【解析】2023年浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊1.6 尺規(guī)作圖 同步測試（培優(yōu)版）

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2023年浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊1.6尺規(guī)作圖同步測試（培優(yōu)版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2022·威海）過直線l外一點P作直線l的垂線PQ．下列尺規(guī)作圖錯誤的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023·順平模擬）如圖，在中，，在BC上取一點P，使得．根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可以用直尺成功找到點P的是（）

A．

B．

C．

D．

3．（2023·橋東模擬）如圖，已知鈍角，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留了作圖痕跡．

步驟1：以為圓心，長為半徑畫?、?；

步驟2：以為圓心，長為半徑畫?、?，交弧①于點；

步驟3：連接，交的延長線于點．

則下列說法錯誤的是（）

A．是中邊上的高

B．

C．平分

D．作圖依據(jù)是：①兩點確定一條直線；②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上

4．（2023·路南模擬）下面是教師出示的作圖題．

已知：線段，，小明用如圖所示的方法作，使，上的高．

作法：①作射線，以點為圓心、※為半徑畫弧，交射線于點；②分別以點，為圓心、△為半徑畫弧，兩弧交于點，；③作直線，交于點；④以點為圓心、為半徑在上方畫孤，交直線于點，連接，．

對于橫線上符號代表的內(nèi)容，下列說法錯誤的是（）

A．※代表“線段a的長”B．△代表“任意長”

C．△代表“大于的長”D．代表“線段的長”

5．（2022八下·南山期末）如圖，已知鈍角△ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．

步驟1∶以C為圓心，CA為半徑畫?、?；

步驟2∶以B為圓心，BA為半徑畫?、?，交弧①于點D；

步驟3∶連接AD，交BC延長線于點H．

下列敘述正確的是()

A．BH垂直平分線段ADB．AC平分∠BAD

C．S△ABC=BCAHD．AB=AD

6．（2023七下·達州期中）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號代表的內(nèi)容（）

如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點P、Q；（2）作射線EG，并以點E為圓心◎長為半徑畫弧交EG于點D；（3）以點D為圓心⊙長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F；（4）作，∠DEF即為所求作的角．

A．●表示點EB．◎表示PQ

C．⊙表示OQD．表示射線EF

7．（2023·朝陽模擬）如圖，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，我們可以用尺規(guī)作圖的方法，過的邊上一點作的平行線．有以下順序錯誤的作圖步驟：①作射線；②以O(shè)為圓心，以任意長為半徑畫圓弧，分別交、于點C、D；③以F為圓心，長為半徑畫圓弧，交前面的圓弧于點G；④在邊上取一點E，以E為圓心，長為半徑畫圓弧，交于點F．這些作圖步驟的正確順序為（）

A．①②③④B．③②④①C．②④③①D．④③①②

8．（2023八上·扶溝期末）如圖是三個基本作圖的作圖痕跡，關(guān)于①，②，③，④四條弧下列說法中錯誤的是（）

A．?、偈且渣cO為圓心，以任意長為半徑所作的弧

B．?、谑且渣cB為圓心，以任意長為半徑所作的弧

C．?、凼且渣cA為圓心，以大于的長為半徑所作的弧

D．?、苁且渣cC為圓心，以大于的長為半徑所作的弧

9．（2022八上·北侖期中）如圖的中，，且為上一點.今打算在上找一點，在上找一點，使得與全等，以下是甲、乙兩人的作法：

甲連接，作的中垂線分別交、于點、點，則、兩點即為所求

乙過作與平行的直線交于點，過作與平行的直線交于點，則、兩點即為所求

對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）

A．兩人皆正確B．兩人皆錯誤

C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確

10．（2023七下·南山期末）如圖，在中，分別以A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點，作直線MN，分別交線段BC，AC于點D，E，若的周長為，則的周長為（）

A．B．C．D．

二、填空題（每題3分，共18分）

11．（2023七下·天橋期末）如圖，在中，，利用尺規(guī)在上分別截??；分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點E，作射線交于點F，若，點H為線段上的一動點，則的最小值是．

12．（2022七下·沈陽期中）如圖，長方形中，，P為上一動點，將點A沿翻折至點E，請畫出點E恰好落在邊時，點P的位置．我們有如下作圖：①表示射線，②表示線段，③表示以B為圓心，為半徑的弧，④表示射線與的交點P，⑤表示線段的中點F．請寫出正確的作圖順序．（只填序號）

13．（2022七下·海陵期末）如圖，在正方形方格中，各正方形的頂點叫做格點，三個頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形。圖中是格點三角形，請你找出方格中所有與全等，且以A為頂點的格點三角形．這樣的三角形共有個（除外）．

14．（2022七下·寧波開學(xué)考）如圖，碼頭、火車站分別位于A，B兩點，直線a和b分別表示鐵路與河流.

①兩點確定一條直線；②兩點之間線段最短；③垂線段最短．

（1）從碼頭A到火車站B怎樣走最近，請畫圖，并選擇理由（填序號）．

（2）從碼頭A到鐵路a怎樣走最近，請畫圖，并選擇理由（填序號）．

15．（2023·吉林）如圖，已知線段，其垂直平分線的作法如下：①分別以點和點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點；②作直線．上述作法中滿足的條作為1.（填“”，“”或“”）

16．利用尺規(guī)作三角形,有三種基本類型:

⑴已知三角形的兩邊及其夾角,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是“”;

⑵已知三角形的兩角及其夾邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是“”;

⑶已知三角形的三邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是“”.

三、作圖題（共8題，共72分）

17．（2023七下·和平期末）如圖，在中，

（1）作的角平分線交于，作線段的垂直平分線分別交于，交于，垂足為（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接，則與邊的位置關(guān)系是。

18．（2023·朝陽模擬）圖①、圖②、圖③均是由小正方形組成的的網(wǎng)格，的三個頂點A、B、C均在格點（網(wǎng)格線的交點）上，請按要求在給定的網(wǎng)格中，僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法．

（1）在圖①中的上確定一點D，連結(jié)，使．

（2）在圖②中的上確定一點E，連結(jié)，使．

（3）在圖③中的上確定一點F，連結(jié)，使．

19．（2023七上·懷柔期末）如圖，測繪平面上有兩個點A，B．應(yīng)用量角器和圓規(guī)完成下列畫圖或測量：

①連接AB，點C在點B北偏東30°方向上，且BC=2AB，作出點C（保留作圖痕跡）；

②在（1）所作圖中，D為BC的中點，連接AD，AC，畫出∠ADC的角平分線DE交AC于點E；

③在①②所作圖中，用量角器測量∠BDE的大?。ň_到度）．

20．（2023七上·合肥期末）課堂上，老師在黑板上出了一道題：在同一平面內(nèi)，若∠AOB=70°，∠BOC=15°24′36″,求∠AOC的度數(shù).

下面是七年級同學(xué)小明在黑板上寫的解題過程：

解：根據(jù)題意可畫出圖（如圖1）

因為∠AOB=70°，∠BOC=15°24′36″,

所以∠AOC=∠AOB+∠BOC

=70°+15°24′36″

=85°24′36″

即得到∠AOC=85°24′36″

同學(xué)們在下面議論，都說小明解答不全面，還有另一種情況.請按下列要求完成這道題的求解.

（1）依照圖1，用尺規(guī)作圖的方法將另一種解法的圖形在圖2中補充完整.

（2）結(jié)合第（1）小題的圖形寫出求∠AOC的度數(shù)的完整過程.

21．僅用無刻度的直尺作出符合下列要求的圖形.

（1）如圖甲，在射線OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.試過點O作射線OM，使得OM將∠POQ平分；

（2）如圖乙，在射線OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直線上）.試過點O作一對射線OM、ON，使得OM⊥ON.

22．（2023七下·龍華期末）綜合題。

（1）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直線l過點C，分別過A、B兩點作AD⊥l于點D，作BE⊥l于點E.求證：DE=AD+BE.

（2）如圖，已知Rt△ABC，∠C=90°.用尺規(guī)作圖法作出△ABC的角平分線AD；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（3）若AB=10，CD=3，求△ABD的面積.

23．（2022·交城模擬）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：

一次有意義的動手實踐活動——在格點圖中巧作角平分線

實踐背景

在一次動手實踐課上，老師提出如下問題：在如圖1所示由邊長為1的小正方形組成的格點圖中，點，，都在小正方形的頂點處，僅用無刻度的直尺作出的角平分線．

成果展示

小明、小亮展示了如下作法：

小明：如圖2，在格點圖中取格點，．連接，交于點．作出射線．

∵四邊形是矩形，∴（依據(jù)1）．

∵，∴平分．

小亮：如圖3，在格點圖中取格點．連接，與小正方形的邊交于點．則．

∵，．

∴（依據(jù)2）．

∴，即平分．

學(xué)習(xí)任務(wù)：

（1）實踐反思：

①請?zhí)顚懗錾鲜霾牧现械囊罁?jù)1和依據(jù)2．

依據(jù)1：▲；依據(jù)2：▲．

②請根據(jù)小亮的作法，證明．

（2）創(chuàng)新再探

請你根據(jù)實踐背景問題要求，采用不同于小明和小亮的作法，描出作圖過程中的所取得的點，作出的角平分線（不寫作法，不需要說明理由）．

24．（2023七下·蘇州期末）探索角的平分線的畫法.

（1）畫法1：利用直尺和圓規(guī)

請在圖中用直尺和圓規(guī)畫出的平分線；（不寫畫法不需證明，保留作圖痕跡）

（2）畫法2：利用等寬直尺.

如圖，將一把等寬直尺的一邊依次落在的兩條邊上，再過另一邊分別畫直線，兩條直線相交于點O.畫射線，則射線是的平分線.這種角的平分線的畫法依據(jù)的是______.

A．B．C．D．

（3）畫法3：利用刻度尺

已知：如圖，在的兩條邊上分別畫，，連接、，交點為點O，畫射線.

求證：是的平分線.

（4）畫法4：利用你手里帶有刻度的一塊直角三角尺，設(shè)計一種與上述畫法不同的角的平分線的畫法.請在圖中畫出的平分線，寫出畫法，并加以證明.

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】作圖-垂線

【解析】【解答】A、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，

AP=BP，AQ=BQ，

點P在線段AB的垂直平分線上，點Q在線段AB的垂直平分線上，

直線PQ垂直平分線線段AB，即直線l垂直平分線線段PQ，

本選項不符合題意；

B、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，

AP=AQ，BP=BQ，

點A在線段PQ的垂直平分線上，點B在線段PQ的垂直平分線上，

直線AB垂直平分線線段PQ，即直線l垂直平分線線段PQ，

本選項不符合題意；

C、C項無法判定直線PQ垂直直線l，本選項符合題意；

D、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，

AP=AQ，BP=BQ，

點A在線段PQ的垂直平分線上，點B在線段PQ的垂直平分線上，

直線AB垂直平分線線段PQ，即直線l垂直平分線線段PQ，

本選項不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)垂線的作圖方法及合理性逐項判斷即可。

2．【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；尺規(guī)作圖的定義；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】如圖，

根據(jù)題意可知：

作AB的垂直平分線交BC于點P，

所以PA＝PB，

所以PC＝BCPB＝BCPA，

故答案為：A．

【分析】依據(jù)是“垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”

3．【答案】C

【知識點】作圖-平行線；尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：如圖，連接，，

由作圖步驟可知，，，

由①兩點確定一條直線，

②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，

可知為的垂直平分線，即，，

故答案為：C．

【分析】先求出，，再對每個選項一一判斷求解即可。

4．【答案】B

【知識點】尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：正確作法如下：

①作射線，以點為圓心、線段a的長為半徑畫弧，交射線于點；②分別以點，為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點，；③作直線，交于點；④以點為圓心、線段的長為半徑在上方畫孤，交直線于點，連接，．

故答案為：B．

【分析】根據(jù)作法求解即可。

5．【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-垂線

【解析】【解答】解：A．如圖連接CD、BD，

∵CA=CD，BA=BD，

∴點C、點B在線段AD的垂直平分線上，

∴直線BC是線段AD的垂直平分線，

故A符合題意；

B．CA不一定平分∠BDA，故B不符合題意；

C．應(yīng)該是S△ABC=BCAH，故C不符合題意；

D．根據(jù)條件AB不一定等于AD，故D不符合題意．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)所給的步驟，結(jié)合圖形，對每個選項一一判斷即可。

6．【答案】D

【知識點】作圖-角

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，●表示點O，◎表示OP或OQ，⊙表示PQ，表示射線EF

故答案為：D．

【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的步驟分析即可求解．

7．【答案】C

【知識點】作圖-角

【解析】【解答】用尺規(guī)作圖作一個角等于已知角的方法如下：

以O(shè)為圓心，以任意長為半徑畫圓弧，分別交OA、OB于點C、D；在邊OB上取一點E，以E為圓心，OC長為半徑畫圓弧，交OB于點F，以F為圓心，CD長為半徑畫圓弧，交前面的圓弧于點G；作射線EG；則正確的作圖步驟是②④③①．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法判斷求解即可。

8．【答案】B

【知識點】作圖-角；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：A、作一個角等于已知角中，?、偈且渣cO為圓心，以任意長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意；

B、作線段垂直平分線時，?、谑且渣cB為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法錯誤，符合題意；

C、作線段垂直平分線時，?、凼且渣cA為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意；

D、作角平分線時，弧④是以點C為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)作一個角等于已知角、作線段垂直平分線、作角平分線的步驟進行判斷.

9．【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）；作圖-三角形

【解析】【解答】解：如圖1，垂直平分，

，，

而，

≌，所以甲正確；

如圖2，，，

四邊形為平行四邊形，

，，

而，

≌，所以乙正確.

故答案為：A.

【分析】甲：連接AD，由垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PD，QA=QD，根據(jù)SSS證明△APQ≌△DPQ；乙：先證四邊形為平行四邊形，可得，，根據(jù)SSS證明△APQ≌△DPQ；從而判斷即可.

10．【答案】D

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由作圖可知：MN是線段AC的垂直平分線，

∴AE=CE=3cm，AD=CD，

∴AC=AE+CE=6cm，

∵△ABD的周長為AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，

∴△ABC的周長為AB+BC+AC=16cm.

故答案為：D.

【分析】由作圖可知：MN是線段AC的垂直平分線，由線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=CE=3cm，AD=CD，進而根據(jù)三角形周長的計算方法、等量代換及線段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根據(jù)三角形周長的計算方法即可算出答案.

11．【答案】2

【知識點】垂線段最短；角平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：由作圖過程知：BF平分∠ABC，∴點F到BA的距離=點F到BC的距離，∵∠C=90°，∴FC⊥BC，∴點F到BC的距離為FC=2，∴點F到BA的距離=2，根據(jù)垂線段最短知，F(xiàn)H的最小值為點F到BA的距離，即FH的最小值為2.

故第1空答案為：2.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得點F到BA的距離等于CF的長度，再根據(jù)垂線段最短得出F到BA的距離就是FH的最小值。

12．【答案】③②⑤①④

【知識點】尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：作法如下：

（1）以B為圓心，長為半徑畫弧，交CD于點E，

（2）連接AE，

（3）取線段的中點F，

（4）作射線BF，

（5）射線與的交點為點P，

點P即為所求，

故答案為：③②⑤①④．

【分析】根據(jù)作圖要求及順序求解即可。

13．【答案】5

【知識點】三角形全等的判定（SSS）；作圖-三角形

【解析】【解答】解：如圖，，AB=1.

一共有5個.

故答案為：5.

【分析】觀察△ABC的三邊長分別為1，，，利用SSS可得到與△ABC全等的格點三角形的個數(shù).

14．【答案】（1）如圖，連接AB，理由：兩點之間線段最短.

故答案為：②.

（2）如圖，過點A作AC⊥a于點C，理由：垂線段最短

故答案為：③.

【知識點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；垂線段最短；作圖-垂線；作圖-直線、射線、線段

【解析】【分析】（1）從碼頭A到火車站B的距離就是點與點的距離，利用兩點之間線段最短進行解答即可.

（2）由題意可知是點到直線的距離，因此利用垂線段最短，畫出圖形即可.

15．【答案】＞

【知識點】尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：∵，

∴半徑長度，

即．

故答案為：．

【分析】先求出半徑長度，再計算求解即可。

16．【答案】SAS；ASA；SSS

【知識點】三角形全等的判定；尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：根據(jù)SAS—兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；ASA—兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；SSS—三邊分別相等的兩個三角形全等.

故答案：(1)SAS、(2)ASA、(3)SSS

【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理，即可得到作圖依據(jù)。

17．【答案】（1）解：BD為所求，EF為所求，如下圖，

（2）DF與邊AB的位置關(guān)系是DFAB

【知識點】平行線的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；角平分線的定義；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：(2)是線段的垂直平分線，

，

，

是的角平分線，

，

，

，

故答案為：.

【分析】(1)角平分線的作法：分別以點B為圓心，任意長度為半徑畫弧與AB、BC相交，分別以這兩個交點為圓心，相同長度為半徑交于一點，連接這個交點與點B的射線交AC于點D，故BD為的角平分線；

垂直平分線的作法：分別以點B、D為圓心，大于BD的長度為半徑畫弧，連接兩條弧交點的直線分別交AB于E，交BC于F，故EF為BD的垂直平分線.

(2)利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，進而證明DF與AB互相平行.

18．【答案】（1）解：由勾股定理可知：，則，即為等腰三角形，

∵，

∴平分，則，

即：為的中點，

則，連接以為對角線的矩形的對角線，交點即為點，如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

如圖所示，即為所求；

（3）解：∵，，

∴，

∵，

∴，即，

由圖可知：，，，則，

∴，

∵，

∴，

即與交點即為所求點，如圖所示．

【知識點】作圖-角

【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出BC=5，再求出為等腰三角形，最后結(jié)合題意作圖即可；

（2）先求出，再求出，最后作圖即可；

（3）先求出，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出，最后作圖即可。

19．【答案】解：①②如圖：

③∠BDE=115°．

【知識點】作圖-角

【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，再通過測量求出角的大小即可。

20．【答案】（1）解：如圖，

（2）解：當(dāng)OC在∠AOB的外部時，

∠AOC=∠AOB+∠BOC

=70°+15°24′36″

=85°24′36″；

當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時，

∠AOC=∠AOB-∠BOC

=70°-15°24′36″

=54°35′24″

即得到∠AOC=54°35′24″或85°24′36″．

【知識點】角的運算；作圖-角

【解析】【分析】（1）在同一平面內(nèi)，若∠BOA與∠BOC可能存在兩種情況，即當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部或OC在∠AOB的外部；（2）當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時，∠AOC=∠BOA-∠BOC=54°35′24″．

21．【答案】（1）解：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后再利用SSS定理證明△ACO≌△BCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOC，進而得到射線OC就是∠MON的平分線

（2）解：．由（1）可知OM、ON分別是∠POQ、∠QOG的平分線，則∠MON=90°。

【知識點】角平分線的定義；作圖-角的平分線

【解析】【分析】（1）由題意可知，連接AF、BE，交于點C，過點C作射線OM即可。

（2）利用同樣的方法作射線ON平分∠QOG，OM平分∠POQ，利用角平分線的定義及平角的定義，可證得∠MON=90°，再利用垂直的定義，可證得結(jié)論。

22．【答案】（1）證明：∵∠ACB=90

∴∠ACD+∠BCE=90

∵AD⊥l

∴∠ACD+∠CAD=90

∴∠CAD=∠BCE

∵BE⊥l，AD⊥l

∴∠ADC=∠BEC=90

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBE

∴AD=CE，CD=BE

∵DE=CD+CE

∴DE=AD+BE．

（2）

（3）解：過點D作DE⊥AB于E

∵DC⊥AC，DE⊥AB

∴DE=DC=3

∴

【知識點】尺規(guī)作圖的定義

【解析】【分析】（1）根據(jù)“同角的余角相等”可證得∠CAD=∠BCE，再由AC=BC，∠ADC=∠BEC=90，可證明△ACD≌△CBE，則DE=AD+BE=CD+CE．（2）角平分線的尺規(guī)作圖方法，過A畫弧交角兩邊的兩點，再分別這兩點為圓心畫兩條弧交于一點，連接A與這一點，交BC于點D，即AD為該角的角平分線；（3）由角平分線的性質(zhì)，可作DE⊥AB于E，DE=DC=3，則可求三角形ABD的面積.

23．【答案】（1）解：①矩形的對角線互相平分；HL；②如圖，在格點圖中取點，．

∵，，．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

（2）解：作法不唯一．如下：

【知識點】三角形全等的判定；作圖-角的平分線

【解析】【解答】（1）解：實踐反思：①（1）矩形的對角線互相平分；HL．

（2）創(chuàng)新再探：作法不唯一．如下：

取格點，使得，

作菱形，則是的角平分線

【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)求解即可；

②先證出，可得，再利用角的運算和等量代換求出，即可得到；

（2）根據(jù)要求作出圖形即可。

24．【答案】（1）解：如圖①中，射線即為所求.

（2）D

（3）解：如圖③中，

在和中，

，

，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

在和中，

，

，

，

平分.

（4）解：如圖，在的兩邊上截取，利用直角尺作，，交于，作射線，射線即為所求.

理由：在和中，

，

，

，

射線平分.

【知識點】三角形全等的判定；角平分線的定義；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：（2）如圖②中，是等寬直尺，

點到兩邊的距離相等，根據(jù)可以利用全等三角形的性質(zhì)證明是角平分線.

故答案為：D.

【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作出角平分線即可；

（2）點到兩邊的距離相等，根據(jù)證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明是角平分線；

（3）先證明，再證明，最后證明，可得，即得結(jié)論；

（4）在的兩邊上截取，利用直角尺作，，交于，作射線，射線即為所求.理由：，可得，即得結(jié)論.

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2023年浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊1.6尺規(guī)作圖同步測試（培優(yōu)版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2022·威海）過直線l外一點P作直線l的垂線PQ．下列尺規(guī)作圖錯誤的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】作圖-垂線

【解析】【解答】A、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，

AP=BP，AQ=BQ，

點P在線段AB的垂直平分線上，點Q在線段AB的垂直平分線上，

直線PQ垂直平分線線段AB，即直線l垂直平分線線段PQ，

本選項不符合題意；

B、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，

AP=AQ，BP=BQ，

點A在線段PQ的垂直平分線上，點B在線段PQ的垂直平分線上，

直線AB垂直平分線線段PQ，即直線l垂直平分線線段PQ，

本選項不符合題意；

C、C項無法判定直線PQ垂直直線l，本選項符合題意；

D、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，

AP=AQ，BP=BQ，

點A在線段PQ的垂直平分線上，點B在線段PQ的垂直平分線上，

直線AB垂直平分線線段PQ，即直線l垂直平分線線段PQ，

本選項不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)垂線的作圖方法及合理性逐項判斷即可。

2．（2023·順平模擬）如圖，在中，，在BC上取一點P，使得．根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可以用直尺成功找到點P的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；尺規(guī)作圖的定義；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】如圖，

根據(jù)題意可知：

作AB的垂直平分線交BC于點P，

所以PA＝PB，

所以PC＝BCPB＝BCPA，

故答案為：A．

【分析】依據(jù)是“垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”

3．（2023·橋東模擬）如圖，已知鈍角，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留了作圖痕跡．

步驟1：以為圓心，長為半徑畫?、伲?/p>

步驟2：以為圓心，長為半徑畫弧②，交弧①于點；

步驟3：連接，交的延長線于點．

則下列說法錯誤的是（）

A．是中邊上的高

B．

C．平分

D．作圖依據(jù)是：①兩點確定一條直線；②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上

【答案】C

【知識點】作圖-平行線；尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：如圖，連接，，

由作圖步驟可知，，，

由①兩點確定一條直線，

②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，

可知為的垂直平分線，即，，

故答案為：C．

【分析】先求出，，再對每個選項一一判斷求解即可。

4．（2023·路南模擬）下面是教師出示的作圖題．

已知：線段，，小明用如圖所示的方法作，使，上的高．

作法：①作射線，以點為圓心、※為半徑畫弧，交射線于點；②分別以點，為圓心、△為半徑畫弧，兩弧交于點，；③作直線，交于點；④以點為圓心、為半徑在上方畫孤，交直線于點，連接，．

對于橫線上符號代表的內(nèi)容，下列說法錯誤的是（）

A．※代表“線段a的長”B．△代表“任意長”

C．△代表“大于的長”D．代表“線段的長”

【答案】B

【知識點】尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：正確作法如下：

①作射線，以點為圓心、線段a的長為半徑畫弧，交射線于點；②分別以點，為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點，；③作直線，交于點；④以點為圓心、線段的長為半徑在上方畫孤，交直線于點，連接，．

故答案為：B．

【分析】根據(jù)作法求解即可。

5．（2022八下·南山期末）如圖，已知鈍角△ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．

步驟1∶以C為圓心，CA為半徑畫弧①；

步驟2∶以B為圓心，BA為半徑畫?、?，交?、儆邳cD；

步驟3∶連接AD，交BC延長線于點H．

下列敘述正確的是()

A．BH垂直平分線段ADB．AC平分∠BAD

C．S△ABC=BCAHD．AB=AD

【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-垂線

【解析】【解答】解：A．如圖連接CD、BD，

∵CA=CD，BA=BD，

∴點C、點B在線段AD的垂直平分線上，

∴直線BC是線段AD的垂直平分線，

故A符合題意；

B．CA不一定平分∠BDA，故B不符合題意；

C．應(yīng)該是S△ABC=BCAH，故C不符合題意；

D．根據(jù)條件AB不一定等于AD，故D不符合題意．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)所給的步驟，結(jié)合圖形，對每個選項一一判斷即可。

6．（2023七下·達州期中）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號代表的內(nèi)容（）

如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點P、Q；（2）作射線EG，并以點E為圓心◎長為半徑畫弧交EG于點D；（3）以點D為圓心⊙長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F；（4）作，∠DEF即為所求作的角．

A．●表示點EB．◎表示PQ

C．⊙表示OQD．表示射線EF

【答案】D

【知識點】作圖-角

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，●表示點O，◎表示OP或OQ，⊙表示PQ，表示射線EF

故答案為：D．

【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的步驟分析即可求解．

7．（2023·朝陽模擬）如圖，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，我們可以用尺規(guī)作圖的方法，過的邊上一點作的平行線．有以下順序錯誤的作圖步驟：①作射線；②以O(shè)為圓心，以任意長為半徑畫圓弧，分別交、于點C、D；③以F為圓心，長為半徑畫圓弧，交前面的圓弧于點G；④在邊上取一點E，以E為圓心，長為半徑畫圓弧，交于點F．這些作圖步驟的正確順序為（）

A．①②③④B．③②④①C．②④③①D．④③①②

【答案】C

【知識點】作圖-角

【解析】【解答】用尺規(guī)作圖作一個角等于已知角的方法如下：

以O(shè)為圓心，以任意長為半徑畫圓弧，分別交OA、OB于點C、D；在邊OB上取一點E，以E為圓心，OC長為半徑畫圓弧，交OB于點F，以F為圓心，CD長為半徑畫圓弧，交前面的圓弧于點G；作射線EG；則正確的作圖步驟是②④③①．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法判斷求解即可。

8．（2023八上·扶溝期末）如圖是三個基本作圖的作圖痕跡，關(guān)于①，②，③，④四條弧下列說法中錯誤的是（）

A．?、偈且渣cO為圓心，以任意長為半徑所作的弧

B．弧②是以點B為圓心，以任意長為半徑所作的弧

C．?、凼且渣cA為圓心，以大于的長為半徑所作的弧

D．?、苁且渣cC為圓心，以大于的長為半徑所作的弧

【答案】B

【知識點】作圖-角；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：A、作一個角等于已知角中，?、偈且渣cO為圓心，以任意長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意；

B、作線段垂直平分線時，?、谑且渣cB為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法錯誤，符合題意；

C、作線段垂直平分線時，弧③是以點A為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意；

D、作角平分線時，弧④是以點C為圓心，以大于的長為半徑所作的弧，故說法正確，不符合題意，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)作一個角等于已知角、作線段垂直平分線、作角平分線的步驟進行判斷.

9．（2022八上·北侖期中）如圖的中，，且為上一點.今打算在上找一點，在上找一點，使得與全等，以下是甲、乙兩人的作法：

甲連接，作的中垂線分別交、于點、點，則、兩點即為所求

乙過作與平行的直線交于點，過作與平行的直線交于點，則、兩點即為所求

對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）

A．兩人皆正確B．兩人皆錯誤

C．甲正確，乙錯誤D．甲錯誤，乙正確

【答案】A

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）；作圖-三角形

【解析】【解答】解：如圖1，垂直平分，

，，

而，

≌，所以甲正確；

如圖2，，，

四邊形為平行四邊形，

，，

而，

≌，所以乙正確.

故答案為：A.

【分析】甲：連接AD，由垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PD，QA=QD，根據(jù)SSS證明△APQ≌△DPQ；乙：先證四邊形為平行四邊形，可得，，根據(jù)SSS證明△APQ≌△DPQ；從而判斷即可.

10．（2023七下·南山期末）如圖，在中，分別以A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點，作直線MN，分別交線段BC，AC于點D，E，若的周長為，則的周長為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：由作圖可知：MN是線段AC的垂直平分線，

∴AE=CE=3cm，AD=CD，

∴AC=AE+CE=6cm，

∵△ABD的周長為AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，

∴△ABC的周長為AB+BC+AC=16cm.

故答案為：D.

【分析】由作圖可知：MN是線段AC的垂直平分線，由線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得AE=CE=3cm，AD=CD，進而根據(jù)三角形周長的計算方法、等量代換及線段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根據(jù)三角形周長的計算方法即可算出答案.

二、填空題（每題3分，共18分）

11．（2023七下·天橋期末）如圖，在中，，利用尺規(guī)在上分別截?。环謩e以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點E，作射線交于點F，若，點H為線段上的一動點，則的最小值是．

【答案】2

【知識點】垂線段最短；角平分線的性質(zhì)；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：由作圖過程知：BF平分∠ABC，∴點F到BA的距離=點F到BC的距離，∵∠C=90°，∴FC⊥BC，∴點F到BC的距離為FC=2，∴點F到BA的距離=2，根據(jù)垂線段最短知，F(xiàn)H的最小值為點F到BA的距離，即FH的最小值為2.

故第1空答案為：2.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得點F到BA的距離等于CF的長度，再根據(jù)垂線段最短得出F到BA的距離就是FH的最小值。

12．（2022七下·沈陽期中）如圖，長方形中，，P為上一動點，將點A沿翻折至點E，請畫出點E恰好落在邊時，點P的位置．我們有如下作圖：①表示射線，②表示線段，③表示以B為圓心，為半徑的弧，④表示射線與的交點P，⑤表示線段的中點F．請寫出正確的作圖順序．（只填序號）

【答案】③②⑤①④

【知識點】尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：作法如下：

（1）以B為圓心，長為半徑畫弧，交CD于點E，

（2）連接AE，

（3）取線段的中點F，

（4）作射線BF，

（5）射線與的交點為點P，

點P即為所求，

故答案為：③②⑤①④．

【分析】根據(jù)作圖要求及順序求解即可。

13．（2022七下·海陵期末）如圖，在正方形方格中，各正方形的頂點叫做格點，三個頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形。圖中是格點三角形，請你找出方格中所有與全等，且以A為頂點的格點三角形．這樣的三角形共有個（除外）．

【答案】5

【知識點】三角形全等的判定（SSS）；作圖-三角形

【解析】【解答】解：如圖，，AB=1.

一共有5個.

故答案為：5.

【分析】觀察△ABC的三邊長分別為1，，，利用SSS可得到與△ABC全等的格點三角形的個數(shù).

14．（2022七下·寧波開學(xué)考）如圖，碼頭、火車站分別位于A，B兩點，直線a和b分別表示鐵路與河流.

①兩點確定一條直線；②兩點之間線段最短；③垂線段最短．

（1）從碼頭A到火車站B怎樣走最近，請畫圖，并選擇理由（填序號）．

（2）從碼頭A到鐵路a怎樣走最近，請畫圖，并選擇理由（填序號）．

【答案】（1）如圖，連接AB，理由：兩點之間線段最短.

故答案為：②.

（2）如圖，過點A作AC⊥a于點C，理由：垂線段最短

故答案為：③.

【知識點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；垂線段最短；作圖-垂線；作圖-直線、射線、線段

【解析】【分析】（1）從碼頭A到火車站B的距離就是點與點的距離，利用兩點之間線段最短進行解答即可.

（2）由題意可知是點到直線的距離，因此利用垂線段最短，畫出圖形即可.

15．（2023·吉林）如圖，已知線段，其垂直平分線的作法如下：①分別以點和點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點；②作直線．上述作法中滿足的條作為1.（填“”，“”或“”）

【答案】＞

【知識點】尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：∵，

∴半徑長度，

即．

故答案為：．

【分析】先求出半徑長度，再計算求解即可。

16．利用尺規(guī)作三角形,有三種基本類型:

⑴已知三角形的兩邊及其夾角,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是“”;

⑵已知三角形的兩角及其夾邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是“”;

⑶已知三角形的三邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是“”.

【答案】SAS；ASA；SSS

【知識點】三角形全等的判定；尺規(guī)作圖的定義

【解析】【解答】解：根據(jù)SAS—兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；ASA—兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；SSS—三邊分別相等的兩個三角形全等.

故答案：(1)SAS、(2)ASA、(3)SSS

【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理，即可得到作圖依據(jù)。

三、作圖題（共8題，共72分）

17．（2023七下·和平期末）如圖，在中，

（1）作的角平分線交于，作線段的垂直平分線分別交于，交于，垂足為（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接，則與邊的位置關(guān)系是。

【答案】（1）解：BD為所求，EF為所求，如下圖，

（2）DF與邊AB的位置關(guān)系是DFAB

【知識點】平行線的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；角平分線的定義；作圖-角的平分線；作圖-線段垂直平分線

【解析】【解答】解：(2)是線段的垂直平分線，

，

，

是的角平分線，

，

，

，

故答案為：.

【分析】(1)角平分線的作法：分別以點B為圓心，任意長度為半徑畫弧與AB、BC相交，分別以這兩個交點為圓心，相同長度為半徑交于一點，連接這個交點與點B的射線交AC于點D，故BD為的角平分線；

垂直平分線的作法：分別以點B、D為圓心，大于BD的長度為半徑畫弧，連接兩條弧交點的直線分別交AB于E，交BC于F，故EF為BD的垂直平分線.

(2)利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，進而證明DF與AB互相平行.

18．（2023·朝陽模擬）圖①、圖②、圖③均是由小正方形組成的的網(wǎng)格，的三個頂點A、B、C均在格點（網(wǎng)格線的交點）上，請按要求在給定的網(wǎng)格中，僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法．

（1）在圖①中的上確定一點D，連結(jié)，使．

（2）在圖②中的上確定一點E，連結(jié)，使．

（3）在圖③中的上確定一點F，連結(jié)，使．

【答案】（1）解：由勾股定理可知：，則，即為等腰三角形，

∵，

∴平分，則，

即：為的中點，

則，連接以為對角線的矩形的對角線，交點即為點，如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

如圖所示，即為所求；

（3）解：∵，，

∴，

∵，

∴，即，

由圖可知：，，，則，

∴，

∵，

∴，

即與交點即為所求點，如圖所示．

【知識點】作圖-角

【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出BC=5，再求出為等腰三角形，最后結(jié)合題意作圖即可；

（2）先求出，再求出，最后作圖即可；

（3）先求出，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出，最后作圖即可。

19．（2023七上·懷柔期末）如圖，測繪平面上有兩個點A，B．應(yīng)用量角器和圓規(guī)完成下列畫圖或測量：

①連接AB，點C在點B北偏東30°方向上，且BC=2AB，作出點C（保留作圖痕跡）；

②在（1）所作圖中，D為BC的中點，連接AD，AC，畫出∠ADC的角平分線DE交AC于點E；

③在①②所作圖中，用量角器測量∠BDE的大?。ň_到度）．

【答案】解：①②如圖：

③∠BDE=115°．

【知識點】作圖-角

【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，再通過測量求出角的大小即可。

20．（2023七上·合肥期末）課堂上，老師在黑板上出了一道題：在同一平面內(nèi)，若∠AOB=70°，∠BOC=15°24′36″,求∠AOC的度數(shù).

下面是七年級同學(xué)小明在黑板上寫的解題過程：

解：根據(jù)題意可畫出圖（如圖1）

因為∠AOB=70°，∠BOC=15°24′36″,

所以∠AOC=∠AOB+∠BOC

=70°+15°24′36″

=85°24′36″

即得到∠AOC=85°24′36″

同學(xué)們在下面議論，都說小明解答不全面，還有另一種情況.請按下列要求完成這道題的求解.

（1）依照圖1，用尺規(guī)作圖的方法將另一種解法的圖形在圖2中補充完整.

（2）結(jié)合第（1）小題的圖形寫出求∠AOC的度數(shù)的完整過程.

【答案】（1）解：如圖，

（2）解：當(dāng)OC在∠AOB的外部時，

∠AOC=∠AOB+∠BOC

=70°+15°24′36″

=85°24′36″；

當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時，

∠AOC=∠AOB-∠BOC

=70°-15°24′36″

=54°35′24″

即得到∠AOC=54°35′24″或85°24′36″．

【知識點】角的運算；作圖-角

【解析】【分析】（1）在同一平面內(nèi)，若∠BOA與∠BOC可能存在兩種情況，即當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部或OC在∠AOB的外部；（2）當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時，∠AOC=∠BOA-∠BOC=54°35′24″．

21．僅用無刻度的直尺作出符合下列要求的圖形.

（1）如圖甲，在射線OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.試過點O作射線OM，使得OM將∠POQ平分；

（2）如圖乙，在射線OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直線上）.試過點O作一對射線OM、ON，使得OM⊥ON.

【答案】（1）解：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后再利用SSS定理證明△ACO≌△BCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOC，進而得到射線OC就是∠MON的平分線

（2）解：．由（1）可知OM、ON分別是∠POQ、∠QOG的平分線，則∠MON=90°。

【知識點】角平分線的定義；作圖-角的平分線

【解析】【分析】（1）由題意可知，連接AF、BE，交于點C，過點C作射線OM即可。

（2）利用同樣的方法作射線ON平分∠QOG，OM平分∠POQ，利用角平分線的定義及平角的定義，可證得∠MON=90°，再利用垂直的定義，可證得結(jié)論。

22．（2023七下·龍華期末）綜合題。

（1）如圖，在△ABC中，AC=BC