2021-2022學(xué)年上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高一（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高一（下）開

學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共16.0分）

1.函數(shù)y=a*<+1?>o且a彳1）的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）

A.(0,1)B.(1,1)c.(2,0)D.(2,2)

2.下列終邊相同的角是（）

A.kn+］與今，kEZB.kji+；與督，kEZ

C./CTT+B與2/CTT土kEZD.(2/c+1)TT與(4k±1)TT,keZ

oo

3.設(shè)/（X）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時，/0）=2'+2%+”8為常數(shù)），則

f（T）=（）

A.3B.1C.-1D.-3

，—l,x<—1

4.已知函數(shù)/'(x)=a/_%+i,gQ)=.%,一1<%<i,若函數(shù)y=/(%)-g(x)恰有

,l,x>1

兩個零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,+口)B.(-a>,0)U(0,l)

C.(—oo,—1)U(1,+co)D.(—co,0)U(0,2)

二、填空題（本大題共13小題，共52.0分）

5.若集合M={x|k/+x-（A+1）=0}中只有一個元素，則實數(shù)k=.

6.設(shè)a：x>2,B：x>a,且a是夕的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是.

7.不等式等21的解集是.

3-X

8.已知扇形的弧長為羊，半徑為2.則該扇形的圓心角a=，面積S=

9.已知s出a+cosa=貝（Jsiziacosa=.

11A

10.已知a>0,b>0f且ab=1,則h+77—77的最小值為.

11.已知loga3=m,loga4=n,則

12.已知幕函數(shù)/(%)=€R),對于(0,+8)上的任意兩個數(shù)%i，%2(%1工%2)，有

回回>0,貝必的取值范圍為_____.

小一切

13.函數(shù)y=(}iT值域為.

14.若關(guān)于x的不等式(a-1)產(chǎn)+2(a-l)x-4>0的解集為。，則實數(shù)a的取值范圍是

15.已知關(guān)于x的不等式組+7)x+7k<0僅有一個整數(shù)解，則實數(shù)卜的取值

范圍__.

16.已知函數(shù)/(外=卷？：：丁若/，(T)］=T，則實數(shù)a=.

17.已知當(dāng)［0,1］時，函數(shù)y=(ax—1)2的圖象與丫=百+a的圖象有且只有一個交

點(diǎn)，則正實數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共32.0分)

18.已知函數(shù)f(x)={：；；(；(：目)°)，若則％=.

2

19.解關(guān)于x的不等式：loga(x+3)>loga(3+2x-x),(a>0,a1).

20.設(shè)集合M={x|-a<x<a+1],/V={x|-1<x<3].

(1)當(dāng)a=2時，求MnN；

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(2)若xGM是xGN的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

21.已知定義域為R的函數(shù)/(霜=肅^是奇函數(shù)，

(1)求a,b的值；

(2)若對任意的tGR,不等式—2t)+/(2t2-/c)<0恒成立，求k的取值范圍.

22.已知某氣墊船的最大船速是48海里/時，船每小時使用的燃料費(fèi)用和船速的平方成

正比.當(dāng)船速為30海里/時時，船每小時的燃料費(fèi)用為600元，而其余費(fèi)用(無論船

速多少)都是每小時864元.船從甲地行駛到乙地，甲乙兩地相距100海里.

(1)試把船每小時使用的燃料費(fèi)用P(單位：元)表示成船速或單位：海里/時)的函數(shù);

(2)試把船從甲地到乙地所需的總費(fèi)用y(單位：元)表示成船速或單位：海里/時)的

函數(shù)；

(3)當(dāng)船速為多少時，船從甲地到乙地所需的總費(fèi)用最少.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：,??當(dāng)X=2時.

y-ax~2+1=2恒成立

故函數(shù)y=ax~2+l(a>0且a豐1)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)(2,2)

故選：D.

根據(jù)a0=l(a力0)時恒成立，我們令函數(shù)y=談-2+1解析式中的指數(shù)部分為0,即可

得到函數(shù)y=ax-2+l(a>0且a*1)的圖象恒過點(diǎn)的坐標(biāo).

本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，其中指數(shù)的性質(zhì)a°=l(a力0)恒成立,

是解答本題的關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：1?,2k+1與4k±l(fcGZ)都表示奇數(shù)，

(2k+1)兀與(4k±1)71,(fceZ)表示終邊相同的角.

故選：D.

根據(jù)奇數(shù)與偶數(shù)的表示法即可得出.

本題考查了奇數(shù)與偶數(shù)的表示法、終邊相同的角，考查了推理能力與計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(0)=2。+2*0+8=0,

解得b=-1,

所以當(dāng)x20時，/(x)=2X+2x-1,

又因為為定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(-1)=-/(I)=-(21+2x1-1)=-3,

故選：D.

據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)知/'(())=0,代入函數(shù)的解析式求出b,求出/(I)的值，利用函數(shù)為奇

函數(shù)，求出，(一1).

解決奇函數(shù)的問題，常利用函數(shù)若在x=0處有意義，其函數(shù)值為0找關(guān)系.

4.【答案】B

【解析】解：令y=/(x)-g(x)=0,//

即有/'(x)—(ax2—x+1)=0,\

則/'(%)+x-1=a/,\//

(x—2,x<—1_11——?11—

而/'(%)+x-1=忸-1,-1<x<1,/O/\x

U%>1//\

作函數(shù)y=/(%)+%-1與函數(shù)y=a/的圖象如右，/J\

當(dāng)a<0時，y=f(x)+x-1與、=a/的圖象恒有X-4-\

兩個交點(diǎn)；i'\

當(dāng)a>0時，當(dāng)曠=a/的圖象過點(diǎn)(1,1),可得a=l,

由圖象可得0<a<1時，y=/(x)+%-1與y=a/的圖象有兩個交點(diǎn).

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是(一8,0)u(0,1),

故選：B.

化函數(shù)y=/(x)-g(x)恰好有2個不同零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)+x-1與函數(shù)y=

a/的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，畫出兩函數(shù)的圖象，討論a>0,a<0,從而可得a的范

圍.

本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，注意函數(shù)

的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系，屬于中檔題.

5.【答案】?；蛞?

【解析】解：當(dāng)〃=0時，集合M={%忙％2+%—(々+1)=0}={萬％=1},滿足條件.

當(dāng)時，由判別式等于0可得l+4k(k+l)=0,解得k=-：,此時，集合M=

{x\kx2+%—(k+1)=0}={1},滿足條件.

綜上可得，實數(shù)k的值為0或-也

故答案為：?；颉?/p>

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當(dāng)k=0時，集合M={x\kx2+%—(A+1)=0}={x\x—1),滿足條件.當(dāng)k豐0時,

由判別式等于0可得/C=-}此時，集合M={1},滿足條件，由此得出結(jié)論.

本題主要考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)

題.

6【答案】(一8,2).

【解析】解：a是S的充分條件o[2,+8)u(a,+8),

由此可得ae(-oo,2).

故答案為：(一8,2).

a是夕的充分條件o[2,+8)c(見+8),以此可求得實數(shù)a的范圍.

本題考查充分、必要條件應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7?【答案】{x||wx<3}

【解析】解：由竽121得竽1―120,

6—X5—X

整理得，詈W0，

解得|wx<3.

故答案為{:%||<x<3}.

利用移項，通分，轉(zhuǎn)化不等式求解即可.

本題考查分式不等式的解法，基本知識的考查.

8.【答案】箸

oJ

【解析】解：因為扇形的弧長為岸，半徑為2,

57r

所以扇形的圓心角a=互=望，

26

扇形的面積S=N當(dāng)、2=拳

故答案為：-OvD-

由已知利用弧長公式和扇形的面積公式即可求解.

主要考查了扇形弧長與面積公式，本題解題的關(guān)鍵是正確記憶弧長公式，屬于基礎(chǔ)題.

9【答案】

【解析】解：sina+cosa=

???兩邊平方可得:sin2a+cos2a+2sinacosa=表,

:.14-2sinacosa=安，則sinacosa=-1|.

故答案為：一造

將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計算得解.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】2V2

【解析】解：因為Q>0,h>0,且ab=l,

則點(diǎn)+/+念=鬻+熹=四+±>2=2a，

2a+b一后葦

當(dāng)且僅當(dāng)W即a+b=2夜且ab=1,此時a=或+1,b=V2—1或a=V2—

2a+b

1,b=&+l時取等號,

所以白+2+-三的最小值為2夜.

2a2ba+b

故答案為：2a.

由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解.

本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】36

【解析】解：1?1loga3=m,loga4=n,

/.am=3.an=4,

.n=gm)2,n32

...a2m+n=a2mQQ=x4=36>

故答案為：36.

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把對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)求解.

本題主要考查了對數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查了指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】(0,+8)

【解析】解：幕函數(shù)f(%)=xa(aG/?),

對于(0,+8)上的任意兩個數(shù)%,尤2。1r血)，有八丁加>0,

X\-X2

:.函數(shù)/(x)=xa(a6R)是增函數(shù)，［a>0,

即a的取值范圍是(0,+8).

故答案為：(0,+8).

判斷函數(shù)的單調(diào)性，由幕函數(shù)的性質(zhì)即可求解a的取值范圍.

本題主要考查幕函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】(0,+8)

【解析】解：設(shè)t=l-x,則y=G)t>0,

即函數(shù)的值域為(0,+8),

故答案為：(0,+8).

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】{a|—3<aW1}

【解析】

【分析】

本題考查一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)和方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，討論a的取值，是否滿足不等式的解集為。即可.

【解答】

解：???關(guān)于x的不等式(a-I)%2+2(a-l)x-4>0的解集為。，

??.a—1=0時，一420,不等式不成立，a=1滿足題意；

a-l>0時，a>l,不等式的解集不為空集，不滿足題意;

a-l<0時，a<l,當(dāng)/=4((1-1)2+16(&-1)<0時，

即(a-l)(a+3)<0,

解得：—3<a<l,滿足題意；

綜上，實數(shù)a的取值范圍是｛詞一3<aW1｝.

故答案為｛a|-3<aWl｝.

15.【答案】[-5,3)U(4,5]

【解析】解：不等式-2x-8>0的解集為｛x[x<-2,或x>4],不等式21+(2k+

7

7)x+7k<0化為(x+/c)(x+p<0.

當(dāng)上>勺寸，不等式2好+(2k+7汝+7卜<0的解集為卜|一人<》<-§,由解集中的

整數(shù)為—4,得—5<—k<—4,解得4<k<5.

當(dāng)人<1時，不等式2%2+(24+7)久+74<0的解集為國一：<%<-曷，由解集中的

整數(shù)為一3,得—3<—kW5,解得一5Wk<3.

當(dāng)時，不等式2久2+(21+7〉+7上<0的解集為。，不符合題意.

綜上，實數(shù)k的取值范圍是[—5,3)U(4,5].

故答案為：[—5,3)11(4,5].

不等式3-2X-8>0的解集為｛x[x<-2,或x>4),不等式23+(2k+7)x+7/c<0

化為(x+k)Q+今<0,分k>gk<[,三種情況討論.

本題考查解一元二次不等式，根據(jù)集合的元素特征求參數(shù)，屬于中檔題.

16.【答案】一；

4

【解析】解：函數(shù)/(X)=0,

則f(—1)=2-(T)=2,

:./[/(-1)]=/(2)=a-22=4a=—1,

解得a=一

4

故答案為：一

4

根據(jù)函數(shù)/。)的解析式求得/(-I)以及/丁(-1)]的值，列方程求解即可.

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本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】(0,1]U[3,+8)

【解析】解：根據(jù)題意，a為正數(shù)，y=(ax-1產(chǎn)為二次函數(shù)，

在區(qū)間(0,》為減函數(shù)，。+8)為增函數(shù)，

且函數(shù)y=五+a為增函數(shù)，

分2種情況討論：

①當(dāng)0<aSl時，有｝々1，

在區(qū)間[0,1]上，y=(ax-1)2為減函數(shù)，且其值域為[(a—1)2,1],

函數(shù)y=H+a為增函數(shù)，其值域為[a,1+a],

此時兩個函數(shù)的圖象有1個交點(diǎn)，符合題意；

②當(dāng)a>1時，有;<1，

y=(ax-I/在區(qū)間(0,今為減函數(shù)，1)為增函數(shù)，

函數(shù)y=a+a為增函數(shù)，其值域為[a,1+a],

若兩個函數(shù)的圖象有1個交點(diǎn)，則有(a-I)2>1+a,

解可得a<0或a>3,

又由a為正數(shù)，則a23；

綜合可得：a的取值范圍是(0,1]U[3,+8)；

故答案為：(0,1]“3,+8).

根據(jù)函數(shù)y=(ax—和y=yjx+a的解析式，

討論0<a41和a>1時，對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性和值域，

從而求出滿足題意的a的取值范圍.

本題考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，涉及函數(shù)單調(diào)性與值域，是中檔題.

18.【答案】-3

【解析】解：,.函數(shù)/(%)=[：；；(；(：備°)，/。)=1°，

???當(dāng)％<0時，/(%)=%24-1=10,

解得％=-3或%=3(舍)；

當(dāng)x>0時，/(x)=-2x=10,解得x=—5,不合題意.

綜上，x=-3.

故答案為：一3.

當(dāng)xWO時，/(x)=x2+1=10；當(dāng)％>0時，/(%)=-2%=10,由此能求出結(jié)果.

本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方

程思想，是基礎(chǔ)題.

2

19.【答案】解：由logaQ+3)>loga(3+2x-x\(a>0,a^l),

2x2

可得，當(dāng)a>l時，X+3>3+2X-X>0,gp[+3>3+2%-X(即

(3+2%-%2>0

U(x-1)>0

1(%-3)(%+1)<O'

求得一1<%<0,或1V%工3,

故不等式的解集為：(一LO]U(1,3].

當(dāng)0<a<l時，0<%+3<3+2%-％2,即仔2,即匕Hvn，

求得0<x<l,故不等式的解集為[0,1].

【解析】由題意，分類討論，利用對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，求得不等式的解集.

本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)集合M={x|-a<x<a+l},N=[x\-1<x<3].

當(dāng)a=2時，M={x|-2<x<3),

???Afn/V={x|—1<x<3}；

(2)7%eM是x6N的充分條件，:MUN,

當(dāng)M=0時，-a2a+l,解得aW-^,

(-CL<Q+1

當(dāng)MK。時，|一aN-l，解得

(a+1<3

綜上，實數(shù)a的取值范圍是(一8,1].

【解析】(1)求出集合M,由此能求出MCN；

(2)由％€M是x€N的充分條件，得MUN,當(dāng)M=0時，一aNa+1,當(dāng)“彳。時,

—CLVQ+1

-a>-1,由此能求出實數(shù)a的取值范圍.

a+1<3

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本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、子集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：(1)因為/(%)是奇函數(shù),所以"0)=0,

即I"=0=b=1；

2+a

、-2X+1

又???定義域為R，則有f(-1)=—/⑴，

可得：二11=_尤1=。=2；

4+a1+a

經(jīng)檢驗：f(x)是奇函數(shù)，滿足題意.

所以a,b的值分別為2,1；

(2)由(1)知f(x)—=—：+~'