福建省福州市良鎮(zhèn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

福建省福州市良鎮(zhèn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(為虛數(shù)單位)，則的共軛復(fù)數(shù)為

A.

B.

C.

D.

參考答案：D略2.函數(shù)的圖像大致是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B3.已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)镽．∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)．又根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．

4.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在棱AB、CD上，若EF=2，DQ=x，AP=y，則四面體PEFQ的體積

（

）

A．與x，y都無(wú)關(guān)

B．與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)

C．與x、y都有關(guān)

D．與x無(wú)關(guān)，與y有關(guān)參考答案：A略5.函數(shù)的定義域是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.設(shè)，若z的最大值為12，則z的最小值為 A．-3 B．-6 C．3 D．6參考答案：B7.在等比數(shù)列等于A．2

B．3

C．

D．參考答案：答案：C8.定義平面上兩條相交直線的夾角為：兩條相交直線交成的不超過(guò)90°的正角.已知雙曲線E：，當(dāng)其離心率時(shí)，對(duì)應(yīng)雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.下列不等式一定成立的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】不等式比較大小．

E1【答案解析】C

解析：A選項(xiàng)不成立，當(dāng)x=時(shí)，不等式兩邊相等；B選項(xiàng)不成立，這是因?yàn)檎抑悼梢允秦?fù)的，故不一定能得出sinx+≥2；C選項(xiàng)是正確的，這是因?yàn)閤2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0，D選項(xiàng)不正確，令x=0，則不等式左右兩邊都為1，不等式不成立綜上，C選項(xiàng)是正確的.故選C【思路點(diǎn)撥】由題意，可對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，其中C選項(xiàng)用配方法驗(yàn)證，A，B，D三個(gè)選項(xiàng)代入特殊值排除即可.10.某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(x,y)分別為(2,1.5)，(3,4.5)，(4,5.5)，(5,6.5)，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計(jì)劃維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為（

）A.8年 B.9年 C.10年 D.11年參考答案：D【分析】根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計(jì)第11年維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)490,則實(shí)數(shù)的值為

.參考答案：

12.函數(shù)為奇函數(shù)，則增區(qū)間為

參考答案：略13.已知函數(shù)，則

．參考答案：14.已知點(diǎn)A（0，2），拋物線的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若|FM|：|MN|=1：5，則a的值等于．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】作出M在準(zhǔn)線上的射影，根據(jù)|KM|：|MN|確定|KN|：|KM|的值，進(jìn)而列方程求得a．【解答】解：依題意F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K，由拋物線的定義知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：5，則|KN|：|KM|=2：1，∵kFN==﹣，kFN=﹣2∴=2，求得a=．故答案為：．15.將正整數(shù)1,2,3，……，n,……，排成數(shù)表如圖所示，即第一行3個(gè)數(shù)，第二行6個(gè)數(shù)，且后一行比前一行多3個(gè)數(shù)，若第i行、第j列的數(shù)可用（i,j）表示，則2015可表示為

第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列……第1行123

第2行987654

第3行1011121314151617…………

參考答案：16.已知f(x)=過(guò)A(1,m)可作曲線的三條切線，則m的取值范圍是

.參考答案：(-3,-2)17.設(shè)函數(shù)，集合，且．在直角坐標(biāo)系中，集合所表示的區(qū)域的面積為_(kāi)_____．參考答案：因?yàn)椋杂傻?，即，它表示以為圓心，半徑為的圓面。由得，即，整理得，即或，顯然的交點(diǎn)為，且兩直線垂直，所以對(duì)應(yīng)平面區(qū)域?yàn)槎种粋€(gè)圓周的面積，所以集合所表示的區(qū)域的面積為，如圖：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線l的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線l的普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓C與直線l交于A、B兩點(diǎn)，若P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,0)，求的值．參考答案：（1）直線l的方程為,圓C的方程為（2）【詳解】試題分析：(1)消去參數(shù)可得直線的普通方程為，極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程可得圓C的直角坐標(biāo)方程是(2)利用題意由弦長(zhǎng)公式可得.試題解析：解：（1）∵直線l的參數(shù)方程是（是參數(shù)），∴．即直線的普通方程為．∵，∴∴圓C的直角坐標(biāo)方程為，即或（2）將代入得，∴．∴．19.如圖在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的一點(diǎn)，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C為30°，設(shè)|PM|=t|MC|，試確定t的值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知可得PQ⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得PQ⊥平面ABCD，得到PQ⊥BQ，再由已知可得BQ⊥AD，結(jié)合線面垂直的判定可得BQ⊥平面PAD，從而得到平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP兩兩互相垂直，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，可得則Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），由|PM|=t|MC|，得M（）．求出平面MQB與平面CBQ的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值結(jié)合已知列式求得t值．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，又平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，而B(niǎo)Q?平面ABCD，∴PQ⊥BQ，又底面ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∵BC∥AD，BC=，∴四邊形QBCD為平行四邊形，則BQ∥CD，得BQ⊥AD，又PQ∩AD=Q，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ?平面PBQ，則平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，QB、AD、QP兩兩互相垂直，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，則Q（0，0，0），P（0，0，），C（﹣2，2，0），∵|PM|=t|MC|，∴，可得M（）．，=（）．設(shè)平面MQB的一個(gè)法向量為，由，得，取z=1，得．由圖可知，平面CBQ的一個(gè)法向量．由|cos＜＞|=||=||=cos30，解得t=3．20.[選修4-5：不等式選講]（共1小題，滿(mǎn)分0分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（I）若ab≤m恒成立，求m的取值范圍；（II）若≥|2x﹣1|﹣|x+2|恒成立，求x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）由基本不等式可得；（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去絕對(duì)值化為不等式，解不等式可得．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴ab≤（）2=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)“=”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（Ⅱ）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，∴+=（+）（a+b）=5++≥9，故恒成立，則|2x﹣1|﹣|x+2|≤9，當(dāng)x≤﹣2時(shí)，不等式化為1﹣2x+x+2≤9，解得﹣6≤x≤﹣2，當(dāng)﹣2＜x＜，不等式化為1﹣2x﹣x﹣2≤9，解得﹣2＜x＜，當(dāng)x≥時(shí)，不等式化為2x﹣1﹣x﹣2≤9，解得≤x≤12綜上所述x的取值范圍為[﹣6，12]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，分段函數(shù)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化思想以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．21.已知函數(shù)在處的切線方程為（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值（其中為的導(dǎo)函數(shù)）．參考答案：解：（Ⅰ），由已知得，故，解得又，得，解得

………………2分，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)區(qū)間遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

…………4分（Ⅱ）法一.由已知，及整理得，當(dāng)時(shí)恒成立令，

………………6分當(dāng)時(shí)，；由（Ⅰ）知在上為增函數(shù)，又

………………8分所以存在使得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以

…10分故整數(shù)的最大值為.

………………12分法二.由已知，及整理得，令，得，

………6分當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，在上為減函數(shù)，

………8分，為增函數(shù)。為減函數(shù)。由已知

……10分令，，在上為增函數(shù).又，故整數(shù)的最大值為

……………12分22.學(xué)校某文具商店經(jīng)營(yíng)某種文具，商店每銷(xiāo)售一件該文具可獲利3元，若供大于求則削價(jià)處理，每處理一件文具虧損1元；若供不應(yīng)求，則可以從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每件文具僅獲利2元．為了了解市場(chǎng)需求的情況，經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)了去年一年（52周）的銷(xiāo)售情況．銷(xiāo)售量（件）10111213141516周數(shù)248131384以去年每周的銷(xiāo)售量的頻率為今年每周市場(chǎng)需求量的概率．（1）要使進(jìn)貨量不超過(guò)市場(chǎng)需求量的概率大于0.5，問(wèn)進(jìn)貨量的最大值是多少？（2）如果今年的周進(jìn)貨量為14，寫(xiě)出周利潤(rùn)Y的分布列；（3）如果以周利潤(rùn)的期望值為考慮問(wèn)題的依據(jù)，今年的周進(jìn)貨量定為多少合適？參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（I）若進(jìn)貨量定為13件，相應(yīng)有13+13+8+4=38周．可得“進(jìn)貨量不超過(guò)市場(chǎng)需求量”的概率P=＞0.5；同理：若進(jìn)貨量定為14件，則“進(jìn)貨量不超過(guò)市場(chǎng)需求量”的概率＜0.5，即可得出．（II）今年的周進(jìn)貨量為14，設(shè)“平均今年周利潤(rùn)”Y；若售出x件，x≤14時(shí)，則利潤(rùn)y=x×3+（14﹣x）×（﹣1）．x≥15時(shí)，則利潤(rùn)y=14×3+（x﹣14）×2．即可得出Y的分布列．（III）以周利潤(rùn)的期望值為考慮問(wèn)題的依據(jù)，今年的周進(jìn)貨量定為11件或12件合適．【解答】解：（I）若進(jìn)貨量定為13件，則“進(jìn)貨量不超過(guò)市場(chǎng)需求量”是指“銷(xiāo)售兩不小于13件”，相應(yīng)有13+13+8+4=38周．“進(jìn)貨量不超過(guò)市場(chǎng)需求量”的概率P=＞0.5；同理：若進(jìn)貨量定為14件，則“進(jìn)貨量不超過(guò)市場(chǎng)需求量”的概率＜0.5；∴要使進(jìn)貨量不超過(guò)市場(chǎng)需求量的概率大于0.5，進(jìn)貨量的最大值是13．（II）今年的周進(jìn)貨量為14，設(shè)“平均今年周利潤(rùn)”Y；若售出10件，則利潤(rùn)y=10×3+4×（﹣1）=26．售出11件，則利潤(rùn)y=11×3+3×（﹣1）=30．售