng)α≠90°時(shí)，直線l都有確定的斜率.根據(jù)直線傾斜角的取值范圍，直線的斜率可以分為以下4種情況：01

當(dāng)α=0°時(shí)（直線平行或重合于x軸），k=0；02

當(dāng)α為銳角時(shí)，k>0；03

當(dāng)α=90°時(shí)（直線平行或重合于y軸），k不存在；04

當(dāng)α為鈍角時(shí)，k<0.

例1根據(jù)下面各直線滿足的條件，分別求出直線的斜率：（1）傾斜角為60°；（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,3),B(2,－1).

二、直線的點(diǎn)斜式和斜截式方程

一般地，如果直線（或曲線）L與方程F(x,y)=0滿足下列關(guān)系：（1）直線（或曲線）L上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線（或曲線）L上.那么，直線（或曲線）L叫做二元方程F(x,y)=0的直線（或曲線），方程F(x,y)=0叫做直線（或曲線）L的方程，記作曲線L:F(x,y)=0或者曲線F(x,y)=0.如圖所示，直線l與x軸交于點(diǎn)A(a,0)，與y軸交于點(diǎn)B(0,b)，則a叫做直線l在x軸上的截距（或橫截距），b叫做直線在y軸上的截距（或縱截距）.設(shè)直線l的斜率為k，并且在y軸上的截距為b，即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,b)，則直線l的方程為y－b=k(x－0)，即y=kx+b.斜率為k，在y軸上的截距為b的直線的方程為y=kx+b這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程.下面，我們考慮兩種特殊情況，如圖所示.

三、直線的一般式方程

因此，二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不全為零）表示一條直線.方程Ax+By+C=0（其中A,B不全為零）叫做直線的一般式方程.

第三節(jié)兩條直線的位置關(guān)系第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓一、兩條相交直線的交點(diǎn)

二、兩條直線平行的條件

平面內(nèi)不重合的兩條直線只有相交和平行兩種位置關(guān)系，前面我們學(xué)習(xí)了兩條相交直線的交點(diǎn)，下面我們將利用直線的斜截式方程來(lái)討論兩條直線平行的條件.如圖（a）所示，兩條直線l1,l2的斜率都存在且都不為0，如果直線l1平行于l2，那么這兩條直線與x軸相交的同位角相等，即兩條直線的傾斜角相等，故兩條直線的斜率相等；反之，兩條直線l1,l2的斜率都存在且都不為0，如果直線的斜率相等，那么這兩條直線的傾斜角相等，即兩條直線與x軸相交的同位角相等，故兩條直線平行.如圖（b）所示，兩條直線l1,l2的斜率都為0，則這兩條直線都與x軸平行，所以直線l1,l2平行.如圖（c）所示，兩條直線l1,l2的斜率都不存在，則這兩條直線都與y軸平行，所以直線l1,l2平行.所以，當(dāng)兩條直線的斜率都存在但不相等或一條直線的斜率存在而另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線相交，這樣我們就可以利用前面的知識(shí)求兩條直線的交點(diǎn).當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，可以利用直線的斜率及直線在y軸上的截距，來(lái)判斷兩條直線的位置關(guān)系.設(shè)兩條直線的方程分別為l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，則（1）如果k1≠k2，則兩條直線l1,l2相交；（2）如果k1=k2，當(dāng)b1≠b2時(shí)，則兩條直線l1,l2平行；當(dāng)b1=b2，則兩條直線l1,l2重合.因此，判斷兩條直線是否平行的一般步驟是：01

判斷兩條直線的斜率是否存在，若都不存在，則兩條直線平行（或重合），若只有一個(gè)不存在，則兩條直線相交；02

若兩條直線的斜率都存在，將它們都化成斜截式方程，若斜率不相等，則相交；03

若斜率相等，比較兩條直線在y軸上的截距，截距相等，則兩條直線重合，截距不相等，則兩條直線平行.三、兩條直線垂直的條件

在這里我們利用直線的斜截式方程討論兩條相交直線的一種特殊情形，即直線垂直的情形.

四、點(diǎn)到直線的距離

五、兩條直線的夾角

第四節(jié)圓的方程第五節(jié)直線與圓一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

在平面幾何中，我們已經(jīng)知道圓的定義，即平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.下面，我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中研究圓的方程.如圖所示，設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a,b)，圓的半徑為r，點(diǎn)M(x,y)為圓上任意一點(diǎn)，則︱MC︱=r.

二、圓的一般方程

圓的一般方程具有以下特點(diǎn)：01

02

不含xy項(xiàng).第五節(jié)直線與圓一、直線與圓的位置關(guān)系在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)直線與圓的位置關(guān)系及判別方法.直線與圓的位置關(guān)系有三種：01

直線與圓無(wú)交點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線與圓相離；02

直線與圓僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線與圓相切；03

直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線與圓相交.設(shè)圓心到直線l的距離為d，半徑為r，如圖所示.（1）直線l與圓相離，當(dāng)且僅當(dāng)d>r，如圖（a）所示；（2）直線l與圓相切，當(dāng)且僅當(dāng)d=r，如圖（b）所示；（3）直線l與圓相交，當(dāng)且僅當(dāng)d<r，如圖（c）所示.直線與圓位置關(guān)系的判別方法：方法一：

方法二：

例1

例1

例2

二、直線的方程與圓的方程應(yīng)用舉例

例3一次設(shè)計(jì)電路板的實(shí)驗(yàn)中，小明設(shè)計(jì)的電路板如圖所示（單位：cm）.現(xiàn)在小明要從P點(diǎn)連一條線到線段AB，他想知道這條線的最短長(zhǎng)度，你能替他算出來(lái)嗎？（精確到0.01cm）

例3解：不難看出，P到直線AB的距離就是小明想知道的最短距離.以這塊電路板的左下角為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(2,6),B(16,8),P(4,10)．

例3

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第六章圓錐曲線方程目錄第一節(jié)橢圓第二節(jié)雙曲線第三節(jié)拋物線第四節(jié)極坐標(biāo)第五節(jié)參數(shù)方程CONTENTS第一節(jié)橢圓第二節(jié)雙曲線第三節(jié)拋物線第四節(jié)極坐標(biāo)第五節(jié)參數(shù)方程一、橢圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程若取一條長(zhǎng)度固定且沒(méi)有彈性的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫(huà)出的軌跡我們知道是圓形；若細(xì)繩拉開(kāi)一段距離，兩端固定在圖板的兩個(gè)點(diǎn)處，并保持繩子的長(zhǎng)度大于兩點(diǎn)之間的距離，此時(shí)筆尖畫(huà)出的軌跡是什么形狀呢？下面我們來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn).

如圖所示，我們將繩子的兩端固定在畫(huà)板上的F1和F2兩點(diǎn)處，并使繩長(zhǎng)大于F1、F2的距離，用筆尖將繩子拉緊，并保持拉緊的狀態(tài)，在畫(huà)板上慢慢移動(dòng)，觀察所畫(huà)出的圖形.從以上實(shí)驗(yàn)中可以看出，筆尖（即M點(diǎn)）在移動(dòng)過(guò)程中，與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和始終保持不變，等于該繩子的長(zhǎng)度.我們將平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離，即|F1F2|叫作橢圓的焦距.上述實(shí)驗(yàn)畫(huà)出的圖形就是橢圓.下面我們建立一個(gè)適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，來(lái)研究橢圓的方程.

以橢圓的焦點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示.

二、橢圓的性質(zhì)

1圖形中x，y的取值范圍

從圖上來(lái)看，此橢圓應(yīng)該位于直線x=±a，y=±b所圍成的矩形內(nèi).

在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們將x換成-x，方程依然成立.這說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓上時(shí)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2（-x，y）也在橢圓上，因此橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示.同理，將y換成-y，方程依然成立.這說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓上時(shí)，其關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1（x，-y）也在橢圓上（見(jiàn)圖）.將x換成-x，y換成-y，方程依然成立.這說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓上時(shí)，其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3（-x，-y）也在橢圓上（見(jiàn)圖）.2圖形的對(duì)稱(chēng)性

由此可知，橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)都對(duì)稱(chēng)，橢圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖像，它的對(duì)稱(chēng)軸是x軸和y軸，它的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是原點(diǎn)，我們稱(chēng)橢圓的對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)為橢圓的中心.

3橢圓的頂點(diǎn)

3離心率第二節(jié)雙曲線第三節(jié)拋物線第四節(jié)極坐標(biāo)第五節(jié)參數(shù)方程一、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程上節(jié)課我們已經(jīng)知道了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡為橢圓，那么平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢？它的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的呢？下面我們通過(guò)一個(gè)實(shí)驗(yàn)——拉鏈實(shí)驗(yàn)來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.

在畫(huà)板上選取兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，將拉鏈（拉鏈的兩邊等長(zhǎng)）拉開(kāi)一段，其中一邊固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2（并使AF2小于F1，F(xiàn)2之間的距離），而后固定在F2處，把筆尖放在拉鏈口處（即點(diǎn)M處），于是隨著拉鏈的逐漸打開(kāi)或閉攏，筆尖就徐徐畫(huà)出一條曲線；同理，將拉鏈的兩邊交換位置，可畫(huà)出另外一支曲線，如圖所示.

從以上實(shí)驗(yàn)我們可以發(fā)現(xiàn)，筆尖（即M點(diǎn)）在緩慢移動(dòng)過(guò)程中，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值始終保持不變，即等于AF2.我們將平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（2a，a＞0且小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|F1F2|叫作雙曲線的焦距.上面實(shí)驗(yàn)所畫(huà)出的圖形就是雙曲線，下面我們建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系來(lái)研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

如果我們把雙曲線與整個(gè)坐標(biāo)平面繞y=x翻轉(zhuǎn)180°，如圖（a）所示，而仍以向右方向?yàn)閤軸正方向，向上方向?yàn)閥軸正方向，便可得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，如圖（b）所示

二、雙曲線的性質(zhì)

1圖形中x，y的取值范圍

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們將x換成-x，方程依然成立,這說(shuō)明雙曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).同理可知，雙曲線也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，x軸和y軸都叫作雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸.因?yàn)殡p曲線是不封閉的曲線，但仍稱(chēng)其對(duì)稱(chēng)中心為雙曲線的中心，坐標(biāo)原點(diǎn)叫作雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心（簡(jiǎn)稱(chēng)中心）.2圖形的對(duì)稱(chēng)性

雙曲線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫作雙曲線的頂點(diǎn)，當(dāng)y=0時(shí)，計(jì)算得x=±a，所以雙曲線的頂點(diǎn)為A1（-a，0）和A2（a，0）（見(jiàn)圖）.我們稱(chēng)線段A1A2為雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)為2a.由于x=0時(shí)，雙曲線方程無(wú)解，即雙曲線與y軸無(wú)交點(diǎn)，但是我們?nèi)詫軸上的兩個(gè)特殊點(diǎn)B1（0，-b）、B2（0，b）在圖中也標(biāo)示出來(lái)（見(jiàn)圖），看作雙曲線與y軸的兩個(gè)虛交點(diǎn)，我們稱(chēng)線段B1B2為雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)為2b，a和b分別叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng).3雙曲線的頂點(diǎn)

4雙曲線的漸近線

5雙曲線的離心率第三節(jié)拋物線第四節(jié)極坐標(biāo)第五節(jié)參數(shù)方程一、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

前兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了二次曲線的橢圓和雙曲線，那么平面內(nèi)移動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離相等的軌跡是怎么樣的圖形呢？下面我們來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn).如圖所示，點(diǎn)F是定點(diǎn)，l是不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的定直線.H是直線l上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作MH⊥l，并與線段FH的垂直平分線相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)H在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是什么?點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中滿足什么條件?

從以上實(shí)驗(yàn)中，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M到直線l的距離和到頂點(diǎn)F的距離始終保持相等（即|MH|=|MF|）.我們將平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線，我們稱(chēng)定點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.因此,圖中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡就是拋物線.下面我們建立一個(gè)適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，來(lái)研究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖所示，取過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，線段KF的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也會(huì)有所不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他形式.如果我們把圖中的拋物線與整個(gè)坐標(biāo)平面分別進(jìn)行以下操作：01

繞y=x翻轉(zhuǎn)180°；02

繞x軸翻轉(zhuǎn)180°；03

繞y=-x翻轉(zhuǎn)180°，而仍以向右方向?yàn)閤軸正方向，向上方向?yàn)閥軸正方向，便可得到以下三種拋物線的圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程，如下表所示二、拋物線的性質(zhì)從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中我們可以得到不等式y(tǒng)2≥0，p>0即x≤0，y∈R.

1圖形中x，y的取值范圍

從圖可以看出，拋物線位于x軸的負(fù)半軸方向，而且|y|值隨著|x|的增大逐漸增大，即拋物線越向左上方和左下方無(wú)限延伸.

在上述拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們將y換成-y，方程依然成立.這說(shuō)明該拋物線圖形關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).2圖形的對(duì)稱(chēng)性

拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)叫作拋物線的頂點(diǎn).當(dāng)y=0時(shí)，x=0；當(dāng)x=0時(shí)，y=0，說(shuō)明拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，即為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0），這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)、雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同.3拋物線的頂點(diǎn)

我們將拋物線上的任一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫作拋物線的離心率，記作e.由定義知，拋物線y2=-2px(p>0)的離心率為e=1.4離心率第四節(jié)極坐標(biāo)第五節(jié)參數(shù)方程一、極坐標(biāo)系

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，可以通過(guò)一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置.但這種方法并不是確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置的唯一方法.在某些實(shí)際問(wèn)題中，還常用角度和距離來(lái)確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置.如“某船位于東偏南30°的20海里處”等.這種利用角度和距離來(lái)確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置的坐標(biāo)系就是本節(jié)要討論的極坐標(biāo)系.

如圖所示，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,從O引一條射線Ox，再取定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系，點(diǎn)O稱(chēng)為極點(diǎn)，射線Ox稱(chēng)為極軸.設(shè)M為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)度,θ表示以O(shè)x為始邊，OM為終邊的角度.ρ稱(chēng)為點(diǎn)M的極徑,θ稱(chēng)為點(diǎn)M的極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ,θ)稱(chēng)為點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ,θ).當(dāng)ρ=0時(shí)，無(wú)論θ取什么值，(0,θ)都表示極點(diǎn).當(dāng)θ=0時(shí)，不論ρ取什么正值，點(diǎn)(ρ,0)都在極軸上.當(dāng)ρ≥0，0≤θ＜2π時(shí)，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)M（除極點(diǎn)外），都可以找到唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ,θ)與之對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，對(duì)于任意的有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ,θ)，也總可以在平面內(nèi)找到唯一的點(diǎn)M與之對(duì)應(yīng).也就是說(shuō)，當(dāng)ρ≥0，0≤θ＜2π時(shí)，平面內(nèi)的點(diǎn)M（除極點(diǎn)外）與它的極坐標(biāo)(ρ,θ)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.由于實(shí)際問(wèn)題的需要，對(duì)于點(diǎn)M(ρ,θ)，極徑ρ和極角θ也可以取負(fù)值.當(dāng)ρ＞0時(shí)，點(diǎn)M在θ的終邊上，且OM=ρ；當(dāng)ρ＜0時(shí)，點(diǎn)M在θ的終邊的反向延長(zhǎng)線上，且OM=ρ，如圖所示.當(dāng)θ＞0時(shí)，極軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng)θ＜0時(shí)，極軸按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

平面內(nèi)的極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系是兩種不同的坐標(biāo)系，平面內(nèi)的同一個(gè)點(diǎn)既可以用極坐標(biāo)表示，也可以用直角坐標(biāo)表示.為了研究問(wèn)題的方便，有時(shí)需將它們進(jìn)行互化.如圖所示，把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度.設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為(ρ,θ)，則有

x=ρcosθy=ρsinθ（66）由（66）式，可得