湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊1.2直角三角形的性質(zhì)和判定2公開課公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

1.2直角三角形性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形第1學(xué)時勾股定理第1頁學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理探究過程，理解有關(guān)勾股定理一些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數(shù)形結(jié)合思想.（重點(diǎn)）2.會用勾股定理進(jìn)行簡單計(jì)算.（難點(diǎn)）第2頁其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點(diǎn)，世界上許多科學(xué)家向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類語言、音樂、多種圖形等.導(dǎo)入新課情景引入第3頁據(jù)說我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提議“發(fā)射”一種勾股定理圖形(如圖).很多學(xué)者以為假如宇宙“人”也擁有文明話，那么他們一定會結(jié)識這種語言，由于幾乎所有具有古代文化民族和國家都對勾股定理有所理解.第4頁勾股定理有著悠久歷史：古巴比倫人和古代中國人看出了這個關(guān)系，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這關(guān)系，下面讓我們一起來通過視頻理解吧：第5頁講授新課勾股定理結(jié)識及驗(yàn)證一我們一起穿越回到2523年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形磚鋪成地面（如圖）：ABC問題1

試問正方形A、B、C面積之間有什么樣數(shù)量關(guān)系？第6頁ABC始終角邊2另始終角邊2斜邊2+=

問題2

圖中正方形A、B、C所圍成等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？第7頁問題3

在網(wǎng)格中有一般直角三角形，以它三邊為邊長三個正方形A、B、C

是否也有類似面積關(guān)系？觀測下邊兩幅圖(每個小正方形面積為單位1)：這兩幅圖中A,B面積都好求，該如何求C面積呢？第8頁辦法1：補(bǔ)形法(把以斜邊為邊長正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上正方形）：左圖：右圖：第9頁辦法2：分割法(把以斜邊為邊長正方形分割成易求出面積三角形和四邊形）：左圖：右圖：你尚有其他措施求C面積嗎？第10頁根據(jù)前面求出C面積直接填出下表：

A面積B面積C面積左圖右圖413259169第11頁問題4

正方形A、B、C所圍成直角三角形三條邊之間有如何特殊關(guān)系？始終角邊2另始終角邊2斜邊2+=第12頁直角三角形兩直角邊a,b平方和，等于斜邊c平方.a2+b2=c2.由上面幾個例子，我們猜想：abc下面動圖形象說明命題1正確性，讓我們跟著此前數(shù)學(xué)家們用拼圖法來證明這一猜想.第13頁abbcabca證法1讓我們跟著我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽,用他所拼圖形證明命題吧.第14頁abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a證明：“趙爽弦圖”體現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)驕傲.因此，這個圖案被選為2023年在北京召開國際數(shù)學(xué)大會會徽.第15頁證法2

畢達(dá)哥拉斯證法，請先用手中四個全等直角三角形按圖示辦法拼圖，然后分析其面積關(guān)系進(jìn)行證明.第16頁aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，第17頁aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.第18頁abc青入青方青出青出青入朱入朱方朱出青朱出入圖課外鏈接第19頁

如圖，過A點(diǎn)畫始終線AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M.通過證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與長方形面積關(guān)系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與矩形MLEC也等積，于是推得歐幾里得證明勾股定理第20頁推薦書目第21頁a、b、c為正數(shù)直角三角形兩直角邊a,b平方和，等于斜邊c平方.

a2+b2=c2.公式變形：勾股定理abc歸納總結(jié)第22頁在中國古代，人們把彎曲成直角手臂上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學(xué)者把直角三角形較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股勾2+股2=弦2小貼士第23頁

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得

利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算二CAB第24頁（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【變式題1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊長求未知兩邊時，要利用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.歸納第25頁【變式題2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時，如圖，當(dāng)BC為斜邊時，如圖，43ACB43CAB圖圖

當(dāng)直角三角形中所給兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊也許是直角邊，也也許是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，不然容易丟解.歸納第26頁例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD長.解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形面積求法可知直角三角形兩直角邊積等于斜邊與斜邊上高積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．歸納第27頁練一練

求下列圖中未知數(shù)x、y值：解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5.第28頁當(dāng)堂練習(xí)1.下列說法中,正確是（）A.已知a,b,c是三角形三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和平方等于第三邊平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,因此a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,因此a2+b2=c2C2.圖中陰影部分是一種正方形，則此正方形面積為

.8cm10cm36cm2第29頁3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.175第30頁4.求斜邊長17cm、一條直角邊長15cm直角三角形面積.解：設(shè)另一條直角邊長是xcm.

由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289–225=64，因此x=±8（負(fù)值舍去），因此另始終角邊長為8cm，直角三角形面積是

(cm2).第31頁5.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC周長．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=，∴BC=BD+CD=1+，∴AB+AC+BC=．第32頁解：由于AE＝BE，因此S△ABE＝AE·BE＝AE2.又由于AE2＋BE2＝AB2，因此2AE2＝AB2，因此S△ABE＝AB2；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又由于AC2＋BC2＝AB2，因此陰影部分面積為AB2＝.6.如圖，以Rt△ABC三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，求△ABE及陰影部分面積.能力提升：第33頁S5=S1+S2=4，S7=S5+S6=10.7.已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7值.S6=S3+S4=6，第34頁課堂小結(jié)勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論第35頁1.2直角三角形性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形第2學(xué)時勾股定理實(shí)際應(yīng)用第36頁學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會利用勾股定理求線段長及處理簡單實(shí)際問題.

（重點(diǎn)）2.能從實(shí)際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間聯(lián)系，并深入求出未知邊長.（難點(diǎn)）第37頁情景引入數(shù)學(xué)起源于生活，勾股定理應(yīng)用在生活中無處不在，觀看下面視頻，你們能理解曾小賢和胡一菲做法嗎？導(dǎo)入新課第38頁問題觀看下面同一根長竹竿以三種不一樣方式進(jìn)門情況，并結(jié)合曾小賢和胡一菲做法，對于長竹竿進(jìn)門之類問題你有什么啟發(fā)？這個跟我們學(xué)勾股定理有關(guān)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題勾股定理簡單實(shí)際應(yīng)用一講授新課第39頁例1一種門框尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為何?2m1mABDC典例精析解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5由于AC大于木板寬2.2m,因此木板能從門框內(nèi)通過.

分析：能夠看出木板橫著，豎著都不能通過，只能斜著.門框AC長度是斜著能通過最大長度，只要AC長大于木板寬就能通過.第40頁ABDCO

解：在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,因此梯子頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖，一架2.6m長梯子AB斜靠在一豎直墻AO上，這時AO為2.4m.假如梯子頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?第41頁例3：我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣問題，這個問題意思是：有一種水池，水面是一種邊長為10尺正方形，在水池中央有一根新生蘆葦，它高出水面1尺，假如把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它頂端正好達(dá)到岸邊水面，請問這個水池深度和這根蘆葦長度各是多少？DABC第42頁解：設(shè)水池水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池水深12尺，這根蘆葦長13尺.第43頁例4

在一次臺風(fēng)襲擊中，小明家房前一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？8米6米第44頁8米6米ACB解：根據(jù)題意能夠構(gòu)建始終角三角形模型，如圖.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得∴這棵樹在折斷之前高度是10+6=16（米）.第45頁利用勾股定理處理實(shí)際問題一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）處理實(shí)際問題.歸納總結(jié)數(shù)學(xué)問題直角三角形勾股定理實(shí)際問題轉(zhuǎn)化構(gòu)建利用處理第46頁1.湖兩端有A、B兩點(diǎn)，從與BA方向成直角BC方向上點(diǎn)C測得CA=130米,CB=120米,則AB為()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A練一練第47頁2.如圖，學(xué)校教學(xué)樓前有一塊長方形草坪,草坪長為4米，寬為3米，有很少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草.（1）求這條“徑路”長；（2）他們僅僅少走了幾步(假設(shè)2步為1米)？解：(1)在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得∴這條“徑路”長為5米.（2）他們僅僅少走了

(3+4-5)×2=4(步).別踩我,我怕疼!ABC第48頁CBA問題在A點(diǎn)小狗，為了盡快吃到B點(diǎn)香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

CB路線，難道小狗也懂?dāng)?shù)學(xué)？AC+CB>AB（兩點(diǎn)之間線段最短）思考在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？利用勾股定理求最短距離二第49頁BAdABA'ABBAO想一想：螞蟻?zhàn)吣囊粭l路線近來？A'螞蟻A→B路線問題：在一種圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點(diǎn)食物在B處，正好一只在A處螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，螞蟻怎么走近來？BA根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短易知第四個路線近來.第50頁若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.BA3O12側(cè)面展開圖123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

立體圖形中求兩點(diǎn)間最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.歸納第51頁例5有一種圓柱形油罐，要以A點(diǎn)圍繞油罐建梯子，正好建在A點(diǎn)正上方點(diǎn)B處，問梯子最短需多少米(已知油罐底面半徑是2米，高AB是5米，π取3）?ABABA'B'解：油罐展開圖如右圖，則AB'為梯子最短距離.∵AA'=2×3×2=12,A'B'=5,∴AB'=13.即梯子最短需13米.第52頁數(shù)學(xué)思想：立體圖形平面圖形轉(zhuǎn)化展開第53頁B牛奶盒A【變式題】看到小螞蟻終于喝到飲料興奮勁兒，小明靈光乍現(xiàn)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在點(diǎn)A處，并在點(diǎn)B處放了點(diǎn)兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找出吃到火腿腸粒最短路程么？6cm8cm10cm第54頁BB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由題意知有三種展開辦法，如圖.由勾股定理得∴AB1＜AB2＜AB3.∴小螞蟻吃到火腿腸最短路程為AB1，長為cm.第55頁例6如圖，一種牧童在小河南4kmA處牧馬，而他正位于他小屋B西8km北7km處，他想把他馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走最短路程是多少？牧童A小屋BA′C東北解：如圖，作出點(diǎn)A有關(guān)河岸對稱點(diǎn)A′，連接A′B,則A′B就是最短路程.由題意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′CB中，由勾股定理得第56頁

求直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段和最短路程辦法：先找到其中一點(diǎn)有關(guān)這條直線對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)線段就是最短途徑長，以連接對稱點(diǎn)與另一種點(diǎn)線段為斜邊，構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求最短路程.歸納第57頁如圖，是一種邊長為1正方體硬紙盒，目前A處有一只螞蟻，想沿著正方體外表面達(dá)到B處吃食物，求螞蟻爬行最短距離是多少.AB解：由題意得AC=2，BC=1,在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=22+12=5∴AB=，即最短路程為.21ABC練一練第58頁1.從電線桿上離地面5mC處向地面拉一條長為7m鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B距離是（）A.24mB.12mC.mD.mD當(dāng)堂練習(xí)第59頁2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆長度也許是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cmD第60頁3.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩棵對相距8米.一只鳥從一棵樹樹梢飛到另一棵樹梢，問小鳥最少飛行多少？ABC解：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BC于點(diǎn)C.由題意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，

答：小鳥最少飛行10米.第61頁4.如圖，是一種三級臺階，它每一級長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階兩個相正確端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口食物.這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬到B點(diǎn)，最短線路長是多少？BAABC解：臺階展開圖如圖，連接AB.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,∴AB=73cm.第62頁5.為籌備迎新晚會，同窗們設(shè)計(jì)了一種圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒高為108cm，其橫截面周長為36cm，假如在表面均勻纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長油紙？能力提升：第63頁解：如右下列圖，在Rt△ABC中，由于AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，因此AB＝45cm，因此整個油紙長為45×4＝180(cm)．第64頁課堂小結(jié)勾股定理應(yīng)用用勾股定理處理實(shí)際問題用勾股定理處理點(diǎn)距離及途徑最短問題第65頁1.2直角三角形性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形第3學(xué)時勾股定理逆定理第66頁學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理逆定理及勾股數(shù).（重點(diǎn)）2.能證明勾股定理逆定理，能利用勾股定理逆定理判斷一種三角形是直角三角形.（難點(diǎn)）3.能夠利用勾股定理逆定理處理問題．（難點(diǎn)）第67頁導(dǎo)入新課B

C

A

問題1

勾股定理內(nèi)容是什么?假如直角三角形兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.bca問題2

求以線段a、b為直角邊直角三角形斜邊c長：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5復(fù)習(xí)引入思考

此前我們已經(jīng)學(xué)過了通過角關(guān)系來確定直角三角形，可不能夠通過邊來確定直角三角形呢？第68頁

同窗們你們懂得古埃及人用什么辦法得到直角嗎?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13個等距結(jié),把一根繩子提成等長12段,然后以3段，4段，5段長度為邊長，用木樁釘成一種三角形，其中最大角便是直角.情景引入第69頁思考：從前面我們懂得古埃及人以為一種三角形三邊長分別為3,4,5,那么這個三角形為直角三角形.按照這種做法真能得到一種直角三角形嗎?大禹治水相傳，我國古代大禹在治水時也用了類似辦法確定直角.第70頁講授新課勾股定理逆定理一下面有三組數(shù)分別是一種三角形三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題

分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是第71頁下面有三組數(shù)分別是一種三角形三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題2這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問題3古埃及人用來畫直角三邊滿足這個等式嗎？由于32+42=52，因此滿足.a2+b2=c2第72頁我以為這個猜想不精確，由于測量成果也許有誤差.我也以為猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.問題3據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個例子，我們猜想：假如三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.第73頁△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,bRt△A′B′C′證一證:第74頁證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc第75頁勾股定理逆定理:

假如三角形三邊長a、b、c滿足

a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理逆定理是直角三角形判定定理，即已知三角形三邊長，且滿足兩條較小邊平方和等于最長邊平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所正確角為直角.尤其說明：歸納總結(jié)第76頁

例1下面以a,b,c為邊長三角形是不是直角三角形？假如是,那么哪一種角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據(jù)勾股定理逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理逆定理，∴這個三角形不是直角三角形.

根據(jù)勾股定理逆定理，判斷一種三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長平方和是否等于最大邊長平方.歸納第77頁【變式題1】若△ABC三邊a,b,c滿足

a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),由于(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,因此(3k)2+(4k)2=(5k)2,因此△ABC是直角三角形，且∠C是直角.

已知三角形三邊百分比關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表達(dá)出三條邊長，再用勾股定理逆定理判斷其是否是直角三角形.假如三角形三邊比中有兩個相同數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.歸納第78頁【變式題2】(1)若△ABC三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，試說明△ABC是直角三角形.解：由于a+b=4,ab=1,因此a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又由于c2=14,因此a2+b2=c2,因此△ABC是直角三角形.第79頁(2)若△ABC三邊a,b,c

滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.第80頁例2如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE＝CB，試判斷AF與EF位置關(guān)系，并說明理由．解：AF⊥EF.理由如下：設(shè)正方形邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.第81頁練一練1.下列各組線段中，能組成直角三角形是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一種三角形三邊長分別是3，4，5，則這個三角形最長邊上高是（）A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則△ABC是________________________.等腰三角形或直角三角形第82頁假如三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)二概念學(xué)習(xí)第83頁常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).第84頁

下列各組數(shù)是勾股數(shù)是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A辦法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最長邊平方是否等于其他兩邊平方和即可.練一練第85頁12勾股定理逆定理應(yīng)用三例3

如圖，某港口P位于東西方向海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同步離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一種半小時后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.假如懂得“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行,能懂得“海天”號沿哪個方向航行嗎？NEP

QR第86頁問題1

認(rèn)真審題，弄清已知是什么？要處理問題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠(yuǎn)航”號航向、兩艘船一種半小時后航程及距離已知，如圖.問題2

由于我們目前所能得到都是線段長，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理第87頁解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.由于242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,因此∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.

NEP

QR12

處理實(shí)際問題步驟：

構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；

標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解.歸納第88頁【變式題】

如圖，南北方向PQ以東為我國領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時28分，我邊防反偷渡巡查101號艇在A處發(fā)覺其正西方向C處有一艘可疑船只正向我沿海接近，便立即通知在PQ上B處巡查103號艇注意其動向，經(jīng)檢測，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只速度為12.8海里/時，則可疑船只最早何時進(jìn)入我領(lǐng)海？東北PABCQD

分析：根據(jù)勾股定理逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理逆定理及直角三角形面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.第89頁解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只速度為12.8海里/時，6.4÷12.8=0.5（小時）=30（分鐘），∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時58分進(jìn)入我領(lǐng)海.東北PABCQD第90頁例4如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD面積.解析：連接AC，把四邊形提成兩個三角形.先用勾股定理求出AC長度，再利用勾股定理逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312第91頁解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，因此△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.因此S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.

四邊形問題中，對角線是常用輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個三角形問題.在使用勾股定理逆定理處理問題時，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用.歸納第92頁【變式題1】

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD第93頁【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA第94頁例5如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上一點(diǎn)，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC面積．（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設(shè)腰長AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程思想第95頁

1.A、B、C三地兩兩距離如圖所示，A地在B地正東方向，C在B地什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地正北方向．練一練第96頁2.如圖，是一農(nóng)民建房時挖地基平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)覺AB＝