相似三角形的九大模型

相似三角形的九大模型1.在三角形ABC中，已知AF:FB=2:3，BC=2CD，求AE的值。2.在三角形ABC中，CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形ABC上，證明：111+EF^2=AB^2+BC^2+AC^2。3.在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，且EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，則四邊形EFGH的周長是10。4.在三角形ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且BE=3AE，求BC的值。5.在三角形ABC中，D、E分別為邊AB、AC上的點(diǎn)，且∠ADE=∠ACB。證明：AD×AB=AE×AC。如果三角形ABC的面積為m，DE=3，BC=5，求三角形ADE的面積。6.在三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE、BC的延長線相交于點(diǎn)F，且EF×DF=BF×CF。證明：AD×AB=AE×AC。當(dāng)AB=12，AC=9，AE=8時(shí)，求BD的長與△ADE的面積。7.將三角形紙片△ABC按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D，折痕為EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以點(diǎn)B、D、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么CF的長度是2/7。8.將三角形ABC紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B'，折痕為EF。已知AB=AC=6，BC=8。求△ABC的周長。若以點(diǎn)B'、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求BF的長。9.在三角形ABC中，AB=6，BC=8。點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位長度的速度由B向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長度的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求t的值。10.在銳角三角形ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AF⊥DE于點(diǎn)F，且∠EAF=∠GAC。證明：△ADE∽△ABC。若AD=3，AB=5，求AF/AG的值。11.在圖中，E是四邊形ABCD的邊BA延長線上的一點(diǎn)，連接EC，交AD于點(diǎn)F。不添加輔助線的情況下，相似三角形有三對(duì)：△EFC和△ADB、△ECB和△FDC、△EAB和△ECF。我們來證明△EAB和△ECF相似。由AE∥CF可得∠EAB=∠ECF，又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以∠EBA=∠FCE，因此△EAB∽△ECF。12.在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B的直線與對(duì)角線AC、邊AD分別交于點(diǎn)E和F。過點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形有4對(duì)。它們分別是△EGB和△ADC、△EGC和△ABC、△EBG和△DAC、△ECG和△DAB。13.已知DE∥AB，且OA2=OC×OE，要證明AD∥BC。14.學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置。已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為0.4m。15.在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF，并延長，分別交AB、BC于點(diǎn)G、H，連接GH。則△ADG和△BGH的面積比為1:2。16.在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則DF:FC=1:2。17.在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若AB=4，AD=3，則CF的長為2。18.直線a∥b，AF:FB=3:5，BC:CD=3:1，則AE:EC=5:12。19.在平行四邊形ABCD中，E是BA延長線上的一點(diǎn)，CE分別與AD，BD交于點(diǎn)G，F(xiàn)。下列結(jié)論：①EG:GC=AG:GD；②EF:FB=CF:FD；③EG:GF=AG:CF；④CF2=GF×EF。其中正確的個(gè)數(shù)是3。20.四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，且將這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形。若OA:OC=OB:OD，則下列結(jié)論中一定正確的是①與③相似。21.AB∥CD，如圖，線段BC，點(diǎn)E是線段AF上的一點(diǎn)，且滿足∠BEF=∠C，AD相交于點(diǎn)F，其中AF=9，DF=3，CF=2，則AE=5。CD22．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M為DE的中點(diǎn)，AM與BE相交于點(diǎn)N，AD與BE相交于點(diǎn)F。證明：（1）DE/CD=EA/AC；（2）△BCE∽△ADM；（3）猜想AM與BE的位置關(guān)系，并說明理由。23．CD，點(diǎn)D為Rt△ABC的斜邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，連接DE，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延長線于點(diǎn)F，連接AF。（1）若AC=BC，證明AF⊥AB；（2）若AC≠BC，當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明AF⊥AB。模型五：共邊共角型24．在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，則邊AC的長為（）。A．2B．4C．6D．825．已知：△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長線于F。證明：（1）FD2=FB×FC；（2）AB2:AC2=BF:CF。26．在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a>b）。在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE。則EF等于（）。A．b3/2aB．a(chǎn)3/2bC．b4/3aD．3b/a427．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)G，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于F，連接FD，若∠BFA=90°，則下列四對(duì)三角形：①△BEA與△ACD；②△FED與△DEB；③△CFD與△ABG；④△ADF與△CFB。其中相似的為（）。A．①④B．①②C．②③④D．①②③28．點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連結(jié)CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點(diǎn)F。（1）圖中△APD與哪個(gè)三角形全等？并說明理由。（2）猜想：線段PC、PE、PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由。模型六：射影定理29．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列等式中錯(cuò)誤的是（）。A．AD×BD=CD2B．AC×BD=CB×ADC．AC2=AD×ABD．AB2=AC2+BC230．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高。（1）證明：CD2=AD×DB；（2）證明：CB2=DB×AB。31.在直角三角形ABC中，∠CAB=90°，∠B=30°，AD⊥CB于點(diǎn)D，CD=3，求CB的長度。32.在直角三角形ABC中，∠ADC=∠ACB=90°，∠ACD=∠B，AC=5，AB=6，求AD的長度。33.在直角三角形ABC中，CD為斜邊AB上的高，AC=3，AB=6，求BD的長度。34.在直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，證明：BC^3/BF=AC^3/AE。35.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于點(diǎn)E，D在AB延長線上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2，AE=45/5，求△BCD的面積。36.在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC。點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF。給出以下四個(gè)結(jié)論：①AG/FG=AB/FB；②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)；③AF=2/3AB；④△ABC的面積=5/△BDF的面積，其中正確的結(jié)論序號(hào)是2、3、4。37.在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交DC于點(diǎn)F，連接AF。設(shè)AB=k，結(jié)論（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）當(dāng)AD=k時(shí)，△ABE∽△ADF，其中結(jié)論（1）（2）（3）都正確。38.一個(gè)長方形ABCD長為8cm，E為邊CD上的一點(diǎn)，現(xiàn)把直角三角形ADE沿AE對(duì)折使得D點(diǎn)恰好落在邊BC上的中點(diǎn)D'處。（1）Rt△ABD'與Rt△ECD'相似；（2）CE的長度為6cm。39.（1）如圖1，E在直線l上，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分別為B、C，且∠ACD=90°，求證：△ABC∽△CED；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，已知∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5√5，求BD的長度。40.在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=2，BC=3，CD=5√5，點(diǎn)P在線段AB上。若△PCD是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則AP=3。41.在△ABC中，AB=AC=8，D為BC上一點(diǎn)，BD=3，∠ADE=∠B=30°，求AE的長度。42.如圖，D是等邊$\triangleABC$邊AB上的一點(diǎn)，且$AD:DB=1:2$，現(xiàn)將$\triangleABC$折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上，則$\frac{CE}{CF}=$（）A．$\frac{3}{4}$B．$\frac{4}{5}$C．$\frac{5}{6}$D．$\frac{6}{7}$解析：將$\triangleABC$折疊后，$\triangleBCF$與$\triangleACF$重合，$\triangleBCD$與$\triangleACD$重合，$\triangleADE$與$\triangleBDF$重合，如圖所示。因?yàn)?\triangleADE$與$\triangleBDF$是全等的，所以$DE=DF$，又因?yàn)?AD:DB=1:2$，所以$AE:EC=1:2$，$BF:FC=1:2$，所以$CE:CF=3:4$，選A。43.如圖，$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=1$，已知：點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C點(diǎn)重合），$\angleADE=45^\circ$。(1)求證：$\triangleABD\sim\triangleDCE$；(2)設(shè)$BD=x$，$AE=y$，求$y$關(guān)于$x$的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)$\triangleADE$是等腰三角形時(shí)，求$AE$的長。解析：如圖所示。(1)因?yàn)?\angleABD=\angleDCE$，$\angleADB=\angleCED$，所以$\triangleABD\sim\triangleDCE$。(2)根據(jù)$\triangleABD\sim\triangleDCE$可得$\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{ED}$，即$\frac{x}{y+x}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得$y=\sqrt{2}x-x$。(3)當(dāng)$\triangleADE$是等腰三角形時(shí)，有$AE=AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$。44.如圖，四邊形ABCD中，$AD\parallelBC$，$AB=DC=3$，$AD=3$，$BC=7$，$\angleB=60^\circ$，連接AP，過P點(diǎn)作PE交DC于E，使得P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），$\angleAPE=\angleB$。(1)求證：$\triangleABP\sim\trianglePCE$；(2)求AB的長；(3)在邊BC上是否存在一點(diǎn)P，使得$DE:EC=5:3$？如果存在，求BP的長；如果不存在，請(qǐng)說明理由。解析：如圖所示。(1)因?yàn)?\angleABP=\anglePCE$，$\angleBAP=\angleCEP$，所以$\triangleABP\sim\trianglePCE$。(2)由$\triangleABP\sim\trianglePCE$可得$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{PE}$，即$\frac{3}{7}=\frac{BP}{PE}$，又由$\triangleAEP\sim\triangleABC$可得$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{AB}$，即$PE=\frac{7}{3}BP$，代入$\frac{3}{7}=\frac{BP}{PE}$中解得$BP=1$，所以$AB=3BP=3$。(3)設(shè)$BP=x$，則由$\triangleAEP\sim\triangleABC$可得$\frac{AC}{AB}=\frac{EP}{BC-x}$，即$\frac{3}{3}=\frac{EP}{7-x}$，所以$EP=\frac{7}{3}-\frac{1}{3}x$，又由$\trianglePDE\sim\trianglePCE$可得$\frac{DE}{CE}=\frac{EP}{PC}$，即$\frac{5}{3}=\frac{\frac{7}{3}-\frac{1}{3}x}{7-x}$，解得$x=\frac{7}{3}$，所以不存在這樣的點(diǎn)P。45.如圖，M為線段AB上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，$\angleDME=\angleA=\angleB=\alpha$，且DM交AE于點(diǎn)F，ME交BD于點(diǎn)G。(1)寫出圖中的三對(duì)相似三角形；(2)連接FG，當(dāng)AM=MB時(shí)，求證：$\triangleMFG\sim\triangleBMG$；(3)在(2)條件下，若$\alpha=45^\circ$，$AB=42$，$AF=3$，求FG的長。解析：如圖所示。(1)$\triangleAFE\sim\triangleBDE$，$\triangleDME\sim\triangleBMA$，$\triangleMGE\sim\triangleCGB$。(2)因?yàn)?AM=MB$，所以$AC=CB$，又因?yàn)?\triangleAFE\sim\triangleBDE$，所以$\frac{AF}{BD}=\frac{AE}{BE}$，即$AE=BE$，所以$AG=BG$，又因?yàn)?\triangleDME\sim\triangleBMA$，所以$\frac{ME}{MA}=\frac{DE}{BA}$，即$ME=MB\times\frac{DE}{BA}$，所以$MG=MB\times\frac{GE}{BG}=MB\times\frac{CE}{CB}$，又因?yàn)?\triangleMGE\sim\triangleCGB$，所以$\frac{MG}{CG}=\frac{GE}{GB}$，即$\frac{MB}{CG}=\frac{DE}{BA}$，所以$\frac{MB}{CG}=\frac{ME}{MA}$，即$\triangleMFG\sim\triangleBMG$。(3)由$\triangleAFE\sim\triangleBDE$可得$\frac{AF}{BD}=\frac{FE}{DE}$，即$\frac{3}{42}=\frac{FE}{DE}$，所以$FE=\frac{1}{14}DE$，又由$\triangleMGE\sim\triangleCGB$可得$\frac{GE}{GB}=\frac{ME}{MC}$，即$\frac{GE}{GB}=\frac{MB\times\frac{DE}{BA}}{CG}$，所以$GE=\frac{1}{2}DE$，所以$FG=FE+GE=\frac{3}{14}DE$，又因?yàn)?\triangleADE$是等腰直角三角形，所以$DE=AB\sqrt{2}/2=21\sqrt{2}$，所以$FG=9\sqrt{2}$。50.如圖，點(diǎn)A在線段BD上。在BD的同側(cè)作30度角的直角三角形ABC和30度角的直角三角形ADE，CD與BE，AE分別交于點(diǎn)P，M，連接PA。下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP×MD=MA×ME；③圖中有5對(duì)相似三角形；④AP⊥CD。其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）。答案：B。正確的結(jié)論有兩個(gè)。51.如圖，△ABC為等腰直角三角形，BAC=90度，BC=1，E為直角邊AB上任意一點(diǎn)，以線