2018年高考全國(guó)卷2文科數(shù)學(xué)試題及答案

2018年高考全國(guó)卷2文科數(shù)學(xué)試題及答案2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.在答題卡上填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。2.答案必須寫(xiě)在答題卡上，本試卷和草稿紙上的答案無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）1.計(jì)算i(2+3i)的值。A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i2.已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，則A∩B的值為？A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}3.函數(shù)f(x)=ex-e-x的圖像大致為？4.已知向量a，b滿足|a|=1，a·b=-1，則a·(2a-b)的值為？A.4B.3C.2D.55.從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，選中的2人都是女同學(xué)的概率為？A.0.6B.0.5C.0.4D.0.36.雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為3，則其漸近線方程為？A.y=±2xB.y=±3xC.y=±$\frac{2}{3}$xD.y=±$\frac{3}{2}$x7.在△ABC中，$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{5}$，$\cosA=\frac{4}{5}$，則AB的值為？A.42B.30C.29D.258.為計(jì)算$S=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{100}$，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入？開(kāi)始N=0,T=i=1是1/ii<100否N=N+T=T+S=N-T輸出S結(jié)束A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+49.在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E為棱CC'的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為？A.$\frac{2}{\sqrt{2}}$B.$\frac{3}{\sqrt{2}}$C.$\frac{5}{\sqrt{2}}$D.$\frac{7}{\sqrt{2}}$10.若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是減函數(shù)，則a的最大值是？A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{3\pi}{4}$D.$\pi$11.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為？A.1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.2-$\sqrt{3}$C.$\sqrt{3}$-1D.1D.3-112.已知函數(shù)$f(x)$是定義域?yàn)?(-\infty,+\infty)$的奇函數(shù)，滿足$f(1-x)=f(1+x)$。若$f(1)=2$，則$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=$A.$-50$B.$0$C.$2$D.$50$二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線$y=2\lnx$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程為$\underline{\hspace{2cm}}$。14.若$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}x-2y+3\geq0,\\x-5\leq0,\end{cases}$則$z=x+y$的最大值為$\underline{\hspace{2cm}}$。15.已知$\tan(\alpha-\dfrac{5\pi}{4})=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，則$\tan\alpha=$$\underline{\hspace{2cm}}$。16.已知圓錐的頂點(diǎn)為$S$，母線$SA,SB$互相垂直，$SA$與圓錐底面所成角為$30^\circ$，若$\triangleSAB$的面積為$8$，則該圓錐的體積為$\underline{\hspace{2cm}}$。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23為選考題?？忌鶕?jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）記$S_n$為等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和，已知$a_1=-7$，$S_3=-15$。（1）求$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式；（2）求$S_n$，并求$S_n$的最小值。18.（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額$y$（單位：億元）的折線圖。為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了$y$與時(shí)間變量$t$的兩個(gè)線性回歸模型。根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量$t$的值依次為$1,2,\cdots,17$）建立模型①：$y\hat{}=-30.4+13.5t$；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量$t$的值依次為$1,2,\cdots,7$）建立模型②：$y\hat{}=99+17.5t$。（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由。19.（12分）如圖，在三棱錐$P-ABC$中，$AB=BC=22$，$PA=PB=PC=AC=4$，$O$為$AC$的中點(diǎn)。（1）證明：$PO\perp$平面$ABC$；（2）若點(diǎn)$M$在棱$BC$上，且$MC=2MB$，求點(diǎn)$C$到平面$POM$的距離。20.（12分）設(shè)拋物線$C:y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過(guò)$F$且斜率為$k(k>0)$的直線$l$與$C$交于$A,B$兩點(diǎn)，$|AB|=8$。（1）求$l$的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)$A,B$且與$C$的準(zhǔn)線相切的圓的方程。21.（12分）已知函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+1)=\dfrac{1}{2}f(x)+1$，且$f(0)=0$。（1）證明：$f(x)=2-\dfrac{1}{2^x}$；（2）若$a_n=f(1)+f(2)+\cdots+f(n)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。已知函數(shù)$f(x)=x^3-ax^2+x+1$。(1)當(dāng)$a=3$時(shí)，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。解：$f'(x)=3x^2-2ax+1$，令$f'(x)=0$，解得$x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-3}}{3}$。因?yàn)?a=3$，所以$x=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{3}$。將$x=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$、$x=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$代入$f(x)$，得到$f\left(\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\right)<f\left(\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\right)$，即$f(x)$在$\left(-\infty,\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\right)$上單調(diào)遞增，在$\left(\dfrac{3-\sqrt{6}}{3},\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\right)$上單調(diào)遞減，在$\left(\dfrac{3+\sqrt{6}}{3},+\infty\right)$上單調(diào)遞增。(2)證明：$f(x)$只有一個(gè)零點(diǎn)。證明：當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)>0$，因?yàn)?x^3<ax^2-x-1$。當(dāng)$x=0$時(shí)，$f(x)=1>0$。當(dāng)$x>0$時(shí)，$f(x)>0$，因?yàn)?x^3>ax^2-x-1$。所以$f(x)$在實(shí)數(shù)軸上只有一個(gè)零點(diǎn)。選修題：22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知$\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=4\sin\theta\end{cases}$和$\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\\y=2+t\sin\alpha\end{cases}$，在直角坐標(biāo)系$xOy$中，曲線$C$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=4\sin\theta\end{cases}$，直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\\y=2+t\sin\alpha\end{cases}$。(1)求$C$和$l$的直角坐標(biāo)方程。解：將$\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=4\sin\theta\end{cases}$代入$x=1+t\cos\alpha$和$y=2+t\sin\alpha$，得到$\dfrac{x-1}{\cos\alpha}=\dfrac{y-2}{\sin\alpha}=t$，所以$l$的直角坐標(biāo)方程為$\dfrac{x-1}{\cos\alpha}=\dfrac{y-2}{\sin\alpha}$。將$\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=4\sin\theta\end{cases}$代入$l$的直角坐標(biāo)方程，得到$2\cos\theta-\dfrac{1}{2}(y-2)=0$，即$y=4\cos^2\theta-4$，所以$C$的直角坐標(biāo)方程為$y=4x^2-4$。(2)若曲線$C$截直線$l$所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，求$l$的斜率。解：設(shè)$l$與$C$的交點(diǎn)為$P(x,y)$，則$l$的斜率為$\dfrac{y-2}{x-1}$，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為$\left(\dfrac{x+1}{2},\dfrac{y+2}{2}\right)=(1,2)$，解得$x=1,y=6$。所以$l$的斜率為$\dfrac{y-2}{x-1}=4$。23.[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=5-|x+a|-|x-2|$。(1)當(dāng)$a=1$時(shí)，求不等式$f(x)\geq0$的解集。解：當(dāng)$x\leq-1$時(shí)，$f(x)=6-x$；當(dāng)$-1<x\leq2$時(shí)，$f(x)=4-x$；當(dāng)$x>2$時(shí)，$f(x)=x-4$。因此$f(x)\geq0$的解集為$(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$。(2)若$f(x)\leq1$，求$a$的取值范圍。解：當(dāng)$x\leq-1$時(shí)，$f(x)=6-x$；當(dāng)$-1<x\leqa$時(shí)，$f(x)=6-2a$；當(dāng)$a<x\leq2$時(shí)，$f(x)=4-x$；當(dāng)$x>2$時(shí)，$f(x)=x-4$。因?yàn)?f(x)\leq1$，所以$6-x\leq1$，$x-4\leq1$，解得$x\leq5$，$x\geq3$。又因?yàn)?f(a)\leq1$，所以$6-2a\leq1$，解得$a\geq2.5$。綜上所述，$a\geq2.5$。經(jīng)折線圖分析，發(fā)現(xiàn)2000年至2016年數(shù)據(jù)點(diǎn)并未隨機(jī)分布在直線y=–30.4+13.5t上下，說(shuō)明用線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)。但2010年以后的數(shù)據(jù)點(diǎn)呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，用模型②的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述該趨勢(shì)，因此預(yù)測(cè)值更可靠。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，模型①的預(yù)測(cè)值增幅偏低，而模型②的預(yù)測(cè)值增幅較合理，說(shuō)明模型②的預(yù)測(cè)值更可靠。在直線l的方程中，設(shè)y=k(x–1)（k>0），則AB的中點(diǎn)為(3,2)，AB的垂直平分線方程為y=-x+5。設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x，y），則可以得到以下方程：y=-x+5,x=3,x=11,解得或(y-x+1)^2/2=y-x+1or(y-x+1)^2/2=-6(x+1)+16.因此所求圓的方程為(x-3)^2+(y-2)^2=16或(x-11)^2+(y+6)^2=144。解：當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=x-3x/(x^2+2x+3)，f′(x)=x^2-6x-3。令f′(x)=0解得x=3-2√3或x=3+2√3。當(dāng)x∈（–∞，3-2√3）∪（3+2√3，+∞）時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈（3-2√3，3+2√3）時(shí)，f′(x)<0。故f(x)在（–∞，3-2√3），（3+2√3，+∞）單調(diào)遞增，在（3-2√3，3+2√3）單調(diào)遞減。又因?yàn)閤^3-3a=0，所以f(x)≥0等價(jià)于x^3-3a≥0。由于x+x^2+1>0，所以f(x)≥0等價(jià)于x^3-3a≥0，只有當(dāng)x≤-1或x≥a時(shí)f(x)≥0。又f(3a-1)=-6a+2a-3/(3a^2+2a+3)<0，f(3a+1)>0，故f(x)有一個(gè)零點(diǎn)。綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。解：曲線C的參數(shù)方程為x=4cosθ，y=2sinθ。曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x^2/16)+(y^2/4)=1。當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2-tanα，當(dāng)cosα=0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x=1。將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)