牛頓迭代法的基本思想

牛頓迭代法的基本思想第1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月它對應(yīng)的迭代方程為顯然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函數(shù)為

在f(x)=0的根的某個(gè)鄰域內(nèi),在的鄰域R內(nèi)，對任意初值，應(yīng)用由公式（1）來解方程的方法就稱為牛頓迭代法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一.返回下一頁上一頁第2頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓法的幾何意義由（1）式知是點(diǎn)處的切線 與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（如圖）。也就是說，新的近似值是用代替曲線y=f(x)的切線與x軸相交得到的。繼續(xù)取點(diǎn),再做切線與x軸相交，又可得。由圖可見，只要初值取的充分靠近,這個(gè)序列就會(huì)很快收斂于。Newton迭代法又稱切線法下一頁上一頁返回第3頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月返回下一頁上一頁第4頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓迭代法的步驟步一、準(zhǔn)備。選定初始近似值，計(jì)算步二、迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，計(jì)算步三、控制。如果滿足。則終止迭代，以作為所求的根；否則轉(zhuǎn)步四。此處是允許誤差,返回下一頁上一頁第5頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月而 。其中c是取絕對值或相對誤差的控制常數(shù)，一般可取c=1。步四、修改。如果迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)定指定的次數(shù)N，或者 則方法失?。环駝t以代替轉(zhuǎn)步二繼續(xù)迭代。返回下一頁上一頁第6頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月例題例1:用牛頓法求下面方程的根解因,所以迭代公式為選取,計(jì)算結(jié)果列于下表從計(jì)算結(jié)果可以看出,牛頓法的收斂速度是很快的,進(jìn)行了四次迭代就得到了較滿意的結(jié)果.返回下一頁上一頁第7頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算的近似值。

=10-6x0=0.88解：令x=問題轉(zhuǎn)化為求?(x)=x2-0.78265=0的正根由牛頓迭代公式xk+1=xk-?(xk)/?'(xk)=xk/2+0.78265/2xk

迭代結(jié)果

k

0

123xk0.8800000.8846880.8846750.884675

滿足了精度要求

=0.884675

返回下一頁上一頁第8頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月返回下一頁上一頁第9頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月2)修正Newton法求m重根迭代公式

注：若是方程的m重根，而在的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，則修正Newton法是局部收斂的，并具有至少二階的收斂速度。因?yàn)椋?/p>

上一頁下一頁返回考察函數(shù)用定義求導(dǎo)第10頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月Tailor展開所以由定理2知至少是二階收斂上一頁下一頁返回第11頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓迭代法的優(yōu)缺點(diǎn)1、優(yōu)點(diǎn)：牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會(huì)得到很精確的解。這是牛頓迭代法比簡單迭代法優(yōu)越的地方。2、缺點(diǎn)：選定的初值要接近方程的解，否則有可能的不到收斂的結(jié)果。再者，牛頓迭代法計(jì)算量比較大。因每次迭代除計(jì)算函數(shù)值外還要計(jì)算微商值。返回下一頁上一頁第12頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)

(x)在有根區(qū)間(a,b)上存在二階導(dǎo)數(shù)，且滿足（1）

(a)

(b)<0；（2）

`(x)

0，x

(a,b)；（3）

``(x)不變號(hào)，x

(a,b)；（4）初值x0

(a