數(shù)學(xué)人教A版高中選擇性必修一（2019新編）2-5-3 直線與圓的方程的應(yīng)用（教案）

直線與圓的方程的應(yīng)用類型一：直線與圓的方程在平面幾何中的應(yīng)用例1．AB為圓的定直徑，CD為直徑，自D作AB的垂線DE，延長(zhǎng)ED到P，使|PD|=|AB|，求證：直線CP必過(guò)一定點(diǎn)．證明：以線段AB所在的直線為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如下圖．設(shè)圓的方程為x2+y2=r2，直徑AB位于x軸上，動(dòng)直徑為CD．令C（x0，y0），則D（―x0，―y0），∴P（―x0，―y0―2r）．∴直線CP的方程為．即(y0+r)x―(y+r)x0=0．∴直線CP過(guò)直線：x=0，y+r=0的交點(diǎn)（0，―r），即直線CP過(guò)定點(diǎn)（0，―r）．舉一反三：【變式1】如圖，在圓O上任取C點(diǎn)為圓心，作一圓與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓D交于E、F，求證：EF平分CD．證明：令圓O方程為x2+y2=1．①EF與CD相交于H，令C（x1，y1），則可得圓C的方程(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0．②①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0．③③式就是直線EF的方程，設(shè)CD的中點(diǎn)為H＇，其坐標(biāo)為，將H＇代入③式，得．即H＇在EF上，∴EF平分CD．類型二：直線與圓的方程在代數(shù)中的應(yīng)用例2．已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2+4x+3=0，求的最大值與最小值．【解析】（1）如圖所示，設(shè)M（x，y），則點(diǎn)M在圓O：(x+2)2+y2=1上．令Q（1，2），則設(shè)，即kx―y―k+2=0．過(guò)Q作圓O1的兩條切線QA、QB，則直線QM夾在兩切線QA、QB之間，∴kAQ≤kQM≤kQB．又由O1到直線kx―y―k+2=0的距離為1，得：，即．∴的最大值為，最小值為．舉一反三：【變式1】已知點(diǎn)A（―3，0），B（0，3），若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，則△PAB面積的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心C（1，0），半徑r=1，當(dāng)過(guò)P的直線和AB平行時(shí)，△PAB的面積最小，∵A（－3，0），B（0，3），∴AB的方程為，即x－y+3=0，此時(shí)圓心C到直線AB的距離，則△PAB的邊長(zhǎng)，AB邊上的高，則△PAB面積，故答案為：【變式2】設(shè)函數(shù)和，已知當(dāng)x∈[－4，0]時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】因?yàn)?，所以，即，分別畫出和的草圖，利用數(shù)形結(jié)合法，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)取到最大值，由圓心到直線的距離為2，求出，即得答案．類型三：直線與圓的方程的綜合應(yīng)用例3．已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，圓心在x軸上方，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，被x軸分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】設(shè)圓心C（0，a），a＞0，則半徑為CA，根據(jù)圓被x軸分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，可得圓被x軸截得的弦對(duì)的圓心角為，故有，解得a=1，半徑，故圓的方程為．舉一反三：【變式1】已知圓x2+y2+x―6y+m=0與直線x+2y―3=0相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥OQ，求m的值．【解析】由得代入，化簡(jiǎn)得：5y2-20y+12+m=0，y1+y2=4，設(shè)的坐標(biāo)分別為，，由可得：===0解得：例4．已知：以點(diǎn)（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)．（1）當(dāng)t=2時(shí)，求圓C的方程；（2）求證：△OAB的面積為定值；（3）設(shè)直線y=－2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．【解析】（1）當(dāng)t=2時(shí)，圓心為C（2，1），∴圓C的方程為(x―2)2+(y―1)2=5；（2）由題設(shè)知，圓C的方程為，化簡(jiǎn)得．當(dāng)y=0時(shí)，x=0或2t，則A（2t，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=0或，則，∴為定值．（3）∵OM=ON，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，∴C、H、O三點(diǎn)共線，KMN=－2，則直線OC的斜率，∴t=2或t=－2．∴圓心為C（2，1）或C（―2，―1），∴圓C的方程為(x―2)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5．由于當(dāng)圓方程為(x+2)2+(y+1)2=5時(shí)，直線2x+y―4=0到圓心的距離d＞r，此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去，∴所求的圓C的方程為(x―2)2+(y―1)2=5．【鞏固練習(xí)】1．自點(diǎn)A（－1，4）作圓(x－2)2+(y－3)2=1的切線，則切線長(zhǎng)為（）．A．B．3C．D．51．【答案】B【解析】圓心C（2，3），，∴切線長(zhǎng)．2．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（）．A．0.5小時(shí)B．1小時(shí)C．1.5小時(shí)D．2小時(shí)2．【答案】B【解析】A（0，0），B（40，0）．設(shè)臺(tái)風(fēng)的移動(dòng)方向是射OC，則射線OC的方程是y=x（x≥0），以B為圓心，30為半徑長(zhǎng)的圓與射線OC交于M和N兩點(diǎn)，則當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心在線段MN上移動(dòng)時(shí)，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)．點(diǎn)B到直線OC的距離是，則有（千米），因此B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（小時(shí)）3．已知點(diǎn)A（－2，0），B（0，2），點(diǎn)C是圓x2+y2－2x=0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最大值是（）．A．6B．8C．D．3．【答案】D【解析】直線AB的方程是，，則當(dāng)△ABC面積取最大值時(shí)，邊AB上的高即點(diǎn)C到直線AB的距離d取最大值．又圓心M（1，0），半徑r=1，點(diǎn)M到直線的距離是，d的最大值是，△ABC面積的最大值是4．設(shè)圓C：，直線l：y=x+b．若圓C上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，則b的取值范圍是（）A．B．C．D．4．【答案】D【解析】由圓C的方程：，可得圓C的圓心為原點(diǎn)O（0，0），半徑為2若圓C上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1，則O到直線l：y=x+b的距離d小于1直線l的一般方程為：x－y+b=0，∴，解得5．已知圓的方程為x2+y2－6x－8y=0．設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)（3，5）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）．A．B．C．D．5．【答案】B【解析】圓心坐標(biāo)是（3，4），半徑是5，圓心到點(diǎn)（3，5）的距離為1，根據(jù)題意最短弦BD和最長(zhǎng)弦（即圓的直徑）AC垂直，故最短弦的長(zhǎng)為，所以四邊形ABCD的面積為．6．已知圓C與直線x－y=0及x－y－4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為（）．A．(x+1)2+(y－1)2=2B．(x－1)2+(y+1)2=2C．(x－1)2+(y－1)2=2D．(x+1)2+(y+1)2=26.【答案】B【解析】因?yàn)閮蓷l切線x―y=0與x―y―4=0平行，故它們之間的距離即為圓的直徑，故，所以．設(shè)圓心坐標(biāo)為P（a，―a），則點(diǎn)P到兩條切線的距離都等于半徑，故，，解得a=1，故圓心為（1，―1），所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x―1)2+(y+1)2=27．直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my－4=0交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱，則k+m=（）A．－1B．1C．0D．27．【答案】B【解析】由題可知：直線x+2y=0是線段MN的中垂線，得，解之得k=2，所以圓方程為x2+y2+2x+mh－4=0，圓心坐標(biāo)為，將代入x+2y=0，解得m=－1，得k+m=1．8．以直線2x+y－4=0與兩坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)為圓心，過(guò)另一個(gè)交點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_______．8．【解析】令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴直線與兩軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，4）和B（2，0），以A為圓心過(guò)B的圓的半徑為，∴以A為圓心過(guò)B的圓的方程為；以B為圓心過(guò)A的圓的半徑為，∴以B為圓心過(guò)A的圓方程為，故過(guò)另一個(gè)交點(diǎn)的圓的方程為：或．9．若不同兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（a，b）、（3－b，3－a），則線段PQ的垂直平分線的斜率為_(kāi)_______；圓(x－2)2+(y－3)2=1關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為_(kāi)_______．9．【答案】―1x2+(y―1)2=1【解析】由題可知，又k1kPQ=―1k1=―1，圓關(guān)于直線對(duì)稱，找到圓心（2，3）的對(duì)稱點(diǎn)（0，1），又圓的半徑不變，易得x2+(y―1)2=110．過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2+y2－2x－4y+4=0相交所得弦的長(zhǎng)為2，則該直線的方程為_(kāi)_______．10．【答案】2x―y=0【解析】設(shè)所求直線方程為y=kx，故圓心到直線距離等于，即圓心位于直線kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直線方程為2x―y=0．11．設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)（4，1），則兩圓心的距離|C1C2|=．11．【答案】8【解析】依題意，可設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，a）、圓半徑為r，其中r=a＞0，因此圓方程是(x―a)2+(y―a)2=a2，由圓過(guò)點(diǎn)（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，則該方程的兩根分別是圓心C1，C2的橫坐標(biāo)，．12．已知點(diǎn)M（－1，0），N（1，0），曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍．（1）求曲線E的方程；（2）已知m≠0，設(shè)直線l：x－my－1=0交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mx+y－m=0交曲線E于B，D兩點(diǎn)，若CD的斜率為－1時(shí)，求直線CD的方程．12．【解析】（1）設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由題意，，整理得x2+y2－4x+1=0，即(x－2)2+y2=3，∴曲線E的方程為(x－2)2+y2=3．（2）由題知l1⊥l2，且兩條直線均恒過(guò)點(diǎn)N（1，0），設(shè)曲線E的圓心為E，則E（2，0），線段CD的中點(diǎn)為P，則直線EP：y=x－2，設(shè)直線CD：y=－x+t，由，解得點(diǎn)，由圓的幾何性質(zhì)，，而，|ED|2=3，，解之得t=0，或t=3，∴直線CD的方程為y=―x，或y=―x+3．13．已知點(diǎn)P（x，y）在圓x2+y2－6x－6y+14=0上．（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值與最小值；（3）求x+y的最大值與最小值．13．【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，變形為(x―3)2+(y―3)2=4．（1）表示圓上的點(diǎn)P與原點(diǎn)連線的斜率，顯然PO與圓相切時(shí)，斜率最大或最?。O(shè)切線方程為y=kx，即kx―y=0，由圓心C（3，3）到切線的距離等于半徑長(zhǎng)2，可得，解得，所以，的最大值為，最小值為．（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圓上的點(diǎn)P到E（―1，0）的