第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題1重要極限（逼近、放縮）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題1重要極限（逼近、放縮）第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題1

重要極限（逼近、放縮）微點(diǎn)1

重要極限（逼近、放縮）【微點(diǎn)綜述】在極限的計(jì)算，兩個(gè)重要極限占有重要的地位，使用兩個(gè)重要極限能夠簡(jiǎn)化一些復(fù)雜的極限運(yùn)算.利用三角函數(shù)的有界性以及在上恒成立，可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行合理放縮從而解決問(wèn)題.【典例刨析】1．兩個(gè)重要的極限（1）．（2）．函數(shù)的圖像如圖2．1所示，虛線是曲線的圖像．2．兩個(gè)重要數(shù)列的單調(diào)性與極限（1）《數(shù)學(xué)分析》（華東師大版）第39頁(yè)：下面我們利用不等式，證明：為減數(shù)列，并由此推出為有界數(shù)列．（2）《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》的習(xí)題69：證明：數(shù)列單調(diào)遞增且有上界，而數(shù)列單調(diào)遞減且有下界．由此可得這兩個(gè)數(shù)列有相同的極限：．下面給出“（2）”的證明．證明：（證法1）當(dāng)時(shí)，由伯努利不等式（見第8節(jié)）有．∴數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增．對(duì)于，類似有．∴數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞減．∵有，∴任意確定的都是的上界．同理，任意確定的都是的下界，故兩個(gè)極限，都存在．最后，由可知，記其為e，即有．【反思】伯努利不等式：當(dāng)且時(shí)，有．（證法2）由均值不等式，有．?dāng)?shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增．由均值不等式，有．∴數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞減．以下同證法1．【反思】以上兩個(gè)重要極限和兩道習(xí)題是數(shù)學(xué)分析教材中的重要結(jié)論，以它們?yōu)楸尘暗母呖碱}出現(xiàn)過(guò)多次．例1．（2014年北京卷理科）1．已知函數(shù).(1)求證：；(2)若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值.【答案】（1）詳見解析；（2）的最大值為，的最小值為1.【詳解】試題分析：（1）求，由，判斷出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而；（2）由于，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，令，則，對(duì)分；；進(jìn)行討論，用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當(dāng)對(duì)恒成立時(shí)的最大值與的最小值.（1）由得，因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而.（2）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，令，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意恒成立.當(dāng)時(shí)，存在唯一的使得，、在區(qū)間上的情況如下表：因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，進(jìn)一步“對(duì)任意恒成立”，當(dāng)且僅當(dāng)，即.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.所以，若對(duì)恒成立，則的最大值為與的最小值1.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，恒成立、分類討論.例2．（2017年全國(guó)Ⅲ卷理科）2．已知函數(shù)．（1）若，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得x=a是在的唯一最小值點(diǎn)，列方程解得；（2）由題意結(jié)合（1）的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮，求得，結(jié)合可知實(shí)數(shù)的最小值為.試題解析：（1）的定義域?yàn)?①若，因?yàn)椋圆粷M足題意；②若，由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故x=a是在的唯一最小值點(diǎn).由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，.故a=1.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，.令得.從而.故.而，所以的最小值為.【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出.本專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要有以下幾個(gè)角度：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例3．（2015年湖北卷理科）3．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大?。唬á颍┯?jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為,,證明：．【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．【詳解】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減．故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，，即．令，得，即．①（Ⅱ）；；．由此推測(cè)：②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②．（1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，②成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，②成立，即．當(dāng)時(shí)，，由歸納假設(shè)可得．所以當(dāng)時(shí)，②也成立．根據(jù)（1）（2），可知②對(duì)一切正整數(shù)都成立．（Ⅲ）由的定義，②，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及①得．即．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)，數(shù)列的概念，數(shù)學(xué)歸納法，基本不等式，不等式的證明．1932年，瑞典著名數(shù)學(xué)家卡萊曼證明了一個(gè)關(guān)于n個(gè)正數(shù)的奇妙不等式，這就是后來(lái)以他的名字命名的卡萊曼不等式，該不等式還有無(wú)限和形式與積分形式．卡萊曼不等式已經(jīng)被一些數(shù)學(xué)分析教材、不等式專著和高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)書收錄．考慮證明一個(gè)加強(qiáng)的不等式——例4.4．證明：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)給定條件借助數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟，結(jié)合算術(shù)-幾何平均不等式及直接證明即可．【詳解】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，不等式顯然成立，（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，當(dāng)時(shí)，要證，因?yàn)椋恍枳C，即證，即證，由算術(shù)-幾何平均不等式得,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，即成立，所以?dāng)時(shí)，不等式也成立，根據(jù)（1）（2），可知不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立．例5．（2021年八省聯(lián)考22）5．已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)若，求a.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)題意可得，求導(dǎo)得，考慮到，，分類討論，證明即可．（2）構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在，上單調(diào)遞增時(shí)，求的值．【詳解】（1）證明：，，令，則，考慮到，，所以①當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)，時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，③當(dāng)，時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)，時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，．（2）構(gòu)造函數(shù)，考慮到，，0是函數(shù)的最小值點(diǎn)，也是極小值點(diǎn)，故，，下面證明當(dāng)時(shí)，即，令，則，由（1）可知：在時(shí)恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，①若，則在，為負(fù)，為正，在，單調(diào)遞減，遞增，所以，而當(dāng)時(shí)，，故滿足題意．②若，，因?yàn)?，所以，由零點(diǎn)存在定理，必存在，，使得，此時(shí)滿足時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，矛盾，舍去，③若，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)必存在，使得，此時(shí)滿足，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，矛盾，舍去，而當(dāng)時(shí)，當(dāng)，所以在，時(shí)，成立，單調(diào)遞增，，矛盾，舍去．綜上所述，．【針對(duì)訓(xùn)練】（2014年貴州省數(shù)學(xué)競(jìng)賽）6．對(duì)任意，任意，都有恒成立（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】由均值不等式得單調(diào)遞增，進(jìn)而結(jié)合將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，恒成立，再令函數(shù)求解即可.【詳解】解：由均值不等式有．∴，即單調(diào)遞增，且．又對(duì)任意，任意，恒成立，∴對(duì)任意，恒成立，∴對(duì)任意，恒成立．令，∴，，∴，解得或．∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是故答案為：（強(qiáng)基計(jì)劃模擬題）7．計(jì)算．（參考公式：，其中，且等式右邊的極限存在）【答案】【分析】根據(jù)題意，由結(jié)合參考公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，設(shè)，則有，由參考公式得．故答案為：e.（強(qiáng)基計(jì)劃模擬題）8．證明不等式．【答案】證明見解析【分析】在時(shí)，利用及累乘得到，利用及累加得到，應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，即可證結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，取，則，即．因此．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，由得：．從而，即，也即．兩邊同時(shí)乘以得：，于是．綜上，．（2011年“華約”自主招生）9．已知函數(shù)，，．令，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用構(gòu)造法證明數(shù)列為等比數(shù)列，即可得解；（2）要證，即證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，可得，再令，即可得證.【詳解】（1）由，得，∴，因此，即，∴為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為．故，即；（2）由（1）知，要證，即證，也即證，這只需證，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，得，∴，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列累乘不等式，可通過(guò)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)換成累加不等式的證明，接著一般可結(jié)合題中結(jié)論，通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)放縮，達(dá)到證明目的.10．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論即可得解；（2）結(jié)合（1）分和兩種情況討論，易得當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可得解；（3），令，則上式化為，再結(jié)合（2），構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，即可得證.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，單調(diào)遞增；在區(qū)間上，單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時(shí)，，因此在上不恒成立，當(dāng)時(shí)，由（1）知，要使在上恒成立，則，設(shè)，則由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又由題意，，故，從而；（3），令，則上式化為，下面證明：當(dāng)時(shí)，有，由（2）知當(dāng)時(shí)，的最大值為，即，也即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∵，∴，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，因此，即，也即，綜上，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)