4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式-(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。學(xué)生在已學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)化無(wú)限為有限，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用．B．會(huì)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．C．能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2.邏輯推理：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用4.數(shù)學(xué)建模：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)的運(yùn)用難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)新知探究國(guó)際象棋起源于古代印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他想要什么.發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國(guó)王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥粒的質(zhì)量為40克，據(jù)查，2016--2017年度世界年度小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國(guó)王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.問(wèn)題1：每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,請(qǐng)判斷分析這個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列?并寫出這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.是等比數(shù)列,首項(xiàng)是1，公比是2，共64項(xiàng).通項(xiàng)公式為a問(wèn)題2：請(qǐng)將發(fā)明者的要求表述成數(shù)學(xué)問(wèn)題.求這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和，即：1+2+2問(wèn)題3：如何求解該問(wèn)題.回顧：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程.等差數(shù)列a1,a2,a3S根據(jù)等差數(shù)列的定義an+1-aSn=aSn=a①+②得，2Sn所以S問(wèn)題4：對(duì)于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加的方法進(jìn)行求和呢？在等比數(shù)列中a1所以2Sn對(duì)于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本質(zhì)，即求和的根本目的.問(wèn)題5：求和的根本目的是什么？思路：為了看清式子的特點(diǎn)，我們不妨把各項(xiàng)都用首項(xiàng)和公比來(lái)表示.Sn=a問(wèn)題6：觀察①式，相鄰兩項(xiàng)有什么特征？怎樣把某一項(xiàng)變成它的后一項(xiàng)？a問(wèn)題7：如何構(gòu)造另一個(gè)式子，與原式相減后可以消除中間項(xiàng)？Sn=aqSn=a設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an的前S根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，Sn=aqSn=a①-②得,Sn-qSn=即Sn(1-q)=a1(1問(wèn)題8：要求出Sn，是否可以把上式兩邊同時(shí)除以(1-q)Sn(1-q)=a1(1當(dāng)1-q=0時(shí)，即q=1時(shí)，Sn=當(dāng)1-q≠0時(shí)，即q≠1時(shí)，Sn=等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)a1、公比q(q≠1)與項(xiàng)數(shù)n首項(xiàng)a1、末項(xiàng)an與公比q(q≠1)首項(xiàng)a1、公比q＝1求和公式Sn＝Sn＝Sn＝eq\f(a11－qn,1－q);eq\f(a1－an,1－q);na1問(wèn)題3的解決：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥?！来晤愅?，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”1+2+aS64=1×

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1-2一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016-2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸.不能實(shí)現(xiàn)！二、典例解析例1.已知數(shù)列是等比數(shù)列.（1）若，，求；（2）若，，，求；（3）若，，，求.解：（1）因?yàn)?，，所?（2）由，，可得，即.又由，得.所以.（3）把，，代入，得，整理，得，解得.例2已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，求公比.解：若，則，所以.當(dāng)時(shí),由得，.整理，得，即.所以.在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí)，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時(shí)經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練1.已知等比數(shù)列{an}滿足a3＝12，a8＝eq\f(3,8)，記其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若Sn＝93，求n.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1q2＝12，,a8＝a1q7＝\f(3,8)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝48，,q＝\f(1,2)，))所以an＝a1qn－1＝48×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.(2)Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(48\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝96eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)).由Sn＝93，得96eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n))＝93，解得n＝5.例3已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為.證明，，成等比數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的公比.證明:(方法一)當(dāng)時(shí)，，，，所以，，成等比數(shù)列，公比為1.當(dāng)時(shí)，，，，所以.因?yàn)闉槌?shù),所以，，成等比數(shù)列，公比為.(方法二)，，.所以.因?yàn)闉槌?shù)，所以，，成等比數(shù)列，公比為.結(jié)論：等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列，公比為.注：當(dāng)時(shí)，此結(jié)論不一定成立.例如，當(dāng)時(shí)，此結(jié)論不成立.以國(guó)際象棋為背景，提出等比數(shù)列求和問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究欲望。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)問(wèn)題串，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生探究等比數(shù)列的求和問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。通過(guò)典型例題，加深對(duì)等比數(shù)列求和公式的理解和運(yùn)用，體會(huì)等差與等比數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列求和公式的綜合運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比q＝2，當(dāng)Sn＝127時(shí)，n＝()A．8B．7C．6D．5B解析：由Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，a1＝1，q＝2.當(dāng)Sn＝127時(shí)，則127＝eq\f(1－2n,1－2)，解得n＝7.故選B.2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋S3＝0，則公比q＝()A．－1B．1C．－2D．2A解析：∵a2＋S3＝a2＋(a1＋a2＋a3)＝0，∴a1＋2a2＋a3＝a1(1＋2q＋q2)＝a1(1＋q)2＝0.又a1≠0，∴q＝－1.故選A．3．已知等比數(shù)列{an}的公比為－2，且Sn為其前n項(xiàng)和，則eq\f(S4,S2)＝()A．－5B．－3C．5D．3C解析：由題意可得：eq\f(S4,S2)＝eq\f(\f(a1[1－－24],1－－2),\f(a1[1－－22],1－－2))＝1＋(－2)2＝5，故選C．4．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝3，S3＝9，則S4＝()A．12B．－15C．12或－15D．12或15C解析：因?yàn)閍1＝3，S3＝9，當(dāng)q＝1時(shí)，滿足題意；故可得S4＝4a1＝12；當(dāng)q≠1時(shí)，S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝9，解得q＝－2，故S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝eq\f(3×1－16,1＋2)＝－15.綜上所述S4＝12或－15.故選C．5．等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；(2)若S6＝315，q＝2，求a1.解：(1)由題意可得q2＝eq\f(a3,a1)＝eq\f(－2,－8)＝eq\f(1,4)，所以q＝－eq\f(1,2)或q＝eq\f(1,2).當(dāng)q＝－eq\f(1,2)時(shí)，S4＝eq\f(－8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))4)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝－5；當(dāng)q＝eq\f(1,2)時(shí)，S4＝eq\f(－8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)),1－\f(1,2))＝－15.綜上所述，S4＝－15或S4＝－5.(2)S6＝eq\f(a11－26,1－2)＝315，解得a1＝5.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)（1）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，對(duì)于公比未知的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)，需討論公比是否為1；（2）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：錯(cuò)位相減法；（3）數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用:=1\*GB3①方程思想:等比數(shù)列求和問(wèn)題中的“知三求二”問(wèn)題就是方程思想的重要體現(xiàn)；=2\*GB3②分類討論思想：由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可知，解答等比數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)常常要用到分類討論思想.五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)，