調(diào)和函數(shù)專題培訓(xùn)市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

《偏微分方程教程》

第六章橢圓型方程

1第1頁第1頁§1調(diào)和函數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)提醒】Green公式，基本解，調(diào)和函數(shù)，調(diào)和函數(shù)基本性質(zhì)。【重、難點(diǎn)提醒】利用Green公式導(dǎo)出基本積分公式，進(jìn)而研究調(diào)和函數(shù)基本性質(zhì)。【教學(xué)目】掌握調(diào)和函數(shù)定義和性質(zhì)。2第2頁第2頁1.1.Green公式散度定理：

設(shè)是維空間中以足夠光滑曲面所圍成有界連通區(qū)域,是曲面外單位法向.若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù),在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則(1.1)其中表示曲面外單位法向

與軸方向余弦,是上面積元素.3第3頁第3頁Green公式推導(dǎo)：

設(shè)函數(shù)和在內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù).在公式(1.1)中令得到(1.2)(1.2)可改寫成為(1.3)4第4頁第4頁若將(1.3)中和互相對(duì)換,又得(1.4)我們把(1.3)與(1.4)都稱作第一Green公式.

若將(1.3)與(1.4)相減,則得(1.5)我們把(1.5)稱為第二Green公式.

1.2.調(diào)和函數(shù)與基本解

定義6.1對(duì)于函數(shù),假如它在維空間有界區(qū)域內(nèi)有直到二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在內(nèi)滿足Laplace方程：5第5頁第5頁(1.6)則稱在區(qū)域內(nèi)是調(diào)和函數(shù).

假如,則稱在區(qū)域內(nèi)是下調(diào)和(上調(diào)和)函數(shù).

假如是無界區(qū)域,則除上面要求外,還應(yīng)要求當(dāng)點(diǎn)趨于無窮遠(yuǎn)時(shí),函數(shù)一致趨于零.即對(duì)于任意小正數(shù),存在正數(shù),使當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離時(shí),總有按照這個(gè)定義,有時(shí)我們把Laplace方程(1.6)也稱作調(diào)和方程.

調(diào)和方程基本解

我們僅考慮三維空間和二維空間情形.6第6頁第6頁首先我們考慮三維情形.用表示三維空間中點(diǎn)改寫三維空間調(diào)和方程為球坐標(biāo)形式.設(shè)球坐標(biāo)變換為則(1.6)(取)可化為(1.7)由(1.7)能夠看出,方程(1.6)球?qū)ΨQ解是滿足以為自變量常微分方程7第7頁第7頁其通解可寫為這里是任意常數(shù).因此函數(shù),是一個(gè)球?qū)ΨQ特解,從而推得在任一不包括點(diǎn)區(qū)域內(nèi)是調(diào)和,它在點(diǎn)處有奇性.稱函數(shù)為三維Laplace方程(1.6)基本解

8第8頁第8頁

注

基本解在時(shí)關(guān)于或都是調(diào)和且無窮次可微.函數(shù)另一方面,考慮二維Laplace方程在極坐標(biāo)變換下它可化為(1.8)二維Laplace方程基本解

定理6.1設(shè)函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)二階連續(xù)可微,在上連續(xù)且有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則當(dāng)點(diǎn)時(shí),有9第9頁第9頁(1.9)其中是邊界曲面外單位法向,是曲面上面積單元,是體積單元.證以為中心為半徑作球使表示該球球面,于是在區(qū)域上,函數(shù)和都滿足第二Green公式條件,代入公式(1.5)得(1.10)由于在區(qū)域內(nèi)是調(diào)和函數(shù),因此有.另外邊界上任一點(diǎn)外法線方向事實(shí)上是從該點(diǎn)沿著半徑指向球心方向,因此在上有10第10頁第10頁從而得到在上積分為其中和分別是函數(shù)和

在球面上平均值.于是(1.10)可寫成由于及在上連續(xù)，因此關(guān)于一致有界,且當(dāng)時(shí),有,11第11頁第11頁于是由上式即得定理證畢.此后,我們將公式(1.9)稱為三維空間中基本積分公式.

定理6.2

設(shè)函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)二階連續(xù)可微，在上連續(xù)且有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)點(diǎn)時(shí)有(1.11)其中表示上線元素,是上面積元素.1.3.調(diào)和函數(shù)基本性質(zhì)

性質(zhì)6.1設(shè)是有界區(qū)域內(nèi)調(diào)和函數(shù),且在上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則12第12頁第12頁(1.12)

證利用第二Green公式,在(1.5)中取,取為所給調(diào)和函數(shù),由此性質(zhì)可得出,Laplace方程第二邊就可得到(1.12).值問題有解必要條件是函數(shù)滿足性質(zhì)6.2

設(shè)是有界區(qū)域內(nèi)調(diào)和函數(shù),且在閉區(qū)域上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)任一點(diǎn)處有13第13頁第13頁(1.13)

證

利用基本積分公式(1.9)即得.類似地,對(duì)于二維空間情形,我們能夠利用(1.11)得到(1.14)其中是平面上有界區(qū)域邊界.性質(zhì)6.3(平均值定理)設(shè)是區(qū)域內(nèi)調(diào)和函數(shù),是內(nèi)任一點(diǎn)以,為心為半徑作球只要球連同其邊界包括在內(nèi),則有公式(1.15)14第14頁第14頁

證將公式(1.13)應(yīng)用于球面上,得到這里,故由性質(zhì)6.1知上式右端第一項(xiàng)積分值為零,在球面上外法線方向與半徑方向一致,于是又由于因此有我們把調(diào)和函數(shù)這一性質(zhì)稱為平均值定理,公式(1.15)15第15頁第15頁稱為平均值公式,即調(diào)和函數(shù)在球心處值等于它在球面上平均值.

注1對(duì)區(qū)域內(nèi)下調(diào)和(上調(diào)和)函數(shù),我們有(1.17)性質(zhì)6.4(強(qiáng)極值原理)

假設(shè)不恒為常數(shù)函數(shù)在有界區(qū)域,內(nèi)調(diào)和且在上連續(xù),則它在上最大值和最小值只能在邊界上達(dá)到.

證

用反證法.假設(shè)調(diào)和函數(shù)在上最大值不在上達(dá)到,那么它必在內(nèi)某一點(diǎn)達(dá)到,記當(dāng)然也是在上最大值.16第16頁第16頁以為心為半徑作球使完全包括于內(nèi),記球面為,能夠證實(shí),在上有事實(shí)上,若函數(shù)在上某一點(diǎn)值小于,則由連續(xù)性知,上必可找到此在球面點(diǎn)一個(gè)充足小鄰域,在此鄰域內(nèi)有,于是在上成立不等式但由平均值公式(1.15),有這就發(fā)生了矛盾.因此在球面上,必須有17第17頁第17頁同理可證,在任一以為心,為半徑球面上,也有.因此,在整個(gè)球上,有下面證實(shí)對(duì)內(nèi)所有點(diǎn),都有.為此在內(nèi)任取一點(diǎn),由于是區(qū)域,因此可用完全位于內(nèi)折線將點(diǎn)和連結(jié)起來,設(shè)與邊界最短距離為,于是函數(shù)在以為心為半徑球上,恒等于,若與球球面

相交于點(diǎn),顯然,在以為心為半徑球上,有照此作下去,可用有限個(gè)球.將折線完全覆蓋,并且18第18頁第18頁使,由于在每個(gè)球上都有,因此由點(diǎn)任意性,就可得到在整個(gè)區(qū)域上,有這和函數(shù)在上不恒等于常數(shù)假設(shè)相矛盾.因此不能在內(nèi)部取得它最大值.對(duì)于最小值情形,由最小值就是最大值,而也是調(diào)和函數(shù),從而推得函數(shù)也不能在內(nèi)部取得它最小值.定理證畢.推論6.1(調(diào)和函數(shù)比較原理)

設(shè)和都是有界區(qū)域內(nèi)調(diào)和函數(shù),且在邊界上連續(xù),假如在上有不等式19第19頁第19頁