專題06函數(shù)的單調(diào)性與最值

專題06函數(shù)的單調(diào)性與最值№專題06函數(shù)的單調(diào)性與最值№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題06函數(shù)的單調(diào)性與最值命題解讀命題預(yù)測(cè)復(fù)習(xí)建議函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在歷年的高考中，單調(diào)性都有考察，這部分往往與導(dǎo)數(shù)去相聯(lián)系，單純的用定義證明函數(shù)單調(diào)性的題目幾乎沒(méi)有。對(duì)于最值問(wèn)題往往與函數(shù)單調(diào)性相聯(lián)系，在閉區(qū)間上的最值是出現(xiàn)最多的，而在導(dǎo)數(shù)極值最值那部分考察的比較多。預(yù)計(jì)2024年的高考函數(shù)的單調(diào)性出題還是以選擇或者填空為主，主要是單調(diào)性的應(yīng)用，應(yīng)用單調(diào)性解不等式，判斷大小，求解閉區(qū)間上的最值等問(wèn)題。集合復(fù)習(xí)策略：1.理解函數(shù)單調(diào)性的定義；2.掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用；3.會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍?！?考點(diǎn)精析←一.函數(shù)單調(diào)性的定義(1)一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)(或減函數(shù))．(2)如果函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)(或減函數(shù))，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這個(gè)區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)是增函數(shù)則稱該區(qū)間為增區(qū)間，若函數(shù)為減函數(shù)則稱該區(qū)間為減區(qū)間．二.函數(shù)單調(diào)性的圖像特征對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，若函數(shù)圖像從左向右連續(xù)上升，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若函數(shù)圖像從左向右連續(xù)下降，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減．三.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，u∈(m，n)，且u＝g(x)在區(qū)間(a，b)上和y＝f(u)在區(qū)間(m，n)上同時(shí)具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))在區(qū)間(a，b)上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．四.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)對(duì)?x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在D上是增函數(shù)；eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2)),x1－x2)<0?f(x)在D上是減函數(shù)．(2)對(duì)勾函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，減區(qū)間為(－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a))．(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)．(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”五.常用結(jié)論1．若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：(1)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)；(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；(3)函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反；(4)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)．簡(jiǎn)記：“同增異減”．2．增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：?x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，則(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．→?真題精講←1.（2023新高考Ⅰ卷·4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2.（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．A. B.e C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．3.（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.4.（2023全國(guó)理科乙卷·6）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.5.（全國(guó)理科乙卷·11）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】原問(wèn)題等價(jià)于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.6.（2023全國(guó)文科乙卷·8）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.7.（2023全國(guó)文科乙卷·10）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.8.（2023新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.9.（2023全國(guó)理科甲卷）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.【小問(wèn)1詳解】令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減【小問(wèn)2詳解】設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對(duì)應(yīng)當(dāng).10.（2023全國(guó)文科甲卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）代入后，再對(duì)求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡(jiǎn)并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識(shí)判斷得時(shí)不滿足題意，從而得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)?，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)?，所以，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題方法二第2小問(wèn)討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負(fù)情況，得到總存在靠近處的一個(gè)區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.→?模擬精練←1．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對(duì)任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，確定函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，，轉(zhuǎn)化得到，根據(jù)單調(diào)性得到答案.【詳解】設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：D2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，即，即，所以，即，綜上，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，利用中間量來(lái)比較的大小是解決本題的關(guān)鍵.3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)在上存在零點(diǎn)，且在上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得及，繼而可得，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】化簡(jiǎn)，在時(shí)，，該區(qū)間上有零點(diǎn)，故，又時(shí)單調(diào)，則，即，故故選：C4．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對(duì)進(jìn)行放縮即可求得所求范圍.【詳解】對(duì)于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：.故選：C.5．（2023·江蘇無(wú)錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．設(shè)s為正數(shù)，則在中（

）A．不可能同時(shí)大于其它兩個(gè) B．可能同時(shí)小于其它兩個(gè)C．三者不可能同時(shí)相等 D．至少有一個(gè)小于【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，并結(jié)合的大小關(guān)系，通過(guò)賦值或分類討論分析判斷.【詳解】∵，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，且，對(duì)A：若，則，則，A錯(cuò)誤；對(duì)B、C：當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：不可能同時(shí)小于，B、C錯(cuò)誤；對(duì)D：構(gòu)建，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，令，可得，則，故，即，使得，反證：假設(shè)均不小于，則，顯然不成立，假設(shè)不成立，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在比較與的大小關(guān)系時(shí)，通過(guò)構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷.6．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) B．的最大值為C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判斷A，求導(dǎo)得到，從而得到其極值，即可判斷B，根據(jù)對(duì)稱性的定義即可判斷C，由在的正負(fù)性即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，令，則或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故B正確；因?yàn)?，，所以不關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選:BD7．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．的最大值是C．在上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)函數(shù)的的性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】，A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：設(shè)，則，解得，，即，即的最大值為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以在上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，令，解得，即或，，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，，，，又函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極大值點(diǎn)，則，即，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.8．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）求導(dǎo)得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無(wú)極大值.（2）方法一：由題知不等式在上恒成立，則原問(wèn)題等價(jià)于不等式在上恒成立，記，則，記，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式恒成立，所以；②?dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖?，使得，而，此時(shí)不滿足，所以無(wú)解.綜上所述，.方法二：由題知不等式在上恒成立，原問(wèn)題等價(jià)于不等式在上恒成立，即在上恒成立.記，則，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)榧?，①?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式恒成立，所以；②?dāng)時(shí)，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，即，而，此時(shí)不滿足，所以無(wú)解.綜上所述，.9.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中且．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”求函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；(3)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽．，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)即為方程的根，即方程的根．顯然，不是方程的根，所以．記，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），所以在和上均單調(diào)遞增．由，記．①當(dāng)時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，，（可設(shè)當(dāng)，當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以），存在，使得，即存在唯一使得；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，（設(shè)當(dāng)，當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以），存在，使得，即存在唯一使得．②當(dāng)時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，存在，使得，即存在唯一使得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”．（3）記，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于無(wú)窮時(shí)，的增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一次函數(shù)的增長(zhǎng)速率，則．當(dāng)，由（2）知（其中）．由，代入得．因?yàn)?，所以此時(shí)只有一個(gè)解；因?yàn)?，所以此時(shí)有兩個(gè)解，故共有三個(gè)解，不滿足題意；當(dāng)，由（2）知由，代入得，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解，不滿足題意，此時(shí)；時(shí)，共有兩個(gè)解，滿足題意，綜上所述，當(dāng)且時(shí)方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．10．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，令得，所以函數(shù)在上單遞遞增；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為．（2）恒成立，等價(jià)于恒成立，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，等價(jià)于恒成立令，問(wèn)題等價(jià)于恒成立①若時(shí)，恒成立，滿足題意；②若時(shí)，則，所以，不滿足題意；③若時(shí)，因?yàn)?，令，得，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得綜上：【解法二】恒成立，等價(jià)于，令①若時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時(shí)，則，，所以在上單調(diào)遞增，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；函?shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；所以，使得，不滿足題意．③若時(shí)，令，∴，令，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?；函?shù)在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?；則，；，，；，，所以，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上單調(diào)遞增，，∴時(shí)，，，，所以在上單調(diào)遞增，∴，即，綜上：11．利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.12．.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.→?專題訓(xùn)練←1．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）定義在上的奇函數(shù)，滿足對(duì)且，都有成立，則當(dāng)不等式成立時(shí)，的最小值為_(kāi)_______.【答案】【詳解】由題設(shè)在上遞減，又在R上為奇函數(shù)，所以在上遞減，則在R上遞減，由，則，可得，，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，上述等號(hào)取不到，而，且在上遞增，時(shí)，所以的最小值為4.故答案為：42．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，且，則，即，即為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由，可得，則，解得，即的取值范圍為.故答案為：3．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).若.則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，，，所以是奇函?shù)且在上單調(diào)遞增，由0，可得，則，解得，即的取值范圍是.故答案為：.4．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】