2021屆全國(guó)新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 二項(xiàng)式定理題型歸納

2021屆全國(guó)新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)

二項(xiàng)式定理題型歸納

知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式定理

公式(4+力”=心/+以*-%+-+<2/17/+—+(：?”,

二項(xiàng)式定理

稱(chēng)為二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式系數(shù)Cgq=0,l,n)

通項(xiàng)

知識(shí)點(diǎn)二“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

3+力”的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以表示成如下形式：

(a+b)'----------------------------------11

(a+石產(chǎn)--------------------121

(a+b)3---------------------------1331

(4+力)，-------------------------14641

(a+b)s----------------------15101051

(a+h)h-------------------1615201561

1.楊輝三角的特點(diǎn)

(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等.

⑵在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和,

即叩±1=二+0.

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容

對(duì)稱(chēng)性C爾=C%-m,即二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.

如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)〃是偶數(shù)，那么展開(kāi)式中間一項(xiàng)7畀1的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

增減性

與最大值如果〃為奇數(shù)，那么其展開(kāi)式中間兩項(xiàng)r等與T等+1的二項(xiàng)式系數(shù)相等且同時(shí)取

得最大值.

二項(xiàng)展開(kāi)式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于卻，即e+c：+禧+…+a=2!.

二項(xiàng)式

奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，都等于2"一|,

系數(shù)的和

即c!+c?+c+“=d+c?+c?+…=2"T.

類(lèi)型一二項(xiàng)式定理的正用、逆用

例1(1)求(x+2y)4的展開(kāi)式.

(2)化簡(jiǎn)多項(xiàng)式(2X+1)5-5(2X+1),+10(2X+1)3-10(2X+1)2+5(2X+1)-1的結(jié)果是()

A.(2x+2)sB.2x5C.(2x-l)5D.32x5

解(1)(x+2yr=C+r4+Cj/Qy)+cir2(2y)2+Clr(2y)3+Ct(2j)4+8x3y+24x2y2+32xy3+

16/.

(2)依題意可知，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都可看作喝(2x+l)5T(—l)r,故為[(2X+1)—1]5的展開(kāi)

式，化簡(jiǎn)[(2x+1)—I]5=(2x)5-32x$.故選D.

跟蹤訓(xùn)練1⑴求。5+古)的展開(kāi)式；

(2)化簡(jiǎn)(》-1)5+5(尤-1)4+10(尤-1)3+10。-1)2+5(》-1).

⑶已知《一4c+42屐-43&++(T)"4"C；=729,則九的值為()

A.5B.6C.7D.8

解(1)方法一(35+田4

=C：(35)4+Ck3#)3.古+C沁必盅2+或(35).閨3+c：.閨4

方法二回十田4=中

=^7(817+108X3+54?+12X+1)

(2)原式=C?(X—1)5+C；(X—1)4+C：(X—l)3+cg(x—1)2+C?(X—l)+cg(x—1)°—1

-[(X-1)+1]5-1=X5-1.

⑶由C-4c+42q；一4'亡++(T)"4"C；=729得

nn

C°-l-(-4)°+盤(pán)?甘-1.(_4)1+C2.儼-2.(—4)2+第-1-3.(-4)3+-+-1°?

(-4)n=729則(1-4)n=729,gp(-3)n=729=(-3)6,

解得九=6.

故選：B.

類(lèi)型二求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)

例2(l)(l+x)4的展開(kāi)式中f的系數(shù)是()

A.8B.7C.6D.4

⑵作—J的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()

A.-160B.160C.80D.-80

(3)(x-2y戶(hù)的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-80B.80C.40D.-40

(4)存_專(zhuān))6的展開(kāi)式的中間一項(xiàng)為

⑸(1一3y)’的展開(kāi)式中產(chǎn)尸的系數(shù)為

解的展開(kāi)式中,r

(l)v(1+*)4Tr+1=C$x,(r=0,1,2,3,4),

令r=2,二/的系數(shù)為盤(pán)=6.

故選：C.

⑵(2X-￡)6展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為圖+1=(2%)6-r.(-1K?X-r=(-1)『-26-r-《■

x6~2r,

令6-2r=0,可得r=3,故(2%-展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為—8./=-160.

故選：A.

_7

⑶解：T=&]=(7江2(_2丘)3=—80盧,

故選：A.

(4)因?yàn)閚=6,所以該二項(xiàng)展開(kāi)式中共有7項(xiàng)，中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，

由展開(kāi)式的通項(xiàng)知E=立停J，(一盍7=一|?

故答案為：一|

(5)利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)公式可知：&=G，(—3y廣=C#(—3廣廣，，

令r=2得,7；=C>2(-3)3/=-270X2/,令犬的系數(shù)為-270.

故答案為：-270.

跟蹤訓(xùn)練2(1)在修-的展開(kāi)式中，收的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

(2)二項(xiàng)式(2%2-]6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是.(用數(shù)字作答)

(3)(x-2y/展開(kāi)式中》3y3的系數(shù)為

解⑴二項(xiàng)式停_|)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)4+1=C.(；)—?(-j)r=展?(一2)r-(|)5-r.

x5-2r,

令5—2r=3,解得r=1,

則72=Cl-(―2)1-(J,x3=—^x3,/的系數(shù)為一g,

故答案為：一|.

O

(2)有題意可得，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為：

Tr+1=Cg(2/)6-r(_：)「=(_1)r26-rcrx12-3r

令12-3r=0可得r=4，此時(shí)豈=2?黨=60.

(3)因?yàn)?x-2yA的展開(kāi)式的通式為：7；+1=帽”-r(—2y)r,

3333

當(dāng)r=3時(shí)，T4—(76%(—2y)——160xy.

故展開(kāi)式中爐爐的系數(shù)為—160.

故答案為：-160.

型三與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題

例3(1)如圖所示的三角形數(shù)組是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱(chēng)為楊輝三角形，根據(jù)數(shù)組

中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，其中的〃所表示的數(shù)是()

1

11

121

1331

14a41

15101051

A.2B.4C.6D,8

(2)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊

輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)

成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為()

A.2060B.2038C,4084D,4108

解(1)從第三行起頭尾兩個(gè)數(shù)均為1,

中間數(shù)等于上一行肩上兩數(shù)之和，

所以“=3+3=6.

故選：C.

(2)n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，例如5+1)2=/+2久+1,系數(shù)分別為

1,2,1,對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第3行，

令x=l,就可以求出該行的系數(shù)之和；第1行為2。，第2行為2】，第3行為22,以此類(lèi)推，

即每一行數(shù)字之和構(gòu)成首項(xiàng)是1,公比是2的等比數(shù)列，

則楊輝三角形的前n行的和為%=三?=2"一1，

若去除所有為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,可看成以1為首項(xiàng)，以1為公

差的等差數(shù)列，則及=與2

當(dāng)n=12時(shí)，712=工^=78,去除兩端的1可得78-23=55,

則此數(shù)列的前56項(xiàng)的和為：S12-23+12=212-1-23+12=4084.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練3(1)楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)記載.

在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，它出現(xiàn)要比楊輝三角遲393年.那么，第15行第13個(gè)

數(shù)是.(用數(shù)字作答)

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

(2)如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,

5,10,10,5,-,則此數(shù)列前21項(xiàng)的和為.

解(1)第1行：Cf=1,盤(pán)=1,第2行：0=1,6=2，廢=1,第3行：或=

1，6=3,或=3，廢=1,第4行：Cf=1,弓=4,叱=6，盤(pán)=4,Cf=1,…

觀察可得第〃行第(1Wr<n+1)個(gè)數(shù)為C廠(chǎng)i,

所以第15行第13個(gè)數(shù)為。著=15Kl3=455.

故答案為：455

(2)n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，

例如(x+1尸=/+2%+1,系數(shù)分別為1,2,1,對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第3行，

令X=1,就可以求出該行的系數(shù)之和，

第1行為2。，第2行為2］，第3行為22,以此類(lèi)推

即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

則楊輝三角形的前幾項(xiàng)和為%=蕓=2,-1,

1—2

若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4.....

可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

則〃=等2,

可得當(dāng)〃=8,去除兩端的“1”可得36-15=21,

則此數(shù)列前21項(xiàng)的和為58-15=28-1-15=240.

故答案為：240.

類(lèi)型四求展開(kāi)式的系數(shù)和

例4已知(五-5)”(neN*)的展開(kāi)式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是9：1.

(I)求展開(kāi)式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；

(II)求展開(kāi)式中中間項(xiàng).

解(1)由題意知，展開(kāi)式的通項(xiàng)為：

_/o\rrn-5r

Tr+1=G(4)n-r(—邕)=C；(-3)x-(0WrWn,且rWN),

則第五項(xiàng)的系數(shù)為C3（-3）4,第三項(xiàng)的系數(shù)為髭?（一3）2,

則有fOH

化簡(jiǎn)，得第=鬣,解得九=6,

???展開(kāi)式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和26=64;

（2）由（1）知n=6,展開(kāi)式共有7項(xiàng)，中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，令r=3,得E=-540x-2.

跟蹤訓(xùn)練4（1老一專(zhuān)展開(kāi)式奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,則該展開(kāi)式的中間項(xiàng)是

（2）（版一￡）6展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是.

解（1）已知二項(xiàng)展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,

則所有二項(xiàng)式系數(shù)和64,

則2n=64,得n=6,

得二項(xiàng)展開(kāi)式共有7項(xiàng)，則中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，

333

所以展開(kāi)式的中間項(xiàng)為：底（§?（—為=-20x5.

故答案為:-20x1.

（2）在（遮-：）6的展開(kāi)式中，由二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)可得：展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

因此，該項(xiàng)為：74=底（證）3（-目3=_徵

故答案為：一彳.

*

類(lèi)型五二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

x-

例5(1)若(1_2x『"9=4+4(》—2)+。2(x―2)~+。3(x—2)4---Ftz2oi9(2),

則4-4+。2-%_)----/019的值為()

A.-2B.-1C.0D.1

(2)若(l-2x)6=4+4%+。2/++4%6,貝+4++。6的值為.

解(1)在所給等式中，令8=1,可得等式為(1-2)加9=%-4+/一%+-一。刈9，

即死一6Z3T----%0]9=11?

故選：B.

(2)(1-2x)6=〃0+平+電工2+…+〃6X6,

令X=0,可得〃0=1,

再令x=l,可得1+4+4+…+%=1，

...%+。2+—+。6=0，

故答案為：0.

跟蹤訓(xùn)練5(1)(1-3x)5=〃0+。］1+。2］2+。3無(wú)3+。4工4+。5工5，求

|%|+|聞+㈤+|目+|。4|+闖=()

A.1024B.243C.32D.24

(2)二項(xiàng)式(無(wú)3+1)4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為所有項(xiàng)的系數(shù)之和為.

X

解(I)根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)可得

5

(1—3x)5W(―3力+瑪(—3x)2+c3(_3xp+cg(—3靖+c1(-3x)

23

則4=1,q=C5-(-3)=-15,a2=cj-(-3)=90,a3=C^-(-3)=-270

5

a4=C5.(一3六=405,a5=Cs-(-3)=-243

所以同+同+,2|+悶+|。4|+%|=|1|+|-15|+|90|+卜270|+|405|+卜243|=1024

故選:A

⑵(丁+工)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)J=禺卜3廣'『］=C>i,

令12—4r=0,解得=3,

則常數(shù)項(xiàng)為優(yōu)=4;

二項(xiàng)式（/+:）4中，令X=1,得到（1+1）4=16,

則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為16.

故答案為：4;16.

類(lèi)型六二項(xiàng)式系數(shù)定理的綜合應(yīng)用

例6⑴若3%+十）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.1215B.135C.18D,9

（2）二項(xiàng)式（x-4『的展開(kāi)式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)和是（

)

A.-6B.-4C.6D,.8

（3）二項(xiàng)式（l+2x）3（l-x）4的展開(kāi)式中無(wú)之的系數(shù)是（）

A.-24B.12C.6D,.—6

（4）若（》+2）］工一6］展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)等于-280，則”=（

)

A.-3B.-2C.2D,3

4

（5）設(shè)（2工―1）6—工6=（工一1）（4+6元+。2尢2+〃3元3+%尢+。5元'）,其中

%,4M2，/，。4，。5為實(shí)數(shù)，則％=，/+4+。2+/+。4+。5=

（6）若+的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃=展開(kāi)式中的常

數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____

⑺若%)'。=-+a.+ax+a^++q(3°,則4=

Xx

%+/+%+%+%+4o=

若對(duì)，恒有『+"(月(/+乎+56，其中

(8)xeR1++?5x+a6x)a,a0,a1......

%,4eR,則a=

解⑴由題意2"=64,〃=6，，通項(xiàng)為&|=。；(3尤)6-'(—1)'=36-「。06下，

yjx

令6-,=0,r=4,..?常數(shù)項(xiàng)為32《=135,

故選B..

⑵由題意二項(xiàng)式卜一石)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為J=C：.(_五)'.q.;5，

當(dāng)r=0時(shí)，則(_l)y.尤七=_?;

當(dāng)「=2時(shí),則(Ty.ClJJcI/uGx3；

當(dāng)r=4時(shí)，則(_[)y=x2；

所以所有有理項(xiàng)的系數(shù)和為l+6+l=8.

故選：D.

(3)：(1+2X)3展開(kāi)式的通項(xiàng)為Cp312尤)，，(IT)4展開(kāi)式的通項(xiàng)為《廣(_4

根據(jù)多項(xiàng)式乘法規(guī)則和計(jì)數(shù)原理確定V的系數(shù)，應(yīng)分3種情況：

①C"3-。(2x)。.CJ4-2(_%)2=6/；

②C；.產(chǎn)(2x)‘CF(T)|=-24x2;

③第產(chǎn)仁彳廣仁產(chǎn)廿力：口1,

即含/項(xiàng)為(6—24+12)x2=-6d,

故選：D.

(4)[,_辦)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：幾產(chǎn)和0?)(一詞"=G(-4/I,

所以當(dāng)人=3時(shí)，;項(xiàng)的系數(shù)為：仁(一洲，

'--ax]的展開(kāi)式無(wú)常數(shù)項(xiàng)，

1%)

所以(x+2)--ax展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：C；(—a)3=—280,解得：a=2

lx)

故選：C.

(5)令工=0可得1=一4=%=—1,

因?yàn)?2X_1)6=(X+X_1)6=C：X6+C55(X_I)++C：(X—1)6,

所以(2%-1)6-犬=4白尸1)++建(X—1)6

=(x-l)[c；x5+C^4(x-l)++C：(x-1)5],

則C%5+屐14@一])++屐=/+4%+%/+%%3+〃4%4+%]5,令工=1,

得4+4+生+/+/+。5=C：=6.

故答案為：一1;6

(6)的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

所以〃=6;

則由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可知+2)展開(kāi)式的通項(xiàng)為

(=0(勾，仔［=0.27喙，

3

令3-彳廠(chǎng)=0,解得r=2,

6x5

所以常數(shù)項(xiàng)為(=C>22=一廠(chǎng)X22=60,

故答案為：6;60.

⑺根據(jù)題意即求x的系數(shù)：.lxC：o(-司+卜金,(一4=(。(—1)+維卜

所以4=C；o(―1)+C；()=35

(2)令x=l得1+/+4+/++4o=O,

令x=-l得_1+%_4+生一+0,0=0,

兩式相加得：/+生+4+46+4+40=°.

故答案為：⑴.35(2).0

(8)對(duì)xeR，恒有『+"(1+》乂/+甲++%%5+。6%6)

令x=—l,代入可得-1+〃=(),解得“=1

因?yàn)閤7+a=(1+x)(a()+qx++a5x5+4尤6)

展開(kāi)可得/+。=+。+。工67

%+4%+6160%+42++^5X4-(26X

=%+(%+ajx++3+4)16+4/

&=1

所以〈「+右。解得…

故答案為：1;一1

跟蹤訓(xùn)練6(1)24.已知x(x—2)7=4+4(x—1)+43—1)-+.......+4(x—I)8,則

%+。6=()

A.-14B.0C.14D.-28

（2）已知。+0][2X一，]的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

Ix八X）

A.-80B.-40

C.40D.80

⑶已知（工一2）（龍+〃。5=4工6+。5金+…+qx+g,6為常數(shù)，若％=2廁4=（

A.-7B.-2C.3D.7

(4)若(x+l)5=%.4《(1―1)+。2(1―1)2+...+々5(工-1)5,貝11々0=()

A.32B.1C.-1D.-32

⑸在回?fù)?/p>

的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為（

D?-15戶(hù)

（6）在（1+X+產(chǎn)）”>的展開(kāi)式中，*項(xiàng)的系數(shù)為（

A.30B.45C.60D.90

56

已知一Q設(shè)展開(kāi)式中含的奇次曷

（7）（x■^5）6=U+qx+a）x~++a^x+<z6x,x

的項(xiàng)之和為S,當(dāng)尤=應(yīng)時(shí)，S等于（）

A.28B.—2C.27D.-2

解由題知，8

(1)x(x—2)7=%+4(x—l)+ti2(x—1)~+.......+tzg(x—I),

且無(wú)0_2)7=[(1)+1][(1)_「

則%=C*(-1『+1C.(-1)3=-14,

4=C-(-1)'+1C-(-1)2=14,

所以%+%=—14+14=0.

故選：B.

(2)令二項(xiàng)式中的X為1得到展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為1+。，

.,.l+a=2

\a=1

2x—2x—

2x——+—2x—

x

展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為的常數(shù)項(xiàng)與含％的系數(shù)和，

展開(kāi)式的通項(xiàng)為(7=(-，

令5—2廠(chǎng)=1得「=2;令5—2r=0,無(wú)整數(shù)解，

展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為8C；=80,

故選：D

(3)(尤+加y的展開(kāi)式通項(xiàng)為：(a=黑爐-，”j=0,1,2,3,4,5

所以4=2=-2xC>5,解得加=一1

所以仁=1xC(-1)+(-2)x葭(-1)°=-7

故選：A

25

(4)因?yàn)?X+1)5=%+6Z1(%-1)+?2(X-1)4-...4-675(X-1),

所以令x=l得：旬=25=32.

故選:A.

⑸回會(huì)

(I、(10-幻/

i

???二項(xiàng)式展開(kāi)式為：幾|=《—x

\/\2

設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第k+1項(xiàng)，

、/1、》1

NC：；-

2)

可得

生41

解得*4

可得＜k

1>

k+\2

kwN*

k=3

在的展開(kāi)式中，

1Y_|\3

\5

系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為：1\=C0——X~3=一15戶(hù)

72

\

在?)"'的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為=

(6)(1+X+j202b.2020

1

對(duì)于|,通項(xiàng)公式為如1=。”/202仇，Hr,r、kGNgo.

x+彳2020

令，2021%=2,可得「=2+2021%,

故4=0,r=2,

故*項(xiàng)的系數(shù)為C；)?C；=45,

故選：B.

（7）因?yàn)椋▁—0）6

則展開(kāi)式中含X的奇次幕的二項(xiàng)式系數(shù)分別為Cg,點(diǎn),或，

當(dāng)x=0時(shí)，含X的奇次幕的項(xiàng)之和為

5

S=C：（甸10）5+C：（閭］-甸3+燎（閭（-?

=-6X23-20X23-6X23

=-28,

故選：B.

3當(dāng)堂訓(xùn)練

1.已知呼+2可+22或+23戲+…+2”Cj=729則C；解4<^丑Qn

A.63B.64C.31D.32

（0、6

2.在。一%的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-15B.15C.-60D.60

3.（2x-1）6展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為（）

A.-1B.1C.26D.12

4.(2x—y)3(x+2y)4的展開(kāi)式中砂6的系數(shù)為()

A.-32B.32C.64D.-64

5,已知《3"+C：3"T+C；3"-2++C：i3+C；=1024,貝

6.求和：3c：+9C；+27C；+…+3"C：=(〃GN*).

7.求值：1-2419+4以9-…+（-2嚴(yán)9嚼?

8.在［x+工）的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為

C2

9.二項(xiàng)式［或+-y,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

10.（爐+，）5的展開(kāi)式中，含一項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字填寫(xiě)答案）.

X

11.|3%--|的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______________

Ixj

12.代數(shù)式（爐+2）（二-4的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）

X

13.已知A：=3OC；,設(shè)〃尤)=(%-或)

（I）求〃的值；

(II)求，(x)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

14.已知/(x)=(x-我)"，/(無(wú))的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于128,

(1)求〃的值；

(2)求/(x)的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)；

(3)求/(x)的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng).

答案：

1.A

【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的逆運(yùn)算可知

Cj+2C?+22C^+23C^+---+2nC^=(l+2)〃

所以3"=729-36

所以〃=6

則以+或+碇+…+C=26—C4=26—1=63

故選:A

2.D

【詳解】刀+|=0(—1),2號(hào)3312,

令3r-12=0,即r=4,

.??常數(shù)項(xiàng)為60,

故選：D

3.B

6

【詳解】由題意，不妨設(shè)(2元一1)6=4+4%+/無(wú)2++a6x.

令x=l得：16=/+q+%++4=1，即展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為1.

故選：B

4.C

【詳解】由題意，展開(kāi)式中含召$的項(xiàng)為：

C；(2x)(—y)2yx°(2?+C；(2x)°(—y)3cx(2?=64孫6,

故所求系數(shù)為64.

故選：C.

5.5

【詳解】

：1

c；3"+C,3"T++3+C；=C'3”-1°+C：3"T?f++C「3-1”^+￡；30?1"

=(3+1)"=4"=1024=2i°,即2?”=，解得〃=5.

故答案為：5.

6.4"-1

【詳解】

3C：+9C；+27Q；+...+3"C；；=Ci+3C；+9Q+27￡；+...+3"C；—1

=(1+3)"-1=4"—1.

故答案為4"-1.

7.-1

【詳解】1-2Goi9+/19-…+(-2嚴(yán)嚼

=?1如9.(一2)°+C短?1刈8.(—2),C短?產(chǎn)”?(一2)2+L+器?1。?(一2浮9

=0-2)2。"=一1.

故答案為一1.

8.84.

【詳解】

二項(xiàng)式(X+J)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，

令9-3r=(),解得r=3,

所以1+二)的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為C；=84.

故答案為：84.

9.180

【詳解】

io)10-5r

10-fr

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為7；,+1=C,；(^)(4)=2'Co丁丁

令r=2，可得7；=22。=180，即展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是180.

故答案為:180.

10.10.

【詳解】

解：因?yàn)槎?xiàng)式(?+])5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式7^=q.(x2廣=Q-x'°-3r

令10-3r=4,解得r=2,所以4=穹=10/

所以含.一項(xiàng)的系數(shù)是10.

故答案為：10.

11.216

【詳解】

乙=C：(3x)[-*=C]34，(-2)"1

令4-2〃=0，得r=2

所以常數(shù)項(xiàng)為：7；=C；-34-2-(-2)2=216

故答案為：216

12.3

【解析】

’2—11的通項(xiàng)公式為1旬=G（3）5T（一1），=（一

（%）X~

令2r—10=-2，得，，=4;令2-10=0，得r=5.

.??常數(shù)項(xiàng)為(?I),。+2(-1)5(^=5—2=3

故答案為3.

13.(I)?=8；(H)(=28.

【詳解】

.<n\30〃！n\30〃！

(1)由已知4=30&得：(〃一4)!=(n-5)!5!,(n-4)(n-5)!

120(72-5)!

解得:〃=8.

C1\8劈］々&竺

（II）1一五J展開(kāi)式的通項(xiàng)為小產(chǎn)域⑺飛玄；*球x-

4k

由8--=（）得％=6,即的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為十=28.

rc.5

14.（1）〃=7;（2）7；=/，4=-35/,1=7尸；（3）系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)7；=35/；

系數(shù)最小的項(xiàng)為第4項(xiàng)n=-35d

【詳解】

（1）已知/（x）=（x-；）",

??./（X）的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2"=128,

n=7.

(2)/(x)的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為卻=3.(_1)「；音,

令7-弓為整數(shù)，可得r=0,3,6,

故展開(kāi)式的有理項(xiàng)為Z=x，,4=-35/，4=7廠(chǎng)1

(3)第r+1項(xiàng)的系數(shù)為C；?(T)’，

當(dāng)該系數(shù)最大時(shí)，r為偶數(shù)，且C；最大，此時(shí)，r=4,

故/(x)的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)4=35j；

當(dāng)該系數(shù)最小時(shí)，廠(chǎng)為奇數(shù)，且C；最大，此時(shí)，/'=3,

故f(x)的展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)為第4項(xiàng)《=-35/.

40分鐘課時(shí)作業(yè)強(qiáng)化訓(xùn)練拓展提升

/v5

1.已知（2f+3x+l）-4-1I的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0，則該展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是(

\x）

A.-10B.-7C.10D.9

2.二項(xiàng)式（1—x）””°展開(kāi)式中的第2020項(xiàng)是（）

A.1B.2020*9c.—2020x239D./。2。

x-1]

3.已知------產(chǎn)的展開(kāi)式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）

I2{x）

11

A.-TTC210D.-210

2'°

（a+后『的展開(kāi)式中第7項(xiàng)為（

4.)

A.106a7〃B.96a,6C8413D.36a78

\fx3、7

展開(kāi)式中含x?的項(xiàng)是（

5.

3-Jx)

7

A.第8項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第5項(xiàng)

6.設(shè)函數(shù)=-J，則當(dāng)x>0時(shí)，/（〃x））的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）.

-x2,x>0

A.-70B.-35C.35D.70

7.已知[2/一L）（〃七N*）的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則其展開(kāi)式中尤2

的系數(shù)為（）

A.280B.-280C.35D.-35

/丫

8.若M+二展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

Ix）

A.1B.5C.10D.20

2

9,二項(xiàng)式(x--)"的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大9，則該展

x

開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.-160B.-80C.80D.160

10.+，當(dāng),=1,2,3,4,5,6時(shí)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)表示形式

...................................................................................?

.........................................................................]2I

................................................I33I

..........................................................I4X41

（。+?................$p10$1

（*?+*）*..............................I61s20156I

借助上面的表示形式，判斷/I與“的值分別是（）

A.5,9B.5,10C.6,10D.6,9

二、填空題

11.在形如(a+匕)"=Ca"+C，rt+...+C：a"方+…+C?”展開(kāi)式中，我們把

C；(r=0,1,2,...,〃)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，貝ijC：—C：+第—C；+...+(—1)”黑的值為

12.化簡(jiǎn)：32flV+C：?32"-2+C：?321+...+C；/.32=,

13.住+2卜，一1『的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是,

(2丫

14.二項(xiàng)式/一；展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.

【X'1

15.(x-3)(?+1)7的展開(kāi)式中V的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)

16.(x2+2)L--j的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

17.177--^|二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____

\NX)

18.設(shè)-2)+。2%也++。6%”"，貝心叫)+町+也++，叫)=

19.|-J=］的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值是.(用數(shù)字作答)

20.(x+l)(2x-l)6的展開(kāi)式中無(wú)5的系數(shù)為

四、解答題

21.已知(笈一點(diǎn))”的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

(1)求"的值；

(2)求展開(kāi)式中含產(chǎn)的項(xiàng)的系數(shù)；

(3)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

22.在(6+」產(chǎn)］的展開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，

I2飆)

(1)求〃的值；

(2)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

(3)求展開(kāi)式中含X-的項(xiàng)的系數(shù).

23.已知A：=56C：，且(1—2x)"=%+%工+4%2+。3尤3++anx".

(1)求〃的值；

(2)求號(hào)+學(xué)++'的值.

24.已知二項(xiàng)式(2x+《J(〃eN")的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是

2:5,按要求完成以下問(wèn)題：

(1)求〃的值；

(2)求展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)；

(3)計(jì)算式子《吁+媒?)屐24+C23+煤2?+屐2+《2°的值.

(16,

25.已知(f+i)”展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于----X的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).

【5

(1)求(爐+1)”展開(kāi)式的第2項(xiàng)；

(2)若(a?/+1)”的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)等于54，求a的值.

答案:

1.D

【詳解】(2%2+3%+1)(^4-1］的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為。?

令x=l得=0,解得“=1.

、5+3x+心一1）

+3x+1

&1=唳「（一1）"=（一1）<”

展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

則（2f+3x+I展開(kāi)式的常數(shù)滿(mǎn)足

貝ij廠(chǎng)=4或r=5

則該展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是2X(-1)4C>(-1)5Cl=9

故選：D

2.C

【詳解】

由二項(xiàng)展開(kāi)式。一?°"，可得展開(kāi)式的通項(xiàng)為&|=。嬴(一力’，

所以展開(kāi)式中第2020項(xiàng)為4020=C；落(T)如9=—2020元2。？

故選：C

3.A

【詳解】

_20所以2〃-20=0則〃=10,

2

令Xj可得([I萬(wàn)一1引)=源]所以展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為擊.

故選：A.

4.C

【點(diǎn)睛】

本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

36

」Y--

-3-x-2=(-l)r.32f-7-C；-xrr

7

73

令—r——=r=5

22

故展開(kāi)式中含的項(xiàng)是第6項(xiàng).

故選：C.

6.D

,x<0

【詳解】函數(shù)=X）

-x2,x>0

/（〃x））=/（-/）=1V+攝）=卜_*），

???當(dāng)x>0時(shí)

其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

卻=「信廠(chǎng)U=（一1），3%”

令16—4廠(chǎng)=0,解得r=4;

???展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：

7；=（T）4C；=70.

故選：D.

7.A

【詳解】由題意，2"=128，得〃=7.

XX

其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)01=牌2?。﹡（一廠(chǎng)了=（一1>27"；x,4-3r;

由14—3r=2得r=4,

,展開(kāi)式中含V項(xiàng)的系數(shù)是（T）423"=280.

故選：A.

8.C

【詳解】（f+彳）展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,

令x=l,得（1+。）'=32,解得a=l,

則的展開(kāi)式的通項(xiàng)為7；+=G（x2j；能=C"E5,

令r=3,可得常數(shù)項(xiàng)為C；=l（）.

故選：C.

9.A

【詳解】

由題第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大9,

即