第一節(jié) 聯(lián)合分布與邊緣分布

第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布引言從本講起，我們開(kāi)始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.它是第二章內(nèi)容的推廣.第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述.在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的.飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v(三個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的等等.引言第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布一般地,設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是設(shè)是定義在上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)維向量叫做維隨機(jī)向量或維隨機(jī)變量.以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照.引言第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)X的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),或者稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).定義1設(shè)是二維隨機(jī)變量,第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么,分布函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在下面左圖所示的,以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率.分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域概率為一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布即F(x,y)關(guān)于x,y是右連續(xù)的。4.對(duì)任意的一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布二、二維離散型隨機(jī)變量或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.

k=1,2,…離散型一維隨機(jī)變量XX的分布律為

k=1,2,…定義2限對(duì)或無(wú)限可列多對(duì),則稱是離散型隨機(jī)變量.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量可能取的值是記如果二維隨機(jī)變量全部可能取到的值是有稱之為二維離散型隨機(jī)變量的分布律,第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布也可用表格來(lái)表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布二維離散型隨機(jī)變量的分布律具有性質(zhì)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為：二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布

例1

把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.解

(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=3}=3/8=3/8二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布解且由乘法公式得例2二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布例3

一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,從中任取一個(gè),不放回袋中,再任取一個(gè),設(shè)每次取球時(shí),各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求(X,Y)的分布律與分布函數(shù).

(X,Y)的可能取值為解二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布故(X,Y)的分布律為下面求分布函數(shù).二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布所以(X,Y)

的分布函數(shù)為二、二維離散型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布連續(xù)型一維隨機(jī)變量XX的概率密度函數(shù)函數(shù)稱為二維定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量

,（X,Y)的概率密度

,隨機(jī)變量存在非負(fù)的函數(shù)如果任意有使對(duì)于稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度.或三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度的性質(zhì):表示介于f(x,y)和xoy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.注：第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量注：第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量例4

設(shè)(X,Y)的概率密度是(2)求分布函數(shù)(3)求概率.(1)求常數(shù)A;解

(1)由可得A=2.第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布積分區(qū)域區(qū)域解(2)三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布(3)三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布例5

設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A,B,C

為常數(shù).(1)

確定常數(shù)A,B,C

；(2)求P(X>2);(3)求(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)。三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布解

(1)三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布(2)(3)三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布四、課堂練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度是(1)確定常數(shù)(2)求概率三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布解(1)

故三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布(2).三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)關(guān)于X

和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)四、邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布一般地，對(duì)離散型r.v(X,Y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為:X和Y的聯(lián)合分布律為二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為:離散型隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為:四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布

我們常將邊緣分布律寫(xiě)在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布例6

已知下列分布律求其邊緣分布律.四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布注意聯(lián)合分布邊緣分布解四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布解例7樣本點(diǎn)四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布解例8四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布=5c/24=1,c=24/5解：(1)dxxxcò-=10222]/)([求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。例9

設(shè)(X,Y)的概率密度是四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布解:(2)xy01y=x求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。例9

設(shè)(X,Y)的概率密度是四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布解:(2)xy01y=x求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。例9

設(shè)(X,Y)的概率密度是四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布即四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布練習(xí)設(shè)(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關(guān)于X

和Y的邊緣概率密度.四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布解當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故四、邊緣分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無(wú)關(guān).則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y)在G上服從均勻分布.五、常見(jiàn)分布——二維均勻分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度則稱（X,Y）服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù),且記作（X,Y）～N().五、常見(jiàn)分布——二維正態(tài)分布第一節(jié)聯(lián)合分布與邊緣分布例10

試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊