第二章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)1牛頓第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

前言§2-1牛頓運(yùn)動(dòng)定律§2-2*力學(xué)相對(duì)性原理非慣性系中的力學(xué)§2-3動(dòng)量動(dòng)量守恒定律§2-4功動(dòng)能勢(shì)能機(jī)械能守恒定律§2-5*

理想流體的伯努利方程第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)2前言運(yùn)動(dòng)和物體相互作用的關(guān)系是人類幾千年來不斷探索的課題。在力學(xué)中，物體與物體間的相互作用稱之為力。力的作用既有瞬時(shí)效應(yīng)，又有積累效應(yīng)：前者由牛頓定律描述，后者則由三大守恒律所描述；原來物體作何種運(yùn)動(dòng)，既與物體間的相互作用有關(guān)，又與物體自身的性質(zhì)有關(guān)。當(dāng)物體內(nèi)部出現(xiàn)某種非線性因素時(shí)，在一定條件下即可能導(dǎo)致混沌。從17世紀(jì)開始，以牛頓定律為基礎(chǔ)建立起來的經(jīng)典力學(xué)體系，一直被認(rèn)為是“確定論”的。但廿世紀(jì)80年代，人們發(fā)現(xiàn)了在“確定論”系統(tǒng)中，卻可能發(fā)出現(xiàn)“隨機(jī)行為”。為什么？第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)3§2－1牛頓運(yùn)動(dòng)定律一、慣性定律慣性參照系實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)力學(xué)規(guī)律并非是在任何參考系中都成立。這就引出了慣性參考系的問題。1、慣性定律“孤立質(zhì)點(diǎn)”的模型：不受其它物體作用或離其他物體都足夠遠(yuǎn)的質(zhì)點(diǎn)。例如，太空中一遠(yuǎn)離所有星體的飛船。

牛頓第一定律（慣性定律）：一孤立質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)保持其原來靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)4

慣性和慣性運(yùn)動(dòng)

慣性運(yùn)動(dòng)：物體不受外力作用時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)

慣性：任何物體都有保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特性，慣性是物質(zhì)固有的屬性。

慣性和第一定律的發(fā)現(xiàn)，使人們最終把運(yùn)動(dòng)和力分離開來。2.慣性系與非慣性系問題的提出：慣性定律是否在任何參照系中都成立？第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)5牛頓定律只適用于某些參照系。asa/S/系S系光滑S/:牛頓定律不成立

a/0S:牛頓定律成立

a=0

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)6

什么是慣性系：孤立物體相對(duì)于某參照系為靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，該參照系為慣性系。

如何確定慣性系──只有通過力學(xué)實(shí)驗(yàn)*1地球是一個(gè)近似程度很好的慣性系但

相對(duì)于已知慣性系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系也是慣性系。

一切相對(duì)于已知慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的參照系為非慣性系。*2太陽是一個(gè)精度很高的慣性系

太陽對(duì)銀河系中心的加速度為

馬赫認(rèn)為：所謂慣性系，其實(shí)質(zhì)應(yīng)是相對(duì)于整個(gè)宇宙的平均加速度為零的參照系。慣性系只能無限逼近，而無最終的慣性系。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)7※牛頓第二定律：物體受到外力作用時(shí)，它所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比。與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與合外力F的方向相同。比例系數(shù)k與單位制有關(guān)。在國(guó)際單位制（SI制）中k=1。二、牛頓第二定律慣性質(zhì)量引力質(zhì)量其數(shù)學(xué)形式為２0物體之間的四種基本相互作用；1、關(guān)于力的概念１0力是物體與物體間的相互作用，這種作用可使物體產(chǎn)生形變，可使物體獲得加速度。力的概念只是物質(zhì)的相互作用在經(jīng)典物理中的一種表述。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)830力的疊加原理若一個(gè)物體同時(shí)受到幾個(gè)力作用，則合力產(chǎn)生的加速度，等于這些力單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生的加速度之矢量和。力的疊加原理的成立，不能自動(dòng)地導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)的疊加。2、關(guān)于質(zhì)量的概念3、牛頓第二定律給出了力、質(zhì)量、加速度三者間瞬時(shí)的定量關(guān)系１0質(zhì)量是物體慣性大小的量度；２0引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的問題；調(diào)節(jié)引力常數(shù)Ｇ，使m引，m慣的比值為一慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量等價(jià)。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)9三、牛頓第三定律1０作用力與反作用力是分別作用在兩個(gè)物體上的力，不是一對(duì)平衡力。2０作用力與反作用力是同一性質(zhì)的力。3０若A給B一個(gè)作用，則A受到的反作用只能是B給予的。牛頓第三定律：當(dāng)物理A以力作用在物體B上時(shí)，物理B也必定同時(shí)以力作用在物體A上，和大小相等，方向相反，且力的作用線在同一直線上，即*牛頓第三定律只在實(shí)物物體之間，且運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)才成立。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)10四、牛頓定律的應(yīng)用1、牛頓定律只適用于慣性系在直角坐標(biāo)系在自然坐標(biāo)系2、牛頓定律只適用于質(zhì)點(diǎn)模型3、具體應(yīng)用時(shí)，要寫成坐標(biāo)分量式第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)11若F=常量，則若F=F(v)，則

若F=F(r)，則

４、要根據(jù)力函數(shù)的形式選用不同的方程形式運(yùn)用舉例：第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)12MMMM1)物體M對(duì)地的加速度2)物體m對(duì)M的加速度3)物體m與M間的彈力N4)尖劈與桌面間的彈力R

解：分別以m,Ｍ為對(duì)象，選地為參考系a/

是m對(duì)M的加速度，aM是M對(duì)地的加速度所以m對(duì)地的加速度為例2-1質(zhì)量為M的光滑尖劈，傾角為θ，置于光滑的水平桌面上，質(zhì)量為m的物體放在尖劈的斜面上，求：※牛頓定律只適用于慣性系建立如圖坐標(biāo)，則am在X、Y軸上的分量分別為第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)13由牛頓定律的坐標(biāo)分量式方程可得對(duì)于m有對(duì)于Ｍ有m,Ｍ的受力圖如下所示第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)14聯(lián)立得第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)15例２－２圖中A為定滑輪，B為動(dòng)滑輪，三個(gè)物體m1>m2>m3(m1>m2+m3)繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量不計(jì)，求每個(gè)物體對(duì)地加速度及繩中張力。解：設(shè)m2,m3對(duì)滑輪的相對(duì)加速度為a/，向下為Ｘ軸正方向,a1為m1對(duì)地加速度，則可得對(duì)m1對(duì)m3對(duì)m2AB對(duì)動(dòng)滑輪為什么T2＝T2/第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)16第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)17例2－3一根細(xì)繩跨過一光滑的定滑輪，一端掛一質(zhì)量為M的物體，另一端被人用雙手拉著，人的質(zhì)量為m＝M/2，若人相對(duì)于繩以加速度a0向上爬，則人相對(duì)于地面的加速度是多少？解：分別以人、物為對(duì)象，受力圖如下。mgTa0MgTaa則人對(duì)地的加速度為設(shè)物體向下的加速度為a由牛頓第二定律，有聯(lián)立，得于是人對(duì)地的加速度為第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)18※已知運(yùn)動(dòng)情況求力例2－4長(zhǎng)l的輕繩，一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球。使小球從懸掛著的鉛直位置以水平初速度v0開始運(yùn)動(dòng)。用牛頓定律求小球沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過

角時(shí)的角速度和繩中的張力

解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象；小球受重力mg，及繩子的張力T

取自然坐標(biāo)系，將重力mg、張力T沿、n方向分解.列方程第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)19將①式兩邊同乘d

，并約去等式兩邊m可得對(duì)上式兩邊求積分有解得將v=l

代入②式第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)20解：設(shè)向下為Ｘ軸正向，且由牛頓第二定律得例2-5在地球表面附近自由下落的物體，所受空氣阻力與速率平方成正比，求其速度表示式※已知力求運(yùn)動(dòng)若令則有第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)21故即討論：第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)221、

單位制：基本量、導(dǎo)出量

單位制的任務(wù)是：規(guī)定那些物理量是基本量及所使用的基本量的數(shù)量級(jí)。

七個(gè)基本量為

長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、電流、溫度、物質(zhì)的量和發(fā)光強(qiáng)度從基本量導(dǎo)出的量稱為導(dǎo)出量，相應(yīng)的單位稱為導(dǎo)出單位。五、國(guó)際單位制和量綱（自學(xué)提綱）2、量綱：通過物理定律、定理、定義等將某個(gè)物理量表示成某種單位制中基本物理量的方次。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)23

因?yàn)閷?dǎo)出量是基本量導(dǎo)出的，所以導(dǎo)出量可用基本量的某種組合(乘、除、冪等)表示。這種由基本量的組合來表示物理量的式子稱為該物理量的量綱式，例如：在SI制中第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)24力的瞬時(shí)效應(yīng)→加速度：牛頓定律力的積累效應(yīng)──一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理１、動(dòng)量的引入在牛頓力學(xué)中，物質(zhì)的質(zhì)量可視為常數(shù)故即§2-3沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)25１）式中 叫做動(dòng)量，是物體運(yùn)動(dòng)量的量度。２）動(dòng)量 是矢量，方向與相同。動(dòng)量是相對(duì)量，與參照系的選擇有關(guān)。 ２、沖量的概念１）恒力的沖量２）變力的沖量此時(shí)沖量的方向不能由某瞬時(shí)力的方向來決定

指兩個(gè)物體相互作用持續(xù)一段時(shí)間的過程中，在物體間傳遞著的物理量力在某一段時(shí)間間隔內(nèi)的沖量沖量的方向與力的方向相同作用力F＝恒量，作用時(shí)間t1t2，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量，第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)2626在直角坐標(biāo)系中的分量式②動(dòng)量與慣性系的選取有關(guān)，而動(dòng)量的增量與慣性系的選取無關(guān)。③動(dòng)量定理的應(yīng)用范圍比牛頓第二定律更廣泛。注意事項(xiàng)：①?zèng)_量是元沖量的矢量和，一般情況下，沖量的方向與外力方向不相同，也與動(dòng)量的方向不同，而與動(dòng)量的增量方向相同。即其表示：物體所受外力的沖量等于物體的動(dòng)量的增量3、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)27平均沖力概念１）峰值沖力的估算ff0tt+△tt

３）當(dāng)相互作用時(shí)間極短時(shí)，相互間沖力極大，此時(shí)某些有限主動(dòng)外力（如重力等）可忽略不計(jì)。

４、動(dòng)量定理的應(yīng)用２）當(dāng)動(dòng)量的變化是常量時(shí)，有第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)28

例２－7作用在質(zhì)量為1kg的物體上的力F=6t+3,如果物體在這一力的作用下，沿直線運(yùn)動(dòng)，則在0

2.0s時(shí)間內(nèi)，這個(gè)力作用在物體上的沖量I=

2秒末物體的速度v=________________

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)29XYOBA例2－8質(zhì)量為m的小球在向心力作用下，在水平面內(nèi)做半徑為R、速率為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。小球自A點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的半圓內(nèi)，動(dòng)量的增量應(yīng)為：（A）（B）（C）（D）答（B）動(dòng)量的增量為第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)30

例2-9一火箭在均勻引力場(chǎng)中，以恒定速率u噴射氣體，由靜止上升。假定排出氣體質(zhì)量的增率為dm/dt=

m,其中m是火箭的瞬時(shí)質(zhì)量，

是常數(shù)，再假定使火箭減速的空氣阻力是bv（b為常數(shù)），求火箭的終極速度。

解：以t時(shí)刻火箭內(nèi)的質(zhì)量m和即將噴出的質(zhì)量dm為一系統(tǒng)，以豎直向上為正方向，則

t時(shí)刻（t+dt）時(shí)刻運(yùn)用動(dòng)量定理在整理中略去高階無窮小量dmdv

得第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)31將代入，并整理，得顯然，當(dāng)時(shí)有終極速度，即第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)32二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1、內(nèi)力與外力

i質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)力i質(zhì)點(diǎn)所受合力2、i質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)333、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理（對(duì)i求和）因?yàn)閮?nèi)力成對(duì)出現(xiàn)這說明內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的總動(dòng)量無貢獻(xiàn)，但對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增減是有影響的。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)34質(zhì)點(diǎn)系合外力的沖量=質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量。

于是有或第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)35三、動(dòng)量守恒定律若系統(tǒng)所受的合外力系統(tǒng)總動(dòng)量守恒

一個(gè)孤立的力學(xué)系統(tǒng)（即無外力作用的系統(tǒng)）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量可以交換，但系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。這就是動(dòng)量守恒定律。

注意：動(dòng)量守恒式是矢量式(1)守恒條件是而不是第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)36

若，但若某一方向的合外力零，則該方向上動(dòng)量守恒；

(3)必須把系統(tǒng)內(nèi)各量統(tǒng)一到同一慣性系中；

(4)若作用時(shí)間極短，而系統(tǒng)又只受重力作用，則可略去重力，而運(yùn)用動(dòng)量守恒。(2)若

表示系統(tǒng)與外界無動(dòng)量交換，表示系統(tǒng)與外界的動(dòng)量交換為零。則系統(tǒng)無論沿那個(gè)方向的動(dòng)量都守恒；第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)37

MMLM例２－10質(zhì)量為Ｍ的木塊在光滑的固定斜面上，由Ａ點(diǎn)從靜止開始下滑，當(dāng)經(jīng)過路程Ｌ運(yùn)動(dòng)到Ｂ點(diǎn)時(shí)，木塊被一顆水平飛來的子彈射中，立即陷入木塊內(nèi)，設(shè)子彈的質(zhì)量為m，速度為v，求子彈射中木塊后，子彈與木塊的共同速度解：木塊由Ａ至Ｂ過程，機(jī)械能守恒，木塊在B點(diǎn)的末速度

以子彈，木塊為一系統(tǒng)，沿斜面方向?yàn)椋剌S，則該方向上動(dòng)量守恒。（圖中f，f/為內(nèi)力，支持力Ｎ在Ｘ方向中沒有分力，重力在Ｘ方向中的分力可略去）第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)38

為什么在水平方向動(dòng)量不恒？因?yàn)榇藭r(shí)約束反力Ｎ在水平方向的分力不為零子彈擊中瞬間，Ｘ方向有第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)39uuMMMABC例２－11三只小船的質(zhì)量（包托載重）均為M，以相同速率v0在一條直線上航行。如中船的人以水平相對(duì)速率u將質(zhì)量為m的兩個(gè)小包同時(shí)分別投向前后兩只船，不計(jì)水對(duì)船的阻力，求投后各船的速率解：解此題的關(guān)鍵是將質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各量統(tǒng)一到同一慣性系中。

以小船前進(jìn)方向?yàn)檎较颍O(shè)B船投出小包時(shí)的速度為v2,則分別投向A、C兩船的小包的對(duì)地速度為

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)40

分別以A、C、B船及小包為對(duì)象，由水平方向動(dòng)量守恒，可得

解得

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)41例2－12一質(zhì)量m1=50kg的人，站在質(zhì)量m=200kg長(zhǎng)為L(zhǎng)＝4m的船的船頭上，開始時(shí)船靜止。試求當(dāng)人走到船尾時(shí)，船移動(dòng)的距離。水的阻力不計(jì)。方向與人前進(jìn)的方向相反。水平方向動(dòng)量守恒

解：設(shè)人對(duì)船的速度為，船對(duì)靜止水的速度為。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)42

一、功的概念功率1、恒力的功

即某力的功等于力與質(zhì)點(diǎn)在該力作用下的位移的標(biāo)積

(中學(xué)）力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘

積

由矢量標(biāo)積定義式，有§2-４功動(dòng)能勢(shì)能機(jī)械能守恒定律第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)43功值的圖示法2、

變力的功１）元功

XYZObaL設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿X軸運(yùn)動(dòng)，則力Ｆ在區(qū)間x1,x2內(nèi)做的功，即為圖中有陰影部分的面積

物體在變力的作用下從a運(yùn)動(dòng)到b

b第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)442)dA

在F-S圖上的幾何意義0absF(s)dA3）變力在一段有限位移上的功功的直角坐標(biāo)系表示式因?yàn)楣κ菢?biāo)量，所以總功等于各方向上的分量之代數(shù)和。

dA=F（s）ds

，其在F－s圖上即為有陰影的小方塊的面積。說明：(1)功是標(biāo)量，有正、負(fù)之分。(2)功是過程量，與初末位置及運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)45★一對(duì)作用力與反作用力的功只與相對(duì)位移有關(guān)0所以一般情況下

式中為相對(duì)位移第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)46３、功率

單位時(shí)間內(nèi)所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)47物體m在重力作用下由a運(yùn)動(dòng)到b，取地面為坐標(biāo)原點(diǎn).0xyzabz1z2mg

重力的功只由質(zhì)點(diǎn)始、末位置來決定，而與所通過的路徑無關(guān).4、保守力的功

重力的功第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)4848萬有引力的功

由圖知元位移

力函數(shù)

Mm第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)49

彈簧彈性力的功力函數(shù)元位移oXo第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)501)、保守力

如重力、彈簧彈性力、萬有引力、靜電力、分子作用力等均為保守力，即保守力沿任一閉合路徑的功為零。abcc/

如果某力的功只與始末位置有關(guān)而與具體路徑無關(guān)，則該力謂之保守力。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)51LmS+保守力的共同特征：a、力函數(shù)或?yàn)槌?shù)，或者僅為位置的函數(shù)；

b、保守力的功總是“原函數(shù)”增量的負(fù)值。

2)、非保守力若力的功值與具體路徑有關(guān),則為非保守力.如摩擦力、爆炸力等。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)52

例2－14一物體按x=ct3

規(guī)律在媒質(zhì)中作直線運(yùn)動(dòng)，式中c為常量，t為時(shí)間，設(shè)媒質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方，阻力系數(shù)為k，試求物體由x=0運(yùn)動(dòng)到x=l時(shí)，阻力所作的功。

解：速度

阻力為阻力對(duì)物體所作的功為：

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)53二、動(dòng)能定理1、動(dòng)能是一個(gè)獨(dú)立的物理量，與力在空間上的積累效應(yīng)對(duì)應(yīng)。★這說明又，m為常數(shù)第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)54★是質(zhì)點(diǎn)作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)所具有的運(yùn)動(dòng)量的量度，稱之為動(dòng)能★是狀態(tài)量，相對(duì)量，與參照系的選擇有關(guān)

2、動(dòng)能定理或即，合外力的功等于物體動(dòng)能的增量

合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用一段距離所產(chǎn)生的積累作用，從而導(dǎo)致動(dòng)能的有限變化。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)55

動(dòng)能與動(dòng)量的區(qū)別引入兩種度量作用第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)56例２－１6一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在力的作用下，由靜止開始沿一軌跡方程為x2＝9y的曲線從原點(diǎn)０（０，０）運(yùn)動(dòng)到Ｑ（３，１）點(diǎn)。試求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Ｑ點(diǎn)時(shí)的速度。解：根據(jù)功的定義將x2＝9y代入上式得

根據(jù)動(dòng)能定理：

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)57例2-17一個(gè)質(zhì)量15g的子彈，以200米/秒的速度射入一固定的木板內(nèi)，如阻力與射入木板的深度成正比，即且求子彈射入木板的深度。解：以m為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系ox，設(shè)射入深度為OXm在射入深度為x時(shí)，由動(dòng)能定理：第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)58三、勢(shì)能描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)參量是

對(duì)應(yīng)于：

彈簧彈性力的功

萬有引力的功重力的功

1、勢(shì)函數(shù)為此我們回顧一下保守力的功第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)59

由上所列保守力的功的特點(diǎn)可知，其功值僅取決于物體初、終態(tài)的相對(duì)位置，故可引入一個(gè)由相對(duì)位置決定的函數(shù)由定積分轉(zhuǎn)換成不定積分，則是

式中c為積分常數(shù)，在此處是一個(gè)與勢(shì)能零點(diǎn)的選取相關(guān)的量

又由于功是體系能量改變量的量度。因此，這個(gè)函數(shù)必定具有能量的性質(zhì)；而這個(gè)具有能量性質(zhì)的函數(shù)又是由物體相對(duì)位置所決定，故把這種能量稱之為勢(shì)能（或曰位能），用ＥＰ表示。則有：第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)602、已知保守力求勢(shì)能函數(shù)

彈性勢(shì)能：保守力的力函數(shù)若取坐標(biāo)原點(diǎn)，即彈簧原長(zhǎng)處，為勢(shì)能零點(diǎn)，則c=0于是

重力勢(shì)能

保守力的力函數(shù)若取坐標(biāo)原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則c=0

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)61

引力勢(shì)能保守力的力函數(shù)

若取無窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能零點(diǎn)，則

勢(shì)能函數(shù)的一般特點(diǎn)rij1)對(duì)應(yīng)于每一種保守力就可引進(jìn)一種相關(guān)的勢(shì)能2)勢(shì)能大小是相對(duì)量與所選取的勢(shì)能零點(diǎn)有關(guān)3)一對(duì)保守力的功等于相關(guān)勢(shì)能增量的負(fù)值4)勢(shì)能是彼此以保守力作用的系統(tǒng)所共有

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)62３、已知?jiǎng)菽芎瘮?shù)求保守力分布若保持y，z不變，則dy＝dz＝0同理則第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)63例：求保守力函數(shù)第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)64

勢(shì)能曲線

將勢(shì)能隨相對(duì)位置變化的函數(shù)關(guān)系用一條曲線描繪出來，就是勢(shì)能曲線。Ep(h)0(a)h重力勢(shì)能曲線Ep(r)r0(c）引力勢(shì)能曲線0(b)lEp(l)彈性勢(shì)能曲線第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)651、勢(shì)能曲線能說明質(zhì)點(diǎn)在軌道上任一位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系所具有的勢(shì)能值。2、勢(shì)能曲線上任一位置處的斜率（dEP/d

）的負(fù)值，表示質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)處所受的保守力。

設(shè)有一保守系統(tǒng)，其中一質(zhì)點(diǎn)沿x方向作一維運(yùn)動(dòng)，則有

由教材中之圖可知，凡勢(shì)能曲線有極值時(shí)，即曲線斜率為零處，其受力為零。這些位置點(diǎn)即為平衡位置。

勢(shì)能曲線有極大值的位置點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡位置，勢(shì)能曲線有極小值的位置點(diǎn)是穩(wěn)定平衡位置點(diǎn)

由勢(shì)能曲線所獲得的信息第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)66四、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理與功能原理1、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力

對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)67

對(duì)i求和—質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量等于外力的功與質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)保守力的功、內(nèi)部非保守力的功三者之和。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)68若引入(機(jī)械能）則可得

系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的功與內(nèi)部非保守力功之和。2、功能原理由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，而對(duì)每一對(duì)內(nèi)部保守力均有

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)69２）功能原理只適用于慣性系（從牛頓定律導(dǎo)出）3)具體應(yīng)用時(shí)，一是要指明系統(tǒng)，二是要交待相關(guān)的勢(shì)能零點(diǎn)

注意的問題：１）功能原理是屬于質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律（因涉及ＥP），與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理不同質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系功能原理4）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，注意將各量統(tǒng)一到同一慣性系中第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)70五、機(jī)械能守恒律由功能原理式可知機(jī)械能守恒的條件：系統(tǒng)與外界無機(jī)械能的交換系統(tǒng)內(nèi)部無機(jī)械能與其他能量形式的轉(zhuǎn)換

當(dāng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，應(yīng)有

即系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能的增量＝勢(shì)能增量的負(fù)值若和,則系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)71六、能量轉(zhuǎn)換與守恒

在一個(gè)孤立的系統(tǒng)內(nèi)，各種形態(tài)的能量可以相互轉(zhuǎn)換，但無能怎樣轉(zhuǎn)換，這個(gè)系統(tǒng)的總能量將始終保持不變。第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)72

例2-18如圖所示質(zhì)量為M的物塊A在離平板h的高度處自由下落，落在質(zhì)量也是M的平板B上。已知輕質(zhì)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，物體與平板作完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧的最大壓縮量。解：從物塊A自由下落到彈簧壓縮到最大限度可分為三個(gè)物理過程：第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)73

第三個(gè)