理論力學(xué)碰撞

理論力學(xué)碰撞第1頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)

在前面討論的問(wèn)題中，物體在力的作用下，運(yùn)動(dòng)速度都是連續(xù)地、逐漸地改變的。本章研究另一種力學(xué)現(xiàn)象——碰撞，物體發(fā)生碰撞時(shí)，會(huì)在非常短促的時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)速度突然發(fā)生有限的改變。本章研究的主要內(nèi)容有碰撞現(xiàn)象的特征，用于碰撞過(guò)程的基本定理，碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失，撞擊中心。2第2頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

§19–1碰撞現(xiàn)象及其基本特征

碰撞力

§19-2用于碰撞過(guò)程的基本定理

§19–3質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定面的碰撞

恢復(fù)系數(shù)

§19–4兩物體的對(duì)心正碰撞

動(dòng)能損失

§19–5碰撞沖量對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用

撞擊中心小結(jié)第十九章碰撞3第3頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)

§19-1碰撞現(xiàn)象及其基本特征

碰撞力碰撞現(xiàn)象的基本特征：物體的運(yùn)動(dòng)速度或動(dòng)量在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生有限的改變。碰撞時(shí)間之短往往以千分之一秒甚至萬(wàn)分之一秒來(lái)度量。因此加速度非常大，作用力的數(shù)值也非常大。

碰撞：運(yùn)動(dòng)著的物體在突然受到?jīng)_擊（包括突然受到約束或解除約束）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生急劇的變化，這種現(xiàn)象稱為碰撞。碰撞力（瞬時(shí)力）：在碰撞過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)值很大的力稱為碰撞力；由于其作用時(shí)間非常短促，所以也稱為瞬時(shí)力。4第4頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)設(shè)榔頭重10N，以v1=6m/s的速度撞擊鐵塊，碰撞時(shí)間

=1/1000s,碰撞后榔頭以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔頭打擊鐵塊的力的平均值。的投影形式得碰撞力的變化大致情況如圖所示。平均打擊力，是榔頭重的765倍。以榔頭打鐵為例說(shuō)明碰撞力的特征：以榔頭為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)量定理5第5頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)可見(jiàn)，即使是很小的物體，當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度很高時(shí)，瞬時(shí)力可以達(dá)到驚人的程度。有關(guān)資料介紹，一只重17.8N的飛鳥(niǎo)與飛機(jī)相撞，如果飛機(jī)速度是800km/h，（對(duì)現(xiàn)代飛機(jī)來(lái)說(shuō)，這只是中等速度），碰撞力可高達(dá)3.56

105N，即為鳥(niǎo)重的2萬(wàn)倍！這是航空上所謂“鳥(niǎo)禍”的原因之一。

害的一面：“鳥(niǎo)禍”、機(jī)械、儀器及其它物品由于碰撞損壞等。

利的一面：利用碰撞進(jìn)行工作，如鍛打金屬，用錘打樁等。研究碰撞現(xiàn)象，就是為了掌握其規(guī)律，以利用其有利的一面，而避免其危害。6第6頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)§19-2用于碰撞過(guò)程的基本定理

(1)在碰撞過(guò)程中，重力、彈性力等普通力與碰撞力相比小得多，其沖量可以忽略不計(jì)。但必須注意，在碰撞前和碰撞后，普通力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變作用不可忽略。

(2)由于碰撞時(shí)間極短，而速度又是有限量，所以物體在碰撞過(guò)程的位移很小，可以忽略不計(jì)，即認(rèn)為物體在碰撞開(kāi)始時(shí)和碰撞結(jié)束時(shí)的位置相同。兩個(gè)基本假設(shè)：7第7頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)兩個(gè)基本定理：在理論力學(xué)中，我們關(guān)心的主要是由于碰撞沖量的作用而使物體運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生的變化。因此，動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理就成了研究碰撞問(wèn)題的主要工具。1、用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量定理——沖量定理。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，碰撞開(kāi)始時(shí)的速度，結(jié)束瞬時(shí)的速度，碰撞沖量，不計(jì)普通力的沖量，則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式為：8第8頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)對(duì)于有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，將作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的碰撞沖量分為外碰撞沖量和內(nèi)碰撞沖量，則有：將這n個(gè)方程相加,且(內(nèi)碰撞沖量總是成對(duì)出現(xiàn)的),故沖量定理（19-2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量M，分別為碰撞結(jié)束和碰撞開(kāi)始時(shí)質(zhì)心的速度，則利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，上式可寫(xiě)成：（19-3）9第9頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外碰撞沖量的矢量和。由假設(shè)(2)知，碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的矢徑保持不變，則由(19-1)式，有：式（19-1)、(19-2)和(19-3)都寫(xiě)成投影形式，形式上與普通的動(dòng)量定理相同，所不同的是在這里都不計(jì)普通力的沖量。2、用于碰撞過(guò)程的動(dòng)量矩定理——沖量矩定理而 ；為碰撞始末時(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩。是碰撞沖量對(duì)O點(diǎn)的矩，所以：（19-4）10第10頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)碰撞時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)動(dòng)量矩的改變，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)的碰撞沖量對(duì)同一點(diǎn)之矩。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系,由于內(nèi)碰撞沖量對(duì)任一點(diǎn)的矩之和等于零,于是有沖量矩定理（19-5）式(19-4)、(19-5)也可寫(xiě)成投影形式，且式中均不計(jì)普通力的沖量矩。在碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩的改變，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量，對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和。11第11頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)§19-3質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定面的碰撞

恢復(fù)系數(shù)設(shè)一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿鉛直方向落到水平的固定平面上，如圖所示。請(qǐng)看動(dòng)畫(huà)12第12頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)

第一階段：開(kāi)始接觸至變形達(dá)到最大。該階段中，小球動(dòng)能減小,變形增大。設(shè)碰撞沖量為，則應(yīng)用沖量定理在y軸投影式碰撞過(guò)程分為兩個(gè)階段：

第二階段：由彈性變形開(kāi)始恢復(fù)到脫離接觸。該階段中，小球動(dòng)能增大，變形（彈性）逐漸恢復(fù)。設(shè)碰撞沖量為，則：13第13頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)對(duì)于給定材料，|u|與|v|的比值是不變的，該比值稱為恢復(fù)系數(shù)?！蓪?shí)驗(yàn)測(cè)定一般0<k<1，各種材料的恢復(fù)系數(shù)，可查閱書(shū)中表。

k=1理想情況——完全彈性碰撞。

k=0極限情況——非彈性碰撞或塑性碰撞。14第14頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)心碰撞：碰撞時(shí)兩物體質(zhì)心的連線與接觸點(diǎn)公法線重合。

動(dòng)力學(xué)§19-4兩物體的對(duì)心正碰撞

動(dòng)能損失

對(duì)心正碰撞與對(duì)心斜碰撞：碰撞時(shí)兩質(zhì)心的速度也都沿兩質(zhì)心連線方向，則稱為對(duì)心正碰撞（正碰撞），否則稱為對(duì)心斜碰撞（斜碰撞）。15第15頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)請(qǐng)看動(dòng)畫(huà)16第16頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)1、正碰撞結(jié)束時(shí)兩質(zhì)心的速度例如：兩物體碰撞碰撞前：碰撞結(jié)束：（沿質(zhì)心連線）分析碰撞結(jié)束時(shí)兩質(zhì)心的速度。17第17頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)研究對(duì)象：兩物體組成的質(zhì)點(diǎn)系。由沖量定理，得：分析：列出補(bǔ)充方程：（分別以兩物體為研究對(duì)象，應(yīng)用動(dòng)量定理可得出。具體地對(duì)于第一階段：對(duì)于第二階段：18第18頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)對(duì)于兩物體正碰撞的情況，恢復(fù)系數(shù)等于兩物體在碰撞結(jié)束與碰撞開(kāi)始時(shí)，質(zhì)心的相對(duì)速度大小的比值。)聯(lián)立(1),(2)式，解得：對(duì)于完全彈性碰撞（k=1）：(碰撞后兩物體交換速度)19第19頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)對(duì)于塑性碰撞（k=0）：對(duì)于一般情況（0<k<1）：2、正碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失 碰撞開(kāi)始： 碰撞結(jié)束：則動(dòng)能損失：20第20頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)由正碰撞結(jié)束時(shí)兩質(zhì)心的速度公式知：代入上式中，得：21第21頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)能沒(méi)有損失,可以利用機(jī)械能守恒定律求碰撞后的速度?；蛩苄耘鲎矔r(shí)損失的動(dòng)能等于速度損耗的動(dòng)能。(1)對(duì)于完全彈性碰撞（k=1）：(2)對(duì)于塑性碰撞（k=0）：若v2=0，則(3)對(duì)于彈性碰撞（0<k<1）：(恒為正值）22第22頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

[例1]

打樁機(jī)。錘：m1，下落高度h；樁：m2，下沉

。兩者塑性碰撞。求碰撞后樁的速度和泥土對(duì)樁的平均阻力。

動(dòng)力學(xué)解：碰撞開(kāi)始時(shí)，

錘速，樁速塑性碰撞后，

根據(jù)動(dòng)能定理,計(jì)算下沉

過(guò)程中,泥土對(duì)樁的平均阻力R。23第23頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)力學(xué)由于右端前兩項(xiàng)遠(yuǎn)比第三項(xiàng)小,往往可以略去,于是上式可寫(xiě)為：24第24頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)

[例2]

汽錘鍛壓金屬。汽錘m1=1000kg，錘件與砧塊總質(zhì)量m2=15000kg，恢復(fù)系數(shù)k=0.6，求汽錘的效率。若將鍛件加熱，可使k減小。當(dāng)達(dá)到一定溫度時(shí)，可使錘不回跳，此時(shí)可近似認(rèn)為k=0，于是汽錘效率解：汽錘效率定義為25第25頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)§19-5碰撞沖量對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用撞擊中心設(shè)剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IZ，受到外碰撞沖量的作用。碰撞開(kāi)始時(shí)碰撞結(jié)束時(shí)由沖量矩定理在z軸上的投影式，有：26第26頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)下面研究碰撞時(shí)軸承反力的碰撞沖量的計(jì)算及消除條件：設(shè)剛體有對(duì)稱面，繞垂直此平面的固定軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量M，質(zhì)心C點(diǎn)且OC=a，作用在對(duì)稱平面內(nèi)K點(diǎn)，OK=l，則有碰撞時(shí)剛體角速度的改變，等于作用于剛體的外碰撞沖量對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩的代數(shù)和除以剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。27第27頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)應(yīng)用沖量定理，有于是若使剛體在軸承處不受碰撞沖量作用,即使28第28頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)

滿足的點(diǎn)k稱為撞擊中心。欲使轉(zhuǎn)動(dòng)剛體（具有與轉(zhuǎn)軸垂直的對(duì)稱面）的軸承處不產(chǎn)生碰撞沖量，必須使碰撞沖量（作用在剛體對(duì)稱面內(nèi)）垂直于轉(zhuǎn)軸O與質(zhì)心C的連線，并作用于撞擊中心。則須撞擊中心的概念在實(shí)踐中有許多應(yīng)用。29第29頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

動(dòng)力學(xué)

[例3]

均質(zhì)桿質(zhì)量M，長(zhǎng)2a，可繞通過(guò)O點(diǎn)且垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，桿由水平無(wú)初速落下，撞到一質(zhì)量為m

的固定物塊。設(shè)恢復(fù)系數(shù)為k，求碰撞后桿的角速度，碰撞時(shí)軸承的碰撞沖量及撞擊中心的位置。解：碰撞開(kāi)始時(shí)，由動(dòng)能定理：碰撞結(jié)束時(shí)：求得：30第30頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月