九年級數(shù)學上冊第11講 點和圓、直線和圓的位置關系（一）（解析版）

/第11講點和圓、直線和圓的位置關系（一）(重點題型方法與技巧)目錄類型一：判斷點和圓的位置關系類型二：有關三角形外接圓的計算和證明類型三：確定圓的條件類型一：判斷點和圓的位置關系理解點和圓的位置關系的“兩點”技巧：

（1）等價關系：點和圓的位置關系點到圓心的距離（d)和半徑（r）的數(shù)量關系.（2）數(shù)形結合：解決點與圓的位置關系的捷徑是利用數(shù)形結合的方法，借助圖形進行判斷.典型例題例題1．（2022·江蘇·九年級課時練習）平面內有兩點P，O，⊙O的半徑為5，若，則點P與⊙O的位置關系是（

）A．圓內 B．圓上 C．圓外 D．圓上或圓外【答案】C【詳解】∵⊙O的半徑為5，PO＝6，∴點P到圓心O的距離大于半徑，∴點P在⊙O的外部，故選C．點評：例題1考查了點與圓的位置關系，理解點與圓的位置關系是解題的關鍵．根據(jù)點到圓心的距離小于半徑即可判斷點P在⊙O的內部．例題2．（2022·四川·渠縣崇德實驗學校九年級期末）已知⊙O的半徑為3，點M在⊙O上，則OM的長可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】解：∵點M在⊙O上，⊙O的半徑為3，∴OM=3，故選：B．點評：例題2考查點與圓的位置關系，若圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，當點在圓外時，則d>r；當點在圓上時，則d=r；當點在圓內時，則d<r．例題3．（2021·全國·九年級專題練習）已知的半徑為，點A在內，則的長度可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵點A為⊙O內的一點，且⊙O的半徑為5cm，∴線段OA的長度＜5cm．故選：A．點評：例題3考查了點和圓的位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系：點到圓心的距離小于圓的半徑，則點在圓內．例題4．（2022·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，以原點O為圓心，4為半徑作圓，點P的坐標是（5，5），則點P與⊙O的位置關系是（

）A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內C．點P在⊙O外 D．點P在⊙O上或在⊙O外【答案】C【詳解】解：∵點P的坐標是（5，5），∴，而的半徑為4，∴等于大于圓的半徑，∴點P在外．故選：C．點評：例題4考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系．先計算出OP的長，然后根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法求解．例題5．（2021·浙江紹興·九年級期中）已知⊙O的半徑為，點在⊙O外，則_____（填＞或＝，＜）．【答案】＞【詳解】∵⊙O的半徑為，點在⊙O外∴故答案為：．點評：例題5考查點與圓的位置關系，解題的關鍵是設⊙O的半徑為，點在⊙O外；點在⊙O上；點在⊙O內．例題6．（2022·全國·九年級單元測試）已知圓外點到圓上各點的距離中，最大值是6，最小值是1，則這個圓的半徑是______．【答案】2.5【詳解】解：如圖所示：當點M在圓外時，外點到圓上各點的距離中，最大值可表示為半徑，最小值可表示為半徑，點到圓上的最小距離MB＝1，最大距離MA＝6，∴2半徑＝6﹣1＝5，∴半徑r＝2.5，故答案為：2.5．點評：例題6主要考查了點與圓的位置關系，根據(jù)題意畫出圖形是解決本題的關鍵．畫出圖形，根據(jù)點在圓外時，點到圓周上點的最大距離最小距離轉化為點到圓心的距離表示即可得到結論．例題7．（2022·江蘇·九年級專題練習）已知⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線的距離d＝OD＝3cm，在直線上有P、Q、R三點，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三點與⊙O位置關系各是怎樣的?【答案】PD＝4cm，點P在⊙O上．QD＞4cm，點Q在⊙O外．RD＜4cm，點R在⊙O內．【詳解】解：連接PO，QO，RO．∵

PD＝4cm，OD＝3cm，∴

PO＝．∴

點P在⊙O上．，∴

點Q在⊙O外．，∴

點R在⊙O內．點評：例題7主要考查點與圓的位置關系，點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．同類題型演練1．（2019·山東濰坊·九年級期中）矩形中，，，如果是以點為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

）A．點、均在外 B．點在外，點在內C．點在內，點在外 D．點、均在內【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，繪制圖形如下，連接AC,∵矩形，，，∴中，，∴點在內，點在外，故選：C．2．（2022·廣東廣州·一模）A，B兩個點的坐標分別為（3，4），（﹣5，1），以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（）A．點A，點B都在⊙O上 B．點A在⊙O上，點B在⊙O外C．點A在⊙O內，點B在⊙O上 D．點A，點B都在⊙O外【答案】B【詳解】解：∵OA＝＝5，OB＝＝＞5，∴點A在⊙O上，點B在⊙O外．故選：B．3．（2022·江蘇江蘇·九年級期末）已知的半徑為，點P在上，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵⊙O的半徑為4cm，點P在⊙O上，∴OP＝4cm．故選：A．4．（2021·全國·九年級專題練習）在數(shù)軸上，點A所表示的實數(shù)為5，點B所表示的實數(shù)為a，⊙A的半徑為3，要使點B在⊙A內，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵⊙A的半徑為3，若點B在⊙A內，∴AB＜3，∵點A所表示的實數(shù)為5，∴2＜a＜8，故選：D．5．（2022·浙江·九年級單元測試）已知的半徑為5，點到圓心的距離為，如果點在圓內，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：點在圓內，且的半徑為5，，故選：D．6．（2020·廣西南寧·九年級期末）已知的半徑點在內,則_________（填>或=，<）【答案】<【詳解】解：的半徑為點在內，．故答案為:．7．（2022·浙江·九年級單元測試）已知A為⊙O外一點，若點A到⊙O上的點的最短距離為2，最長距離為4，則⊙O的半徑為______．【答案】1【詳解】解：如圖：連接AO并延長交圓O于點B，C兩點，點A到⊙O上的點的最短距離線段AB的長，最長距離為線段AC的長度．設圓的半徑為r，則：BC＝2r＝AC?AB＝4?2＝2，∴r＝1．故答案為：1．8．（2022·全國·九年級課時練習）已知A為上的一點，的半徑為1，所在的平面上另有一點P．（1）如果，那么點P與有怎樣的位置關系？（2）如果，那么點P與有怎樣的位置關系？【答案】（1）點P在外；（2）點P可能在外，也可能在內，還可能在上，實際上，點P位于以A為圓心，以為半徑的圓上．【詳解】解：（1），的直徑為2點的位置只有一種情況在圓外，即點與的位置關系是點在圓外．（2），的直徑為2點的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內．即點P可能在外，也可能在內，還可能在上，實際上，點P位于以A為圓心，以為半徑的圓上．9．（2020·浙江·杭州市保俶塔實驗學校九年級階段練習）如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M為AB的中點．（1）以C為圓心，3為半徑作⊙C，則點A、B、M與⊙C的位置關系如何?（2）若以C為圓心，作⊙C，使A、M兩點在⊙A內且B點在⊙C外，求⊙C的半徑r的取值范圍．【答案】（1）A在圓上，M在圓內，B在圓外；（2）3＜r＜4【詳解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中點為點M，∴AB=，CM=AB=，∵以點C為圓心，3為半徑作⊙C，∴AC=3，則A在圓上，CM=＜3，則M在圓內，BC=4＞3，則B在圓外；（2）以C為圓心，作⊙C，使A、M兩點在⊙內且B點在⊙C外，3＜r＜4，故⊙C的半徑r的取值范圍為：3＜r＜4．類型二：有關三角形外接圓的計算和證明典型例題例題1．（2021·河北·九年級專題練習）邊長為2的正三角形的外接圓的半徑是（）A．2 B．2 C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，等邊△ABC中，三邊的垂直平分線交一點O，則O是△ABC外接圓的圓心，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF＝BC＝1，∴OF＝BF＝，∴OB＝2OF＝．答案：C．點評：例題1考查等邊三角形的性質，含角的直角三角形的性質，三角形外接圓．掌握等邊三角形三線合一以及其交點即為該等邊三角形外接圓的圓心是解答本題的關鍵．由等邊三角形三線合一可知，其交點即為△ABC外接圓的圓心O，即可推出∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF＝BC＝1，再由含角的直角三角形的性質，即可求出OB長．例題2．（2022·廣東珠海·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），點B（2，1），點C（2，－3）．則經畫圖操作可知：△ABC的外接圓的圓心坐標是（

）A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）【答案】A【詳解】解：∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，如圖所示：EF與MN的交點O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標是（﹣2，﹣1）．故選：A點評：例題2考查了三角形外心的知識．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點．解此題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用．首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，所以在平面直角坐標系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點即為△ABC的外心．例題3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，是的內接三角形．若，，則的半徑是______．【答案】1【詳解】解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．點評：例題3考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關鍵．連接、，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理計算即可．例題4．（2022·湖南·長沙市北雅中學九年級階段練習）已知：在中，，．(1)找到的外心，畫出的外接圓（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫過程）(2)若的外接圓的圓心O到BC邊的距離為8，，請求出的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖即為所求．①分別以點，點為圓心，大于的長為半徑，畫弧，作出線段的中垂線；②同理作出線段的中垂線；③兩條中垂線的交點O為圓心，為半徑畫圓，即為所求．（2）解：如圖，連接，由題意得：，∵，，∴，∴，∴圓的面積為：．點評：例題4考查畫三角形的外接圓，以及垂徑定理求半徑．熟練掌握外心的定義和等腰三角形的判定與性質，以及垂徑定理是解題的關鍵．（1）分別作線段和線段的中垂線，中垂線的交點即為的外心O，以O為圓心，為半徑畫出的外接圓即可；（2）如圖，連接，利用垂徑定理求出半徑，即可求出的面積．同類題型演練1．（2022·廣東·佛山市華英學校三模）如圖，點，，都在格點上，的外接圓的圓心坐標為（

）A．（5，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，3）【答案】A【詳解】解：根據(jù)的外接圓的定義，作和的垂直平分線相交于點，∴點P（5，2），故選：A．2．（2021·廣東·廣州市實驗外語學校九年級階段練習）三角形的三邊長為6，8，10，那么此三角形的外接圓的半徑長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】解：∵，∴三角形為直角三角形，∵直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點，斜邊為直角三角形中最長邊，∴三角形外接圓的半徑,∴三角形外接圓的半徑等于5．故選：D．3．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，．則△ABC的外心坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵B點坐標為（2，-1），C點坐標為（2，3），∴直線BC∥y軸，∴直線BC的垂直平分線為直線y=1，∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，∴△ABC外心的縱坐標為1，設△ABC的外心為P（a，1），∴，∴，解得，∴△ABC外心的坐標為（-2，1），故選D．4．（2022·江蘇·九年級課時練習）三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程的根，則該三角形外接圓的半徑為______．【答案】【詳解】解：，，解得，當時，不能構成三角形；當時，，這個三角形是斜邊為5的直角三角形，該三角形外接圓的半徑為，故答案為：．5．（2022·重慶渝中·二模）如圖，菱形中，，于點，為的中點，連接，，．若，則的外接圓半徑為______．【答案】【詳解】∵菱形∴，∵∴∵∴的外接圓的圓心為中點O如圖：∵，即∴點D在上∵∴∴∴∴，∵∴∵，∴∴，即∴∴設∴∴或（舍去）經檢驗，是原方程的解∴∴或（舍去）∴的外接圓半徑故答案為：．6．（2021·福建省永春崇賢中學九年級階段練習）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AD⊥BC；(1)尺規(guī)作圖：作△ABC的外接圓⊙O（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若底邊，腰，求△ABC外接圓⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖所示：如圖是所求作的的外接圓.（2）解：如圖：∵是等腰三角形，底邊，腰，∴，∴在中，.在中，.∴．7．（2020·江蘇·沭陽縣懷文中學九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在圖中畫出經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）點M的坐標為；⊙M的半徑為；（3）點D（5，﹣2）與⊙M的位置關系是點D在⊙M；（4）若畫出該圓弧所在圓，則在整個平面直角坐標系網格中該圓共經過個格點．【答案】（1）見解析；（2）（2，0），2；（3）內部；（4）8【詳解】解：（1）如圖，點M即為所求．（2）M（2，0），MA＝＝．故答案為：（2，0），2．（3）點D（5﹣2）在⊙M內部．故答案為：內部．（4）如圖，滿足條件的點有8個．故答案為：8．類型三：確定圓的條件典型例題例題1．（2022·全國·九年級單元測試）小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能【答案】B【詳解】解：第②塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：B．點評：例題1考查了垂徑定理的應用，確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第②塊可確定半徑的大?。}2．（2021·北京·九年級期中）有下列四個命題，其中正確的個數(shù)是（

）（1）經過三個點一定可以作一個圓；（2）任意一個三角形有且僅有一個外接圓；（3）三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等；（4）在圓中，平分弦的直徑一定垂直于這條弦；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】（1）經過不在同一直線上的三個點一定可以作一個圓，故本說法錯誤；（2）任意一個三角形有且僅有一個外接圓，本說法正確；（3）三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，本說法正確；（4）在圓中，平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故本說法錯誤；故選：B．點評：例題2考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．根據(jù)確定圓的條件、三角形的外心的概念、垂徑定理的推論判斷即可．例題3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在的正方形網格中，一條圓弧經過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點P B．點Q C．點R D．點M【答案】B【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經過Q，所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．點評：例題3考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．這也常用來確定圓心的方法．根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．例題4．（2021·江蘇宿遷·九年級階段練習）已知直線l：y=x+4，點A（0，2），點B（2，0），設點P為直線l上一動點，當P的坐標為______時，過P，A，B三點不能作出一個圓．【答案】(?1,3)【詳解】解：設直線AB的解析式為y=kx+b，∵A(0,2)，點B(2,0)，∴，解得，∴y=?x+2.解方程組，得，∴當P的坐標為(?1,3)時，過P，A，B三點不能作出一個圓.故答案為(?1,3).點評：例題4考查確定圓的條件和一次函數(shù)的性質，解題的關鍵是掌握確定圓的條件和一次函數(shù)的性質.由而在同一直線上的三個點不能畫一個圓可知，當P，A，B三點共線時，過P，A，B三點不能作出一個圓．為此，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再與y=x-4聯(lián)立，兩直線的交點坐標即為所求．例題5．（2021·河南南陽·九年級期末）如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點，，，請完成下列填空：(1)請用尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）的方法作出該弧所在圓心點的位置；(2)并寫出圓心坐標是______，的半徑是______；(3)求弧的長．【答案】(1)見解析(2)（2，0），(3)【詳解】(1)解：如圖所示，點D即為所求；(2)解：由（1）可知點D的坐標為（2，0），∴，故答案為：（2，0），；(3)解：如圖所示，連接AD，CD，∴，，∴，∴∠ADC=90°，∴．點評：例題5主要考查了坐標與圖形，找圓心，勾股定理與勾股定理的逆定理，求弧長，正確找到圓心的位置是解題的關鍵．（1）只需要作AB，BC的垂直平分線，兩者的交點即為點D；（2）根據(jù)（1）所作即可得到答案；（3）先利用勾股定理的逆定理證明∠ADC=90°，然后利用弧長公式求解即可．同類題型演練1．（2022·江蘇·九年級專題練習）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊【答案】A【詳解】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，兩條垂直平分線的交點就是圓心．故選：A．2．（2022·江蘇·九年級專題練習）下列說法：①平分弦的直徑，平分這條弦所對的?。虎谠诘葓A中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；③等弧所對的圓心角相等；④過三點可以畫一個圓；⑤圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑥三角形的外心到三角形的三邊距離相等．正確的個數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】解：當被平分的這條弦是直徑時，平分弦的直徑，不平分這條弦所對的?。还盛俨环项}意；在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也不一定相等；因為圓當中任意一條弦都與兩條弧相對，故②不符合題意；等弧所對的圓心角相等；正確，故③符合題意；過不在同一直線上的三點可以畫一個圓；故④不符合題意；圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；故⑤不符合題意；三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等．故⑥不符合題意；故選A3．（2020·浙江·余姚市蘭江中學九年級階段練習）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O，A，B，C在格點上，以點O為原點建立直角坐標系，則過A，B，C三點的圓的圓心坐標為（

）A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1)【答案】A【詳解】連接CB，作CB的垂直平分線，如圖所示：在CB的垂直平分線上找到一點D，CD=DB=DA=，所以D是過A，B，C三點的圓的圓心，即D的坐標為（﹣1，﹣2），故選：A．4．（2022·江蘇·九年級專題練習）當點A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點可以確定一個圓，則n需要滿足的條件為__．【答案】n≠﹣8【詳解】解：設直線AB的解析式為y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：，∴直線AB的解析式為，∵點A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點可以確定一個圓時，∴點C不在直線AB上，∴當點C在直線AB上時，，∴當點A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點可以確定一個圓，則n需要滿足的條件為n≠﹣8，故答案為：n≠﹣8．5．（2021·江蘇·沭陽縣懷文中學九年級階段練習）已知直線l:y=x?4，點A(0,2)，點B(2,0)，設點P為直線l上一動點，當P的坐標為______時，過P，A，B三點不能作出一個圓.【答案】(3,?1)【詳解】設直線AB的解析式為y=kx+b，∵A(0,2)，點B(2,0)，∴，解得，∴y=?x+2.解方程組，得，∴當P的坐標為(3,?1)時，過P，A