2022-2023學(xué)年河北省唐山市遷安市八年級(jí)下期末數(shù)學(xué)試卷含解析

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一、選擇題（本大題共16小題，共32.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離是()

A.B.C.D.

2.根據(jù)“五項(xiàng)管理”和“雙減”政策要求遷安市某中學(xué)為了解本校名學(xué)生的睡眠情況，從中抽查了名學(xué)生的睡眠時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，下面敘述正確的是()

A.以上調(diào)查屬于全面調(diào)查B.名學(xué)生是樣本容量

C.每名學(xué)生的睡眠時(shí)間是個(gè)體D.名學(xué)生是總體的一個(gè)樣本

3.下列函數(shù)中，自變量的取值范圍是的函數(shù)是()

A.B.C.D.

4.下面哪個(gè)點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上()

A.B.C.D.

5.在學(xué)習(xí)“四邊形”的知識(shí)時(shí)，小明的書上有一個(gè)圖因不小心被滴上了墨水如圖，請(qǐng)問被墨跡遮蓋了的文字是()

A.四邊形B.等腰梯形C.等邊三角形D.菱形

6.已知一次函數(shù)，且，則它的圖象不經(jīng)過的象限()

A.一B.二C.三D.四

7.某學(xué)校在某商城的南偏西方向上，且距離商城，則下列表示正確的是()

A.B.

C.D.

8.如圖，將五邊形沿對(duì)角線所在的直線剪開，得到四邊形和，設(shè)四邊形內(nèi)角和為，三角形內(nèi)角和為，則與的關(guān)系式()

A.

B.

C.

D.無法確定

9.某校測(cè)量了八班學(xué)生的身高精確到，得到如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，則下列說法正確的是()

A.該班人數(shù)為人

B.該班身高最高段的學(xué)生數(shù)為人

C.該班身高最高段的學(xué)生數(shù)為人

D.頻數(shù)分布直方圖按為組距進(jìn)行分組

10.平行四邊形的周長(zhǎng)為，兩鄰邊長(zhǎng)為、，則與之間的關(guān)系是()

A.B.

C.D.

11.如圖，一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：

兩組對(duì)邊分別相等

一組對(duì)邊平行且相等

一組鄰邊相等

一個(gè)角是直角

順次添加的條件：

，

則正確的添加順序是()

A.僅B.C.D.

12.小紅在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫了一個(gè)一次函數(shù)的圖象，圖象特點(diǎn)如下：

圖象過點(diǎn)

圖象與軸的交點(diǎn)在軸上方

隨的增大而減小

符合該圖象特點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為()

A.B.C.D.

13.如圖，平行四邊形中，點(diǎn)、在對(duì)角線上，且，要使四邊形為菱形，現(xiàn)有三種方案：

只需要滿足；

只需要滿足；

只需要滿足．

則上述方案正確的是()

A.B.C.D.

14.如圖，在長(zhǎng)方形中，，，動(dòng)點(diǎn)沿折線從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，的面積為，那么與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()

A.B.

C.D.

15.如圖，兩摞規(guī)格完全相同的作業(yè)本整齊地疊放在桌面上，根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)信息，甲、乙、丙、丁四人分別給出下列信息：

甲：每本作業(yè)本的厚度為

乙：桌面距離地面的高度為

丙：若有一摞這種規(guī)格作業(yè)本本整齊放在桌面上，這摞作業(yè)本頂部距離地面高度為單位：，則．

對(duì)于三個(gè)信息，下列說法正確的是()

A.只有甲錯(cuò)誤B.只有甲、乙正確C.只有甲、丙正確D.都正確

16.如圖，在矩形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，以為邊在下方作正方形，已知，連接，則的度數(shù)為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共3小題，共10.0分）

17.若點(diǎn)在第三象限，則的取值范圍是______．

18.如圖，直線：與直線：的交點(diǎn)為則方程組的解為______．

19.如圖，點(diǎn)在四邊形的邊上任意一點(diǎn)，且，，垂足分別為，．

若四邊形為正方形，且正方形的邊長(zhǎng)為，如圖，則______；

若四邊形為矩形，且，，如圖，則______．

三、解答題（本大題共6小題，共58.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

20.本小題分

如圖，在的網(wǎng)格中有，已知，．

請(qǐng)建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

在的基礎(chǔ)上，畫出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；

連接、，猜想四邊形的形狀是______．

21.本小題分

為了解某校九年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)健康情況，李老師從個(gè)班中每班隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行了一次體質(zhì)健康測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)制成統(tǒng)計(jì)圖表和請(qǐng)根據(jù)上述信息解答下列問題：

本次調(diào)查的樣本容量是______；

表格中的______；

求九年級(jí)學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)?cè)诮M頻率；

若該校九年級(jí)學(xué)生有人，估計(jì)體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)不低于分的有多少人？

圖

組別分?jǐn)?shù)段人數(shù)

22.本小題分

如圖，在四邊形中，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于，連接．

求證：；

若，求證：四邊形是菱形；

在的條件下，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到離點(diǎn)距離最近時(shí)，猜想與的關(guān)系，并說明理由．

23.本小題分

某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日生產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出已知生產(chǎn)只玩具熊貓的支出成本為元，銷售收入為元且支出成本元與只成一次函數(shù)．

已知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系；

銷售收入為元與只的關(guān)系如表：

只

元

直接寫出元與只的函數(shù)關(guān)系；

該廠在保證支出成本不少于元，銷售收入不超過元的情況下，求該廠一天的最高利潤(rùn)．

24.本小題分

數(shù)學(xué)課上大家一起研究三角形中位線性質(zhì)定理：三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊且等于第三邊的一半．

已知，如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)．

求證：且．

【定理探究】某數(shù)學(xué)小組有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)甲同學(xué)思考后說出了添加的輔助線：

甲：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．

【定理證明】請(qǐng)把甲同學(xué)說的輔助線補(bǔ)充到圖上，并根據(jù)他的思路證明三角形中位線性質(zhì)定理；

【合作交流】通過交流乙、丙、丁三位同學(xué)又給出了三種不同的輔助線方法：

乙：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接、、．

丙：作，延長(zhǎng)使，延長(zhǎng)，使．

?。哼^點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．

則三位同學(xué)所作的輔助線能證明三角形中位線性質(zhì)定理的是______；

A.乙、丁丙、丁乙、丙全正確

【定理應(yīng)用】如圖，，兩地被池塘隔開，不能直接測(cè)量它們之間的距離測(cè)量員在地面上選了點(diǎn)和點(diǎn)，使，連接、并分別找到和的中點(diǎn)，若測(cè)得，，則，兩地間的距離______

25.本小題分

如圖，，是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；

點(diǎn)是折線上一動(dòng)點(diǎn)．

當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，在軸上找一點(diǎn)，使的和最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

若是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使四邊形為矩形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：點(diǎn)到軸的距離是：．

故選：．

直接利用點(diǎn)到軸的距離即為縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即可得出答案．

此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，正確掌握點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：以上調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故A不符合題意；

B.是樣本容量，故B不符合題意；

C.每名學(xué)生的睡眠時(shí)間是個(gè)體，故C符合題意；

D.名學(xué)生的睡眠時(shí)間是總體的一個(gè)樣本，故D不符合題意；

故選：．

總體是指考查的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考查的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目．我們?cè)趨^(qū)分總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，這四個(gè)概念時(shí)，首先找出考查的對(duì)象．從而找出總體、個(gè)體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對(duì)象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．

本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個(gè)體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對(duì)象．總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€(gè)體的數(shù)目，不能帶單位．

3.【答案】

【解析】解：、由題意得：，

解得：，不符合題意；

B、由題意得：，

解得：，符合題意；

C、由題意得：的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，不符合題意；

D、由題意得：，

解得：，不符合題意；

故選：．

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為零列出不等式，解不等式即可判斷．

本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為零是解題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：、將代入得：

，

所以該點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，該選項(xiàng)符合題意；

B、將代入得：

，

所以該點(diǎn)在函數(shù)圖象上，該選項(xiàng)不符合題意；

C、將代入得：

，

所以該點(diǎn)在函數(shù)圖象上，該選項(xiàng)不符合題意；

C、將代入得：

，

所以該點(diǎn)在函數(shù)圖象上，該選項(xiàng)不符合題意．

故選：．

將選項(xiàng)中的點(diǎn)代入函數(shù)解析式中驗(yàn)證即可．

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是將各個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證．

5.【答案】

【解析】解：根據(jù)特殊四邊形的關(guān)系，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，

有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，

結(jié)合圖形可知，被墨跡遮蓋了的文字是：菱形．

故選：．

根據(jù)特殊四邊形的關(guān)系，結(jié)合圖形進(jìn)行解答．

本題主要考查了特殊四邊形：平行四邊形，矩形，菱形，正方形之間的關(guān)系，需熟練掌握并靈活運(yùn)用．

6.【答案】

【解析】解：函數(shù)且，，，

當(dāng)時(shí)，此函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．

則一定不經(jīng)過第三象限．

故選：．

根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論．

本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知一次函數(shù)中，函數(shù)的圖象所在的象限是解答此題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：、某商城在某學(xué)校的南偏西方向上，且距離商城，故A不符合題意；

B、某學(xué)校在某商城的南偏西方向上，且距離商城，故B不符合題意；

C、某學(xué)校在某商城的南偏西方向上，且距離商城，故C符合題意；

D、某商城在某學(xué)校的南偏西方向上，且距離商城，故D不符合題意；

故選：．

根據(jù)方向角的定義，即可解答．

本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：四邊形內(nèi)角和為，三角形內(nèi)角和為，

所以，

故選：．

利用多邊形內(nèi)角和求出、的值，進(jìn)而得出即可．

本題考查多邊形內(nèi)角和，掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法是正確解答的前提．

9.【答案】

【解析】解：、該班人數(shù)為：人，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、該班身高最高段的學(xué)生數(shù)為人，故本選項(xiàng)符合題意；

C、該班身高最高段的學(xué)生數(shù)為人，不是人，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、頻數(shù)分布直方圖按為組距進(jìn)行分組的，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：．

分別對(duì)個(gè)選項(xiàng)結(jié)合頻數(shù)分布直方圖作出判斷即可．

本題考查頻數(shù)分布直方圖，能正確認(rèn)識(shí)頻數(shù)分布直方圖，并能從中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：平行四邊形的周長(zhǎng)為，兩鄰邊長(zhǎng)為、，

，

則．

故選：．

直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合其對(duì)邊相等進(jìn)而得出與之間的關(guān)系．

此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式，正確掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的四邊形是菱形，有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，符合題意；

只能判定四邊形是菱形，不能判定四邊形是正方形，不符合題意．

，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形，符合題意．

故選：．

由平行四邊形，菱形，正方形的判定，即可判斷．

本題考查平行四邊形，菱形，正方形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形，菱形，正方形的判定方法．

12.【答案】

【解析】解：當(dāng)時(shí)，，，

一次函數(shù)的圖象不過點(diǎn)，選項(xiàng)A不符合題意；

B.當(dāng)時(shí)，，，

一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，在軸上方；

，

隨的增大而減小，選項(xiàng)B符合題意；

C.，

隨的增大而增大，選項(xiàng)C不符合題意；

D.當(dāng)時(shí)，，

一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，在軸下方，選項(xiàng)D不符合題意．

故選：．

A.利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出一次函數(shù)的圖象不過點(diǎn)；

B.利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出一次函數(shù)符合給出的三個(gè)特點(diǎn)；

C.利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出隨的增大而增大；

D.利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，在軸下方．

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的圖象，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，，，

，

，

即，

四邊形是平行四邊形，

，

，

，

，

，

平行四邊形是菱形，

，

平行四邊形是菱形，符合要求；

四邊形是平行四邊形，

，不能判定平行四邊形是菱形，不符合要求；

四邊形是平行四邊形，，

平行四邊形是菱形，符合要求．

故選：．

先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的判定分別對(duì)各個(gè)方案進(jìn)行判斷即可．

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：由題意當(dāng)時(shí)，

，

當(dāng)時(shí)，

．

故選：．

分別求出、時(shí)函數(shù)表達(dá)式，即可求解．

本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．

15.【答案】

【解析】解：甲、根據(jù)圖形可知，，故甲說法錯(cuò)誤；

乙、根據(jù)圖形可知，，故乙說法正確；

丙、根據(jù)題意得：這摞作業(yè)本頂部距離地面高度為：，故丙說法正確；

故以上說法只有甲錯(cuò)誤．

故選：．

甲、每本作業(yè)本的厚度為本書厚度桌子高度本書厚度桌子高度是本書的厚度，可求；

乙、根據(jù)甲的答案，用本書厚度桌子高度減去本書的厚度，可得答案；

丙、根據(jù)甲和乙的答案，可列出代數(shù)式．

本題考查列代數(shù)式，根據(jù)題意找到書厚度與桌子高度之間的關(guān)系是關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：，

，

，

四邊形是矩形，

，，，，

，

，

的等邊三角形，

，

，

，

，

，

故選：．

根據(jù)正方形的面積可得，證明的等邊三角形，由，即可解決問題．

此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到是等邊三角形．

17.【答案】

【解析】解：點(diǎn)在第三象限，

，

解不等式得，，

解不等式得，，

所以，的取值范圍是．

故答案為：．

根據(jù)第三象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)列出不等式組，然后求解即可．

本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征以及解不等式，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．

18.【答案】

【解析】解：與直線：的交點(diǎn)為，

方程組的解為．

故答案為：．

利用方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)求解．

本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組：方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．

19.【答案】

【解析】解：如圖所示，設(shè)，交于點(diǎn)，連接，

四邊形是正方形，正方形的邊長(zhǎng)為，

，，

又，，

，

即，

，

故答案為：．

如圖所示，設(shè)，交于點(diǎn)，連接，

四邊形為矩形，且，，

，，

又，，

，

，

，

故答案為：．

設(shè)，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)即可求解；

設(shè)，交于點(diǎn)，連接，同的方法即可求解．

本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】平行四邊形

【解析】解：已知，，平面直角坐標(biāo)系如圖：

由圖可知：；

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的如圖所示：

連接、，，，

、，、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

，，

四邊形是平行四邊形．

故答案為：平行四邊形．

由點(diǎn)、坐標(biāo)容易建立平面直角坐標(biāo)系，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；

分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，連接即可；

根據(jù)平行四邊形的判定定理判定即可．

本題考查坐標(biāo)系與圖形、平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】

【解析】解：本次調(diào)查的樣本容量是，

故答案為：；

，

故答案為：；

，

答：九年級(jí)學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)?cè)诮M頻率為；

人，

答：估計(jì)體質(zhì)健康測(cè)試成績(jī)不低于分的有人．

根據(jù)從個(gè)班中每班隨機(jī)抽取名學(xué)生解答即可；

用總?cè)藬?shù)乘以組的百分比即可得出；

用組人數(shù)除以即可得出答案；

用總?cè)藬?shù)乘以樣本中成績(jī)?cè)诮M的百分比即可．

本題考查的是頻數(shù)率分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．

22.【答案】證明：在和中，

，

≌，

；

證明：，

，

，

，

，

，，

，

四邊形是菱形；

解：，

理由：當(dāng)時(shí)，最短，

此時(shí)，，

四邊形是菱形，

，

又，，

≌，

，

．

【解析】證明≌，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

證出，由菱形的判定可得出結(jié)論；

證明≌，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出結(jié)論．

此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)等知識(shí)，證明≌是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：設(shè)與的關(guān)系式為：，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

，

解得，

；

由表格可知與的關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系式，

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，

則，

解得，

；

由支出成本不少于元，銷售收入不超過元可得：，

解得，

設(shè)該廠一天的利潤(rùn)為元，

則，

，

隨的增大而增大，

當(dāng)時(shí)，最大，最大值為：元，

答：該廠一天的最高利潤(rùn)為元．

【解析】利用待定系數(shù)法可求解與之間的函數(shù)關(guān)系；

根據(jù)表格先確定與的關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系式，再利用待定系數(shù)法計(jì)算可求解；

由題意先求解的取值范圍，再列出利潤(rùn)與的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可求解．

本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】

【解析】【定理證明】解：是的中點(diǎn)，

，

，，

≌，

，，

，

是的中點(diǎn)，

，

，

四邊形是平行四邊形，

，；

【合作交流】乙：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接、、，推出四邊形是平行四邊形，得到，，因此四邊形是平行四邊形，即可證明．

丙：作，延長(zhǎng)使，延長(zhǎng)，使，根據(jù)全等三角形的判