矩陣分析線性變換

矩陣分析線性變換§7.2線性變換的運算第1頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月1．定義設為線性空間V的兩個線性變換，定義它們事實上，一、線性變換的乘積

的乘積為：則也是V的線性變換.第2頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月２．基本性質（1）滿足結合律：（2），E為單位變換（3）交換律一般不成立，即一般地，第3頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.線性空間中，線性變換

而，即第4頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.設A、B為兩個取定的矩陣，定義變換則皆為的線性變換，且對有第5頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月則也是V的線性變換.二、線性變換的和

1．定義設為線性空間V的兩個線性變換，定義它們的和為：事實上，第6頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）0為零變換.（4）乘法對加法滿足左、右分配律：2．基本性質（1）滿足交換律：（2）滿足結合律：第7頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月3．負變換設為線性空間V的線性變換，定義變換為：則也為V的線性變換，稱之為的負變換.注：第8頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月三、線性變換的數(shù)量乘法

1．定義的數(shù)量乘積為：則也是V的線性變換.設為線性空間V的線性變換，定義

k

與第9頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2．基本性質注：線性空間V上的全體線性變換所成集合對于線性變換的加法與數(shù)量乘法構成數(shù)域P上的一個線性空間，記作第10頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月四、線性變換的逆

則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作1．定義設為線性空間V的線性變換，若有V的變換使2．基本性質(1)可逆變換的逆變換也是V的線性變換.第11頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月證：對

是V的線性變換.第12頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)線性變換可逆線性變換是一一對應.證：設為線性空間V上可逆線性變換.任取若則有為單射.其次，對令則且為滿射.故為一一對應.第13頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月若為一一對應，易證的逆映射也為V的線性變換，且故可逆，.線性變換，則可逆當且僅當(3)設是線性空間V的一組基，為V的線性無關.證：設于是因為可逆，由(2)，為單射，又第14頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月而線性無關，所以故線性無關.若線性無關，則它也為V的一組基.因而，對有即有為滿射.第15頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月線性無關若則有其次，任取設即由(2)，為可逆變換.故為一一對應.從而，為單射.第16頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)可逆線性變換把線性無關的向量組變成線性無關的向量組.線性無關.若證：設為線性空間V的可逆變換，則有，又可逆，于是是一一對應，且故線性無關.由線性無關，有第17頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月當時，規(guī)定（單位變換）.五、線性變換的多項式

1．線性變換的冪設為線性空間V的線性變換，n為自然數(shù)，定義稱之為的n次冪.

第18頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月①易證注：②當為可逆變換時，定義的負整數(shù)冪為③一般地，第19頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月設為V的一個線性變換，則2．線性變換的多項式多項式.也是V的一個線性變換，稱為線性變換的第20頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月注：①在中，若則有，即線性變換的多項式滿足加法和乘法交換律.②對有第21頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：練習：設為線性變換，若證：對k作數(shù)學歸納法.當k=2時，若①對①兩端左乘，得對①兩端右乘，得上兩式相加，即得第22頁，課件