二輪復(fù)習(xí)不等式選講專題卷

1.[2016?湖北八校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=1X—101+1X—201,且滿足f(x)<10〃+10(?！蔙)的解集不是空集.(1)求實(shí)數(shù)。的取值集合A；(2)若b∈A,a≠b，求證:aabb>abba.解(1)1x-101+Ix-20l<10a+10的解集不是空集，則(IX-10l+IX-20l)mi^<10a+10,"10<10a+10,"a>0,A=(0,+∞).⑵證明：不妨設(shè)a>b，則鬻=fa1aba?ZVJa-b,faa?

〔bJ<a>b>0,"*>1,a-b>0,a-b>1,"aabb>abba..[2016?河南測試]已知函數(shù)f(x)=lX—2l.(1)解不等式f(x)+f(x+5)≥9;(2)若lal<1,lbl<1,求證：f(ab+3)>f(a+b+2).解(1f(x)+f(x+5)=lx-2l+lx+3l-2x-1,x<-3,L5,-3≤x≤2,“x+1,x>2.當(dāng)x<-3時(shí)，由-2x-1≥9,解得x≤-5；當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，f(x)≥9,不成立；當(dāng)x>2時(shí)，由2x+1≥9,解得x≥4.所以不等式f(x)+f(x+5)≥9的解集為{xlx≤-5或x≥4}.(2)證明：f(ab+3)>f(a+b+2),即lab+1l>la+bl.因?yàn)镮al<1,Ib1<1,所以Iab+1∣2-Ia+bI2=(a2b2+2ab+1)-(a2+2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以[ab+1I>Ia+bI,故所證不等式成立..已知函數(shù)f(x)=IX-2I-IX+1I.(1)解不等式f(x)>1;ax2x+1(2)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)=---(a>0)的最小值總大于函數(shù)f(x),x試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)X>2時(shí)，原不等式可化為X-2-x-1>1,此時(shí)不成立；當(dāng)-1≤X≤2時(shí)，原不等式可化為2-x-x-1>1,即-1≤X<0；當(dāng)x<-1時(shí)，原不等式可化為2-x+x+1>1,即x<-1,綜上，原不等式的解集是{xIx<0}.(2)因?yàn)間(x)=ax+X-1≥2,ja-1,當(dāng)且僅當(dāng)ax=X,即X=T時(shí)“二”成立，所以g(X)min=2M-1，-2X,0<X≤2, _KX)=1 所以f(X)∈[-3,1),[-3,x>2,所以入a-1≥1,即a≥1為所求.[2016?全國卷”]已知函數(shù)f(x)=I2X-aI+a.(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)≤6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=I2x-1I.當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.解(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=12X-21+2.解不等式|2χ-21+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集為{xI-1≤x≤3}.⑵當(dāng)X∈R時(shí)，f(x)+g(x)=I2x-aI+ a+I1-2xI≥I2X-a+1 - 2xI+a= I1-aI +a.所以當(dāng)X∈R時(shí)，f(x) +g(X)≥3等價(jià)于I1-aI + a≥3.①當(dāng)a≤1時(shí)，①等價(jià)于1-a+a≥3,無解.當(dāng)a>1時(shí)，①等價(jià)于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范圍是[2,+∞).[2016?湖北七市聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x)=Ix一aI,a∈R.(1)若a=1,解不等式f(x)≥?(x+1)；(2)記函數(shù)g(x)=f(x)-Ix—2I的值域?yàn)锳,若A?[-1,3],求a的取值范圍.I1-x,x<1,解(1)由于a=1,故f(x)=1、x-1,x≥1.當(dāng)x<1時(shí)，由f(x)≥1(x+1),得1-x≥2(x+1),解得x≤1.當(dāng)x≥1時(shí)，由f(x)≥1x+1)，得x-1≥2(x+1)，解得x≥3.綜上，不等式f(x)≥1(x+1)的解集為1-8a-2,x≤a,,如3,+∞).一1《(2)當(dāng)a<2時(shí)，g(x)=2x-2-a,a<x<2,g(x)的值域A=[a-v2-a,x≥2,2,2-a],a-2三-1,由AG[-1,3],得j 解得〃三1,又"2,故l≤α<2；、2- ,a-2,x≤2,當(dāng)a≥2時(shí),g(x)= -2x+2+a,2<jc<a, g(x)的值域A=[2-v2-α,x≥a,a,a-2],-β≥-1j由AG[-1,3],得] '解得ɑ≤3,又心2,-2W3,故2W1W3.綜上，〃的取值范圍為[1,3].6.[2016?西安交大附中六診]設(shè)函數(shù)人%)=X—I+?x-a?.(1)求證：當(dāng)a=一；時(shí)，不等式lnf(x)>l成立；(2)關(guān)于%的不等式式x)Zα在R上恒成立，求實(shí)數(shù)〃的最大值.解(1)證明：由AX)=?-1+x+∣1-2x+2,x<-2?<c1,,5—3, ,5<2x-2,x>2得函數(shù)八x)的最小值為3,從而式x)N3>e.所以k?>l成立.5 （5A⑵由絕對值的性質(zhì)得兀X）=%-2+Ix-al≥I∣x-2J-（?-^）52，所以人元）最小值為I-<2,從而I-βl≥a,解得,因此〃的最大值為|.7.[2016?太原測評]對于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b，不等式Ia+bl+la一bl≥M?lal恒成立，記實(shí)數(shù)M的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式lX—1l+lX—2l≤m.解(1)不等式la+bl+la-bl≥M?lal恒成立,la+bl+la-bl即M≤ 白 對于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b恒成立，ala+bl+la-bl所以M的最大值m是 I——的最小值.a因?yàn)閘a+bl+la-bl≥l(a+b)+(a-b)l=2lal,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(a+b)≥0時(shí)等號(hào)成立，即lal≥lbl時(shí)，la+bl+la-bl B ≥2成立，所以m=2.(2)lX-1l+lX-2l≤2.解法——利用絕對值的意義得1≤X≤5.解法二：當(dāng)X<1時(shí)，原不等式化為-(X-1)-(X-2)≤2,解得X≥2，所以X的取值范圍是1≤X<1；當(dāng)1≤X≤2時(shí)，原不等式化為(X-1)-(X-2)≤2,得X的取值范圍是1≤X≤2；當(dāng)X>2時(shí)，原不等式化為(X-1)+(X-2)≤2,解得X≤5.所以X的取值范圍是2<X≤2.綜上所述，X的取值范圍是1≤X≤2.解法三：構(gòu)造函數(shù)y=lX-1l+lX-2l-2,作出y=-2X+1(X<1),-1(1≤X≤2),的圖象如圖所示，v2X-5(x>2)利用圖象有當(dāng)y≤0,得1≤x[2016?洛陽統(tǒng)考]已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,X1,X2∈(0,

+∞).(1)求?+b+宗的最小值；

aXX(2)求證：(aX1+bX2)(aX2+bX1)≥XIX2.解(1)因?yàn)閍,b∈(0,所以9+?+χX2≥3?3×-...^=6,當(dāng)且僅當(dāng)滬A后12,a=b,即a=b=^且X1=X2=1時(shí)，++$+2——有最小值6.X1X2⑵證法一：由a,b∈(0,+∞),a+b=1,X1,x2∈(0,+∞),及柯西不等式可得：(ax1 + bx2)(ax2 + bx1) =[( -、j西)2+(%;運(yùn))2]?[(、乒2 )2 +(%；西)2]≥(%;西.、,:司+JbX2?\：'西)2=(a?Xx2+b?x1x2)2=x1x2,當(dāng)且僅當(dāng)端=而，即X1=x2時(shí)取得等號(hào)?證法二：因?yàn)閍,b∈(0,+∞),a+b=