九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第09講 圓的有關(guān)性質(zhì)（一）（原卷版）

/第09講圓的有關(guān)性質(zhì)（一）(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：圓的有關(guān)概念類型二：垂徑定理及其推論的有關(guān)計(jì)算與證明類型三：利用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題類型一：圓的有關(guān)概念圓中容易混淆的“兩組基本概念”1．弦與直徑：（1）弦是連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，直徑是經(jīng)過(guò)圓心的弦.（2）直徑是弦，是圓中最長(zhǎng)的弦，但弦不一定是直徑.2．弧與半圓：（1）圓上任意兩點(diǎn)分圓成兩段弧，圓上任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條孤，每一條弧叫作半圓.（2）半圓是弧，但弧不一定是半圓.典型例題例題1．（2022·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)初中部九年級(jí)階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．半徑相等的兩條弧是等弧 B．半圓是弧C．半徑是弦 D．弧是半圓例題2．（2022·廣東·揭陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半徑，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，則∠AOC等于（）A． B． C． D．例題3．（2021·湖南·長(zhǎng)沙縣安沙鎮(zhèn)楊梓中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)都在⊙O上，則⊙O中的弦的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例題4．（2021·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，以的邊BC為直徑的分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接OD、OE，若∠A＝65°，則∠DOE＝_______．弧BD與弧CE的度數(shù)和為_(kāi)______°．例題5．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，OE＝DE，∠BOD＝α，求∠AOC（用含α的式子表示）．同類題型演練1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)圓心的線段是直徑 B．面積相等的圓是等圓C．兩個(gè)半圓是等弧 D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等2．（2022·西藏·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在⊙O中，點(diǎn)A，O，D以及點(diǎn)B，O，C分別在一條直線上，則圖中的弦有(

)A．2條 B．3條 C．4條 D．5條4．（2021·湖北·通山縣振新學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)、在的異側(cè)，連接、、，若，且ADOC，則的度數(shù)為_(kāi)_．5．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，以為邊作等邊，則的最大值為_(kāi)_________．6．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB，CD的延長(zhǎng)線交于E，若，，求∠C的度數(shù)．類型二：垂徑定理及其推論的有關(guān)計(jì)算與證明垂徑定理應(yīng)用中常作的輔助線：（1）若已知圓心和弦，則連接圓心和弦的一個(gè)端點(diǎn)，即“連半徑”，并作垂直于弦的直徑，構(gòu)造直角三角形；（2）若已知圓心和弦（?。┑闹悬c(diǎn)，則連接圓心和弦（弧）的中點(diǎn)，并延長(zhǎng)使其與圓相交，得圓的直徑，再“連半徑”，構(gòu)造直角三角形.典型例題例題1．（2022·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)初中部九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC＝（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm例題2．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的外接圓半徑為5，其圓心O恰好在中線上，若，則的面積為（

）A．36 B．32 C．24 D．18例題3．（2021·內(nèi)蒙古·通遼市科爾沁區(qū)第七中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，ABCD，AB＝6cm，CD＝8cm，則弦AB和CD之間的距離是_____cm．例題4．（2022·浙江·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，弦于點(diǎn)，在圓上，，，則的半徑__．例題5．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校九年級(jí)）如圖，在⊙O中，直徑AB交弦CD于點(diǎn)E，OF⊥CD，垂足為F，AE=4，BE=6，OF=3．求CD的長(zhǎng)．同類題型演練1．（2022·江蘇·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在⊙O中，AB是弦，半徑于點(diǎn)D，若OC＝10，AB＝16，則CD的長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．36 B．24 C．18 D．723．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，中，弦，已知的半徑為，，，那么與間的距離是________．5．（2021·河北·唐山市友誼中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，E為垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD．則圓心O到CD的距離是________．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，平分弦，交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在《折疊圓形紙片》綜合實(shí)踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問(wèn)題：(1)如圖1，的半徑為4cm，通過(guò)折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過(guò)圓心，求AB長(zhǎng)；(2)如圖2，弦AB，垂足為點(diǎn)C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)D，，求的半徑．類型三：利用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題利用垂徑定理解答弓形問(wèn)題時(shí)，常通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題.典型例題例題1．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學(xué)校九年級(jí)期中）如圖是一圓形水管的截面圖，已知⊙O的半徑OA＝13m，水面寬AB＝24m，則水的深度CD是（

）A．6m B．6.5m C．7m D．8m例題2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一個(gè)經(jīng)典的“圓材埋壁”問(wèn)題：“今有圓材埋壁中，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何?"意思是：如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長(zhǎng)是

（

）寸A．20 B．23 C．26 D．30例題3．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1，點(diǎn)P表示筒車的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，則筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為_(kāi)_____m．例題4．（2021·甘肅·金昌市第五中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）尺規(guī)作圖:找出下圖殘破的圓的圓心.不寫(xiě)作法，請(qǐng)保留作圖痕跡．例題5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有15m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2m，即PN＝2m時(shí)，試求：（1）拱橋所在的圓的半徑；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施．同類題型演練1．（2022·浙江衢州·一模）一根排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑，水面寬，則截面圓心O到水面的距離為（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．42．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何?”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：如圖所示，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE為1寸，AB為10寸，求直徑CD的長(zhǎng)．依題意，CD長(zhǎng)為（

）A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸3．（2021·河南許昌·九年級(jí)期中）如圖拱橋可以近似地看作直徑為250m的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連，這些鋼索中最長(zhǎng)的一根的長(zhǎng)度為25m，那么其正下方的路面AB的長(zhǎng)度為（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2022·浙江臺(tái)州·九年級(jí)期末）把一個(gè)球放入長(zhǎng)方體紙盒，球的一部分露出盒外，球與紙盒內(nèi)壁都剛好相切，其截面如圖所示，若露出部分的高度為6cm，AF=DE=3cm，則這個(gè)球的半徑是_____cm．5．（2022·四川自貢·九年級(jí)專題練習(xí)）媽媽不慎把家里的圓形玻璃打碎了，小明帶如圖的玻璃碎片到商店購(gòu)買與原來(lái)大小一樣的圓形玻璃，粗心的工作人員弄亂了操作步驟：①連接AB和BC；②以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O；③在玻璃碎片的圓弧上任意找不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C；④分別作出AB和BC的垂直平分線，并且相交于點(diǎn)O；聰明的小明迅速幫助工作人員排好了順序．正確的操作步驟是

_______．6．（2021·吉林松原·九年級(jí)期末）如圖，要把破殘的圓片復(fù)制完整，已知弧上的點(diǎn)A、B、C．（1）試確定所在圓的圓心O；（2）設(shè)△ABC是等腰三角形，底邊BC＝10厘米，腰AB＝6厘米，求圓片的半徑R．（結(jié)果保留根號(hào)）7．（2022·上海奉賢·二模）圖1是某種型號(hào)圓形車載手機(jī)支架，由圓形鋼軌、滑動(dòng)桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動(dòng)桿的兩端都在圓O