【解析】2023-2024學年初中數(shù)學九年級上冊 24.3 三角形一邊的平行線 同步分層訓練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學年初中數(shù)學九年級上冊24.3三角形一邊的平行線同步分層訓練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·原平模擬）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上，若線段，則線段的長是（）

A．B．C．D．2

2．（2023九下·江都）如圖，，則下列比例式成立的是（）

A．B．C．D．

3．（2023七下·東莞期末）某校要舉辦國慶聯(lián)歡會，主持人站在舞臺中軸線AB的黃金分割點C處（如圖1）最自然得體．即，在數(shù)軸（如題圖2）上最接近的點是（）

A．B．C．D．

4．（2023·吉林）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（）

A．B．C．D．

5．（2023·廣東）我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）

A．黃金分割數(shù)B．平均數(shù)C．眾數(shù)D．中位數(shù)

6．（2023·福田模擬）小明用地理中所學的等高線的知識在某地進行野外考察，他根據(jù)當?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示(注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi))，若點，，三點均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，則的值為（）

A．B．C．D．2

7．（2023·寶山模擬）在中，點D、E分別在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列條件中能夠判斷的是（）

A．B．C．D．

8．（2023·普蘭店模擬）如圖，在中，點分別在邊上，，若，則（）

A．B．C．D．

二、填空題

9．（2023九下·江都月考）若線段，點C是線段的一個黃金分割點（），則的長為（結(jié)果保留根號）.

10．（2023·惠水模擬）如圖，直線，分別交直線、于點，，，，，若，，則的長為.

11．（2023·北京）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為．

12．（2023·山西）如圖，在四邊形中，，對角線相交于點．若，則的長為．

13．（2023·十堰）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點，且，若菱形的面積等于24，，則．

三、解答題

14．（2023九上·西安期末）如圖，在中，，若，求的長.

15．（2022九上·楊浦期中）如圖，梯形中，，點E是邊的中點，聯(lián)結(jié)并延長交的延長線于點F，交于點G．求證：．

四、作圖題

16．（2023·寧波模擬）在的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，的頂點都是格點，請用無刻度的直尺作圖．

（1）在圖1中AB邊上畫點D，使得．

（2）在圖2中作的高CE．

五、綜合題

17．（2023八下·宜興月考）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于點A，并與軸交于點C，S△AOC=15．點D是線段AC上一點，CD：AC=2：3．

（1）求的值；

（2）求點D的坐標；

（3）根據(jù)圖象，直接寫出當時不等式的的解集．

18．（2023·江西）課本再現(xiàn)

思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．

已知：在中，對角線，垂足為．

求證：是菱形．

（2）知識應(yīng)用：如圖，在中，對角線和相交于點，．

①求證：是菱形；

②延長至點，連接交于點，若，求的值．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，

∴，

∵，

∴，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例進行解答即可.

2．【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

故答案為：B.

【分析】由平行線分線段成比例定理即可一一判斷得出答案.

3．【答案】C

【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上的表示；黃金分割

【解析】【解答】解：根據(jù)點P、Q、M、N的位置可得=，則最接近的是點M.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)點P、Q、M、N的位置可得=，據(jù)此解答.

4．【答案】A

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴=，

故答案為：A

【分析】先根據(jù)平行線段成比例即可得到，進而結(jié)合題意即可求解。

5．【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù).

故答案為：A

【分析】利用黃金分割的定義，可得答案.

6．【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵點A、B、C均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，

∴.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)進行解答.

7．【答案】C

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】如圖：

∵AD：BD=1：3，

∴，

∴當時，，

∴DE//BC，

∴C選項能夠判斷DE//BC，

故答案為C.

【分析】利用平行線分線段成比例的性質(zhì)逐項判斷即可。

8．【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】∵，

∴AD：AB=3：4，

∵DE//BC，

∴，

故答案為：B.

【分析】利用平行線分線段成比例的性質(zhì)求解即可。

9．【答案】

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

∴，

故答案為：（）.

【分析】如果一個點把一條線段分成兩條線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那

么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點，據(jù)此列出方程可求出BC的長.

10．【答案】

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：，，

，即，

解得，

故答案為：.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，據(jù)此即可求解.

11．【答案】

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

又∵，，，

∴，

∴，

故答案為：

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合題意即可求解。

12．【答案】

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：如圖，分別延長BC、AD交于一點H，過點A作AH⊥BC，

∵AB=AC=5，BC=6

∴BH=CH=3，

∴AH===4，

∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，

∴∠E=∠CBD，

∴BD=DE，

∵∠BCD=90°，BC=6，

∴CE=BC=6，

∴EH=CE+CH=6+3=9，

∴AE==，

∵AH⊥BC，∠BCD=90°，

∴CD∥AH，

∴，

∴AD=AE=；

故答案為：.

【分析】分別延長BC、AD交于一點H，過點A作AH⊥BC，由等腰三角形的性質(zhì)可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可推出CE=BC=6，EH=9，根據(jù)勾股定理再求AE=，利用平行線分線段成比例可得，即得AD=AE，據(jù)此即得結(jié)論.

13．【答案】6

【知識點】菱形的性質(zhì)；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：連接AC，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD.

∵菱形ABCD的面積為24，BD=8，

∴AC·BD=24，

∴AC=6，

∴AO=3，BO=3，

∴AB=5.

∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，

∴AE=DH=DG=FC，

∴EF∥AC∥HG，

∴，.

設(shè)BE=BF=CG=AH=x，則AE=DH=DG=FC=5-x，

∴，，

∴，

∴EF+HG=6.

故答案為：6.

【分析】連接AC，由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面積等于對角線乘積的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知條件可知BE=BF=CG=AH，則AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，設(shè)BE=BF=CG=AH=x，則AE=DH=DG=FC=5-x，接下來根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)進行解答.

14．【答案】解：∵，且，

∴，即，

解得：，

∴

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)可得AE的值，然后根據(jù)EC=AC-AE進行計算.

15．【答案】證明：∵，∴，．

∵點E是邊的中點，∴．

∴．∴．

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，，根據(jù)線段中點定義得出AE=DE，從而得出，即可證出EF·GB=BF·GE.

16．【答案】（1）解：如圖

（2）解：如圖

【知識點】三角形的角平分線、中線和高；平行線分線段成比例

【解析】【分析】（1）法一：根據(jù)△ABC的BC邊上的高為4，利用平行線分線段成比例定理，可作出點D，使AD=3BD；法二：利用△BDM∽ADN，作出AD=3BD.

（2）利用△BAH∽△CFB，推出∠BEF=90°，即為高CE.

17．【答案】（1）解：令y=0，

則-x+5=0，

∴x=5，

∴，，

，

∴，

把代入y=-x+5得，x=-1，

∴，

∵在函數(shù)的圖象上，

∴；

（2）解：作軸于E，作軸于F，則，

∵AE//DF，

∴CD：AC=CF：CE=2：3，

∴CF=4，

∴EF=2，OF=1，

把x=1代入y=-x+5得y=4，

∴；

（3）解：由圖像得，當x＜0時不等式的x的解集為

【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；三角形的面積；平行線分線段成比例

【解析】【分析】（1）令y=0，求出x的值，可得點C的坐標，然后求出OC的值，根據(jù)三角形的面積公式可得yA，代入一次函數(shù)解析式中求出x的值，得到點A的坐標，然后代入y=中就可求出k的值；

（2）作AE⊥x軸于點E，DF⊥x軸于點F，則AE∥DF，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得CD：AC=CF：CE=2：3，求出CE的值，然后求出EF、OF，將x=OF代入直線解析式中求出y的值，據(jù)此可得點D的坐標；

（3）根據(jù)圖象，在第二象限找出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分所對應(yīng)的x的范圍即可.

18．【答案】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴，，

∵

∴，

在中，

∴

∴，

同理可得，則，

又∵

∴

∴四邊形是菱形；

（2）解：①證明：∵四邊形是平行四邊形，．

∴

在中，，，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

∴四邊形是菱形；

②∵四邊形是菱形；

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

如圖所示，過點作交于點，

∴，

∴，

∴．

【知識點】勾股定理的逆定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，通過證明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，從而判定四邊形ABCD是菱形；

（2）①在△AOD中，利用三邊長度，根據(jù)勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出結(jié)論；②如圖所示，過點O作OG∥CD交BC于點G，可得：，所以，要求只需求即可，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得∠ACB=∠ACD，結(jié)合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根據(jù)三角形中位線定理的推論，得出，從而得出，所以。

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2023-2024學年初中數(shù)學九年級上冊24.3三角形一邊的平行線同步分層訓練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·原平模擬）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上，若線段，則線段的長是（）

A．B．C．D．2

【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，

∴，

∵，

∴，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例進行解答即可.

2．（2023九下·江都）如圖，，則下列比例式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

故答案為：B.

【分析】由平行線分線段成比例定理即可一一判斷得出答案.

3．（2023七下·東莞期末）某校要舉辦國慶聯(lián)歡會，主持人站在舞臺中軸線AB的黃金分割點C處（如圖1）最自然得體．即，在數(shù)軸（如題圖2）上最接近的點是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上的表示；黃金分割

【解析】【解答】解：根據(jù)點P、Q、M、N的位置可得=，則最接近的是點M.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)點P、Q、M、N的位置可得=，據(jù)此解答.

4．（2023·吉林）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴=，

故答案為：A

【分析】先根據(jù)平行線段成比例即可得到，進而結(jié)合題意即可求解。

5．（2023·廣東）我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）

A．黃金分割數(shù)B．平均數(shù)C．眾數(shù)D．中位數(shù)

【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù).

故答案為：A

【分析】利用黃金分割的定義，可得答案.

6．（2023·福田模擬）小明用地理中所學的等高線的知識在某地進行野外考察，他根據(jù)當?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示(注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi))，若點，，三點均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，則的值為（）

A．B．C．D．2

【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵點A、B、C均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，

∴.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)進行解答.

7．（2023·寶山模擬）在中，點D、E分別在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列條件中能夠判斷的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】如圖：

∵AD：BD=1：3，

∴，

∴當時，，

∴DE//BC，

∴C選項能夠判斷DE//BC，

故答案為C.

【分析】利用平行線分線段成比例的性質(zhì)逐項判斷即可。

8．（2023·普蘭店模擬）如圖，在中，點分別在邊上，，若，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】∵，

∴AD：AB=3：4，

∵DE//BC，

∴，

故答案為：B.

【分析】利用平行線分線段成比例的性質(zhì)求解即可。

二、填空題

9．（2023九下·江都月考）若線段，點C是線段的一個黃金分割點（），則的長為（結(jié)果保留根號）.

【答案】

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

∴，

故答案為：（）.

【分析】如果一個點把一條線段分成兩條線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那

么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點，據(jù)此列出方程可求出BC的長.

10．（2023·惠水模擬）如圖，直線，分別交直線、于點，，，，，若，，則的長為.

【答案】

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：，，

，即，

解得，

故答案為：.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，據(jù)此即可求解.

11．（2023·北京）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為．

【答案】

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

又∵，，，

∴，

∴，

故答案為：

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合題意即可求解。

12．（2023·山西）如圖，在四邊形中，，對角線相交于點．若，則的長為．

【答案】

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：如圖，分別延長BC、AD交于一點H，過點A作AH⊥BC，

∵AB=AC=5，BC=6

∴BH=CH=3，

∴AH===4，

∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，

∴∠E=∠CBD，

∴BD=DE，

∵∠BCD=90°，BC=6，

∴CE=BC=6，

∴EH=CE+CH=6+3=9，

∴AE==，

∵AH⊥BC，∠BCD=90°，

∴CD∥AH，

∴，

∴AD=AE=；

故答案為：.

【分析】分別延長BC、AD交于一點H，過點A作AH⊥BC，由等腰三角形的性質(zhì)可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可推出CE=BC=6，EH=9，根據(jù)勾股定理再求AE=，利用平行線分線段成比例可得，即得AD=AE，據(jù)此即得結(jié)論.

13．（2023·十堰）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點，且，若菱形的面積等于24，，則．

【答案】6

【知識點】菱形的性質(zhì)；平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：連接AC，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD.

∵菱形ABCD的面積為24，BD=8，

∴AC·BD=24，

∴AC=6，

∴AO=3，BO=3，

∴AB=5.

∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，

∴AE=DH=DG=FC，

∴EF∥AC∥HG，

∴，.

設(shè)BE=BF=CG=AH=x，則AE=DH=DG=FC=5-x，

∴，，

∴，

∴EF+HG=6.

故答案為：6.

【分析】連接AC，由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面積等于對角線乘積的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知條件可知BE=BF=CG=AH，則AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，設(shè)BE=BF=CG=AH=x，則AE=DH=DG=FC=5-x，接下來根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)進行解答.

三、解答題

14．（2023九上·西安期末）如圖，在中，，若，求的長.

【答案】解：∵，且，

∴，即，

解得：，

∴

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)可得AE的值，然后根據(jù)EC=AC-AE進行計算.

15．（2022九上·楊浦期中）如圖，梯形中，，點E是邊的中點，聯(lián)結(jié)并延長交的延長線于點F，交于點G．求證：．

【答案】證明：∵，∴，．

∵點E是邊的中點，∴．

∴．∴．

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，，根據(jù)線段中點定義得出AE=DE，從而得出，即可證出EF·GB=BF·GE.

四、作圖題

16．（2023·寧波模擬）在的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，的頂點都是格點，請用無刻度的直尺作圖．

（1）在圖1中AB邊上畫點D，使得．

（2）在圖2中作的高CE．

【答案】（1）解：如圖

（2）解：如圖

【知識點】三角形的角平分線、中線和高；平行線分線段成比例

【解析】【分析】（1）法一：根據(jù)△ABC的BC邊上的高為4，利用平行線分線段成比例定理，可作出點D，使AD=3BD；法二：利用△BDM∽ADN，作出AD=3BD.

（2）利用△BAH∽△CFB，推出∠BEF=90°，即為高CE.

五、綜合題

17．（2023八下·宜興月考）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于點A，并與軸交于點C，S△AOC=15．點D是線段AC上一點，CD：AC=2：3．

（1）求的值；

（2）求點D的坐標；

（3）根據(jù)圖象，直接寫出當時不等式的的解集．

【答案】（1）解：令y=0，

則-x+5=0，

∴x=5，

∴，，

，

∴，

把代入y=-x+5得，x=-1，

∴，

∵在函數(shù)的圖象上，

∴；

（2）解：作軸于E，作軸于F，則，

∵AE//DF，

∴CD：AC=CF：CE=2：3，

∴CF=4，

∴EF=2，OF=1，

把x=1代入y=-x+5得y=4，

∴；

（3）解：由圖像得，當x＜0時不等式的x的解集為

【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；三角形的面積；平行線分線段成比例

【解析】【分