專題06函數(shù)的單調(diào)性與最值

專題06函數(shù)的單調(diào)性與最值№專題06函數(shù)的單調(diào)性與最值№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學一輪復習（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學一輪復習專題06函數(shù)的單調(diào)性與最值命題解讀命題預測復習建議函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，在歷年的高考中，單調(diào)性都有考察，這部分往往與導數(shù)去相聯(lián)系，單純的用定義證明函數(shù)單調(diào)性的題目幾乎沒有。對于最值問題往往與函數(shù)單調(diào)性相聯(lián)系，在閉區(qū)間上的最值是出現(xiàn)最多的，而在導數(shù)極值最值那部分考察的比較多。預計2024年的高考函數(shù)的單調(diào)性出題還是以選擇或者填空為主，主要是單調(diào)性的應用，應用單調(diào)性解不等式，判斷大小，求解閉區(qū)間上的最值等問題。集合復習策略：1.理解函數(shù)單調(diào)性的定義；2.掌握函數(shù)單調(diào)性的應用；3.會利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍?！?考點精析←一.函數(shù)單調(diào)性的定義(1)一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)(或減函數(shù))．(2)如果函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)(或減函數(shù))，那么就說f(x)在這個區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，這個區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)是增函數(shù)則稱該區(qū)間為增區(qū)間，若函數(shù)為減函數(shù)則稱該區(qū)間為減區(qū)間．二.函數(shù)單調(diào)性的圖像特征對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，若函數(shù)圖像從左向右連續(xù)上升，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若函數(shù)圖像從左向右連續(xù)下降，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減．三.復合函數(shù)的單調(diào)性對于函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果當x∈(a，b)時，u∈(m，n)，且u＝g(x)在區(qū)間(a，b)上和y＝f(u)在區(qū)間(m，n)上同時具有單調(diào)性，則復合函數(shù)y＝f(g(x))在區(qū)間(a，b)上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．四.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)對?x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在D上是增函數(shù)；eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2)),x1－x2)<0?f(x)在D上是減函數(shù)．(2)對勾函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，減區(qū)間為(－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a))．(3)在區(qū)間D上，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)．(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關系是“同增異減”五.常用結(jié)論1．若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：(1)當f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)；(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；(3)函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反；(4)復合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關．簡記：“同增異減”．2．增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價變形：?x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，則(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．→?真題精講←1.（2023新高考Ⅰ卷·4）設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2.（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．A. B.e C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．3.（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.4.（2023全國理科乙卷·6）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.5.（全國理科乙卷·11）設，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.6.（2023全國文科乙卷·8）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.7.（2023全國文科乙卷·10）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.8.（2023新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當時，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【小問1詳解】因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.9.（2023全國理科甲卷）已知函數(shù)（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析.（2）【解析】【分析】（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【小問1詳解】令,則則當當,即.當,即.所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減【小問2詳解】設設所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調(diào)遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當,對應當.10.（2023全國文科甲卷）已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）代入后，再對求導，同時利用三角函數(shù)的平方關系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【小問1詳解】因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當時，，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；當時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點睛】關鍵點睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負情況，得到總存在靠近處的一個區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.→?模擬精練←1．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為．若對任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，確定函數(shù)單調(diào)遞增，計算，，轉(zhuǎn)化得到，根據(jù)單調(diào)性得到答案.【詳解】設，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：D2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因為，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，即，即，所以，即，綜上，.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)，，利用中間量來比較的大小是解決本題的關鍵.3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學校考二模）已知函數(shù)在上存在零點，且在上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得及，繼而可得，計算可得結(jié)果.【詳解】化簡，在時，，該區(qū)間上有零點，故，又時單調(diào)，則，即，故故選：C4．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學?？寄M預測）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設切點坐標，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對進行放縮即可求得所求范圍.【詳解】對于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設對應的切點為，，，設對應的切點為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：.故選：C.5．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．設s為正數(shù)，則在中（

）A．不可能同時大于其它兩個 B．可能同時小于其它兩個C．三者不可能同時相等 D．至少有一個小于【答案】D【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，并結(jié)合的大小關系，通過賦值或分類討論分析判斷.【詳解】∵，則當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，且，對A：若，則，則，A錯誤；對B、C：當時，則，故；當時，則，故；當時，則，故；當時，則，故；綜上所述：不可能同時小于，B、C錯誤；對D：構(gòu)建，則當時恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，令，可得，則，故，即，使得，反證：假設均不小于，則，顯然不成立，假設不成立，D正確.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：在比較與的大小關系時，通過構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合導數(shù)分析判斷.6．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) B．的最大值為C．的圖像關于直線對稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判斷A，求導得到，從而得到其極值，即可判斷B，根據(jù)對稱性的定義即可判斷C，由在的正負性即可判斷D.【詳解】因為，定義域為，關于原點對稱，且，則是奇函數(shù)，故A錯誤；因為，令，則或，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故B正確；因為，，所以不關于對稱，故C錯誤；因為，當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選:BD7．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學?？寄M預測）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．B．的最大值是C．在上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有個極大值點，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】利用二倍角公式進行化簡，再根據(jù)函數(shù)的的性質(zhì)分別判斷各選項.【詳解】，A選項：，A選項正確；B選項：設，則，解得，，即，即的最大值為，B選項正確；C選項：因為，所以在上不單調(diào)，C選項錯誤；D選項：，令，解得，即或，，當，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當當，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值點為，，，，又函數(shù)在區(qū)間上恰有個極大值點，則，即，D選項正確；故選：ABD.8．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）求導得，所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值.（2）方法一：由題知不等式在上恒成立，則原問題等價于不等式在上恒成立，記，則，記，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即當時，，此時；當時，，此時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，①當時，因為，所以不等式恒成立，所以；②當時，因為存在，使得，而，此時不滿足，所以無解.綜上所述，.方法二：由題知不等式在上恒成立，原問題等價于不等式在上恒成立，即在上恒成立.記，則，當單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因為即，①當時，因為，所以不等式恒成立，所以；②當時，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，即，而，此時不滿足，所以無解.綜上所述，.9.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，其中且．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動點”求函數(shù)的“不動點”的個數(shù)；(3)若關于x的方程有兩個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍．【解析】（1）當時，，定義域為R．，令，得．當時，；當時，．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）函數(shù)的不動點即為方程的根，即方程的根．顯然，不是方程的根，所以．記，因為（當且僅當取等號），所以在和上均單調(diào)遞增．由，記．①當時，（ⅰ）當時，，（可設當，當，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以），存在，使得，即存在唯一使得；（ⅱ）當時，，（設當，當，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以），存在，使得，即存在唯一使得．②當時，（?。┊敃r，無零點；（ⅱ）當時，因為，，存在，使得，即存在唯一使得．綜上所述，當時，函數(shù)有兩個“不動點”，；當時，函數(shù)有一個“不動點”．（3）記，由（1）知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，且當趨向于無窮時，的增長速率遠遠大于一次函數(shù)的增長速率，則．當，由（2）知（其中）．由，代入得．因為，所以此時只有一個解；因為，所以此時有兩個解，故共有三個解，不滿足題意；當，由（2）知由，代入得，當時，只有一個解，不滿足題意，此時；時，共有兩個解，滿足題意，綜上所述，當且時方程有兩個不同實數(shù)根．10．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域是，當時，，令得，所以函數(shù)在上單遞遞增；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為．（2）恒成立，等價于恒成立，令，因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，等價于恒成立令，問題等價于恒成立①若時，恒成立，滿足題意；②若時，則，所以，不滿足題意；③若時，因為，令，得，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得綜上：【解法二】恒成立，等價于，令①若時，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時，則，，所以在上單調(diào)遞增，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為；函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為；所以，使得，不滿足題意．③若時，令，∴，令，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為；函數(shù)在上單調(diào)遞減，值域為；則，；，，；，，所以，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上單調(diào)遞增，，∴時，，，，所以在上單調(diào)遞增，∴，即，綜上：11．利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用.12．.證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.→?專題訓練←1．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）定義在上的奇函數(shù)，滿足對且，都有成立，則當不等式成立時，的最小值為________.【答案】【詳解】由題設在上遞減，又在R上為奇函數(shù)，所以在上遞減，則在R上遞減，由，則，可得，，僅當，即時等號成立，所以，上述等號取不到，而，且在上遞增，時，所以的最小值為4.故答案為：42．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】因為函數(shù)，定義域為，且，則，即，即為奇函數(shù)，當時，，均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由，可得，則，解得，即的取值范圍為.故答案為：3．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).若.則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】因為函數(shù)定義域為，，，所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由0，可得，則，解得，即的取值范圍是.故答案為：.4．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)在上的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】