結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第六章多自由度系統(tǒng)振動(dòng)

第六章多自由度系統(tǒng)振動(dòng)(一)§6-1用剛度法與柔度法列運(yùn)動(dòng)微分方程1．剛度法

圖示簡支梁，剛度系數(shù)kij定義為：使質(zhì)量mj的位移xj＝1而其余質(zhì)量位移xi＝0(i≠j)時(shí)在xi處所需要（施加）的力。一般情況下，若各質(zhì)量均有位移x1、x2、...、xn，則在xi處所需力的總和為：設(shè)每一質(zhì)量mi上作用的外力為Fi(t)，對每一質(zhì)量運(yùn)用牛頓第二定律，可得運(yùn)動(dòng)微分方程：用矩陣符號(hào)可寫成：〈例〉求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。解：首先用力使m1產(chǎn)生單位位移，并用力使其余質(zhì)量不動(dòng)，則需要給m1的力為k1與k2的彈性力和，即k11＝k1+k2。此時(shí)m2需加力為k2，沿x的負(fù)方向，即k21＝-k2，其余質(zhì)量不必施加任何力，即k31＝k41＝k51＝0。用類似方法可得其余剛度系數(shù)，于是有：利用功的互等原理可知，剛度矩陣是對稱陣，即有kij＝kji，于是上述剛度矩陣為：⒉柔度法柔度系數(shù)aij定義為：在第j個(gè)質(zhì)量上作用單位力時(shí)在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移。于是：若在第j個(gè)質(zhì)量上作用有力F，則在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是aij*F；

若在第j個(gè)質(zhì)量上作用的是慣性力，方向與坐標(biāo)相反，則在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是；若所有質(zhì)量都有慣性力，則：若所有質(zhì)量都有慣性力，則：寫成矩陣形式為：或?qū)懗桑涸趧偨刀染鼐荜嘯K真]非奇總異條壓件下蕉，柔板度矩胃陣[A趨]與剛急度矩統(tǒng)陣[K撐]存在銷如下源的互吧逆關(guān)鑄系：與剛常度矩傾陣類肥似，稻有aij＝aji?！蠢登髨D給示三秋自由衡度簡剝支梁可柔度餓矩陣斃。已畏知梁波的EI、L。解：偽利用版簡支乘梁在艷單位竊集中焦力作網(wǎng)用下僵的撓衛(wèi)度公偵式其他取柔度紛影響征系數(shù)么：mm2mPL柔度烘矩陣園為：問題末：[A鐘]中元納素是尿否一煤定為醉正？〈例〉求圖良示三央自由蘭度系毀統(tǒng)的冬剛度課矩陣逢和柔消度矩疊陣。解：易鬧得剛心度矩間陣為霸：m1上加釘單位致力，永各質(zhì)筆量的訪位移昨分別槐為：m2上加吸單位蝴力，哭各質(zhì)襯量的熱位移啄分別掉為：〈例〉求圖殃示三揪自由柄度系柜統(tǒng)的著剛度廊矩陣膚和柔世度矩堂陣。m3上加士單位甲力，累各質(zhì)麗量的短位移扔分別嘆為：柔度摸矩陣魄為：〈例〉求圖香示三搖自由勁度系穗統(tǒng)的勿剛度左矩陣勉和柔掠度矩勝陣。對彈稅性系交統(tǒng)來登說，途總存符在剛鏟度矩搬陣，鎖但不撞一定赴存在粒柔度菌矩陣須，當(dāng)須系統(tǒng)雷中存丹在剛災(zāi)體位抽移（疊模態(tài)洽）時(shí)前，就貿(mào)是這垂種情究況，羽此時(shí)飛，剛頁度矩虜陣是厘奇異扮的，胸矩陣以行列怨式等當(dāng)于零檢，因勝而不悟存在識(shí)逆矩扮陣。如本獨(dú)例中粒的k1=0拉格牽朗日范方程想在建獻(xiàn)立多舉度系部統(tǒng)動(dòng)冤力學(xué)俯微分怕方程襪時(shí)是災(zāi)非常朽有效核的。設(shè)廣私義坐扁標(biāo)qj，則皂拉格歌朗日惑方程緒可表送為：§6偶-2用拉肝格朗讓日方巡壽程列致振動(dòng)訴微分頃方程式中宮：Qj為對雕應(yīng)于朽廣義柄坐標(biāo)博qj的廣畝義力的。對于記保守次系統(tǒng)戴，L聚＝T辛－U壇，有(T為系炊統(tǒng)動(dòng)撕能，U為勢移能，L稱為患拉氏饅函數(shù))〈例〉求圖啞示三叼自由煉度系興統(tǒng)的提運(yùn)動(dòng)房誠微分懂方程片。解：澆系統(tǒng)歷動(dòng)能舍為：勢能鴿為：拉氏辱函數(shù)：〈例〉求圖惹示三館自由己度系阿統(tǒng)的笑運(yùn)動(dòng)輕微分密方程截。同樣隨可以林求出銜另外漿兩個(gè)棋微分璃方程期：〈例〉求圖評(píng)示兩炕自由幕度系寄統(tǒng)的鐮運(yùn)動(dòng)泊微分特方程鉗。解：質(zhì)量m的位啟置坐血標(biāo)為系統(tǒng)批動(dòng)能怪為：一般領(lǐng)來說最，拉腐格朗迷日方雪程對猶于剛豈度矩濤陣或魚柔度伶矩陣湖不易臉求出設(shè)的振身動(dòng)系班統(tǒng)更診能顯繩示其豎優(yōu)越限性。LmMkxφx系統(tǒng)勢能皮為：φx系統(tǒng)拉氏敢函數(shù)滴為：φx鄒經(jīng)撇湘老熱師書P5膀2“動(dòng)能T與廣顛義坐買標(biāo)無左關(guān)(因質(zhì)技量是個(gè)常數(shù))”說法郵是存圣疑的辦。在上制一章墻，我耳們已污討論梯了二納自由擁度系級(jí)統(tǒng)的述固有驢頻率忌與主團(tuán)振型主，現(xiàn)宰在我仿們來家討論n自由偏度系賽統(tǒng)的店情況蕉。n自晝由度恥系統(tǒng)扛自由披振動(dòng)喇微分坡方程漆為：§6結(jié)-3固有嫩頻率拾與主尊振型訓(xùn)（特倡征值膽與特鑄征向橋量）非零館解條朗件為繞：非零珍解條更件為徒：此式底稱為異系統(tǒng)肉的頻吳率方舅程或窗特征郵方程寇，對幣于正樹定或棗半正跑定實(shí)捕對稱怨矩陣碑[M膝]與頃[K繳]，堵它有蹤蝶n個(gè)親正的蜻實(shí)根很ωi(i萌＝1什,2保,.平..滿,n崇)，優(yōu)特此征值命λi等于妥固有繳頻率槐ωi的平怒方，塔即將ωi代入(*強(qiáng))式即浴可得鍬到n個(gè)主蛇振型(特征伏向量)殲{u}i對任乓意j凳，同濾樣有§6雞-4主振愛型（斧特征未向量遍）的譽(yù)正交齒性特征對滿足特征矩陣方程：將(枯a)棉式兩館邊轉(zhuǎn)營置后爆右乘反{u羨}j，得(c)縫(d)兩式鄰相減淋，得虎：若i≠遞j，則ωi≠ωj，于松是說明裙各個(gè)哀主振顧型關(guān)紅于[M灰]與[K押]存在可加權(quán)教正交述性。Mi與Ki分別版稱為離第i階模留態(tài)質(zhì)視量與盲模態(tài)淚剛度執(zhí)。用前心面兩伏自由捧度例箭子說煙明有時(shí)盛，系墊統(tǒng)的女頻率亞方程桐或特燃征方桃程會(huì)蘿出現(xiàn)壯重根唉的情口況，汗此時(shí)亭，按材前面譜的方欺法就轎不能飄唯一標(biāo)確定婆特征項(xiàng)向量鐮?！?巧-5等固退有頻領(lǐng)率（坐重特盞征值鵝）的街情況設(shè)λ1＝λ2＝λr，{u消}1與{u段}2是對矩應(yīng)的鬧特征天向量長，即唐有則{u共}1與{u附}2的線息性組斷合{u}r＝（a{江u}1＋b{仔u}2）也令是特憶征值λr的特境征向側(cè)量。逗事實(shí)永上，飲有另外鑼，由瞞特征疾向量累的正顧交性載，有由此欲即可訓(xùn)求出環(huán)重特延征值雜的特恩征向開量{u奏}1和{u幸}2。具有休重特嫩征值奴的系帶統(tǒng)，暴有時(shí)急又稱淚為“他簡并共”系央統(tǒng)或舒“退豆化”裙系統(tǒng)聰。〈例〉求圖賺示三桐自由塑度系逆統(tǒng)的懇特征明對（談固有步模態(tài)孤）。解：唐特征批矩陣冒方程愚為：頻率護(hù)方程池為：將代入特征矩陣方程，求出：將代入特征矩陣方程，求出：先求，它有兩個(gè)元素可任選，取再求,它滿足關(guān)于[M]與[K]的正交性條件：取u13＝1，則u33＝0，u23＝－1可以坑檢驗(yàn)笑特征散向量凳關(guān)于儀質(zhì)量爭矩陣毫和剛宋度矩述陣的季正交捉性各階賣振型役物理群意義值描述培如何窄？振動(dòng)售微分惠方程§6材-6主振青型矩閘陣與半標(biāo)準(zhǔn)際振型亂矩陣通常愈既是拖靜力筑耦合剪的又說是動(dòng)鉗力耦晚合的言，在士二自煌由度擴(kuò)系統(tǒng)膨時(shí)曾倉經(jīng)采督用主兄坐標(biāo)曉變換拆，得授以解置耦，顫所采比用的籍變換碎矩陣[U輝]＝[{忽u}1{u糞}2]我們罷稱為妥主振絮型矩差陣，州對n自由屈度系膀統(tǒng)，冷主振晶型矩桃陣為亂：{u}i為系穗統(tǒng)的文第i階主抵振型干或模剝態(tài)向釋量。利用隊(duì)主坐售標(biāo)變腫換：{x主}＝[U]聽{y}代入到振動(dòng)微分方程，并前乘，有利用振型的正交性，不難證明都是對角陣。實(shí)際上，按分塊矩陣乘法，有

同理領(lǐng)，有阻：于是絹，微資分方框程得謎以解奸耦。將各個(gè){u}i分別除以相應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量的平方根，構(gòu)成的振型矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣，此時(shí)有我們身稱為朱模態(tài)文質(zhì)量尼歸一晉化的知特征互向量。無阻田尼系公統(tǒng)振怒動(dòng)微釣分方今程為§6唇-7無阻臟尼系羞統(tǒng)的帆強(qiáng)迫學(xué)振動(dòng)作變槽換：{x具}＝[U]夸{y}代入儲(chǔ)到振勸動(dòng)