數(shù)學(xué)建模高壓鍋銷售量分析與驗證

段偉，周小姣，沙金鑫：高壓鍋銷售量分析與驗證段偉，周小姣，沙金鑫：高壓鍋銷售量分析與驗證#遼寧工程技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程成績評定表學(xué)期11-12學(xué)年1學(xué)期姓名段偉05,周小姣28，沙金鑫17專業(yè)通信工程班級09-2班課程名稱數(shù)學(xué)建模論文題目高壓鍋銷售量分析與驗證評定指標分值得分知識創(chuàng)新性20理論正確性20內(nèi)容難易性15評結(jié)合實際性10定知識掌握程度15疋書寫規(guī)范性10標工作量10準總成績100準評語:任課教師魏林時間11年9月8日備注TOC\o"1-5"\h\z摘要3一?模型的背景問題描述3基本假設(shè)3問題分析3符號說明4模型建立41?建立高壓鍋指數(shù)增長模型42?高壓鍋銷售線性模型的假設(shè)63?建立高壓鍋logistic模型74擬合Gompertz模型9綜合評價與結(jié)論10參考文獻10摘要本文根據(jù)給定的1981年到1993年高壓鍋銷售量的數(shù)據(jù)，并運用Logistic和Gompertz兩種曲線模型研究了某地區(qū)高壓鍋的銷售量的變化規(guī)律，分別建立指數(shù)增長模型、Logistic增長曲線模型和Gompertz增長曲線模型來對高壓鍋的銷售量進行預(yù)測分析，并對各模型進行了比較分析。一.模型的背景問題描述比較分析法是通過對財務(wù)報表中各類相關(guān)數(shù)字資料，將多期連續(xù)的相同指標或比率進行定基對比和環(huán)比對比，得出它們的增減變動方向、數(shù)額和幅度，以揭示企業(yè)財務(wù)狀況、經(jīng)營情況和現(xiàn)金流量變化趨勢的一種分析方法。趨勢分析法在定量預(yù)測。趨勢分析法又可稱為趨勢曲線分析、曲線擬合或曲線回歸。它是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)資料來擬合一條曲線，使得這條曲線能夠反映出研究對象本身的增長趨勢，然后按增長趨勢曲線，對要求的未來的某一點進行估計，預(yù)測出該點該時刻的研究對象的預(yù)測值。F表為某地區(qū)1981年到1993年間高壓鍋的銷售量列表（單位：萬臺）。年份ty年份ty1981043.65198871238.7519821109.86198981560.0019832187.21199091824.2919843312.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25表1-1:高壓鍋的銷售量（單位：萬臺）根據(jù)表1-1高壓鍋的銷售量數(shù)據(jù)，分析其變化規(guī)律，得到該地區(qū)高壓鍋的銷售量的變化趨勢的擬合曲線，建立銷售量的模型，通過建立的銷售量模型，得到模擬曲線，根據(jù)得到的擬合曲線，對該地區(qū)的高壓鍋銷售量進行預(yù)測。當(dāng)?shù)仄髽I(yè)可以根據(jù)預(yù)報的高壓鍋銷售量，對高壓鍋生產(chǎn)量進行控制。二基本假設(shè)1、忽略人為因素對銷售量的影響。2、高壓鍋的銷售量隨時間連續(xù)變化。3、高壓鍋的增長量與當(dāng)時的高壓鍋總量總是成正比。4、銷售量的增長律恒定。三?問題分析本文要求根據(jù)某地的1981年到1993年間高壓鍋銷售量的數(shù)據(jù)，建立高壓鍋的銷售量模型。根據(jù)表1-1:高壓鍋的銷售量(單位：萬臺)提供的數(shù)據(jù)，以時間t為衡軸，銷售量y為縱軸，建立銷售時間t與銷售量的關(guān)系圖，高壓鍋的銷售量圖表3-1顯然，高壓鍋的銷售量隨時間的變化呈指數(shù)增長。高壓鍋的銷售數(shù)量是連續(xù)變化的，但總體分析可以得出增長量與當(dāng)時的高壓鍋總量成正比，銷售量的增長律是不變的。據(jù)此，建立高壓鍋的銷售量指數(shù)增長模型。rx(t)固有高壓鍋銷售量增長率，即：r(0)=r時段t的高壓鍋銷售量數(shù)xm高壓鍋的最大銷售量，顯然有r(xm)=0五■模型建立1?建立高壓鍋指數(shù)增長模型假設(shè)商品是自然銷售的，即不受人為因素影響，記時刻t的銷售量為x(t)，在銷售量基數(shù)很大的情況下，突然地增加或減少的只是少數(shù)幾個個體數(shù)，相對于全體數(shù)量而言可以忽略不計。將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時刻銷售量為x0，增長率為常數(shù)r,考慮t到t+At時間內(nèi)高壓鍋銷售量的增量，有x(t+At)一x(t)=rx(t)Atdx令A(yù)tT0，得到dt"x(0)=x0⑴解出：x(t)=x0ert(2)

(2)式的參數(shù)r和x0可以用表1-1數(shù)據(jù)估計。為了利用最小二乘法，將(2)式取對數(shù)，可得y=rt+y=rt+a，y=Inx，a=Inx0(3)分別以1981年到1992年的數(shù)據(jù)和1981年到1993年的數(shù)據(jù)擬合(3)式，用matlab計算：t=0:11;x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.89];y=log(x);p=polyfit(t,y1)r=p(1),x0=exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);p=0.34354.4914r=0.3435x0=89.2424得到r=0.3435,x0=89.2424t=0:12;x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.892737.71];y=log(x);p=polyfit(t,y1)r=p(1),x0=exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);得到r=0.3205，x0=97.1060結(jié)果分析：用上面得到的參數(shù)r和x0代入⑶式,將結(jié)果與實際數(shù)據(jù)比較。x1是用1981年到1992年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，計算人口x2用的是全部數(shù)據(jù)的擬合的結(jié)果。年實際銷售量計算銷售量x1計算銷售量198143.6589.242497.10601982109.86125.8205133.79421983187.21177.3910184.34391984312.67250.0989253.99211985496.58352.6078349.95451986707.65497.132348225700.8937664.3460

19881989199019911988198919901991199219931238.751560.001824.292199.002438.892737.71988.17151393.21964.22769.33904.45504.7915.34691261.21737.72394.23298.84545表5-1根據(jù)表5-1的數(shù)據(jù)，用matlab制作指數(shù)增長型擬合圖形，圖5-1.1表示用1981年到1992年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果圖，圖5-1.2表示用全部數(shù)據(jù)（1981年到1993年）擬合的結(jié)果。圖5-1.1、圖5-1.2中曲線是計算結(jié)果，“*”表示實際數(shù)據(jù)。定變化的，由此可見，高壓鍋的銷售量的增長律是不變的假設(shè)不成立。需重新建立模型分析。定變化的，由此可見，高壓鍋的銷售量的增長律是不變的假設(shè)不成立。需重新建立模型分析。2.高壓鍋銷售線性模型的假設(shè)由圖表3-1，假設(shè)y和t滿足線性關(guān)系，所以建立線性模型，設(shè)y=at+b利用最小二乘法確定a,b的具體值，并根據(jù)a,b的值擬合高壓鍋的銷售情況，與原數(shù)據(jù)進行比較。MATLAB的程序?qū)崿F(xiàn)如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;sp=polyfit(t,y,l);yy=polyval(p,t,l)plot(t,y,'*',t,yy)畫出原數(shù)據(jù)與擬合曲線圖5-2(yy-y)213=157.2915預(yù)測的標準誤差為：模型y=at+bsp=polyfit(t,y,l);yy=polyval(p,t,l)plot(t,y,'*',t,yy)畫出原數(shù)據(jù)與擬合曲線圖5-2(yy-y)213=157.2915預(yù)測的標準誤差為：模型y=at+b分析從圖形及標準誤差可以看出，線性模型雖然簡單，但誤差太大。并且當(dāng)t時y，而高壓鍋銷售量是有限的，也就是說高壓鍋的銷售量是一個有限的數(shù)，不可能是一個無限大的。所以，用線性模型不能完全反映高壓鍋的銷售情況。必須尋找一個更好的模型去分析高壓鍋的銷售情況。3.建立高壓鍋logistic模型由于高壓鍋剛進入市場，人們對其需求量不是很大，高壓鍋銷售數(shù)量的增長率??；但隨時間推移，人們生活水平的提高，其銷售量增長率也逐漸提高，銷售數(shù)量將趨于一個定值，即L，此時銷售數(shù)量的增長率將趨于0?綜上，高壓鍋的銷售情況滿足Logistic模型。設(shè)高壓鍋的銷售數(shù)量的增長率為r(t)，高壓鍋的銷售量的上限為L，銷售量為y(t)dt則有：建立模型r(t)y=r(1-dy<dtr(1一模型分析y2yr=ry—當(dāng)L與y(t)相比很大時，LL，與ry相比可以忽略不計，Logistic模型可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)模型；而當(dāng)L與y相比不是很大時，r疋就不能忽略，其作用是使高壓鍋的銷售量L的增長速度減緩下來。用Matlab對一階常微分方程模型做分析，程序如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;y0=43.65;[tt,yy]=ode45(@Logistic,t,y0);plot(t,y,'*',tt,yy);作圖結(jié)果L圖5-3作圖結(jié)果L圖5-3y=Logistic增長曲線模型為t1+ae-kt.ae-ae-k兩邊同時取倒數(shù)得yL兩邊同時取對數(shù)得ln(—一1)=ln(ae-kt)=lna+lne-kt=lna一kty兩邊同時取對數(shù)得Lyl=ln(一1)令y，aa=-k，bb=lna.即得線性關(guān)系式：yy=aat+bb所以Logistic增長曲線模型能線性化。用Matlab對Logistic模型做非線性回歸Matlab程序如下：

y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;L=3000;y1=log(L./y-1);p=polyfit(t,y1,1);k=-p(1);a=exp(p(2));yy=L./(1+a*exp(-k*t));plot(t,y,'*',t,yy);擬合Logistic模型，畫出擬合圖形=Le擬合Logistic模型，畫出擬合圖形=Le_be「kt圖5-4Gompertz增長曲線模型為yt兩邊同時除以L得Lln兩邊同時取對數(shù)得=ln(_b)_ktln兩邊同時取對數(shù)得=ln(_b)_kt.再兩邊同時取對數(shù)得令y2=InIn-，aa=_k，bb=ln(_b).得線性關(guān)系式y(tǒng)2=aat+bb.擬合Gompertz模型用Matlab擬合Gompertz模型Matlab程序如下y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];t=0:12;L=3000;

yl=log(log(y/L));a=polyfit(t,yl,l);b=-exp(a⑵)；k=-a(1);yy=L*exp(-b*exp(-k*t));plot(t,y,'*',t,yy);畫出Gompertz模型并與原數(shù)據(jù)比較，作圖如圖5-5圖5-5Ky=Logistic增長曲線模型，其一般形式為t1+ae-bt?增長曲線有兩個重要特征。一是y隨著t的增加直至+8而趨向于K，K即是Y的飽和值；反過來，當(dāng)t~-時，y-0。二是增長曲線具有一個拐點，在拐點之前，y的增長速度越來越快；在拐點之后，y的增長速度越來越慢，逐漸趨近于0。在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，許多指標的增長過程具有這兩個特征。所以，邏輯