2023年自考類-公共課-高等數(shù)學(xué)(工本)歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年自考類-公共課-高等數(shù)學(xué)(工本)歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.綜合考點(共25題)1.設(shè)f(x，y)是連續(xù)函數(shù)，則累次積分

2.設(shè)矩形的周長為4，如何選取矩形的長和寬．能使得矩形的面積最大．3.計算二重積分，其中積分區(qū)域D是x2+y2≤R2.4.設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[-π，π)上的表達(dá)式為

(常數(shù)k≠0)

則f(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)在x=π處的值為______．5.求與三個點A(3，7，-4)，B(-5，7，-4)，C(-5，1，-4)的距離都相等的點的軌跡．6.驗證(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某個函數(shù)u(x，y)的全微分，并求出函數(shù)u(x，y)．7.在約束條件x+y=1下，求函數(shù)z=xy的極值．8.方程y'sinx=ylny滿足初始條件=e的特解是______

A．

B．esinx

C．

D．9.計算曲線積分為，其中a，b均為正常數(shù)．L是從點A(2a，0)沿曲線到原點的弧度．(如圖)

10.設(shè)函數(shù)，求全微分.11.計算三重積分，其中Ω：0≤x≤1，12.求函數(shù)f(x，y)=x2-xy+y2的梯度gardf(1，-1).13.設(shè)方程z2+xyz-exy=1確定函數(shù)z=z(x，y)，求14.級數(shù)的收斂區(qū)間為______．15.求曲線3x2+y2-z2=27在點(3，1，1)處的切平面方程和法線方程．16.微分方程e-xdy+e-ydx=0的通解為______．17.將函數(shù)f(x)=e2x展開為x的冪級數(shù)．18.將數(shù)a2分為三個正數(shù)之和，使得它們的乘積最大．19.設(shè)f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，它在一個周期[-π，π]上的表達(dá)式；記f(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為S(x)，求S(1)，S(π)．20.求函數(shù)z=4(x-y)-x2-y2的極值．21.驗證(x+3y)dx+(3x+y)dy在整個Oxy平面內(nèi)是某個二元函數(shù)u(x，y)的全微分，并求這樣的一個u(x，y)．22.計算對弧長的曲線積分∫C(x-y)ds，其中C是直線y-x=2上(-2，0)，(0，2)間的線段．23.設(shè)z=f(x6-y6)可微，則=______．24.設(shè)方程確定了z是x、y的函數(shù)，求25.證明：無窮級數(shù)．第1卷參考答案一.綜合考點1.參考答案：A[解析]本題考查交換二次積分的次序．[要點透析]由外層積分可知0≤y≤1，由內(nèi)層積分可知，即積分區(qū)域在直線y-1=x與圓x2+y2=1(x＞0，y＞0)之間，積分區(qū)域如下圖所示．

變換積分順序

2.參考答案：[考點點擊]主要考查的知識點為條件級值.[要點透析]設(shè)矩形的長為x，寬為y，面積為S，則S=xy，x+y=2

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-2)

解方程組

可得駐點x=1，y=1，λ=-1．

由于駐點惟一，且實際問題存在最大值，故(1，1)是問題的最大值點，最大值為S=1．3.參考答案：本題主要考查的知識點為用極坐標(biāo)計算二重積分.

4.參考答案：[解析]本題是有關(guān)傅里葉級數(shù)的問題．

x=π是[-π，π)的端點，所以

5.參考答案：本題考查空間中兩點之間的距離軌跡．設(shè)滿足題意的點為P(x，y，z)，則應(yīng)有

|AP|=|BP|=|CP|，

即|AP|2=|BP|2=|CP|2．

又|AP|2=(x-3)2+(y-7)2+(z+4)2，

|BP|2=(x+5)2+(y-7)2+(z+4)2，

|CP|2=(x+5)2+(y-1)2+(z+4)2，

由|AP|2=|BP|2=|CP|2化簡得

-3x-7y+4z+37=5x-7y+4z+45

=5x-y+4z+21，

從而所求點的軌跡為

即6.參考答案：P(x，y)=3x2y+8xy2，Q(x，y)=x3y+8x2y+12yey所以，所給的微分表達(dá)式是某個函數(shù)u(x，y)的全微分．7.參考答案：方法一：由題可知：

由拉格朗日乘數(shù)法知；

∴

故x=y=時，z=xy取極值．

∴極大值為z=．

方法二：由題可知：

z=xy=x(1-x)，其中0≤x≤1

由不等式知識知：

，當(dāng)x=1-x時，即x=時取極大值．

故極大值為．8.參考答案：D[解析]本題考查微分方程的特解．

將選項A、B、C、D中的函數(shù)，代入初始條件

=e，可知只有選項B、D滿足．

令f(x)=esinx，g(x)=，則有

f'(x)=esinxcosx，g'(x)=，

故f'(x)sinx=esinx·cosx·sinx≠esinx·sinx=f(x)lnf(x)

=g(x)·lng(x)．答案為D．9.參考答案：L不是閉曲線，但是正向閉曲線，記它圍成的閉區(qū)域為D，又的參數(shù)方程為10.參考答案：解：∵

∴

.11.參考答案：本題主要考查的知識點為用柱面坐標(biāo)計算三重積分．

12.參考答案：本題主要考查的知識點為函數(shù)的梯度.

fx=2x-y，fy=-x+2y，則

故gradf(1，1)=(3，-3).13.參考答案：本題主要考查的知識點為隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

令F(x，y，z)=z2+xyz-exy-1，則

14.參考答案：[-2,4)令x-1=t，則，當(dāng)x=3時，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)x=-3時，級數(shù)條件收斂，故的收斂區(qū)間為[-3，3)，又x-1=t∴x∈[-2，4)15.參考答案：本題考查曲線在某點的切平面方程和法線方程．令F(x，y，z)=3x2+y2-z2-27，則有Fx=6x，F(xiàn)y=2y，F(xiàn)z=-2z．于是Fx(3，1，1)=18，F(xiàn)y(3，1，1)=2，F(xiàn)z(3，1，1)=-2．切平面方程為：18(x-3)+2(y-1)-2(z-1)=0，即9x+y-z=27．法線方程為：即．16.參考答案：ex+ey=C[解析]由e-xdy+e-ydx=0分離變量得eydy=-exdx．兩端積分得ey=-ex+C，即ex+ey=C．17.參考答案：解：∵

18.參考答案：解：設(shè)所求三個正數(shù)為x，y，z，則x+y+z=a2，

令S=xyz，則可設(shè)F(x，y，z)=xyz+λ(x+y+z-a2)，

令Fx=yz+λ=0，

Fy=xz+λ=0，

Fz=xy+λ=0，

x+y+z=a2，

可解得

則三個正數(shù)均為時，它們的乘積最大．19.參考答案：由收斂定理得(∵x=π是區(qū)間[-π,π]的端點)20.參考答案：本題考查多元函數(shù)的極值的求解．

令z=f(x，y)=4(x-y)-x2-y2

∴

令①、②式等于0，即

得：

又∵fxx(x，y)=-2，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=-2．

故(2，-2)為其極大值點．

∴z(2，-2)=8．21.參考答案：解：P(x，y)=x+3y，Q(x，y)=3x+y，

∵在整個Oxy平面內(nèi)，

∴(x+3y)dx+(3x+y)dy在整個Oxy平面內(nèi)是某個二元函數(shù)u(x，y)的全微分．

可取

22.參考