古典概型學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修（49張）

§10.1.3古典概型溫故知新

研究隨機(jī)現(xiàn)象，最重要的是知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小.對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率（probability）,事件A的概率用P(A)表示.

我們知道，通過試驗(yàn)和觀察的方法可以得到一些事件的概率估計(jì).但這種方法耗時(shí)多，而且得到的僅是概率的近似值.

能否通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，直接計(jì)算隨機(jī)事件的概率呢？新課導(dǎo)入新課講解思考1

在§10.1.1節(jié)中，我們討論過彩票搖號(hào)試驗(yàn)、拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)及擲一枚質(zhì)地均勻骰子的試驗(yàn).它們的共同特征有哪些？我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，簡(jiǎn)稱古典概型.思考2有限性等可能性有限性等可能性1099998888777766665555思考3[題型一]

古典概型的判斷[解]根據(jù)古典概型的特征進(jìn)行考慮，①③中樣本點(diǎn)有無限多個(gè)，因此不屬于古典概型．④中硬幣不均勻，則“正面朝上”“反面朝上”出現(xiàn)的可能性不相等，不是古典概型．②從含有1的10個(gè)整數(shù)中任取1個(gè)整數(shù)，其樣本點(diǎn)總數(shù)為10，是有限的，且每個(gè)數(shù)取到的可能性相等，故②為古典概型概率問題．[題型一]

古典概型的判斷[變式訓(xùn)練]思考4

一個(gè)班級(jí)中有18名男生、22名女生.采用抽簽的方式，從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生，事件A=“抽到男生”；如何度量事件A發(fā)生的可能性大小?班級(jí)中共有40名學(xué)生，從中隨機(jī)選取一名學(xué)生，選到每個(gè)學(xué)生的可能性都相等，這是一個(gè)古典概型.抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級(jí)學(xué)生數(shù)中所占的比例大小.因此，可以用男生數(shù)與班級(jí)學(xué)生數(shù)的比值來度量.顯然，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中有40個(gè)樣本點(diǎn),而事件A=“抽到男生”包含18個(gè)樣本點(diǎn).因此，事件A發(fā)生的可能性大小為思考5

拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面期上”.如何度量事件B發(fā)生的可能性大小?用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}.共有8個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型.事件B發(fā)生的可能性大小，取決于這個(gè)事件包含的樣本點(diǎn)在樣本空間包含的樣本點(diǎn)中所占的比例大小.因此，可以用事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)與樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)的比值來度量.因?yàn)锽={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))}，所以事件B發(fā)生的可能性大小為

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).古典概型的概率例2單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.如果考生掌握了考査的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生有一題不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率是多少？解：試驗(yàn)有選A、選B、選C、選D共4種可能結(jié)果，試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={A,B,C,D}.考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，表明每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，所以這是一個(gè)古典概型.設(shè)M=“選中正確答案”，因?yàn)檎_答案是唯一的，所以n(M)=1，n(Ω)=4.所以，考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率課本P.234例7[題型二]

簡(jiǎn)單的古典概型的概率計(jì)算思考6

在標(biāo)準(zhǔn)化考試中也有多選題，多選題是從A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中至少有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）.你認(rèn)為單選題和多選題哪種更難選對(duì)？為什么？解：多選題的樣本空間Ω={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD}.考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，表明每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，所以這是一個(gè)古典概型.設(shè)N=“多選題選中正確答案”，因?yàn)檎_答案是唯一的，所以n(N)=1，n(Ω)=15.所以，考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率[題型二]

簡(jiǎn)單的古典概型的概率計(jì)算[變式訓(xùn)練][變式訓(xùn)練]B[題型三]

樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題例3、拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為I號(hào)和II號(hào))，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；(2)求下列事件的概率：A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”，B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”，C=“I號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”.解：(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，I號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與II號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果.用數(shù)字m表示I號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是m，數(shù)字n表示II號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是n，則數(shù)組(m，n)表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn).因此該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(m,n)|

m,n

∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36個(gè)樣本點(diǎn).由于骰子的質(zhì)地均勻，所以各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，因此這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.課本P.235例8

（6，6）

（6，5）

（6，4）

（6，3）

（6，2）（6，1）

（5，6）

（5，5）

（5，4）

（5，3）

（5，2）（5，1）

（4，6）

（4，5）

（4，3）

（4，2）（4，1）

（3，6）

（3，5）

（3，4）

（3，3）（3，2）（3，1）

（2，6）

（2，5）

（2，4）（2，3）

（2，2）（2，1）

（1，6）

（1，5）（1，4）

（1，3）（1，2）（1，1）

（4，4）654321654321Ⅰ號(hào)骰子Ⅱ號(hào)骰子表格法列舉樣本空間中的樣本點(diǎn)所以樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36個(gè)樣本點(diǎn).A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

}有4個(gè)樣本點(diǎn).B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}有6個(gè)樣本點(diǎn).C={(m,n)|m>n},m,n∈{1,2,3,4,5,6}有15個(gè)樣本點(diǎn).課本P.235例8樹狀圖法列舉樣本空間中的樣本點(diǎn)112345621234563123456412345651234566123456所以樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36個(gè)樣本點(diǎn).A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

}有4個(gè)樣本點(diǎn).B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}有6個(gè)樣本點(diǎn).C={(m,n)|m>n},m,n∈{1,2,3,4,5,6}有15個(gè)樣本點(diǎn).課本P.235例8[題型三]

樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題例3、拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為I號(hào)和II號(hào))，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；(2)求下列事件的概率：A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”，B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”，C=“I號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于II號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”.解：課本P.235例8思考7

在例3中，為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號(hào)？如果不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)，會(huì)出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？如果不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)，則不能區(qū)分所拋擲出的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)分別屬于哪枚骰子，如拋擲岀的結(jié)果是1點(diǎn)和2點(diǎn)，有可能第一枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn)，也有可能第二枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn).這樣，(1,2)和(2,1)的結(jié)果將無法區(qū)別.當(dāng)不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)時(shí)，試驗(yàn)的樣本空間Ω1

={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n},共有21個(gè)樣本點(diǎn).n(Ω1)=21.事件A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”的結(jié)果變?yōu)锳={(1,4),(2,3)}，這時(shí)P(A)=2.則思考8同一個(gè)事件的概率，為什么會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)果呢?可以發(fā)現(xiàn)，給兩枚骰子做記號(hào)，36個(gè)結(jié)果都是等可能的；而不給兩枚骰子做記號(hào)，36個(gè)結(jié)果合并為21個(gè)可能結(jié)果時(shí)，(1,1)和(1,2)發(fā)生的可能性大小不等，這不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式計(jì)算概率，因此，例4、袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求下列事件的概率：(1)A="第一次摸到紅球”；(2)B="第二次摸到紅球。(3)AB=“兩次都摸到紅球課本P.236例9解：將兩個(gè)紅球編號(hào)為1,2,三個(gè)黃球編號(hào)為3,4,5.第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，第二次摸球時(shí)都有4種等可能的結(jié)果.將兩次摸球的結(jié)果配對(duì)，組成20種等可能的結(jié)果，用表格可以列出.例4、袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求下列事件的概率：(1)A="第一次摸到紅球”；(2)B="第二次摸到紅球。(3)AB=“兩次都摸到紅球課本P.236例9解：20種等可能的結(jié)果，表格可以列舉.

（5，5）

（5，4）

（5，3）

（5，2）（5，1）

（4，5）

（4，3）

（4，2）（4，1）

（3，5）

（3，4）

（3，3）（3，2）（3，1）

（2，5）

（2，4）（2，3）

（2，2）（2，1）

（1，5）（1，4）

（1，3）（1，2）（1，1）

（4，4）5432154321第一次第二次XXXXX例4、袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求下列事件的概率：(1)A="第一次摸到紅球”；(2)B="第二次摸到紅球。(3)AB=“兩次都摸到紅球課本P.236例9解：(1)第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種(表中第1,2行)，即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以.

(2)第二次摸到紅球的可能結(jié)果有8種(表中第1,2列)，即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},所以.例4、袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求下列事件的概率：(1)A="第一次摸到紅球”；(2)B="第二次摸到紅球。(3)AB=“兩次都摸到紅球課本P.236例9解：(3)事件AB包含2個(gè)可能結(jié)果，即AB={(1,2),(2,1)},所以.[題型三]

樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題[變式訓(xùn)練][變式訓(xùn)練]例5、從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.(1)分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.解：設(shè)第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用數(shù)組(x1,

x2)表示樣本點(diǎn).(1)根據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知：有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間

Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}，共有樣本點(diǎn)16個(gè).課本P.237例10[題型四]

含“有放回”抽取的古典概型問題例5、從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.(1)分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.解：設(shè)第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用數(shù)組(x1,

x2)表示樣本點(diǎn).(1)根據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知：不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間Ω2={(B1,B2),(B1,

G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}，共有樣本點(diǎn)12個(gè).課本P.237例10[題型四]

含“有放回”抽取的古典概型問題例5、從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.(1)分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.解：設(shè)第一次抽取的人記為x1，第二次抽取的人記為x2，則可用數(shù)組(x1,

x2)表示樣本點(diǎn).(1)根據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知：按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間

Ω3={(B1,

G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}，共有樣本點(diǎn)4個(gè).課本P.237例10[題型四]

含“有放回”抽取的古典概型問題例5、從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.(1)分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.解：(2)設(shè)事件A=“抽到兩名男生”，則對(duì)于有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)},有樣本點(diǎn)4個(gè).因?yàn)槌橹袠颖究臻gΩ1中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.因此P(A)=4÷16=0.25.課本P.237例10[題型四]

含“有放回”抽取的古典概型問題例5、從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.(1)分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.解：(2)設(shè)事件A=“抽到兩名男生”，則對(duì)于不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，A={(B1,B2),(B2,B1)},有樣本點(diǎn)2個(gè).因?yàn)槌橹袠颖究臻gΩ2中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.因此P(A)=2÷12

≈0.167.課本P.237例10[題型四]

含“有放回”抽取的古典概型問題例5、從兩名男生(記為B1和B2)、兩名女生(記為G1和G2)中任意抽取兩人.(1)分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比