2022年山西省運城市平陸縣實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022年山西省運城市平陸縣實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A.

B.C.

D.參考答案：C2.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D作出函數(shù)的圖象.因為由方程,得或.顯然有一個實數(shù)根,因此只要有兩個根(不是),利用圖象可得,實數(shù)a的取值范圍是.

3.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S15的最大值為M，最小值為m，則M+m=（）A．500 B．600 C．700 D．800參考答案：B【考點】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】利用已知條件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解S15的最大值為M，最小值為m推出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S15的最大值為M，最小值為m，可知公差最大值時，M最大，公差最小時，m最小，可得a1=1，a2=5，此時公差d=4是最大值，M=S15=1×15+=435，a2=5，a5=8，此時d=1，m=S15=4×15=165．M+m=435+165=600．故選：B．4.設(shè)M、N是直線x+y﹣2=0上的兩動點，且|MN|=，則的最小值為（）A．1 B．2 C． D．參考答案：D【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】設(shè)M（m，2﹣m），N（n，2﹣n），且m＞n，運用兩點的距離公式可得m﹣n=1，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為n的二次函數(shù)，配方即可得到所求最小值．【解答】解：設(shè)M（m，2﹣m），N（n，2﹣n），且m＞n，由|MN|=，可得=，可得m﹣n=1，即m=1+n，則?=mn+（2﹣m）（2﹣n）=2mn+4﹣2（m+n）=2n（1+n）+4﹣2（1+2n）=2（n2﹣n+1）=2[（n﹣）2+]≥，當(dāng)n=，m=時，可得?的最小值為，故選：D．【點評】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，注意運用轉(zhuǎn)化思想，運用二次函數(shù)的最值求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．5.已知實數(shù)、滿足，設(shè)函數(shù)，則使的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：B，，故選B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，點，對于某個正實數(shù)，存在函數(shù)，使得(為常數(shù))，這里點的坐標(biāo)分別為，則的取值范圍為A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】平面向量綜合問題

F2

F4【答案解析】A

解析：由已知得，點，

故選：A【思路點撥】根據(jù)已知條件求出向量的坐標(biāo)，代入中，利用向量相等的條件得到兩個方程，化簡即可解得的取值范圍7.下列命題中，真命題是（

）

A．

B．

C．

D．充分條件參考答案：D略8.已知三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B9.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是異面直線BE與CD1所形成角，由此能求出異面直線BE與CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是異面直線BE與CD1所形成角，設(shè)AA1=2AB=2，則A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為．故選：C．10.已知x、y滿足不等式組，則z＝2x＋y的最大值與最小值的比值為（

）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)，其中，若動直線與函數(shù)的圖像有三個不同的交點，它們的橫坐標(biāo)分別為，則是否存在最大值？若存在，在橫線處填寫其最大值；若不存在，直接填寫“不存在”______________參考答案：112.已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1，5]，部分對應(yīng)值如下表：x－1045f（x）1221

f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象如圖所示：下列關(guān)于f（x）命題：

①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；

②函數(shù)f(x)在[O，2]是減函數(shù)；

③如果當(dāng)x∈[-1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；

④函數(shù)y=f(x)-a的零點個數(shù)可能為O、1、2、3、4個．

其中正確命題的序號是

。參考答案：13.已知變量x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在點(3，0)處取得最大值，則a的取值范圍是

.參考答案：答案：

()14.如圖所示,為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)秒針針尖位置P(x,y).若初始位置為P0（,）,當(dāng)秒針從P0(注此時t=0)正常開始走時,那么點P的縱坐標(biāo)y與時間t的函數(shù)關(guān)系為

參考答案：【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換.權(quán)所有C4

【答案解析】y=sin

解析：∵函數(shù)的周期為T=60，∴ω==，設(shè)函數(shù)解析式為y=sin（﹣t+φ）（順時針走動為負(fù)方向）∵初始位置為P0（，），∴t=0時，y=，∴sinφ=，∴φ可取，∴函數(shù)解析式為y=sin（﹣t+）,故答案為：【思路點撥】首先確定函數(shù)的周期，再設(shè)函數(shù)的解析式，待定系數(shù)可求函數(shù)的解析式．15.若函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的解析式為

．參考答案：16.如圖，已知三棱錐A﹣BCD的所有棱長均相等，點E滿足=3，點P在棱AC上運動，設(shè)EP與平面BCD所成角為θ，則sinθ的最大值為．參考答案：【考點】直線與平面所成的角．【分析】設(shè)棱長為4a，PC=x（0＜x≤4a），則PE=．求出P到平面BCD的距離，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)棱長為4a，PC=x（0＜x≤4a），則PE=．設(shè)P到平面BCD的距離為h，則=，∴h=x，∴sinθ==，∴x=2a時，sinθ的最大值為．故答案為．17.（4分）在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=2，c=2，A=120°，S△ABC=．參考答案：考點： 正弦定理．專題： 解三角形．分析： 由正弦定理和已知易得C=30°，進(jìn)而可得sinB=，由三角形的面積公式可得．解答： 解：∵在△ABC中，a=2，c=2，A=120°，∴由正弦定理可得sinC===，∴C=30°，或C=150°（A=120°，應(yīng)舍去），∴sinB=sin（A+C）=sin150°=∴S△ABC===故答案為：點評： 本題考查正弦定理，涉及三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù),令，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)a=0時，求f(x)的極值；(Ⅱ)當(dāng)時，若存在,使得恒成立，求m的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)極小值，無極大值；(Ⅱ).試題解析：(Ⅰ)依題意，則當(dāng)a=0時，令解得；當(dāng)時，，當(dāng)時，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)，單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞)所以時取得極小值，無極大值.(Ⅱ)當(dāng)即時，恒有成立，所以在上是單調(diào)遞減.所以所以，因為存在,使得恒成立，所以整理得又<0，所以令=－，則∈(2,8)，構(gòu)造函數(shù),所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以m的取值范圍為(,+∞).考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值.【方法點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，合理構(gòu)造函數(shù)并正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，是壓軸題；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③求方程的所有實數(shù)根；④列表格.考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出或即得解.19.（本小題共13分）定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數(shù)列．對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”．（Ⅰ）已知是首項為，公差為的等差數(shù)列，若是數(shù)列的

“保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；（Ⅱ）已知數(shù)列的首項為，是數(shù)列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，問數(shù)列最多有多少項?(解題中可用以下數(shù)據(jù):)參考答案：（Ⅰ）顯然對任意正整數(shù)都成立，即是三角形數(shù)列。因為，顯然有，由得解得.所以當(dāng)時，是數(shù)列的保三角形函數(shù).

…3分（Ⅱ）由，得，兩式相減得，所以

…5分經(jīng)檢驗，此通項公式滿足.顯然,因為,所以是三角形數(shù)列.

……………8分（Ⅲ）,所以單調(diào)遞減.由題意知，①且②,由①得，解得,由②得，解得.即數(shù)列最多有26項.

…………13分20.（本小題滿分10分）已知.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若不等式對一切實數(shù)a，b，c恒成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：21.已知橢圓E：（a＞b＞0）的離心率為，它的一個焦點到短軸頂點的距離為2，動直線l：y=kx+m交橢圓E于A、B兩點，設(shè)直線OA、OB的斜率都存在，且．（1）求橢圓E的方程；（2）求證：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由題意可得：，a=2，a2=b2+c2，解出即可得出．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由．可得=﹣，可得3x1?x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，化為：（3+4k2）x1?x2+4km（x1+x2）+4m2=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可證明．（3）由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，可得k∈R．|AB|==，即可得出．【解答】（1）解：由題意可得：，a=2，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴橢圓E的方程為=1．（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，化為：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，∴x1+x2=，x1?x2=，∵．∴=﹣，即3x1?x2+4y1y2=0，∴3x1?x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，化為：（3+4k2）x1?x2+4km（x1+x2）+4m2=0，∴（3+4k2）+4km?+4m2=0，化為：2m2=4k2+3．（3）解：由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化為：4k2+3＞m2，∴4k2+3，∴k∈R．|AB|=====∈．當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，|AB|的最大值2．22.已知函數(shù)f（x）=ex（x∈R）．（1）證明：曲線y=f（x）與曲線有唯一公共點；（2）設(shè)a＜b，比較與的大小，并說明理由．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=ex﹣x﹣1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得h（x）的最小值，g（x）的單調(diào)性，再由g（0）=0，即可得證；（2）結(jié)論：．運用作差法，設(shè)m（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，求得導(dǎo)數(shù)，由基本不等式可得m（x）的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）證明：設(shè)，g'（x）=ex