0603高一數(shù)學（人教A版）平面-1教案

教案教學基本信息課題平面學科數(shù)學學段：高中年級高一年級教材書名：普通高中教科書數(shù)學必修第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學設計參與人員姓名單位設計者實施者指導者課件制作者其他參與者教學目標及教學重點、難點本節(jié)課主要內(nèi)容是基于日常生活經(jīng)驗采取類比直線的手段引入平面的概念及其表示法，并用三個基本事實來刻畫平面的“平”“無限延展”等基本特性，同時掌握確定平面的基本要素；按照“三維對象（幾何模型）---圖形---文字---符號”的程序展開，讓學生經(jīng)歷從實際背景中抽象空間圖形的過程，加強由實際模型到圖形，再由圖形到實際模型的基本訓練，逐步培養(yǎng)學生的空間想象能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).教學重點：平面基本性質(zhì)（三個基本事實）及其推論；教學難點：對三個基本事實刻畫平面基本性質(zhì)的理解，三種語言（圖形語言、文字語言、符號語言）及其相互轉(zhuǎn)化.教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖引入前面我們從現(xiàn)實生活的物體中抽象出簡單幾何體，并初步認識了它們的基本組成元素，了解了它們的結(jié)構(gòu)特征，掌握了一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；為了更深入的認識和把握這些簡單幾何體，從本節(jié)課開始我們將從構(gòu)成它們的基本元素：點、直線、平面入手，從局部到整體進一步研究簡單幾何體及其性質(zhì).回顧前面的知識，明確研究簡單幾何體的方法，并引出本節(jié)課內(nèi)容新課一、平面的基本特征及其表示法（一）平面的基本特征通過初中的學習我們知道了點和直線是由現(xiàn)實事物抽象而來的，同時也明確了直線的兩個本質(zhì)特征：“直”和向兩端“無限延伸”.同樣我們也可以從現(xiàn)實事物中抽象出幾何里的“平面”，例如課桌面、黑板面、平靜的水面等，類比直線我們可以概括出平面的本質(zhì)特征：“平”和向四周“無限延展”.（二）平面的表示法接下來我們來學習平面的圖形表示和符號表示：1、圖形表示：問題1：同學們下面請你回想一下，我們是如何表示直線的？類比用直線的局部（即線段）表示直線，我們選取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直觀圖（即平行四邊形）來表示平面.如圖，把平行四邊形的一邊畫成橫向來表示水平放置的平面，把平行四邊的一邊畫成豎向來表示豎直放置的平面.水平放置豎直放置2、符號表示：我們常用希臘字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并將他們寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(nèi)，如下圖所示。我們也可以用平行四邊形的四個頂點或相對頂點的大寫字母表示平面，如平面、平面或者平面.二、點、直線、平面位置關(guān)系的符號表示我們知道直線上有無數(shù)個點，平面上有無數(shù)條直線，直線與平面都可以看做點的集合，接下來我們將借助集合符號來表示點、直線、平面的位置關(guān)系.1、用符號“∈”和“”來表示點與直線，點與平面的位置關(guān)系；2、用符號“”和“”來表示直線與平面的位置關(guān)系；3、用符號“∩”來表示直線與直線、直線與平面、平面與平面相交這種位置關(guān)系．這里需要注意的是P既可以理解為一個點，也可以理解為只含一個元素（點P）的集合.練習用符號表示下列語句，并畫出相應的圖形：(1)點A在平面內(nèi)，點B在平面外；(2)直線?經(jīng)過平面外一點M；三、平面的基本性質(zhì)問題2：要研究平面，首先要確定平面.我們知道兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面呢？在我們的日常生活中常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：（1）自行車用一個腳架和兩個車輪著地就可以“站穩(wěn)”；（2）三角架的三角著地就可以支撐照相機；問題3：上述兩個生活現(xiàn)象的共同特征是什么？可以反映出平面的什么性質(zhì)？可以發(fā)現(xiàn)它們的共同點是：不共線的三個支點同時落在了地面上，如果將三個支點抽象成點，地面抽象成平面，可以得到如下結(jié)論：基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.問題4：結(jié)論中的“有且只有”對于我們理解基本事實1起到至關(guān)重要的作用，那么“有且只有”的含義是什么呢？“有”指過不在一條直線上的三個點存在一個平面體現(xiàn)了平面存在性；“只有一個”是指過不在一條直線上的三個點存在唯一一個平面體現(xiàn)了平面唯一性.問題5：經(jīng)過空間中的一個點或者兩個點有唯一一個平面嗎？你能舉例說明嗎？問題6：經(jīng)過在一條直線上的三個點有唯一一個平面嗎？你能舉例說明嗎？問題7：空間中不在一條直線上的4個點一定會在一個平面內(nèi)嗎？圖形語言如下：如圖不共線的三點所確定的平面也可以表示為平面.基本事實1的作用：基本事實1給出了確定一個平面的依據(jù)，它也可以簡單的表述為“不共線的三點確定一個平面”.基本事實1小結(jié)：基本事實1反映了點與平面的關(guān)系，從點與平面的角度刻畫了平面的基本特征.問題8：（1）如果直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內(nèi)？（2）是如果直線與平面有兩個公共點，直線是否在平面內(nèi)？對于問題（1）結(jié)合我們已有的生活經(jīng)驗很容易得到直線并不一定在平面內(nèi)如圖所示，對于問題2我們可以考慮這樣的生活經(jīng)驗：如果一根直尺邊緣上的任意兩點在桌面上，那么直尺的整個邊緣就落在桌面上，我們將直尺抽象成直線，桌面抽象成平面，我們可以得到如下結(jié)論：基本事實2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在平面內(nèi).圖形語言如下：符號語言為：，，且，.基本事實2告訴我們?nèi)绻粭l直線上的兩個點在平面內(nèi)，那么整條直線都在平面內(nèi)，更進一步說直線上的所有點都在平面內(nèi).基本事實2的作用：利用基本事實2可以判定直線是否在平面內(nèi).基本事實2小結(jié)：基本事實2反映出用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”，那么為什么能用直線的直和無限延伸來刻畫平面的平和無限延展呢，我們作如下解釋：如圖由基本事實1,給定不共線的三點，它們可以確定一個平面；連接,由基本事實2知，這三條直線都在平面內(nèi)，進而連接這三條直線上任意兩點所得的直線也都在平面內(nèi)，以此類推，所有這些直線可以編織成一個直線網(wǎng)可以鋪滿平面.組成這個直線網(wǎng)的直線的直和向各個方向無限延伸，說明了平面的平和無限延展了。問題9：（1）把三角板的一個角立在桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只有一個公共點？（2）如果有其他公共點，他們和這個公共點有什么樣的關(guān)系呢？我們可以想象三角板所在的平面向四周無限延展，這樣它必然會穿透課桌面，所以兩個平面不止有一個公共點，而是相交于一條直線.所以我們可以得到如下結(jié)論：基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.圖形語言如下：

（1）（2）注：在兩個平面相交時，如果一個平面的一部分被另外一個平面擋住，在畫圖時被擋住的部分畫成虛線如圖（1）或不畫如圖（2）符號語言：,且，且基本事實3的作用：（1）利用基本事實3可以判定兩個平面相交，即如果兩個平面有公共點，那么這兩個平面一定相交于一條直線.（2）利用基本事實3可以判定點在直線上，即若點是兩個平面的交點，直線是兩個平面的交線，那么這點一定在該交線上.基本事實3小結(jié)：基本事實3反映了平面與平面之間的關(guān)系，從平面與平面角度刻畫了平面的基本特征，由于平面是“平”的，這樣兩個平面的交線才是直線，否則就不可能是直線．如下圖，平面α與曲面β的交線不是直線．三個基本事實從不同角度刻畫了平面的平和無限延展的本質(zhì)特征；三個基本事實是人們經(jīng)過長期觀察與實踐總結(jié)出來的，是幾何推理的基本依據(jù)，也是我們進一步研究立體圖形的基礎(chǔ).練習如圖，在正方體中，判斷下列命題是否正確.(1)直線在平面內(nèi)；(2)設正方形和的中心分別為則平面與平面的交線為；(3)由點B，O，D可以確定一個平面．問題10：基本事實1給出了確定平面的一種方法，還有其它確定平面的方法嗎？探究推論1：由基本事實1知不共線的三點A，B，C確定一個平面,如圖，把AB連成直線，則由基本事實2可得直線AB在平面內(nèi)，所以，平面是唯一一個經(jīng)過直線AB及直線AB外一點C的平面.故我們可以得到如下推論：推論1：經(jīng)過直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.探究推論2：由推論1知平面是唯一一個經(jīng)過直線AB及直線AB外一點C的平面，如圖，再將AC連成直線，此時直線AB與AC相交于點A，再由基本事實2知直線AC在平面內(nèi).所以平面是唯一一個經(jīng)過兩條相交直線AB,AC的平面，故我們可以得到如下推論:推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.探究推論3：由推論1知平面是唯一一個經(jīng)過直線AB及直線AB外一點C的平面，如圖,過點C作CD平行于AB，因為，直線AB,CD在同一平面內(nèi).所以，平面是唯一一個經(jīng)過兩條平行直線AB,CD的平面.故我們可以得到如下推論:推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個一個平面.推論3可以證明平行四邊形，梯形都是平面圖形.上面的3個推論和基本事實1為我們提供了確定一個平面的幾種方法，這些都是我們后續(xù)研究直線和平面之間平行、垂直關(guān)系時常用結(jié)論.明確抽象對象，引導學生感受平面的特點，并類比直線的“直”和向兩端“無限延伸”，得到平面的兩個本質(zhì)特征.類比直線的表示法給出平面的表示法，讓學生感悟類比是數(shù)學中研究問題的一個重要手段.通過平面的圖形表示實際也是其直觀圖的表示進一步發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).給出點和直線、平面之間位置關(guān)系的集合符號表示，讓學生體會文字語言、圖形語言和符號語言間的轉(zhuǎn)化.基本事實1的給出與“兩點確定一條直線”相類比，結(jié)合生活現(xiàn)象抽象出結(jié)論,明確本節(jié)課乃至全章的研究方法.通過三個問題幫助學生加深對基本事實1的理解，三個問題從反面說明了基本事實1中不共線三點這個條件的重要性.基本事實1實際是點和平面的位置關(guān)系，也是確定平面的問題，從不同角度讓學生體會“過不在一條直線上的三個點”這一條的重要性.基本事實2反映了直線和平面的關(guān)系，從基本事實1開始已經(jīng)明確了研究的思路和方法.從集合的角度來闡述基本事實2,讓學生體會基本事實2的兩層意思：一是整條直線在平面內(nèi)，二是直線上的所有點在平面內(nèi).結(jié)合基本事實1和基本事實2，用直線的“直”和“無限延伸”的本質(zhì)特征說明平面的“平”和“無限延展”的本質(zhì)特征，利用ppt展示直線“密鋪”整個平面的過程，讓學生加深對于平面的理解.提出思考問題，結(jié)合生活經(jīng)驗，歸納得出基本事實3..基本事實3反映了兩個平面的位置關(guān)系，只要兩個不重合的平面有公共點，它們就必然相交，引導學生進行直觀想象，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).基本事實3描述了兩個平面相交的特征，為學生日后研究兩平面相交提供的方法，基本事實3從另外一個角度反映了平面的本質(zhì)特征，進一步加深了學生對平面的理解.在教學中引導學生通過基本事實1和基本事實2相結(jié)合逐步得到三個推論，在這一過程中，進一步體會三個基本事實在得到確定平面的三個推論中的重要作用.由于推論的證明涉及到存在性和唯一性兩個方面，學生初次接觸較為困難，故在教學中采取敘述說理的方式讓學生體會三個推論的正確性，并未證明,同時也突出了本節(jié)課的重點內(nèi)容.例題例題證明兩兩相交且不過同一點的3條直線必在同一平面內(nèi).例題如圖，正方體，是棱上的一點，試說明三點所確定的平面與平面相交，并畫出兩個平面的交線.本例題的題干是文字語言，學生在理解題意時，教師引導學生要將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形和符號語言，進而加深對題干的理解.本例題是以正方體為載體考查了學生對三個基本事實的理解和綜合應用能力，同時也在強化本章內(nèi)容學習的重要載體,為學生后續(xù)學習開拓思路.總結(jié)同學們，請思考下面三個問題并老師一起來回顧本節(jié)課的內(nèi)容（1）三個基本事實分別是什么？（2）我們是如何得到這個三個基本事實的？（3）確定一個平面的方式有幾種？本節(jié)課與我們現(xiàn)實世界聯(lián)系密切，是整個立體幾何推理的基礎(chǔ)，在本節(jié)課中，我們先從現(xiàn)實事物中抽象出平面，類比直線歸納總結(jié)出平面的基本特征為：平和向四周無限延展，之后從生活經(jīng)驗中總結(jié)歸納出平面的基本性質(zhì)即三個基本事實，這三個基本事實從不同的角度刻畫了平面的平和向四周無限延展，之后利用基本事實1和2得到了三個常用的推論，這三個推論與基本