數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）5-7 三角函數(shù)的應(yīng)用（教案）

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用考綱要求會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型．知識(shí)解讀知識(shí)點(diǎn)①函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ知識(shí)點(diǎn)②三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中的2種類型及其解題策略1．已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2．把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題，其關(guān)鍵是建模．題型講解題型一、三角函數(shù)模型例1．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、頻率和初相分別為()A．2,4π，eq\f(π,3) B．2，eq\f(1,4π)，eq\f(π,3)C．2，eq\f(1,4π)，－eq\f(π,3) D．2,4π，－eq\f(π,3)【答案】C【解析】由題意知A＝2，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)＝eq\f(1,4π)，初相為－eq\f(π,3).例2．如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()A．5 B．6C．8 D．10【答案】C【解析】由題干圖得ymin＝k－3＝2，則k＝5，∴ymax＝k＋3＝8.例3．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，9月份價(jià)格最低，為5千元，則7月份的出廠價(jià)格為________元．【答案】6000【解析】作出函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖：三角函數(shù)模型為y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由題意知A＝eq\f(1,2)(9000－5000)＝2000，B＝7000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).將(3,9000)看成函數(shù)圖象的第二個(gè)特殊點(diǎn)，則有eq\f(π,6)×3＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝0，故f(x)＝2000sineq\f(π,6)x＋7000(1≤x≤12，x∈N*)．∴f(7)＝2000×sineq\f(7π,6)＋7000＝6000(元)．故7月份的出廠價(jià)格為6000元．題型二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用例1．一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8m,12min旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)P0離地面2m，風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從P0開始按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)P離地面距離h(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系式是()A．h(t)＝－8sineq\f(π,6)t＋10B．h(t)＝－coseq\f(π,6)t＋10C．h(t)＝－8sineq\f(π,6)t＋8D．h(t)＝－8coseq\f(π,6)t＋10【答案】D【解析】設(shè)h(t)＝Acosωt＋B，因?yàn)?2min旋轉(zhuǎn)一周，所以eq\f(2π,ω)＝12，所以ω＝eq\f(π,6)，由于最大值與最小值分別為18,2.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－A＋B＝18，,A＋B＝2，))解得A＝－8，B＝10.所以h(t)＝－8coseq\f(π,6)t＋10.例2．(多選)(2022·佛山一中月考)摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)t分鐘，當(dāng)t＝15時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處．以下關(guān)于摩天輪的說法中，正確的為()A．摩天輪離地面最近的距離為4米B．若旋轉(zhuǎn)t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，則h＝－60cos

eq\f(π,15)t＋68C．若在t1，t2時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則t1＋t2的最小值為30D．?t1，t2∈[0,20]，使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為90米【答案】BC【解析】由題意知，摩天輪離地面最近的距離為128－120＝8(米)，故A不正確；t分鐘后，轉(zhuǎn)過的角度為eq\f(π,15)t，則h＝60－60cos

eq\f(π,15)t＋8＝－60cos

eq\f(π,15)t＋68，故B正確；h＝－60cos

eq\f(π,15)t＋68，周期為eq\f(2π,\f(π,15))＝30，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，若t1＋t2取最小值，則t1，t2∈[0,30]，又高度相等，則t1，t2關(guān)于t＝15對(duì)稱，則eq\f(t1＋t2,2)＝15，則t1＋t2＝30，故C正確；令0≤eq\f(π,15)t≤π，解得0≤t≤15，令π≤eq\f(π,15)t≤2π，解得15≤t≤30，則h在t∈[0,15]上單調(diào)遞增，在t∈[15,20]上單調(diào)遞減，當(dāng)t＝15時(shí)，hmax＝128，當(dāng)t＝20時(shí)，h＝－60cos

eq\f(π,15)×20＋68＝98>90，所以h＝90在t∈[0,20]只有一個(gè)解，故D不正確．例3．某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)．下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：月份x1234收購價(jià)格y(元/斤)6765選用一個(gè)三角函數(shù)模型來近似描述收購價(jià)格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為__________________.【答案】y＝－coseq\f(π,2)x＋6【解析】設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由題意得A＝1，B＝6，T＝4,因?yàn)門＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(π,2)，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋φ))＋6.因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y＝6，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝0，故eq\f(π,2)＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－eq\f(π,2)，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6＝－coseq\f(π,2)x＋6.例4．如圖，點(diǎn)A，B分別是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1和2的圓上的動(dòng)點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)A從初始位置A0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，sin\f(π,3)))開始，按逆時(shí)針方向以角速度2rad/s做圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B從初始位置B0(2，0)開始，按順時(shí)針方向以角速度2rad/s做圓周運(yùn)動(dòng)．記t時(shí)刻，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2．(1)求t＝eq\f(π,4)時(shí)，A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)若y＝y(tǒng)1＋y2，求y關(guān)于時(shí)間t(t>0)的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，y的取值范圍．【答案】(1)eq\r(7)(2)y＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))(t>0)y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),2)))【解析】(1)連接AB，OA，OB(圖略)，當(dāng)t＝eq\f(π,4)時(shí)，∠xOA＝eq\f(π,2)＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6)，∠xOB＝eq\f(π,2)，所以∠AOB＝eq\f(2π,3)．又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2coseq\f(2π,3)＝7，即A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\r(7)．(2)依題意，y1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，y2＝－2sin2t，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))－2sin2t＝eq\f(\r(3),2)cos2t－eq\f(3,2)sin2t＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，即函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))(t>0)，當(dāng)t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，2t＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，故當(dāng)t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),2)))．達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．最大值為eq\f(1,2)，最小正周期為eq\f(2π,3)，初相為eq\f(π,6)的函數(shù)表達(dá)式是()A．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6))) B．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))C．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))) D．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))【答案】D【解析】由最小正周期為eq\f(2π,3)，排除A、B；由初相為eq\f(π,6)，排除C.2．如圖所示，一個(gè)單擺以O(shè)A為始邊，OB為終邊的角θ(－π＜θ＜π)與時(shí)間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式θ＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，則當(dāng)t＝0時(shí)，角θ的大小及單擺頻率是()A．2，eq\f(1,π) B．eq\f(1,2)，eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)，π D．2，π【答案】B【解析】當(dāng)t＝0時(shí)，θ＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝eq\f(1,2)，由函數(shù)解析式易知單擺周期為eq\f(2π,2)＝π，故單擺頻率為eq\f(1,π).3．在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時(shí)間相距12h，低潮時(shí)水深為9m，高潮時(shí)水深為15m．每天潮漲潮落時(shí)，該港口水的深度y(m)關(guān)于時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象可以近似地看成函數(shù)y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的圖象，其中0≤t≤24，且t＝3時(shí)漲潮到一次高潮，則該函數(shù)的解析式可以是()A．y＝3sineq\f(π,6)t＋12 B．y＝－3sineq\f(π,6)t＋12C．y＝3sineq\f(π,12)t＋12 D．y＝3coseq\f(π,6)t＋12【答案】A【解析】由相鄰兩次高潮的時(shí)間間隔為12h，知T＝12，且T＝12＝eq\f(2π,ω)(ω＞0)，得ω＝eq\f(π,6)，又由高潮時(shí)水深15m和低潮時(shí)水深9m，得A＝3，k＝12，由題意知當(dāng)t＝3時(shí)，y＝15.故將t＝3，y＝15代入解析式y(tǒng)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋12中，得3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×3＋φ))＋12＝15，得eq\f(π,6)×3＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)．所以該函數(shù)的解析式可以是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋2kπ))＋12＝3sineq\f(π,6)t＋12.4．(多選)(2022·西南大學(xué)附中模擬)水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A(3，－3eq\r(3))出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，其縱坐標(biāo)滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≥0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))，則下列敘述正確的是()A．水斗作周期運(yùn)動(dòng)的初相為－eq\f(π,3)B．在水斗開始旋轉(zhuǎn)的60秒(含)中，其高度不斷增加C．在水斗開始旋轉(zhuǎn)的60秒(含)中，其最高點(diǎn)離平衡位置的縱向距離是3eq\r(3)D．當(dāng)水斗旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，其和初始點(diǎn)A的距離為6【答案】AD【解析】對(duì)于A，由A(3，－3eq\r(3))，知R＝eq\r(32＋－3\r(3)2)＝6，T＝120，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,60)；當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)A位置，有－3eq\r(3)＝6sinφ，解得sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，故A正確；對(duì)于B，可知f(t)＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,60)t－\f(π,3)))，當(dāng)t∈(0,60]，eq\f(π,60)t－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以函數(shù)f(t)先增后減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)t∈(0,60]，eq\f(π,60)t－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,60)t－\f(π,3)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，所以點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)t＝100時(shí)，eq\f(π,60)t－eq\f(π,3)＝eq\f(4π,3)，P的縱坐標(biāo)為y＝－3eq\r(3)，橫坐標(biāo)為x＝－3，所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正確．5．(多選)如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)時(shí)，則()A．點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米D．點(diǎn)P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為h＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t＋\f(π,3)))＋2【答案】ABC【解析】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h(米)和時(shí)間t(秒)的函數(shù)解析式為h＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋φ))＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)))，由題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(hmax＝A＋B＝6，,hmin＝A－B＝－2，,T＝\f(2π,ω)＝60，,h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝Asin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω·0＋φ))＋B＝0，,))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝4，,B＝2，,ω＝\f(2π,T)＝\f(π,30)，,φ＝－\f(π,6)，))故h＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋2．故D錯(cuò)誤；對(duì)于A，令h＝6，即h＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋2，解得：t＝20，故A正確；對(duì)于B，令t＝155，代入h＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋2，解得：h＝2，故B正確；對(duì)于C，令t＝50，代入h＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋2，解得：h＝－2，故C正確．6．某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm，秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t＝0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合，若將A，B兩點(diǎn)的距離d(cm)表示成時(shí)間t(s)的函數(shù)，則d＝________，其中t∈[0，60]．【答案】10sineq\f(πt,60)【解析】秒針1s轉(zhuǎn)eq\f(π,30)弧度，ts后秒針轉(zhuǎn)了eq\f(π,30)t弧度，如圖所示，sineq\f(πt,60)＝eq\f(\f(d,2),5)，所以d＝10sineq\f(πt,60).7．(2022·北京海淀期中)唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子的半徑為3m，它以1rad/s的角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．輪子外邊沿有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到船底的距離是H(單位：m)，輪子旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t(單位：s)．當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P在輪子的最高點(diǎn)處．(1)當(dāng)點(diǎn)P第一次入水時(shí)，t＝____________；(2)當(dāng)t＝t0時(shí)，函數(shù)H(t)的瞬時(shí)變化率取得最大值，則t0的最小值是____________．【答案】eq\f(2,3)πeq\f(3,2)π【解析】(1)當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P在輪子最高點(diǎn)處．由圖可知，輪子距離船底1m，半徑3m，則H＝rcost＋1＋r＝3cost＋4，t≥0．當(dāng)點(diǎn)P第一次入水時(shí)，水面高2．5m，即H＝2．5．代入H＝3cost＋4得，cost＝－eq\f(1,2)．第一次入水，即在滿足cost＝－eq\f(1,2)的情況下滿足條件t≥0后可取的最小值，t＝eq\f(2π,3)．(2)瞬時(shí)變化率取得最大值，即|H′(t)|最大，H′(t)＝－3sint．當(dāng)－3sint＝3時(shí)，瞬時(shí)變化率取得最大值．此時(shí)，t0的最小值為eq\f(3π,2)．8．健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120～140mmHg和60～90mmHg.心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值．記某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時(shí)間(min)，試回答下列問題：(1)求函數(shù)p(t)的周期；(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；(3)求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)，并與正常值比較．【答案】(1)eq\f(1,80)(2)80(3)見解析【解析】(1)T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)(min)．(2)f＝eq\f(1,T)＝80.(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．即收縮壓為140mmHg，舒張壓為90mmHg.此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)為140/90mmHg，在正常值范圍內(nèi)．課后提升1．如圖所示，一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8m，每12min旋轉(zhuǎn)一周，最低點(diǎn)離地面2m．若風(fēng)車翼片從最低點(diǎn)按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，則該翼片的端點(diǎn)P離地面的距離h(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系是()A．h＝8coseq\f(π,6)t＋10 B．h＝－8coseq\f(π,3)t＋10C．h＝－8sineq\f(π,6)t＋10 D．h＝－8coseq\f(π,6)t＋10【答案】D【解析】依題意可設(shè)h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，所以ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，則h＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πt,6)＋φ))＋10，當(dāng)t＝0時(shí)，8sinφ＋10＝2，得sinφ＝－1，可取φ＝－eq\f(π,2)，所以h＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋10＝－8coseq\f(π,6)t＋10.2．示波器上顯示的曲線是正弦曲線形狀，記錄到兩個(gè)坐標(biāo)M(2，4)和P(6，0)，已知M，P是曲線上相鄰的最高點(diǎn)和平衡位置，則得曲線的方程是________．【答案】y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4)))【解析】由題意可設(shè)曲線方程為y＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．因?yàn)閑q\f(T,4)＝4，所以T＝16，所以ω＝eq\f(2π,16)＝eq\f(π,8)，所以y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ)).又曲線經(jīng)過點(diǎn)M(2，4)，所以eq\f(π,8)×2＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，所以y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))).3．一物體相對(duì)于某一固定位置的位移y(cm)和時(shí)間t(s)之間的一組對(duì)應(yīng)值如下表所示，則可近似地描述該物體的位置y和時(shí)間t之間的關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)式為________.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0【答案】y＝－4coseq\f(5π,2)t【解析】設(shè)y＝Asin(ωt＋φ)，則從表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5π,2).又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－eq\f(π,2)，故y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，即y＝－4coseq\f(5π,2)t.4．如圖所示為一個(gè)觀覽車示意圖，該觀覽車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離為h.(1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過ts到達(dá)OB，求h與t間關(guān)系的函數(shù)解析式．【答案】(1)h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))(2)h＝4．8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＋5.6，t∈[0，＋∞)【解析】(1)過點(diǎn)O作地面的平行線ON，過點(diǎn)B作ON的垂線BM交ON于點(diǎn)M.當(dāng)eq\f(π,2)＜θ≤π時(shí)，∠BOM＝θ－eq\f(π,2)，h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))；當(dāng)0≤θ≤eq\f(π,2)，π＜θ≤2π時(shí)，上述解析式也適合．綜上所述，h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)因?yàn)辄c(diǎn)A在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的角速度是eq\f(π,30)rad/s，所以ts轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為eq\f(π,30)t，所以h＝4．8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＋5.6，t∈[0，＋∞)．5．某帆板集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時(shí)間t(0≤t≤24，單位：時(shí))呈周期性變化，每天時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t(時(shí))03691215182124y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)從y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中選一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的7時(shí)到19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．【答案】(1)見解析(2)y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)(3)見解析【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由(1)知選擇y＝Asin(ωt＋φ)＋b較合適．令A(yù)＞0，ω＞0，|φ|＜π.由圖可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.故所求擬合模型的解析式為y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(3)由y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1≥0.8，得sineq\f(π